专题04简单事件的概率6大题型35题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材浙教版

专题04 简单事件的概率 基础·固本强基 题型1 必然、随机、不可能事件辨析 题型2 必列举样本空间与等可能条件判断 题型3 列表法与树状图法求概率 提升·进阶突破 题型4 有放回与不放回的概率比较 题型5 频率估计概率与游戏公平性（难点） 拔高·压轴破难 题型6 多步随机试验的综合决策（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 必然、随机、不可能事件辨析（共5小题） 【模型】一定发生的是必然事件（P=1），一定不发生的是不可能事件（P=0），可能发生也可能不发生的是随机事件（0<P<1）。 【步骤】① 看给定条件下事件是否一定发生或一定不发生；② 据此归类为必然 / 不可能 / 随机；③ 随机事件的概率满足 0<P<1。 【易错】判断要看前提条件（如“标准大气压下”）；“可能性很小”不等于“不可能” 一、必然、随机、不可能事件辨析 1．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放天气预报 B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C．今年的除夕夜会下雪 D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次 【答案】B 【详解】解：A．打开电视机，正在播放天气预报，是随机事件，不符合题意． B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球，是不可能事件，符合题意． C．今年的除夕夜会下雪，是随机事件，不符合题意． D．任意抛掷一枚硬币次，正面朝上有次，是随机事件，不符合题意． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 【答案】C 【分析】根据事件发生的确定性，判断各选项的事件类型． 【详解】解：A.袋中只装有红球，不可能摸出黄球，为不可能事件； B.抛出的篮球一定会下落，为必然事件； C.抛掷质地均匀的骰子，可能掷出~的任意点数，掷出点数是可能发生也可能不发生，为随机事件； D.正数一定大于负数，为必然事件． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件为必然事件的是（     ） A．购买张彩票，一定中奖 B．刷微信小视频，立即出现心里想听的一首歌 C．三角形三个内角的和为度 D．一枚硬币抛掷次，一定有正面向上出现 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D中的事件均可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； 三角形三个内角的和为度，是必然成立的，属于必然事件，符合题意． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 【答案】C 【详解】解：A、B、太阳从东方升起、标准大气压下水在沸腾是必然事件； D、三角形内角和为，故三角形内角和为是不可能事件； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件． 5．（24-25六年级下·上海浦东新·期末）下列事件中，①车辆随机经过一个路口，遇到红灯；②三条线段首尾相连可以组成一个三角形；③13个学生中至少有2个人的生日在同一个月；④抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数；⑤小明向“豆包”问了一个问题，“豆包”给出了正确答案．确定事件的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件． 【详解】解：①车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，不是确定事件． ②三条线段首尾相连，可能组成三角形，也可能不能，是随机事件，不是确定事件． ③一年有个月，个学生中至少有个人的生日在同一月，是必然事件，属于确定事件． ④抛掷质地均匀的骰子，掷出的点数可能是质数，也可能不是，是随机事件，不是确定事件． ⑤小明向“豆包”提问，“豆包”给出的答案可能正确，也可能错误，是随机事件，不是确定事件． 综上，确定事件的个数为． 题型2 必列举样本空间与等可能条件判断（共6小题） 【模型】P(A)=事件 A 包含的结果数 ÷ 全部等可能结果数。 【步骤】① 列出所有等可能结果并数出总数 n；② 数出 A 包含的结果数 m；③ 用 P=m/n 计算并化简。 【易错】必须先确认结果“等可能”（均匀骰子、硬币、等分转盘才可以）；结果要不重不漏地数；概率不会大于 1。 6．（25-26九年级下·湖南长沙·自主招生）从中取三个不同的数，使它们的和能被3整除，且至少有一个是偶数，则不同的取法共有___________种． 【答案】 【分析】利用排除法，先计算所有和能被整除的取法，再减去三个都是奇数且和能被3整除的取法，即可得到结果. 【详解】解：先将按除以的余数分为三类：余的数有，共个，其中奇数个，偶数个；余的数有，共个，其中奇数个，偶数个；余的数有，共个，其中奇数个，偶数个； 三个数和能被整除的情况分为四类：三个都余；三个都余；三个都余；一个余一个余一个余， 三个都余的总取法：含有的组合有4个，含有的组合有3个，含有的组合有2个，含有的组合有1个，共个，即含有3的组合有10个； 同理含有6的组合（不含有3）有6个；含有9的组合（不含有3、6）有3个；含有12的组合（不含有3、6、9）有1个， 一共有个； 同理三个都余的组合有35种；三个都余的组合有35种；一个余一个余一个余的组合有294种； 总取法有种， 三个都是奇数且和能被3整除的取法： 其中被3整除的类中奇数组合有，1个； 被3除余1的类中奇数组合有、、、，共4个； 被3除余2的类中奇数组合有，1个； 从三列奇数中各取一个的取法有种， 全为奇数的取法共有种， 故至少有一个偶数的不同取法为：种. 7．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 【答案】9 【分析】根据要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球，再结合题目情境即可得答案． 【详解】解：要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球， ∴第一次摸到3个白球、1个绿球，摸了4个，第5个一定能摸到黑球，第二次先摸到2个黑球和1个绿球，摸了3个，第4个一定能摸到白球， ∴两回一共摸出的球最多为：（个）， ∴两回一共最多摸出9个球． 8．（25-26七年级下·云南昆明·开学考试）从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【答案】 【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数． 【详解】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个． 9．（2026·湖南张家界·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，乙出的卡片数字比甲大的概率是_________． 【答案】 【分析】所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共有种等可能的结果，其中乙出的卡片数字比甲大的结果有种，分别为，，，，，故乙出的卡片数字比甲大的概率为． 【详解】解：甲手中卡片数字为1，4，5，乙手中卡片数字为2，3，6， 两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共有种等可能的结果， 其中乙出的卡片数字比甲大的结果有种，分别为，，，，， 根据概率计算公式可得，乙出的卡片数字比甲大的概率为． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果抛掷四枚普通硬币，那么四枚硬币会呈现出多少种等可能的结果？其中，第一枚是“正面”的概率有多大？ 【答案】（1）抛掷四枚普通硬币共有16种机会均等的结果； （2）第一枚是“正面”的概率为． 【详解】解：每一枚硬币有正面、反面2 种等可能结果，4 枚硬币独立， 列举：(正，正，正，正)、(正，正，正，反)、(正，正，反，正)、(正，正，反，反)、(正，反，正，正)、(正，反，正，反)、(正，反，反，正)、(正，反，反，反)、(反，正，正，正)、(反，正，正，反)、(反，正，反，正)、(反，正，反，反)、(反，反，正，正)、(反，反，正，反)、(反，反，反，正)、(反，反，反，反)； 总结果数：16种； 各枚硬币出现正面或反面互不影响，第一枚为正面的情况有8种， ∴第一枚是“正面”的概率为． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）将A，B，C，D，E这五个字母分别写在5张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒子中．混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能的结果？它们是等可能的吗？ 【答案】会出现摸到写有字母A的纸条、写有字母B的纸条、写有字母C的纸条、写有字母D的纸条、写有字母E的纸条这5种可能的结果，它们是等可能的． 【详解】解：略． 题型3 列表法与树状图法求概率（共7小题） 【模型】两步试验用列表、三步及以上用树状图，把所有等可能结果列全，再数目标事件。 【步骤】① 分清每次试验的可能结果数；② 列表（或画树状图）列出全部结果；③ 数出符合条件的个数，用 m/n 求概率。 【易错】列表时重复或遗漏是最大问题；树状图每层分支数要数准；结果多时一定要列表或画图，别口算。 12．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举随机闭合两个开关的所有可能情况，分析每种情况下的电路通断及灯泡发光情况，利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中能让两个灯泡同时发光的情况为同时闭合，，有种情况， ∴能让两个灯泡同时发光的概率为． 13．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可． 【详解】解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种， ∴所求概率为． 14．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为，，2，6，将四张卡片正面向下洗匀． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是_________； (2)随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为非负数的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种， 故. （2）解：由题意画出树状图如下： 共16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上实数之和为非负数的结果有10种， ∴. 15．（25-26九年级上·云南德宏·期末）年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： (1)若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； (2)若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中选中“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数，计算即可. 【详解】（1）解：从四个舞蹈中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率为； （2）解：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个，画树状图如下： ∴共有种等可能的结果， 其中选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数有：，共种， ∴选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 16．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； (2)请补全条形统计图，由图可知m的值为______； (3)初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500；210 (2)补全条形统计图为： (3)甲、乙同时被选中的概率为 【分析】（1）用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数； （2）根据C等级人数补全条形统计图；用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：（名）， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为C级的学生人数为（名）； （2）解：图略， D等级人数所占的百分比为， 所以； （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果数为2种， 所以甲、乙同时被选中的概率为． 17．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． (1)甲抽到标有“”的卡片的概率为______； (2)求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据随机事件概率的定义进行计算即可； （2）先利用列表法将所有可能的结果列举出来，然后筛选符合题目要求的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：甲抽卡片一共有3种等可能的情况，分别是“”、“”、“”，则抽到“”的概率为； （2）解： 一共有９种等可能的情况，其中甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的情况有3种，则甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率为． 18．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1) (2)解：共有12种不同的游玩方案，理由如下： 可画树状图如下： 由树状图可得，所有结果出现的可能性相等，因此共有12种不同的游玩方案． 【分析】（1）确定总等可能结果数与符合条件的结果数，结合概率公式计算； （2）通过画树状图统计总数量． 【详解】（1）解： ∵ 从4个打卡点中随机选择1个，共有4种等可能的结果， 选择A西湖的结果有1种， ∴选择A西湖的概率为； （2）略 提升·进阶突破 题型4 有放回与不放回的概率比较（共6小题） 【模型】放回时每次总数不变（n×n）；不放回时第二次总数少 1（n×(n-1)，且没有“两次抽到同一个”的结果）。 【步骤】① 先判断是有放回还是不放回；② 用树状图列出全部结果；③ 分别数出目标事件个数，求概率后比较。 【易错】不放回时不能计入“两次抽到同一个”的结果；两种情形总数不同，分母千万别用错。 19．（25-26七年级下·云南昆明·开学考试）袋中有4个红球、3个蓝球、2个黄球．从袋中不放回地随机摸出2个球，摸出的两个球颜色不同的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列表法先得出所有可能得出的结果数，再得出两个球颜色不同的等可能的结果数，最后，再代入概率公式计算概率即可． 【详解】解：设红球分别为，，，，蓝球分别为，，，黄球分别为，， 根据题意列表如下： 根据表格可知，共有72种等可能的结果数，其中摸出的两个球颜色不同的等可能的结果数共有52种， 故摸出两个球颜色不同的概率为． 20．（26-27九年级下·全国·课后作业）将正面分别标有数字，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再随机抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意抽取为不放回类型，用列举法找出所有等可能结果，结合概率公式计算． 【详解】解：∵ 不放回抽取两张卡片组成两位数，共有6种等可能的结果，分别为12，13，21，23，31，32，其中恰好为12的结果有1种， ∴恰好为“12”的概率为． 21．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）八水绕长安，是形容长安城被八条河流环绕，形成了独特的水系景观．地理课上，地理老师准备了6个红球，8个蓝球和12个黑球（这些球除颜色不同外其余完全相同），分别用红球、蓝球、黑球表示八水中的渭河、泾河、沣河，将这些球放入不透明的箱子中摇匀，该班每个学生都从箱子中随机摸出一个球，记下小球的颜色后放回摇匀（每次仅一个同学摸球），根据摸出球的颜色所对应的河流名称分享该条河流的知识． (1)“该班的小君摸到白球”是___________事件；（“必然”“随机”或“不可能”） (2)分别求该班的小乐讲解渭河知识的概率和讲解泾河知识的概率． 【答案】(1)不可能 (2)小乐讲解渭河知识的概率为，小乐讲解泾河知识的概率为 【分析】（1）根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义，即可获得答案； （2）首先计算地理老师准备的球的总数，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：地理老师准备了6个红球，8个蓝球和12个黑球，没有白球， 所以，“该班的小君摸到白球”是不可能事件． （2）解：地理老师准备的球的总数为（个）， 所以该班的小乐讲解渭河知识的概率为， 该班的小乐讲解泾河知识的概率为． 22．（26-27九年级下·全国·课后作业）在一个不透明的口袋中有个除标号外完全相同的小球，它们的标号分别是，从袋中随机摸取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，求两次摸取的小球的标号之和为的概率（用列表法计算）． 【答案】两次摸取的小球的标号之和为的概率是 【分析】根据题意列表，由表格可知一共有种结果，其中两次摸取的小球的标号之和为的结果有种，代入概率公式计算即可得答案． 【详解】解：根据题意，列表如下： 第二次第一次 2 3 4 2 × (2,3) (2,4) 3 (3,2) × (3,4) 4 (4,2) (4,3) × 由表格可知一共有种等可能性的结果数，其中两次摸取的小球的标号之和为的结果数有，这种情况， ∴两次摸取的小球标号之和为的概率是． 23．（2022·湖南衡阳·模拟预测）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀． (1)从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率； (2)从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画树状图先确定所有可能的取球情况，再得到数字和为4的所有情况，结合概率公式求解即可； （2）画树状图先确定所有可能的取球情况，再得到数字和为4的所有情况，结合概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 从中不放回地任取两个球共有种情况， 其中两球数字和为的情况有和，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． （2）解：树状图如下： 从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，共有种取法， 两球数字和为的情况有、、，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． 24．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）学校组织“研学旅行”活动，班长手中的抽奖箱里共有8张景区门票：其中3张是天汉湿地公园的门票（记为A类），5张是兴汉胜境的门票（记为B类）．这些门票背面完全一样，洗匀后从中随机抽取一张． (1)如果班长先抽出一张天汉湿地公园的门票，看完后将其放回箱中，再次洗匀后抽取一张，求这次抽到天汉湿地公园门票的概率是多少？ (2)如果班长先抽出一张天汉湿地公园的门票，不放回箱中，并向箱中放入5张诸葛古镇的门票（记为C类），此时再从中抽取一张，求抽到兴汉胜境门票的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式解答即可； （2）根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：抽到天汉湿地公园门票的概率为． （2）解：班长先抽出一张天汉湿地公园的门票且不放回箱中，此时箱子里门票的总数变为张，兴汉胜境的门票数仍然是5张． 然后向箱中放入5张诸葛古镇的门票，此时箱子里门票的总数变为张，兴汉胜境的门票数仍然是5张． 所以抽到兴汉胜境门票的概率为． 题型5 频率估计概率与游戏公平性（共7小题） 【模型】大量重复试验时频率稳定在概率附近 → 用频率估计概率；游戏公平 ⇔ 双方获胜的概率相等。 【步骤】① 用频数÷总次数算频率；② 试验次数越多估计越可靠；③ 判公平：分别算双方获胜概率再比较是否相等。 【易错】频率不等于概率（只是估计）；判断公平要比较双方“各自的概率”，不是比结果种类数。 25．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（     ） A．7 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【分析】利用频率与概率的关系来估算袋子中红球的个数即可． 【详解】解：由题意得红球个数约为． 26．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【分析】由多次试验中频率稳定值近似等于概率，得到摸到黑球的概率，设出红球个数后根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为． 27．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】(1)0.6 (2)10 【详解】（1）解：根据表中数据，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； （2）解：估算盒子里原来约有白球（个）， ∵放入的x个球中白球只有1个， ∴， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 28．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：公平，理由如下： 共有8种等可能性结果，抽到数字是3的倍数的卡片有3，3，3，6共4种情况，抽到数字不是3的倍数的卡片有1，2，2，5共4种情况， （小强获得参赛名额）（小丽获得参赛名额）； 答：这个抽签方法对小强和小丽是公平的． 【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小强和小丽获得参赛名额的概率，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：（抽到数字2）． （2）略 29．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 【详解】略 30．（26-27九年级上·全国·单元测试）若n是一个两位数，且十位数字大于个位数字，则称n为“两位递增数”；若n的十位数字小于个位数字，则称n为“两位递减数”．在某次趣味活动中，甲、乙两人参加游戏，甲先从写了的卡牌中随机抽出一个卡牌，作为十位数字，放回卡牌后乙再从这堆卡牌中随机抽取一张卡牌，作为个位数字（卡牌除数字外完全相同）．游戏规定：若组成的数是“两位递增数”，则乙胜；若不是“两位递增数”，则甲胜． (1)用列表或画树状图法列出所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗?若公平，请说明理由；若不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平? 【答案】(1)根据题意可列下表： 甲 乙 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 (2)这个游戏不公平． 由（1）可知，共有种等可能的结果，其中组成的两位数n是“两位递增数”的结果有种， （乙胜）， （甲胜）， ， 这个游戏不公平． 修改规则：若组成的数是“两位递增数”，则乙胜； 若组成数的十位数字和个位数字相同，则平局； 若组成的数是“两位递减数”，则甲胜．（答案不唯一） 【分析】（1）用列表法列出全部等可能的结果； （2）由（1）统计“两位递增数”的个数，分别算出甲乙获胜概率，概率不相等则游戏不公平；修改规则让甲乙获胜对应的结果数量相等，实现公平． 【详解】（1）略 （2）略 31．（26-27九年级上·全国·单元测试）有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有及对应的等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． A： B： C： D： (1)用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用表示）； (2)小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？ 【答案】(1)          第1张 第2张 A B C D A B C D 所有情况共有12种：． (2)游戏不公平，这个规则对小强有利．理由如下： 上述四个等式中，对应的等式正确，对应的等式错误， 小明胜利包含的可能情况有：两种情况， 小强胜利包含的可能情况有种情况， ， （小明胜）（小强胜）， 这个规则对小强有利． 【分析】（1）列出所有等可能的抽取结果； （2）判断每张卡片上的等式是否成立，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏公平性． 【详解】（1）略 （2）略 拔高·压轴破难 题型6 多步随机试验的综合决策（共4小题） 【模型】多步试验 → 树状图列全结果 → 按决策规则（如“谁的概率大选谁”）比较各方案。 【步骤】① 画树状图（或用乘法数出总数）；② 分别算出各方案（或各结果）的概率；③ 按规则比较并给出决策建议。 【易错】多步时结果总数增长很快，容易数漏；决策要写明比较的是哪个概率，不能只给结论。 32．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 33．（2026·湖南长沙·二模）在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 【答案】A 【分析】分别计算A，B，C三个区域的方格总数和地雷数，利用概率公式求出在各区域点击一格踩到地雷的概率，比较大小即可得出结果． 【详解】解：雷区总方格数为个，地雷总数为颗， A区域方格数为个，地雷数为颗， 则在A区域随机点击一格，踩到地雷的概率， B区域方格数为个，地雷数为颗，则在B区域随机点击一格，踩到地雷的概率， A，B两个区域重叠个方格， 则A，B区域覆盖的未翻开方格总数为个， 已翻开的方格和②共个，且无雷， 所以C区域的方格数为个， 设A，B重叠的方格内地雷数为（为或）， 则A，B区域内的地雷总数为，即颗或颗， 所以C区域的地雷数为颗或颗， 则在C区域随机点击一格，踩到地雷的概率或， 因为，，且， 所以最大，故答案为 34．（2026·广东广州·二模）某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 【答案】(1)每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； (2)①，符合条件的方案有5个；②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为． 【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元，根据“购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元”列出方程组，解方程组即可； （2）①根据购买m枚国风书签和n个校徽钥匙扣的总费用列出m，n的数量关系，再根据m，n为正整数写出方案； ②根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元． 根据题意列方程组：， 解得， 答：每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； （2）解：①由（1）可知，国风书签单价2元，校徽钥匙扣单价3元，总费用33元， 可得：， ∴， 因为m，n都是正整数， 所以必须是正偶数， ∴时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因为每种奖品至少买一件）． 所以符合条件的方案有5个； ②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即， ∴，和，， ∵满足条件的方案有2个，总方案数为5个， ∴概率为：． 35．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． $专题04 简单事件的概率 基础·固本强基 题型1 必然、随机、不可能事件辨析 题型2 必列举样本空间与等可能条件判断 题型3 列表法与树状图法求概率 提升·进阶突破 题型4 有放回与不放回的概率比较 题型5 频率估计概率与游戏公平性（难点） 拔高·压轴破难 题型6 多步随机试验的综合决策（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 必然、随机、不可能事件辨析（共5小题） 【模型】一定发生的是必然事件（P=1），一定不发生的是不可能事件（P=0），可能发生也可能不发生的是随机事件（0<P<1）。 【步骤】① 看给定条件下事件是否一定发生或一定不发生；② 据此归类为必然 / 不可能 / 随机；③ 随机事件的概率满足 0<P<1。 【易错】判断要看前提条件（如“标准大气压下”）；“可能性很小”不等于“不可能” 1．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放天气预报 B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C．今年的除夕夜会下雪 D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件为必然事件的是（     ） A．购买张彩票，一定中奖 B．刷微信小视频，立即出现心里想听的一首歌 C．三角形三个内角的和为度 D．一枚硬币抛掷次，一定有正面向上出现 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 5．（24-25六年级下·上海浦东新·期末）下列事件中，①车辆随机经过一个路口，遇到红灯；②三条线段首尾相连可以组成一个三角形；③13个学生中至少有2个人的生日在同一个月；④抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数；⑤小明向“豆包”问了一个问题，“豆包”给出了正确答案．确定事件的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型2 必列举样本空间与等可能条件判断（共6小题） 【模型】P(A)=事件 A 包含的结果数 ÷ 全部等可能结果数。 【步骤】① 列出所有等可能结果并数出总数 n；② 数出 A 包含的结果数 m；③ 用 P=m/n 计算并化简。 【易错】必须先确认结果“等可能”（均匀骰子、硬币、等分转盘才可以）；结果要不重不漏地数；概率不会大于 1。 6．（25-26九年级下·湖南长沙·自主招生）从中取三个不同的数，使它们的和能被3整除，且至少有一个是偶数，则不同的取法共有___________种． 7．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 8．（25-26七年级下·云南昆明·开学考试）从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 9．（2026·湖南张家界·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，乙出的卡片数字比甲大的概率是_________． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果抛掷四枚普通硬币，那么四枚硬币会呈现出多少种等可能的结果？其中，第一枚是“正面”的概率有多大？ 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）将A，B，C，D，E这五个字母分别写在5张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒子中．混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能的结果？它们是等可能的吗？ 题型3 列表法与树状图法求概率（共7小题） 【模型】两步试验用列表、三步及以上用树状图，把所有等可能结果列全，再数目标事件。 【步骤】① 分清每次试验的可能结果数；② 列表（或画树状图）列出全部结果；③ 数出符合条件的个数，用 m/n 求概率。 【易错】列表时重复或遗漏是最大问题；树状图每层分支数要数准；结果多时一定要列表或画图，别口算。 12．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 13．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为，，2，6，将四张卡片正面向下洗匀． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是_________； (2)随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为非负数的概率． 15．（25-26九年级上·云南德宏·期末）年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： (1)若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； (2)若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 16．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； (2)请补全条形统计图，由图可知m的值为______； (3)初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 17．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． (1)甲抽到标有“”的卡片的概率为______； (2)求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 18．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 提升·进阶突破 题型4 有放回与不放回的概率比较（共6小题） 【模型】放回时每次总数不变（n×n）；不放回时第二次总数少 1（n×(n-1)，且没有“两次抽到同一个”的结果）。 【步骤】① 先判断是有放回还是不放回；② 用树状图列出全部结果；③ 分别数出目标事件个数，求概率后比较。 【易错】不放回时不能计入“两次抽到同一个”的结果；两种情形总数不同，分母千万别用错。 19．（25-26七年级下·云南昆明·开学考试）袋中有4个红球、3个蓝球、2个黄球．从袋中不放回地随机摸出2个球，摸出的两个球颜色不同的概率是（     ） A． B． C． D． 20．（26-27九年级下·全国·课后作业）将正面分别标有数字，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再随机抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（     ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）八水绕长安，是形容长安城被八条河流环绕，形成了独特的水系景观．地理课上，地理老师准备了6个红球，8个蓝球和12个黑球（这些球除颜色不同外其余完全相同），分别用红球、蓝球、黑球表示八水中的渭河、泾河、沣河，将这些球放入不透明的箱子中摇匀，该班每个学生都从箱子中随机摸出一个球，记下小球的颜色后放回摇匀（每次仅一个同学摸球），根据摸出球的颜色所对应的河流名称分享该条河流的知识． (1)“该班的小君摸到白球”是___________事件；（“必然”“随机”或“不可能”） (2)分别求该班的小乐讲解渭河知识的概率和讲解泾河知识的概率． 22．（26-27九年级下·全国·课后作业）在一个不透明的口袋中有个除标号外完全相同的小球，它们的标号分别是，从袋中随机摸取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，求两次摸取的小球的标号之和为的概率（用列表法计算）． 23．（2022·湖南衡阳·模拟预测）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀． (1)从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率； (2)从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率． 24．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）学校组织“研学旅行”活动，班长手中的抽奖箱里共有8张景区门票：其中3张是天汉湿地公园的门票（记为A类），5张是兴汉胜境的门票（记为B类）．这些门票背面完全一样，洗匀后从中随机抽取一张． (1)如果班长先抽出一张天汉湿地公园的门票，看完后将其放回箱中，再次洗匀后抽取一张，求这次抽到天汉湿地公园门票的概率是多少？ (2)如果班长先抽出一张天汉湿地公园的门票，不放回箱中，并向箱中放入5张诸葛古镇的门票（记为C类），此时再从中抽取一张，求抽到兴汉胜境门票的概率是多少？ 题型5 频率估计概率与游戏公平性（共7小题） 【模型】大量重复试验时频率稳定在概率附近 → 用频率估计概率；游戏公平 ⇔ 双方获胜的概率相等。 【步骤】① 用频数÷总次数算频率；② 试验次数越多估计越可靠；③ 判公平：分别算双方获胜概率再比较是否相等。 【易错】频率不等于概率（只是估计）；判断公平要比较双方“各自的概率”，不是比结果种类数。 25．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（     ） A．7 B．10 C．12 D．15 26．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 27．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 28．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 29．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 30．（26-27九年级上·全国·单元测试）若n是一个两位数，且十位数字大于个位数字，则称n为“两位递增数”；若n的十位数字小于个位数字，则称n为“两位递减数”．在某次趣味活动中，甲、乙两人参加游戏，甲先从写了的卡牌中随机抽出一个卡牌，作为十位数字，放回卡牌后乙再从这堆卡牌中随机抽取一张卡牌，作为个位数字（卡牌除数字外完全相同）．游戏规定：若组成的数是“两位递增数”，则乙胜；若不是“两位递增数”，则甲胜． (1)用列表或画树状图法列出所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗?若公平，请说明理由；若不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平? 31．（26-27九年级上·全国·单元测试）有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有及对应的等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． A： B： C： D： (1)用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用表示）； (2)小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？ 拔高·压轴破难 题型6 多步随机试验的综合决策（共4小题） 【模型】多步试验 → 树状图列全结果 → 按决策规则（如“谁的概率大选谁”）比较各方案。 【步骤】① 画树状图（或用乘法数出总数）；② 分别算出各方案（或各结果）的概率；③ 按规则比较并给出决策建议。 【易错】多步时结果总数增长很快，容易数漏；决策要写明比较的是哪个概率，不能只给结论。 32．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 33．（2026·湖南长沙·二模）在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 34．（2026·广东广州·二模）某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 35．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ $