专题02二次函数解析式与函数、方程关系10大题型56题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材浙教版

专题02 二次函数解析式与函数、方程关系 基础·固本强基 题型1 已知三点用一般式求解析式 题型2 已知顶点及一点求解析式 题型3 已知两零点及一点求解析式 提升·进阶突破 题型4 已知对称轴及两点求解析式 题型5 已知最值及过点条件求解析式 题型6 由平移或对称条件反求解析式 题型7 由抛物线交点求一元二次方程的根（重难点） 拔高·压轴破难 题型8 含参抛物线与x轴交点个数分类（难点） 题型9 抛物线与直线交点个数及参数范围（重难点） 题型10 两交点距离、对称轴与根的关系求参（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 已知三点用一般式求解析式（共5小题） 【模型】设 y=ax²+bx+c，代入三点得三元一次方程组；有 x=0 的点时先拿它定 c。 【步骤】① 设一般式；② 把三点坐标逐一代入；③ 解方程组（优先消去常数项，再消元）。 【易错】① 三点共线时无解（此时不是二次函数），仍硬解；② 代入坐标时符号写错；③ 方程组消元算错、不回代检验。 1．（黑龙江大庆市肇源县西北联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）已知二次函数的图象经过点、、，求这个二次函数的解析式． 2．（黑龙江大庆市肇源县联合团体2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的解析式． 3．（26-27九年级上·上海·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： x … 1 4 7 … … 3 0 3 15 … (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标； (2)向左或右平移该抛物线后经过点，求平移的方向和距离． 4．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 5．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知，二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … … … … (1)求二次函数的解析式． (2)①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是__________． 题型2 已知顶点及一点求解析式（共5小题） 【模型】设顶点式 y=a(x-h)²+k，顶点直接给出 h、k，另一点只用来求 a。 【步骤】① 由顶点写出 h、k 得 y=a(x-h)²+k；② 代入另一点求 a；③ 需要一般式时再展开。 【易错】① 顶点式括号里符号写成 (x+h)（应为 x-h）；② 求 a 时代入点坐标算错；③ 开口方向没与 a 的符号核对。 6．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数的顶点坐标为与y轴的交点为． (1)求此二次函数的表达式 (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象（不用列表）； (3)结合函数图像，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_________； ②直接写出当时，的取值范围是_________． 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点． (1)若抛物线的顶点为，求函数的表达式； (2)若函数图象经过点，，且关于的方程有两个相等的实数根，求的值； (3)在（1）的条件下，若函数图象过点，，求的最小值． 8．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点． (1)求抛物线解析式； (2)求三角形的面积． 9．（2026九年级上·全国·专题练习）已知一条抛物线的顶点坐标是，并经过点，求这条抛物线的函数解析式． 10．（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 题型3 已知两零点及一点求解析式（共5小题） 【模型】设交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂)，两个零点直接写成因式，第三点用来求 a。 【步骤】① 由两个零点写出因式形式；② 代入第三点求 a；③ 必要时展开成一般式。 【易错】① 零点为 -1 时写成 (x-1)（应为 x-(-1)=x+1）；② 交点式只适用于有零点的情况，无零点时改用顶点式；③ 求 a 后不回代验证。 11．（2022·河南郑州·模拟预测）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 12．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象交x轴于点和，与y轴交于点． (1)试求该二次函数的表达式； (2)当时，求出y的取值范围． 13．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的交点为． (1)求二次函数的表达式； (2)若抛物线上有一点，将线段沿着轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值是，最小值是，求的取值范围． 14．（25-26九年级上·广东韶关·期中）已知抛物线与x轴的交点为，，函数的最大值为4． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求y的取值范围． 15．（25-26九年级上·上海·单元复习）已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是，且函数有最小值，求二次函数的解析式． 提升·进阶突破 题型4 已知对称轴及两点求解析式（共6小题） 【模型】对称轴给一个方程 -b/(2a)=h，两点再给两个方程，三元可解；若两点关于对称轴对称则纵坐标相等，可先凑第三点。 【步骤】① 由对称轴写出 -b/(2a)=h；② 代入两个已知点列方程；③ 解方程组并检验开口与顶点。 【易错】① 只有对称轴加一个点，条件不足仍硬解；② 两点纵坐标相等时没意识到它们是对称点而重复列方程；③ 消元时把 a=0 当解（应舍去）。 16．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图所示，抛物线的部分图象与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴与抛物线交于点C，则下列结论错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，则 C．连接、、，则 D．直线的关系式为： 17．（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于，两点，交轴于点，其中点的坐标为． (1)直接写出A点的坐标； (2)求二次函数的解析式． (3)关于的不等式的解集为___________． 18．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 19．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点向上平移1个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，求m的值． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像的对称轴是，与x轴的一个交点为，与y轴交于点； (2)图像与x轴的交点坐标是，且函数有最小值； (3)当时，函数取得最大值1，且图像与x轴两个交点之间的距离为2． 21．（2026·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点，且对称轴为直线． (1)若该函数的最大值为8，求该函数的表达式； (2)用含的代数式表示； (3)若，，都在该函数的图像上，且，结合图像，直接写出的取值范围． 题型5 已知最值及过点条件求解析式（共4小题） 【模型】最值即顶点的纵坐标：有最大值则 a<0，有最小值则 a>0；再结合对称轴确定 h。 【步骤】① 由最值写出顶点纵坐标 k 与开口方向；② 由对称轴（或取最值时的自变量）确定 h；③ 代入已知点求 a。 【易错】① 把区间最值当成顶点纵坐标（可能是端点取到）；② 开口方向判反（最大值对应的应该是 a<0）；③ 已知“当 x=… 时取最值”却没读出对称轴。 22．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 23．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点（0，3）在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值2，这个二次函数的表达式． 24．（22-23九年级上·北京顺义·期中）二次函数 的图象经过点，当时，函数的最小值为，求该二次函数的解析式． 25．（22-23九年级·安徽·阶段检测）一个二次函数，当时，函数的最小值为2，它的图象经过点，求这个二次函数的解析式． 题型6 由平移或对称条件反求解析式（共5小题） 【模型】逆用变换：“由甲平移得到乙”就把乙反向平移回甲；对称则按对称轴（轴）变号。 【步骤】① 明确平移方向与距离；② 对已知解析式作反向平移（顶点式最方便）；③ 关于 x 轴对称则 a 与顶点纵坐标变号，关于 y 轴对称则对称轴变号。 【易错】① 正变换与逆变换方向搞反；② 关于 x 轴、y 轴对称时变号的对象搞错；③ 用一般式直接改系数，导致形状跟着变。 26．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位后的解析式为__________． 27．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 28．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）若将平面直角坐标系的坐标轴向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，原坐标系中的抛物线在新坐标系下的解析式为． (1)求抛物线在原坐标系下的解析式； (2)指出该抛物线在原坐标系中的开口方向、对称轴和顶点坐标． 29．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）已知二次函数（m是常数，且）． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)当m的值为1时，将这个二次函数图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数图象，求出这个新的二次函数的解析式，并求出新的二次函数在的范围内函数的值的范围． 30．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）已知二次函数，当时，函数取得最小值，它的图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)将该函数图象先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到新的函数图象，直接写出平移后的二次函数解析式． (3)动点能否在平移后的函数图象上？请说明理由． 题型7 由抛物线交点求一元二次方程的根（共5小题） 【模型】方程 ax²+bx+c=k 的根就是抛物线 y=ax²+bx+c 与直线 y=k 交点的横坐标（k=0 时是与 x 轴交点）。 【步骤】① 把方程拆成“抛物线”与“直线”两个函数；② 看图或画出交点；③ 读交点横坐标即得方程的根（可结合对称轴估近似值）。 【易错】① 把交点的纵坐标当成根；② 与 x 轴无交点时说方程无根却没验证 Δ；③ 近似根没注明是估算值。 31．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 32．（21-22九年级上·天津北辰·期末）已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 33．（2022·江苏镇江·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 34．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）抛物线的顶点在轴上，点的坐标如图所示，则一元二次方程的根是________． 35．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题． (1)关于 的方程 的解是________； (2)关于 的不等式 的解集是________； (3)当 时， 的取值范围是________． 拔高·压轴破难 题型8 含参抛物线与x轴交点个数分类（共6小题） 【模型】交点个数由判别式决定：Δ>0 两个、Δ=0 一个（相切）、Δ<0 无交点，且始终要求 a≠0。 【步骤】① 写出含参数的判别式 Δ；② 按 Δ>0、=0、<0 三类列不等式（组）；③ 解出参数范围，并排除使 a=0 的值。 【易错】① 漏掉 a≠0 的前提（a=0 时不是抛物线）；② “有两个交点”是否含等号搞错；③ Δ 本身含参数的二次式时不等式解错。 36．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 37．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 38．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________． 39．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线， (1)当实数m满足什么条件时，该抛物线与x轴有交点？ (2)当实数m满足什么条件时，其顶点在y轴上． 40．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）当实数k分别满足什么条件时，抛物线与轴的交点个数符合以下情况： (1)有两个交点； (2)有且只有一个交点． 41．（26-27九年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知抛物线 (1)求证：不论为任何实数，抛物线与轴总有两个交点． (2)若，抛物线与轴交于和，求的值． 题型9 抛物线与直线交点个数及参数范围（共6小题） 【模型】联立消 y 得关于 x 的方程，再看二次项系数是否为 0，最后用 Δ 判断 0/1/2 个交点。 【步骤】① 联立两解析式消去 y；② 若二次项系数含参数，先讨论它等于 0（退化成一次方程，此时也可能有一个交点）；③ 不为 0 时用 Δ 判个数并列不等式。 【易错】① 联立时代入出错；② 忽略“退化成一次函数”的那一类解；③ 相切（Δ=0）与相交（Δ>0）的边界取等与否搞错。 42．（26-27九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．将直线沿轴向下平移，当直线与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的值为（ ） A． B． C． D． 43．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（2025·山东青岛·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 45．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）若二次函数与轴有两个交点，则的取值范围是___________． 46．（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有____个． 47．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段检测）已知二次函数的图象与一次函数交x轴于点，交y轴于点． （1）______； （2）点C在一次函数图象上，将点C向下平移4个单位长度后得到点D，若线段与抛物线有交点，则点C的横坐标m的取值范围是______． 48．（22-23九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是___________． 题型10 两交点距离、对称轴与根的关系求参（共8小题） 【模型】两交点横坐标 x₁、x₂：对称轴为 (x₁+x₂)/2，两交点距离 |x₁-x₂|；已知这两个量就能反写出两根，再代入解析式求参。 【步骤】① 由对称轴得两根之和的一半；② 由两交点距离得半距，写出 x₁、x₂（用对称轴 ± 半距）；③ 把其中一个根代入方程（或用两根之和 =-b/a）求参数。 【易错】① 两根顺序写反导致符号错；② 用 -b/a 时没确认已学过根与系数关系，改用“代入根”更稳；③ 距离公式记错、半距当全距。 49．（2026·四川南充·三模）已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（     ） A． B． C． D． 50．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若二次函数的图像与x轴的两个公共点之间的距离为4，则m的值是______． 51．（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）已知二次函数图像与轴有两个交点、，且．则的值是____________． 52．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为2，则的值为________． 53．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 54．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2)若函数图象与轴有两个交点，分别为，，且，求的值． 55．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（是常数） (1)求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点、，且，求的值． 56．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）已知二次函数． (1)求二次函数顶点的坐标（用含的代数式表示），并证明：无论取何值，顶点总在一条直线上． (2)若二次函数与x轴交于，两点（点在点左侧），且，求的值． (3)若点，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． $专题02 二次函数解析式与函数、方程关系 基础·固本强基 题型1 已知三点用一般式求解析式 题型2 已知顶点及一点求解析式 题型3 已知两零点及一点求解析式 提升·进阶突破 题型4 已知对称轴及两点求解析式 题型5 已知最值及过点条件求解析式 题型6 由平移或对称条件反求解析式 题型7 由抛物线交点求一元二次方程的根（重难点） 拔高·压轴破难 题型8 含参抛物线与x轴交点个数分类（难点） 题型9 抛物线与直线交点个数及参数范围（重难点） 题型10 两交点距离、对称轴与根的关系求参（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 已知三点用一般式求解析式（共5小题） 【模型】设 y=ax²+bx+c，代入三点得三元一次方程组；有 x=0 的点时先拿它定 c。 【步骤】① 设一般式；② 把三点坐标逐一代入；③ 解方程组（优先消去常数项，再消元）。 【易错】① 三点共线时无解（此时不是二次函数），仍硬解；② 代入坐标时符号写错；③ 方程组消元算错、不回代检验。 1．（黑龙江大庆市肇源县西北联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）已知二次函数的图象经过点、、，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、、， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为． 2．（黑龙江大庆市肇源县联合团体2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点、和代入得， ，解得：， ∴ 二次函数的解析式为． 3．（26-27九年级上·上海·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： x … 1 4 7 … … 3 0 3 15 … (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标； (2)向左或右平移该抛物线后经过点，求平移的方向和距离． 【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标为． (2)向左平移3个单位长度，或向右平移1个单位长度． 【分析】（1）选取表格中三组对应值，通过待定系数法列方程组求解二次函数系数，再配方得到顶点坐标． （2）根据抛物线左右平移时形状不变、顶点纵坐标不变的性质，设平移后顶点式解析式，代入已知点坐标求解平移方向与距离． 【详解】（1）解：将，，代入得 ， 解得， ∴该二次函数的表达式为， 配方得， ∴顶点坐标为． （2）解：设平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点， 代入得， 整理得， 解得，， ∵原抛物线顶点横坐标为， ∴当时，平移距离为，方向向左； 当时，平移距离为，方向向右． 综上所述，抛物线向左平移3个单位长度，或向右平移1个单位长度． 4．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为 【分析】（1）将三个已知点的坐标代入二次函数一般式，列方程组求解待定系数，，，再回代即可； （2）先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合的取值范围，比较顶点和取值范围两端点的函数值，得到最值． 【详解】（1）解：把点，，代入解析式，得 ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由（1）得该二次函数的解析式为， ∴，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，； 当时，； ∵， ∴函数的最小值为； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为． 5．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知，二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … … … … (1)求二次函数的解析式． (2)①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)①函数图象如下图： ②或 【分析】（1）将表格中的点的坐标代入，可得，，，即可得二次函数的解析式； （2）①描点连线，画出函数图象即可； ②函数图象开口向上，由函数图象与轴的交点坐标，结合的取值范围，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 二次函数的解析式为． （2）解：①略 ②函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，， 当时，的取值范围是或． 题型2 已知顶点及一点求解析式（共5小题） 【模型】设顶点式 y=a(x-h)²+k，顶点直接给出 h、k，另一点只用来求 a。 【步骤】① 由顶点写出 h、k 得 y=a(x-h)²+k；② 代入另一点求 a；③ 需要一般式时再展开。 【易错】① 顶点式括号里符号写成 (x+h)（应为 x-h）；② 求 a 时代入点坐标算错；③ 开口方向没与 a 的符号核对。 6．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数的顶点坐标为与y轴的交点为． (1)求此二次函数的表达式 (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象（不用列表）； (3)结合函数图像，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_________； ②直接写出当时，的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)如图所示： (3)①② 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入上式，可得，即可求得抛物线的解析式． （2）将代入中，求解可得抛物线过，，抛物线对称轴为，进而可得关于对称的点为， 结合抛物线的点坐标为，画图即可． （3）①当时，图像位于轴下方，结合图像即可求解． ②把代入中，求解可得抛物线图像经过，且当时，图像包含，结合图像即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为 故可设抛物线的解析式为， 将代入上式，即， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即． （2）解：将代入中，即， 解得：，， ∴抛物线过点，， ∵抛物线与y轴的交点为，且对称轴为， ∴抛物线上关于对称的点为， 结合抛物线的顶点坐标为，画图如图所示． （3）①解：由图像可得当时，图象位于轴下方，即的取值范围是． ②解：把代入中，即， ∴抛物线图像经过， 由上可得抛物线图像经过，且当时，图像包含， 结合图像可得当时，的取值范围是． 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点． (1)若抛物线的顶点为，求函数的表达式； (2)若函数图象经过点，，且关于的方程有两个相等的实数根，求的值； (3)在（1）的条件下，若函数图象过点，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，设顶点式，代入点求解系数，即可得到函数表达式； （2）由根与系数的关系得，结合一元二次方程有两个相等实根的判别式条件、函数过点的条件，推导得，进而求出的值； （3）将、两点坐标代入（1）的函数表达式，用含的代数式表示与，整理为关于的二次函数，配方后求最小值． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设函数表达式为 ， 函数图象经过点， 将，代入， 得， 解得， 函数的表达式为，即． （2）解：函数图象经过点，， ，是一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系得． 将方程整理为， 该方程有两个相等的实数根， ， 又函数图象经过点， 将，代入， 得， 即，变形得； 将代入， 得，即， 整理得， ， ． （3）解：在（1）的条件下，函数表达式为， 函数图象过点，， ，， ， 配方得； ，为开口向上的抛物线， 当时，取得最小值，最小值为． 8．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点． (1)求抛物线解析式； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据抛物线的顶点为，得出，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）先解方程得到点A、B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴，，即， 把，代入得到， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得， ∴， ∴三角形的面积． 9．（2026九年级上·全国·专题练习）已知一条抛物线的顶点坐标是，并经过点，求这条抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式．当抛物线的顶点为时，抛物线的解析式可设为． 先根据抛物线的顶点设出抛物线的表达式，再代入点求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点是， ∴抛物线解析式可设为， 把代入上式得， 解得， ∴抛物线解析式为． 10．（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）令，则，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ∴该抛物线与轴的交点坐标为，． 题型3 已知两零点及一点求解析式（共5小题） 【模型】设交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂)，两个零点直接写成因式，第三点用来求 a。 【步骤】① 由两个零点写出因式形式；② 代入第三点求 a；③ 必要时展开成一般式。 【易错】① 零点为 -1 时写成 (x-1)（应为 x-(-1)=x+1）；② 交点式只适用于有零点的情况，无零点时改用顶点式；③ 求 a 后不回代验证。 11．（2022·河南郑州·模拟预测）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 12．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象交x轴于点和，与y轴交于点． (1)试求该二次函数的表达式； (2)当时，求出y的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的表达式为 (2)当时，的取值范围是 【分析】（1）已知二次函数与x轴的两个交点，设交点式代入C点坐标求解系数，即可得到函数表达式； （2）先确定抛物线的对称轴与开口方向，找到顶点的最大值，再结合范围内的增减性和端点函数值，确定y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点和， ∴设该二次函数的表达式为； 将代入表达式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为，即． （2）解：∵二次函数的图象交x轴于点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值. 将代入，得； 当时，； 当时，； ∴在范围内，的取值范围是． 13．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的交点为． (1)求二次函数的表达式； (2)若抛物线上有一点，将线段沿着轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值是，最小值是，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的确定，平移的性质，二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）设二次函数的表达式为：，把代入求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得直线的解析式，再与二次函数的解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求解即可； （3）根据二次函数的性质分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为：， 把代入得，，解得， 二次函数的表达式为：； （2）解：把代入得：， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ，解得， 直线的解析式为， 点的纵坐标为，且将线段沿着轴向上平移个单位后得到线段， 使平移后的直线解析式为，， 令，整理得， 平移后的线段与该抛物线恒有公共点， ，解得， 的取值范围是； （3）解：， 顶点坐标为，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，， 在范围内． 当时，，当时，． 当时，，当时，． 当时，，当或时，． ． 14．（25-26九年级上·广东韶关·期中）已知抛物线与x轴的交点为，，函数的最大值为4． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，求得顶点坐标是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性可由抛物线经过点，，得到抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为，于是可设顶点式，然后把代入求出a的值即可； （2）抛物线开口向下，当时，函数有最大值为4，求出当时，，当时，，则当时，函数值y的取值范围是，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵函数有最大值4， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 即抛物线的解析式为． （2）∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值为4， 当时，， 当时，， ∴当时，函数值y的取值范围是． 15．（25-26九年级上·上海·单元复习）已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是，且函数有最小值，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数解析式为，然后确定函数顶点为，代入求解即可 【详解】∵二次函数的图形与x轴的交点坐标是， ∴设二次函数解析式为， ∵关于直线对称， ∴函数图象的顶点坐标为， ∴把代入， ∴． ∴． 【点睛】题目主要考查利用交点式求解二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 提升·进阶突破 题型4 已知对称轴及两点求解析式（共6小题） 【模型】对称轴给一个方程 -b/(2a)=h，两点再给两个方程，三元可解；若两点关于对称轴对称则纵坐标相等，可先凑第三点。 【步骤】① 由对称轴写出 -b/(2a)=h；② 代入两个已知点列方程；③ 解方程组并检验开口与顶点。 【易错】① 只有对称轴加一个点，条件不足仍硬解；② 两点纵坐标相等时没意识到它们是对称点而重复列方程；③ 消元时把 a=0 当解（应舍去）。 16．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图所示，抛物线的部分图象与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴与抛物线交于点C，则下列结论错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，则 C．连接、、，则 D．直线的关系式为： 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，可判断选项A；求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，结合图象可判断选项B；利用待定系数法求得直线的关系式可判断选项D；求得直线与y轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算可判断选项C． 【详解】解：∵抛物线的部分图象与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点C的坐标为，则选项A正确，不符合题意； ∵点，对称轴， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，由图象得当时，则， ∴当时，则，则选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的关系式为：，则选项D正确，不符合题意； 设直线与y轴交于点，令，则， ∴，如图， ∴， ∴，则选项C错误，符合题意． 17．（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，交轴于，两点，交轴于点，其中点的坐标为． (1)直接写出A点的坐标； (2)求二次函数的解析式． (3)关于的不等式的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据二次函数的对称性可进行求解； （2）根据待定系数法可进行求解； （3）根据图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象交轴于，两点， ∴，两点关于该抛物线的对称轴对称， ∵点的坐标为，对称轴为直线， ∴点的横坐标为， ∴； （2）解：由题意得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （3）解：由函数图象可得：关于的不等式的解集为； 故答案为． 18．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或1 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据平移规律得到平移后点的坐标，代入函数表达式列方程求解； （3）结合二次函数开口方向与对称轴，分对称轴在区间右侧，左侧，中间三种情况讨论，根据最值差为3列方程求解n． 【详解】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线， ∴，解得 ∴二次函数的表达式为； （2）解：点向上平移3个单位长度，向左平移个单位长度后，坐标为 ∵该点在二次函数的图像上， ∴， 解得或， ∵， ∴； （3）解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为． ①当时，函数在上随着的增大而减小， ∴当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得； ②当，即时，函数在上随着的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得； ③当，即时，函数最小值为2， 由最大值与最小值的差为3，得到最大值为． 若当时，y有最大值，则， 解得， ∵， ∴均不符合，故舍去． 若当时，y有最大值，则， 解得， ∵， ∴均不符合，故舍去． 综上所述，的值为或1． 19．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点向上平移1个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， 即， ， 把代入得 ∴二次函数表达式； （2）解：由题意知点平移后的坐标为． 把代入，得， 解得， ， ， 即m的值为4． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像的对称轴是，与x轴的一个交点为，与y轴交于点； (2)图像与x轴的交点坐标是，且函数有最小值； (3)当时，函数取得最大值1，且图像与x轴两个交点之间的距离为2． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，先设解析式，代入点坐标求二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知二次函数的顶点坐标为，根据顶点坐标先设解析式，代入点坐标求二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的图像的性质得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的两交点坐标为，根据顶点坐标先设解析式，代入点坐标求二次函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意，该二次函数的图像的对称轴是直线， ∴设该二次函数的解析式为， ∵该图像与x轴的一个交点为，与y轴交于点， ∴，解得 ∴该二次函数的解析式为； （2）∵该二次函数的图像与x轴的交点坐标是， ∴其对称轴为， 又∵函数有最小值， ∴该函数图像的顶点坐标为， 设该二次函数解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （3）根据题意，当时，函数取得最大值1， 则该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 又∵抛物线与轴两个交点之间的距离为2， ∴抛物线与轴的两交点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 21．（2026·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点，且对称轴为直线． (1)若该函数的最大值为8，求该函数的表达式； (2)用含的代数式表示； (3)若，，都在该函数的图像上，且，结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（）把对称轴代入公式，点，以及最值代入解析式解出即可． （）把对称轴代入公式，点，代入解析式解出即可． （）画出图像，数形结合观察图像即可． 【详解】（1）∵对称轴为， ∴， ∵图像经过点， ∴ ∴把代入得， ∵二次函数最大值为 8，对称轴为直线 ∴， 联立方程组解得 ∴抛物线解析式为 即 （2）∵对称轴为， ∴， ∵图像经过点， ∴ ∴把代入得； （3）当时，抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大； ∵ ∴离对称轴的距离比点 A 离对称轴的距离更远， ∴ 解得或， ∵， ∴； 当时，抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小； ∵， ∴离对称轴的距离比点 A 离对称轴的距离更近， ∴， ∴， ∵，， ∴在对称轴的右侧，在的左侧， ∵对称轴为直线，， ∴当,在对称轴的两侧时，， ∴， ∴， 综上所述或． 题型5 已知最值及过点条件求解析式（共4小题） 【模型】最值即顶点的纵坐标：有最大值则 a<0，有最小值则 a>0；再结合对称轴确定 h。 【步骤】① 由最值写出顶点纵坐标 k 与开口方向；② 由对称轴（或取最值时的自变量）确定 h；③ 代入已知点求 a。 【易错】① 把区间最值当成顶点纵坐标（可能是端点取到）；② 开口方向判反（最大值对应的应该是 a<0）；③ 已知“当 x=… 时取最值”却没读出对称轴。 22．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 23．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点（0，3）在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值2，这个二次函数的表达式． 【答案】y＝x2﹣2x+3 【分析】由题意可得（1，2）是抛物线的顶点，且过（0，3），可利用顶点式求出关系式； 【详解】解：∵二次函数，当时，函数y有最小值2， ∴点（1，2）为抛物线的顶点， 于是可设抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2，把（0，3）代入得， a+2＝3， ∴a＝1， ∴抛物线的关系式为y＝（x﹣1）2+2， 即y＝x2﹣2x+3； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的关系式，掌握待定系数法求函数关系式的方法是解决问题的关键． 24．（22-23九年级上·北京顺义·期中）二次函数 的图象经过点，当时，函数的最小值为，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】由已知可设二次函数的顶点式，再把点的坐标代入顶点式中即可求得的值，从而求得解析式． 【详解】解：∵当时，函数的最小值为：，即抛物线的顶点坐标为 ∴设二次函数的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键． 25．（22-23九年级·安徽·阶段检测）一个二次函数，当时，函数的最小值为2，它的图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设抛物线顶点式，然后将代入解析式求解． 【详解】解：根据题意设， 把代入得， 解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 题型6 由平移或对称条件反求解析式（共5小题） 【模型】逆用变换：“由甲平移得到乙”就把乙反向平移回甲；对称则按对称轴（轴）变号。 【步骤】① 明确平移方向与距离；② 对已知解析式作反向平移（顶点式最方便）；③ 关于 x 轴对称则 a 与顶点纵坐标变号，关于 y 轴对称则对称轴变号。 【易错】① 正变换与逆变换方向搞反；② 关于 x 轴、y 轴对称时变号的对象搞错；③ 用一般式直接改系数，导致形状跟着变。 26．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位后的解析式为__________． 【答案】 【分析】抛物线平移遵循“左加右减”规则，向左平移个单位，将原解析式中替换为，整理后即可得到平移后的解析式． 【详解】解：根据平移规则，抛物线向左平移个单位，将原解析式中的替换为． 原抛物线为，替换后得： 展开并整理得： ． 即平移后的抛物线解析式为． 27．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则计算得到新抛物线的解析式． 【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式，， ∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴根据平移规则，对自变量左移加，对常数项上移加， 可得． 28．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）若将平面直角坐标系的坐标轴向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，原坐标系中的抛物线在新坐标系下的解析式为． (1)求抛物线在原坐标系下的解析式； (2)指出该抛物线在原坐标系中的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2) 开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据平移规则求出函数解析式即可； （2）根据顶点式的性质，作答即可. 【详解】（1）解：由题意，抛物线先向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线， ∴原抛物线的解析式为； （2）解：∵，； ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. 29．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）已知二次函数（m是常数，且）． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)当m的值为1时，将这个二次函数图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数图象，求出这个新的二次函数的解析式，并求出新的二次函数在的范围内函数的值的范围． 【答案】(1) 直线 (2) 新二次函数解析式为，在范围内函数值的范围是 【分析】（1）直接利用对称轴公式进行求解即可； （2）代入得原函数解析式，根据平移规律得新解析式，结合开口方向与对称轴，在给定区间内求最值得到取值范围. 【详解】（1）解：由题意，二次函数的对称轴为直线； （2）解：当时，原函数解析式为， 配方得； 图象向右平移3个单位长度后，新函数解析式为 ，即； ∴新函数开口向上，对称轴为直线， ∵，且， ∴ 当时，取最小值； 当时，； 当时，； ∵， ∴当时，取最大值； 综上所述，时，函数值的范围是. 30．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）已知二次函数，当时，函数取得最小值，它的图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)将该函数图象先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到新的函数图象，直接写出平移后的二次函数解析式． (3)动点能否在平移后的函数图象上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能． 理由：将代入平移后的解析式，得， 整理得， ∵， ∴该方程无实数解， ∴动点不在平移后的函数图象上． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式，即可求解； （2）按照“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解； （3）把代入平移后的解析式，即可判断． 【详解】（1）解：∵当时，函数取得最小值， ∴设， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为，即． （3）略 题型7 由抛物线交点求一元二次方程的根（共5小题） 【模型】方程 ax²+bx+c=k 的根就是抛物线 y=ax²+bx+c 与直线 y=k 交点的横坐标（k=0 时是与 x 轴交点）。 【步骤】① 把方程拆成“抛物线”与“直线”两个函数；② 看图或画出交点；③ 读交点横坐标即得方程的根（可结合对称轴估近似值）。 【易错】① 把交点的纵坐标当成根；② 与 x 轴无交点时说方程无根却没验证 Δ；③ 近似根没注明是估算值。 31．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。 可知二次函数的对称轴为直线，则点关于对称轴对称的点为，可知二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2，进而可得答案. 【详解】解: 二次函数的对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， 二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2， 关于的一元二次方程的根为，. 故选：A. 32．（21-22九年级上·天津北辰·期末）已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】由抛物线开口向下与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，可判断①；由抛物线与轴有两个交点，可判断②；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，可判断③；由抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，可得另一个交点坐标，可判断④；由，，可判断⑤，从而可得答案. 【详解】解：∵抛物线开口向下与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， 能得到： ∴abc＜0，故①不符合题意； 抛物线与轴有两个交点， 故②符合题意； 抛物线与x轴的一个交点坐标为， 故③符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 所以方程的两个根是，；故④符合题意； ∵抛物线的对称轴为，即， 而时，，即， ∴3a+c=0， ∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∴5a＜0， ∴；故⑤符合题意； 综上：②③④⑤符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，利用数形结合思想是解答本题的关键. 33．（2022·江苏镇江·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 34．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）抛物线的顶点在轴上，点的坐标如图所示，则一元二次方程的根是________． 【答案】 【分析】根据图象与x轴的交点坐标直接写出答案即可． 【详解】解：观察图象知：抛物线的顶点在轴上，点的坐标为， 所以一元二次方程的根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是了解一元二次方程与二次函数的关系，难度不大． 35．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题． (1)关于 的方程 的解是________； (2)关于 的不等式 的解集是________； (3)当 时， 的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据图象求出图中所有点的坐标，再根据图象的对称性得到答案； （2）直接观察图象得到不等式的解集； （3）观察图象，得出在取值范围内的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 由 得，其关于对称轴对称的点的坐标为 ， ， （2）解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 观察图象可得：不等式的解集为． （3）解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 当 时，观察图象可得最大值为 ，最小值 ， 的取值范围是： ． 拔高·压轴破难 题型8 含参抛物线与x轴交点个数分类（共6小题） 【模型】交点个数由判别式决定：Δ>0 两个、Δ=0 一个（相切）、Δ<0 无交点，且始终要求 a≠0。 【步骤】① 写出含参数的判别式 Δ；② 按 Δ>0、=0、<0 三类列不等式（组）；③ 解出参数范围，并排除使 a=0 的值。 【易错】① 漏掉 a≠0 的前提（a=0 时不是抛物线）；② “有两个交点”是否含等号搞错；③ Δ 本身含参数的二次式时不等式解错。 36．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】结合二次函数的定义与图象和轴无交点的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∵图象与轴没有交点， ∴，解得， ∴综上可得，的取值范围为． 37．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】分和两类讨论，结合函数图象与轴有交点的条件求解 【详解】解：当时，函数为，是一次函数，与轴有交点，符合题意； 当时，函数为二次函数，图象与轴有交点，则， ， 解得， 综上，的取值范围是 38．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴有交点，对应一元二次方程有实数根，利用判别式大于等于求解即可． 【详解】解：令，可得， ∵二次函数的图象与轴有交点， ∴一元二次方程有实数根，判别式， 整理得， 解得． 39．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线， (1)当实数m满足什么条件时，该抛物线与x轴有交点？ (2)当实数m满足什么条件时，其顶点在y轴上． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据抛物线与轴有交点，需满足，，据此列不等式，解出即可得当实数m满足且时，与x轴有交点． （2）根据抛物线顶点在y轴上时，需满足顶点横坐标为0，，据此列方程，解出即可得当实数m满足时，顶点在y轴上． 【详解】（1）解：根据题意得：抛物线与x轴有交点，需满足： ，，解得：且， ∴当实数m满足且时，与x轴有交点． （2）解：当抛物线顶点在y轴上时，满足： ，，解得：， ∴当实数m满足时，顶点在y轴上． 40．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）当实数k分别满足什么条件时，抛物线与轴的交点个数符合以下情况： (1)有两个交点； (2)有且只有一个交点． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）抛物线是二次函数，首先保证二次项系数不为0即；利用判别式，有两个交点要求，联立解得且； （2）有且只有一个交点要求解得，此时二次项系数不为0，仍然是抛物线． 【详解】（1）解：抛物线与x轴有两个交点， ， 且， 且； （2）解：抛物线与x轴有且只有一个交点， ， ， ，此时． 41．（26-27九年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知抛物线 (1)求证：不论为任何实数，抛物线与轴总有两个交点． (2)若，抛物线与轴交于和，求的值． 【答案】(1)证明：抛物线与轴交点的纵坐标为， 当抛物线与轴相交时可得：， ， ，即：， 不论为任何实数，该抛物线与轴总有两个交点； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出、，再整体代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，可得：， 抛物线与轴交于和， 可得方程， ，， ． 题型9 抛物线与直线交点个数及参数范围（共6小题） 【模型】联立消 y 得关于 x 的方程，再看二次项系数是否为 0，最后用 Δ 判断 0/1/2 个交点。 【步骤】① 联立两解析式消去 y；② 若二次项系数含参数，先讨论它等于 0（退化成一次方程，此时也可能有一个交点）；③ 不为 0 时用 Δ 判个数并列不等式。 【易错】① 联立时代入出错；② 忽略“退化成一次函数”的那一类解；③ 相切（Δ=0）与相交（Δ>0）的边界取等与否搞错。 42．（26-27九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．将直线沿轴向下平移，当直线与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出直线平移后的表达式为，再将两个关系式联立求出直线关系式，然后求出直线与y轴的交点坐标，结合题意可得答案． 【详解】解：将直线沿着y轴向下平移时，设直线所在的直线的表达式为， ∵抛物线和直线有唯一的交点， ∴，即方程有唯一的解， ∴， 解得， ∴平移后直线的关系式为， 当时，， ∴平移后点C对应点的纵坐标． 43．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图， 当时，，解得，，则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故选：B． 44．（2025·山东青岛·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的定义，学会联立函数解析式是解题的关键．根据二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ， 联立， 整理得：， 二次函数与一次函数的图象有交点， ， 解得：， k的取值范围是且． 故选：B． 45．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）若二次函数与轴有两个交点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】二次函数与轴有两个交点，说明对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式大于，列出不等式求解即可. 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴对应一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得． 46．（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有____个． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，确定的符号是解题的关键．根据题意得到，求出的值，即可得到结论． 【详解】解：一次函数的图像经过第二、三、四象限， ， ， ， 故与x轴的交点有个． 故答案为：． 47．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段检测）已知二次函数的图象与一次函数交x轴于点，交y轴于点． （1）______； （2）点C在一次函数图象上，将点C向下平移4个单位长度后得到点D，若线段与抛物线有交点，则点C的横坐标m的取值范围是______． 【答案】 6 或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，点的平移问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）可得点C的坐标为，点D的坐标为，则轴，设与抛物线交于点E，则点E的坐标为．令，解得，，找到临界位置，即可求解线段与抛物线有交点时标m的取值范围． 【详解】解析：（1）将代入得：， ∴， 将代入得： ∴， ∴， 故答案为：6； （2）∵点C在一次函数图象上， ∴点C的坐标为， ∵将点C向下平移4个单位长度后得到点D， ∴点D的坐标为， ∴轴， 设与抛物线交于点E，则点E的坐标为． 令，解得，， 如图： ∵线段与抛物线有交点， ∴m的取值范围是：或． 故答案为：或． 48．（22-23九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解方程组的解与函数交点的关系是解题的关键． 联立两解析式，然后根据判别式大于等于0求解即可． 【详解】解：把代入得：， 整理得， ∵二次函数的图象与一次函数的图象有交点， ∴，解得：． 故答案为：． 题型10 两交点距离、对称轴与根的关系求参（共8小题） 【模型】两交点横坐标 x₁、x₂：对称轴为 (x₁+x₂)/2，两交点距离 |x₁-x₂|；已知这两个量就能反写出两根，再代入解析式求参。 【步骤】① 由对称轴得两根之和的一半；② 由两交点距离得半距，写出 x₁、x₂（用对称轴 ± 半距）；③ 把其中一个根代入方程（或用两根之和 =-b/a）求参数。 【易错】① 两根顺序写反导致符号错；② 用 -b/a 时没确认已学过根与系数关系，改用“代入根”更稳；③ 距离公式记错、半距当全距。 49．（2026·四川南充·三模）已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立抛物线与直线的方程，得到关于x的一元二次方程，再结合两点间距离公式推导出关于的表达式，最后利用平方数的非负性求出长的最小值． 【详解】解：设， 联立抛物线与直线方程 整理得 由根与系数的关系得 ∵ ∴ ∵ ， ∴ 当 时，取得最小值 代入得． 50．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若二次函数的图像与x轴的两个公共点之间的距离为4，则m的值是______． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用二次函数与轴交点关于对称轴对称的性质，得到交点横坐标，代入解析式即可求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴横坐标为直线， ∵二次函数图像与轴的两个交点关于对称轴对称，两点距离为， ∴单个交点到对称轴的距离为， ∴两个交点的横坐标分别为和， 将点代入得， 解得． 51．（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）已知二次函数图像与轴有两个交点、，且．则的值是____________． 【答案】 0或4 【分析】先求解二次函数与轴的交点横坐标，再根据两点间距列绝对值方程求解． 【详解】解：令，可得方程， 对方程因式分解得， 解得方程的两个根为，， ∴， 整理得， 即或， 解得或， 经检验，和都满足方程有两个不相等的实数根， ∴或． 52．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为2，则的值为________． 【答案】3 【分析】设出二次函数图象与轴的两交点横坐标，，根据根与系数的关系可得，，由题意可知二次函数与轴两交点的距离，进而求解即可． 【详解】解：设二次函数图象与轴两交点的横坐标分别为，， 则，为方程的两个解， ∴，， 则：二次函数与轴两交点的距离， 即：， 解得：． 53．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 【答案】1或 【分析】设二次函数与轴交点横坐标为，根据根与系数的关系得到，根据交点距离得到，利用完全平方公式变形列方程求解，验证判别式后得到结果． 【详解】解：设二次函数与轴交点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵ 两个交点间的距离为， ∴ ， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， ∴， 整理得， 解得或， 验证判别式：， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上所述，的值为或． 54．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2)若函数图象与轴有两个交点，分别为，，且，求的值． 【答案】(1) 证明：对于二次函数，令，得一元二次方程， 其判别式， ∵ 无论取何值，， ∴，即， ∴ 无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2) 的值为或 【分析】（1）计算二次函数对应一元二次方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）利用根与系数的关系，结合轴上两点距离为两根差的绝对值列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为，， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得或， 此时，符合题意． 55．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（是常数） (1)求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点、，且，求的值． 【答案】(1)证明：令，得方程， ， ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点． (2)的值为或． 【分析】（1）令，得方程，可证，再根据二次函数与方程的关系，即可求证； （2）根据二次函数与方程的关系，可得，是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而，列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，得方程， 该抛物线与轴交于点、， ，是方程的两个根， ，， ， ，即， ， ，解得，， 则的值为或． 56．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）已知二次函数． (1)求二次函数顶点的坐标（用含的代数式表示），并证明：无论取何值，顶点总在一条直线上． (2)若二次函数与x轴交于，两点（点在点左侧），且，求的值． (3)若点，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)顶点的坐标为； ∵ ∴顶点的坐标为 设顶点的坐标为，则，， 消去得： 故无论取何值，顶点总在直线上 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系； （1）利用配方法或顶点公式求出顶点坐标，并通过代数变形证明顶点在某条直线上； （2）设，两点的横坐标为，进而用一元二次方程根与系数的关系建立方程求解参数； （3）将分别代入解析式，求得，根据得出的范围，根据，，关于直线对称得出，即可求解． 【详解】（1）解：略． （2）设，两点的横坐标为， 当时， ∴ 解得：， ， ∴ 由， ∴ 解得： （3）解：∵，，都在这个二次函数的图象上，二次函数图象的对称轴为直线 ∴，关于直线对称 ∴ ∴ 将分别代入解析式得 ， ∵ ∴ 解不等式①得： 解不等式②得：或 ∴不等式组的解集为： ∵ ∴ $