专题01二次函数的图像与性质10大题型59题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材浙教版

专题01 二次函数的图像与性质 基础·固本强基 题型1 二次函数的识别及参数取值 题型2 由解析式识别开口、对称轴和顶点 题型3 抛物线上点的坐标及与坐标轴交点 提升·进阶突破 题型4 抛物线的轴对称及对称点计算 题型5 函数增减性与两个函数值比较 题型6 抛物线平移与解析式变化（重点） 题型7 给定自变量范围求函数最值（重点） 拔高·压轴破难 题型8 由图象判断a、b、c及组合式符号（重难点） 题型9 含参数二次函数图象位置问题（难点） 题型10 二次函数性质的恒成立参数问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的识别及参数取值（共6小题） 【模型】形如 y=ax²+bx+c（a≠0，整式）的函数是二次函数；含参数时要同时满足“最高次是 2”和“二次项系数不为 0”。 【步骤】① 把解析式整理成一般式；② 令二次项次数为 2（含参数就分类讨论）；③ 单独检验 a≠0，再写取值范围。 【易错】① 只记得看次数、漏掉 a≠0；② 解析式分母或根号里含字母时误判为二次函数；③ 参数使二次项消去时退化成一次函数，没单独说明。 1．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数的一次项系数是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 5．（26-27九年级上·陕西西安·期中）二次函数的二次项系数是______． 6．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）若函数是二次函数，则___________________． 题型2 由解析式识别开口、对称轴和顶点（共6小题） 【模型】开口看 a 的符号，对称轴 x=-b/(2a)，顶点在对称轴上；配方是最稳的通用办法。 【步骤】① 由 a>0（向上）、a<0（向下）定开口；② 用 x=-b/(2a) 求对称轴；③ 把 x 代入求顶点纵坐标，或直接配方成 y=a(x-h)²+k。 【易错】① 对称轴记成 b/(2a) 丢负号；② 顶点纵坐标 (4ac-b²)/(4a) 代入时符号算错；③ 配方后常数项配错，展开与原式对不上。 7．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．时，随x的增大而减小 D．顶点坐标 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（     ） A．向上，直线 B．向上，直线 C．向下，直线 D．向下，直线 9．（26-27九年级上·新疆巴州·期中）抛物线的对称轴是直线____． 10．（黑龙江大庆市肇源县西北联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）二次函数的顶点坐标是___________． 11．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）二次函数的开口_______．（填“向上”或“向下”） 12．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）已知二次函数，回答下列问题： (1)求的值及二次函数解析式． (2)求出该二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标． 题型3 抛物线上点的坐标及与坐标轴的交点（共6小题） 【模型】点在图象上⇔坐标满足解析式；与 x 轴交点令 y=0 解方程，与 y 轴交点令 x=0。 【步骤】① 代入已知横坐标求纵坐标（或反求）；② 令 y=0 解一元二次方程得与 x 轴交点；③ 令 x=0 得交点 (0,c)。 【易错】① 与 y 轴交点写成 (c,0)（应为 (0,c)）；② 方程无实根时说成“交点是 0 个”却仍硬算；③ 因式分解或求根公式出错、漏根。 13．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线与x轴的交点坐标是（     ） A． B．和 C．和 D．没有交点 14．（26-27九年级上·吉林·期中）抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为____________． 15．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 16．（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）已知二次函数． (1)求它的顶点坐标； (2)求它与 x 轴交点的坐标． 17．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 18．（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 提升·进阶突破 题型4 抛物线的轴对称及对称点计算（共6小题） 【模型】抛物线关于对称轴 x=h 成轴对称：对称的两点纵坐标相等，横坐标之和等于 2h。 【步骤】① 先求对称轴 x=h；② 用 (x₁+x₂)/2=h 求未知横坐标；③ 对称点的纵坐标与原点相同，直接抄过来。 【易错】① 把“关于 y 轴对称”与“关于对称轴对称”混为一谈；② 对称点横坐标写成 2h+x₁（应为 2h-x₁）；③ 误以为对称点纵坐标互为相反数。 19．（26-27九年级上·内蒙古通辽·期中）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 20．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）已知抛物线经过两个不同的点和，那么m的值是（     ） A．2 B． C．8 D． 21．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线经过和两点，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D．15 22．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为________． 23．（26-27九年级上·天津和平·期中）已知抛物线经过和两点，则的值为________． 24．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则________． 题型5 函数增减性与两个函数值比较（共6小题） 【模型】开口 + 对称轴决定增减性；比较两点函数值，本质是比这两点到对称轴的远近。 【步骤】① 定开口方向与对称轴；② 判断两点在对称轴同侧还是异侧；③ 同侧直接用增减性，异侧比到对称轴的距离（开口向上时离对称轴越远，函数值越大）。 【易错】① 不讲开口就套“离对称轴越远越大”；② 两点在对称轴异侧时直接比横坐标大小；③ 增减性区间写反（开口向下时对称轴左侧递增）。 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线经过点和点，则当随的增大而减小时，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 26．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 27．（26-27九年级上·山西朔州·期中）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 28．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）若点和在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 29．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是_________． （2）若，点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是_________． 30．（26-27九年级上·吉林长春·期中）已知一个二次函数． (1)将二次函数转化为的形式，并写出转化过程； (2)对称轴为直线_________； (3)随的增大而减小时自变量的取值范围为_________； (4)当时，的取值范围为_________； 题型6 抛物线平移与解析式变化（共6小题） 【模型】平移只改变顶点的位置、不改变开口与形状：顶点式 y=a(x-h)²+k 平移时只有 h、k 变，a 不变。 【步骤】① 先化成顶点式；② 按“左加右减（改 h）、上加下减（改 k）”平移；③ 检验：a 不变，顶点坐标按平移量核对。 【易错】① 左右平移符号搞反（左移 m 应为 x→x+m）；② 在一般式上直接改常数项导致开口跟着变；③ 先上下后左右与先左右后上下顺序不同时把中间量写错。 31．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）抛物线向右平移2个单位长度后，与y轴相交于点，则（     ） A． B． C． D． 32．（26-27九年级上·吉林·期中）把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线___________. 33．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·期中）将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是_____________． 34．（26-27九年级上·天津红桥·期中）将抛物线向上平移m个单位长度，若平移后的抛物线经过第一、第二、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 35．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为________ 36．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点A关于直线对称的点坐标是_________． 题型7 给定自变量范围求函数最值（共6小题） 【模型】区间最值 = 顶点值与两个端点值三者比大小；顶点在区间内才可能取到顶点值。 【步骤】① 求对称轴，判断它是否落在给定区间内；② 分别算出顶点和两个端点的函数值；③ 三者比较取最大、最小。 【易错】① 默认顶点就是最值点，不判断对称轴在不在区间内；② 闭区间忘算端点；③ 实际问题要求整数解时直接照抄顶点横坐标。 37．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数在范围内的最大值为8，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．（26-27九年级上·广东广州·期中）已知二次函数，当时，该函数的最大值是（     ） A． B． C． D． 39．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（，为常数）．当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则的值为（） A． B． C． D． 40．（26-27九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 41．（26-27九年级上·辽宁营口·期中）已知抛物线，当时，函数y的最大值为9，则m的值为________ 42．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数，当时，的取值范围是_________． 拔高·压轴破难 题型8 由图像判断a、b、c及组合式符号（共6小题） 【模型】开口定 a，与 y 轴交点定 c，对称轴位置定 b（左同右异）；组合式用特殊点的函数值代入。 【步骤】① 开口向上 a>0、向下 a<0；② 由对称轴 x=-b/(2a) 在 y 轴左/右侧判 b（左同右异）；③ c 是与 y 轴交点纵坐标；a+b+c 看 x=1 时的点，4a-2b+c 看 x=-2 时的点。 【易错】① b 的符号判反；② 组合式不会翻译成“某个特殊横坐标处的函数值”；③ 把 2a+b 这类式子孤立判断，不看对称轴与 ±1 的关系。 43．（26-27九年级上·山东淄博·期中）抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 44．（26-27九年级上·吉林松原·期中）如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④若一元二次方程没有实数根，则，其中正确结论的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 45．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于，两点．与轴相交于点．对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 46．（26-27九年级上·广东惠州·期中）二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③图象过点．其中正确的结论有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 47．（26-27九年级上·陕西榆林·期中）如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，小明观察该函数图象后，得出了下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 48．（26-27九年级上·河南省直辖县级单位·期中）已知二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”“”或“”） 题型9 含参数二次函数图像位置问题（共6小题） 【模型】含参图象先找“与参数无关的不变量”（定点、对称轴、开口），再按参数分类画草图。 【步骤】① 把解析式整理，找出不含参数的量（如恒过的定点）；② 按开口方向、对称轴左右、交点个数确定分类标准；③ 逐类画草图验证，取并集。 【易错】① 分类标准不唯一，出现重复或遗漏；② 参数在二次项系数时忘了 a=0 会退化成一次函数；③ 只算代数条件不画草图，导致范围端点出错。 49．（2026·山东德州·一模）已知某函数图像关于y轴对称，当，；当时，．若直线与这个函数图像有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（    ） A． B． C． D．或 50．（25-26九年级上·山东泰安·期中）若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 51．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数． (1)若它的图像过点，求此二次函数解析式． (2)当时，随的增大而增大，求的范围． (3)如果，，都在这个二次函数上，且，求的范围． 52．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）在二次函数中． (1)已知该函数图象经过，求这个二次函数的表达式． (2)当时，该二次函数图象与轴有且只有一个交点，求的范围． (3)如果，在该二次函数图象上，且，求的范围． 53．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于的二次函数（为常数） (1)求证：对于任意的实数，该二次函数图像与轴总有交点； (2)若此抛物线与轴有两个交点，一个交点在轴正半轴，另一个交点在轴负半轴，求的范围． 54．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数， (1)该函数与轴有两个交点，求的范围； (2)该函数图像与轴相交于两点，，求． 题型10 二次函数性质的恒成立参数问题（共5小题） 【模型】恒成立转化为最值条件：y≥0 恒成立 ⇔ 最小值≥0（或用 a>0 且 Δ≤0）；区间上恒成立必须看区间内的最小值。 【步骤】① 明确不等式方向与自变量范围；② 全局恒成立可用判别式，区间恒成立用顶点与端点的最值；③ 检验边界能否取等号。 【易错】① 用 Δ≤0 却忘了先要求 a>0；② 区间恒成立误用全局判别式；③ 端点处能否取等号没验证，范围多/少一个点。 55．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中给出四个点：，经过四个点中的三个点画二次函数的图象，对于画出的所有二次函数的图象，甲认为它们一定经过点，乙认为恒成立．两人的说法（    ） A．两人都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．两人都错 56．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）关于x的不等式恒成立，求a的范围______． 57．（26-27九年级上·天津和平·阶段检测）若对于一切实数x，不等式恒成立，则m的取值范围是_____________ 58．（24-25九年级上·山东滨州·期中）二次函数，若恒成立，则的取值范围是______． 59．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________． $专题01 二次函数的图像与性质 基础·固本强基 题型1 二次函数的识别及参数取值 题型2 由解析式识别开口、对称轴和顶点 题型3 抛物线上点的坐标及与坐标轴交点 提升·进阶突破 题型4 抛物线的轴对称及对称点计算 题型5 函数增减性与两个函数值比较 题型6 抛物线平移与解析式变化（重点） 题型7 给定自变量范围求函数最值（重点） 拔高·压轴破难 题型8 由图象判断a、b、c及组合式符号（重难点） 题型9 含参数二次函数图象位置问题（难点） 题型10 二次函数性质的恒成立参数问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的识别及参数取值（共6小题） 【模型】形如 y=ax²+bx+c（a≠0，整式）的函数是二次函数；含参数时要同时满足“最高次是 2”和“二次项系数不为 0”。 【步骤】① 把解析式整理成一般式；② 令二次项次数为 2（含参数就分类讨论）；③ 单独检验 a≠0，再写取值范围。 【易错】① 只记得看次数、漏掉 a≠0；② 解析式分母或根号里含字母时误判为二次函数；③ 参数使二次项消去时退化成一次函数，没单独说明。 1．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 2．（26-27九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数的一次项系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在二次函数中，一次项为，一次项系数是． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断二次函数需满足：表达式为整式、自变量最高次为2、二次项系数不为0，据此逐一分析选项． 【详解】解：A．中的最高次数为1，不符合要求； B．展开得，化简为，的最高次数为1，不符合要求； C．展开得，满足二次函数的所有条件，符合要求； D．表达式中含，不是整式，不符合要求． 4．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：由二次函数定义得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 5．（26-27九年级上·陕西西安·期中）二次函数的二次项系数是______． 【答案】 【详解】解：二次函数的一般形式为（），其中为二次项系数， 对比函数，其二次项为，对应的二次项系数为． 6．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）若函数是二次函数，则___________________． 【答案】 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得． 题型2 由解析式识别开口、对称轴和顶点（共6小题） 【模型】开口看 a 的符号，对称轴 x=-b/(2a)，顶点在对称轴上；配方是最稳的通用办法。 【步骤】① 由 a>0（向上）、a<0（向下）定开口；② 用 x=-b/(2a) 求对称轴；③ 把 x 代入求顶点纵坐标，或直接配方成 y=a(x-h)²+k。 【易错】① 对称轴记成 b/(2a) 丢负号；② 顶点纵坐标 (4ac-b²)/(4a) 代入时符号算错；③ 配方后常数项配错，展开与原式对不上。 7．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．时，随x的增大而减小 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小， ∵，即在范围内， ∴时，随的增大而减小， 故A、B、D选项错误，C选项正确． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（     ） A．向上，直线 B．向上，直线 C．向下，直线 D．向下，直线 【答案】B 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次项系数符号判断开口方向，确定对称轴与顶点坐标． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 9．（26-27九年级上·新疆巴州·期中）抛物线的对称轴是直线____． 【答案】 【分析】根据抛物线的一般式确定对应系数，代入对称轴公式计算即可． 【详解】解：对于二次函数（），其图象的对称轴为直线， 题目中抛物线的解析式为， 可得：，， 将、的值代入对称轴公式，可得：， 该抛物线的对称轴是直线． 10．（黑龙江大庆市肇源县西北联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】 【详解】解：， ∴顶点坐标为． 11．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）二次函数的开口_______．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【分析】根据二次函数二次项系数的符号判断开口方向，系数大于0开口向上，小于0开口向下． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为， ， 该二次函数的图像开口向下． 12．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）已知二次函数，回答下列问题： (1)求的值及二次函数解析式． (2)求出该二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】(1)，二次函数解析式为. (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. 【分析】（1）利用二次函数最高次项次数为2、二次项系数不为0的条件列方程与不等式，求解得到m的值，代入原式得解析式． （2）将二次函数一般式配方为顶点式，根据二次项系数符号判断开口方向，直接读取对称轴与顶点坐标． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 将代入原式，得； （2）解： ， ∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 题型3 抛物线上点的坐标及与坐标轴的交点（共6小题） 【模型】点在图象上⇔坐标满足解析式；与 x 轴交点令 y=0 解方程，与 y 轴交点令 x=0。 【步骤】① 代入已知横坐标求纵坐标（或反求）；② 令 y=0 解一元二次方程得与 x 轴交点；③ 令 x=0 得交点 (0,c)。 【易错】① 与 y 轴交点写成 (c,0)（应为 (0,c)）；② 方程无实根时说成“交点是 0 个”却仍硬算；③ 因式分解或求根公式出错、漏根。 13．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线与x轴的交点坐标是（     ） A． B．和 C．和 D．没有交点 【答案】C 【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 14．（26-27九年级上·吉林·期中）抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为____________． 【答案】3 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的实数根，已知其中一个交点的横坐标为-1，可通过根与系数的关系求解另一交点的横坐标m． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，可得一元二次方程的两个实数根为和， ∵该方程中二次项系数，一次项系数， ∴根据根与系数的关系，两根之和为， 即， ∴． 15．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 16．（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）已知二次函数． (1)求它的顶点坐标； (2)求它与 x 轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）化成顶点解析式求顶点坐标； （2）根据点的坐标特征，列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得， ∴与 x 轴交点的坐标为和． 17．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积直接计算的值； （2）根据抛物线开口向上且对称轴在轴右侧的性质，分类讨论对称轴与区间的位置关系，结合最值差列方程求解，舍去不符合范围的解即可． 【详解】（1）解： ∵ 抛物线与轴交点为，，且，， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴ ； （2）∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ， ∴ ， 分情况讨论： ① 当，即时， ∵ 在范围内，随的增大而减小， ∴ （时取得），（时取得）， ∵ 最大值与最小值的差为， ∴ ， 解得， ∵ ，与矛盾， ∴ 该情况舍去； ② 当，即时， ∵ 抛物线开口向上， ∴ 最小值在对称轴处取得，， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 整理得， 解得，； ∵ ， ∴ 符合条件， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 解得， ∵ ， ∴ 符合条件； 综上所述，的值为或 18．（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）令，则，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ∴该抛物线与轴的交点坐标为，． 提升·进阶突破 题型4 抛物线的轴对称及对称点计算（共6小题） 【模型】抛物线关于对称轴 x=h 成轴对称：对称的两点纵坐标相等，横坐标之和等于 2h。 【步骤】① 先求对称轴 x=h；② 用 (x₁+x₂)/2=h 求未知横坐标；③ 对称点的纵坐标与原点相同，直接抄过来。 【易错】① 把“关于 y 轴对称”与“关于对称轴对称”混为一谈；② 对称点横坐标写成 2h+x₁（应为 2h-x₁）；③ 误以为对称点纵坐标互为相反数。 19．（26-27九年级上·内蒙古通辽·期中）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵，抛物线的对称轴位于轴左侧， ∴， ，故A错误，该选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，即， ， ∴，故B正确，该选项符合题意； C、抛物线对称轴为，且过点，根据对称性，抛物线与轴的另一个交点为， 当 时，，故C错误，该选项不符合题意； D、，， 点与关于对称轴对称， ，故D错误，该选项不符合题意． 20．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）已知抛物线经过两个不同的点和，那么m的值是（     ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由两点纵坐标相同可知两点关于抛物线对称轴对称，结合抛物线对称轴求解的值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为轴，点和的纵坐标均为， ∴点与点关于轴对称， ∵、是不同的点， ∴． 21．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线经过和两点，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D．15 【答案】A 【分析】由两点纵坐标相同可知对应函数值相等，代入解析式列方程即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴， 整理得， 解得． 22．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为________． 【答案】5 【分析】确定二次函数的对称轴为y轴，利用函数值相等的两个不同自变量对应的点关于对称轴对称的性质，推导得到的取值，再代入解析式计算对应函数值 【详解】解：在中，其对称轴为直线， 当取、时对应的函数值相等， ∴、对应的点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当时，代入解析式得，． 23．（26-27九年级上·天津和平·期中）已知抛物线经过和两点，则的值为________． 【答案】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线的对称轴对称，可先计算对称轴位置，再结合抛物线对称轴公式建立等式求解参数． 【详解】解：∵ 点和在抛物线上，且两点纵坐标相等， ∴ 对称轴为直线， 对于抛物线，其对称轴为直线， ∴，解得． 24．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则________． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，根据表格中的数据，利用对称性求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， ∴； 故答案为：0． 题型5 函数增减性与两个函数值比较（共6小题） 【模型】开口 + 对称轴决定增减性；比较两点函数值，本质是比这两点到对称轴的远近。 【步骤】① 定开口方向与对称轴；② 判断两点在对称轴同侧还是异侧；③ 同侧直接用增减性，异侧比到对称轴的距离（开口向上时离对称轴越远，函数值越大）。 【易错】① 不讲开口就套“离对称轴越远越大”；② 两点在对称轴异侧时直接比横坐标大小；③ 增减性区间写反（开口向下时对称轴左侧递增）。 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线经过点和点，则当随的增大而减小时，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两点坐标代入抛物线解析式求出与的值，再结合抛物线的开口方向和对称轴确定随增大而减小的的取值范围． 【详解】解：将点和代入， 得，解得， ∴抛物线解析式为， ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 26．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为直线，结合点到对称轴的距离的大小可得结论. 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴点到对称轴的距离满足， ∵， ∴点到对称轴的距离满足， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ∴. 27．（26-27九年级上·山西朔州·期中）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可以结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的水平距离来判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为； ， ． 28．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）若点和在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先求二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较两点到对称轴的距离判断与的大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为. ∵ ， ∴ 抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为. ∵ ， ∴ ． 29．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是_________． （2）若，点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线顶点坐标公式直接求解． （2）当时，先确定抛物线方程，再表示点A的坐标，由轴得出点B的坐标，计算的长度并化简，分析二次函数的增减性确定a的取值范围． 【详解】解：（1）抛物线中， ，，， 顶点横坐标， 代入得， 故顶点坐标为， 故答案为：； （2）当时，抛物线为， 点在抛物线上，故， 轴，与直线相交于点B， B点坐标为， 的长度为， ， 恒成立， ， 令，为开口向上的二次函数， 顶点横坐标， 当时，随a增大而减小，即随a增大而减小， 故a的取值范围为， 故答案为：． 30．（26-27九年级上·吉林长春·期中）已知一个二次函数． (1)将二次函数转化为的形式，并写出转化过程； (2)对称轴为直线_________； (3)随的增大而减小时自变量的取值范围为_________； (4)当时，的取值范围为_________； 【答案】(1) 解： ； (2) (3) (4) 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线； ∴当时，随的增大而减小； （4）解：∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线； ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为；当时，函数值最大为4； ∴的取值范围为. 题型6 抛物线平移与解析式变化（共6小题） 【模型】平移只改变顶点的位置、不改变开口与形状：顶点式 y=a(x-h)²+k 平移时只有 h、k 变，a 不变。 【步骤】① 先化成顶点式；② 按“左加右减（改 h）、上加下减（改 k）”平移；③ 检验：a 不变，顶点坐标按平移量核对。 【易错】① 左右平移符号搞反（左移 m 应为 x→x+m）；② 在一般式上直接改常数项导致开口跟着变；③ 先上下后左右与先左右后上下顺序不同时把中间量写错。 31．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）抛物线向右平移2个单位长度后，与y轴相交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将抛物线用配方法配为顶点式，然后确定抛物线向右平移个单位后的函数表达式，再令，即可求出值． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向右平移2个单位后，解析式为， 令，得，即． 32．（26-27九年级上·吉林·期中）把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线___________. 【答案】 【分析】根据抛物线平移时顶点坐标的变化规律，结合二次项系数不变的特点，利用顶点式推导平移后的解析式. 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ∵向左平移1个单位长度时，顶点横坐标减1，向下平移2个单位长度时，顶点纵坐标减2 ∴平移后新抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线平移过程中二次项系数保持不变 ∴新抛物线的解析式为 33．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·期中）将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是_____________． 【答案】 【分析】先将原抛物线的一般式配方为顶点式，再依据抛物线平移的“上加下减、左加右减”规则逐步计算，平移过程中二次项系数保持不变． 【详解】解：∵， ∴将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是． 34．（26-27九年级上·天津红桥·期中）将抛物线向上平移m个单位长度，若平移后的抛物线经过第一、第二、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】4（满足即可） 【分析】将原抛物线配方得到平移后的解析式，结合开口向上的抛物线图象性质，根据经过的象限推导参数取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：先将原抛物线解析式配方，， ∵向上平移个单位长度， ∴根据平移规则，平移后的抛物线解析式为． ∵该抛物线二次项系数为，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵平移后的抛物线经过第一、第二、第四象限， ∴抛物线需存在的部分，即顶点纵坐标小于0． ∴． 解得． ∵抛物线不能经过第三象限（第三象限为且的区域），且抛物线在对称轴左侧（时），随的减小而增大， ∴时的函数值大于时的函数值， ∴要使时函数值均非负，只需时的函数值． 将代入平移后的解析式，得， ∴． 解得． 综上，的取值范围是，任取该范围内的一个值即可，例如． 35．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为________ 【答案】 【分析】根据二次函数平移法则进行计算，得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：， ∵先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴． 36．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点A关于直线对称的点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”得到平移后的解析式，再找到顶点的对称点解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为， 则新抛物线的顶点的坐标为， 点关于直线对称的点坐标是，即. 题型7 给定自变量范围求函数最值（共6小题） 【模型】区间最值 = 顶点值与两个端点值三者比大小；顶点在区间内才可能取到顶点值。 【步骤】① 求对称轴，判断它是否落在给定区间内；② 分别算出顶点和两个端点的函数值；③ 三者比较取最大、最小。 【易错】① 默认顶点就是最值点，不判断对称轴在不在区间内；② 闭区间忘算端点；③ 实际问题要求整数解时直接照抄顶点横坐标。 37．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数在范围内的最大值为8，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，在范围内，，，， ∴ 当时，取得最大值， ∵ 函数在范围内的最大值为， ∴ ， 解得. 38．（26-27九年级上·广东广州·期中）已知二次函数，当时，该函数的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合x的取值范围，通过比较区间端点到对称轴的距离确定最大值位置，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． 在范围内， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∴当时，函数取得最大值， 此时． 39．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（，为常数）．当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个取值范围的最大值大小关系，从而判断对称轴位置，进而求解b，c的值． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线． ∵当时的最大值为7，当时的最大值3， ∴函数的顶点在的范围内，即，． ∵当时，函数图象在对称轴左侧，该范围内最大值在处取得， ∴时，． ∵顶点处的最大值为7， ∴， ∴． 将代入，得， 解得（负值舍去）， ∴． 40．（26-27九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 【答案】0 【分析】已知二次函数的常数项与顶点坐标，通过待定系数法求出函数解析式，结合抛物线开口方向、对称轴与给定x的取值范围的位置关系，确定给定x的取值范围内的最大值m和最小值n，进而计算的值． 【详解】解：∵二次函数（为常数，）的顶点坐标为 ∴列方程组． 解得． ∴二次函数的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 则在范围内，自变量的值到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． ∵，， ∴当时，函数取得最小值． 代入计算得． ∵开口向下的抛物线顶点为最高点，且顶点横坐标在范围内， ∴当时，函数取得最大值． ∴． 41．（26-27九年级上·辽宁营口·期中）已知抛物线，当时，函数y的最大值为9，则m的值为________ 【答案】 【分析】先将抛物线化为顶点式确定开口方向与对称轴，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线，该函数的最小值为 1， 当时，，此时最大值为处的函数值，即 ， 解得（舍去），； 当时，，此时最大值为处的函数值，即 ， 解得（舍去），； 综上所述，m的值为． 42．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数，当时，的取值范围是_________． 【答案】 【分析】通过判断，二次函数开口方向向下，对称轴是轴，再结合的取值范围找到的范围内的最大值和最小值即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 即当时，取得最大值， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小； 由于， 当时，代入得， 当时，代入得， 当时，y的取值范围是． 拔高·压轴破难 题型8 由图像判断a、b、c及组合式符号（共6小题） 【模型】开口定 a，与 y 轴交点定 c，对称轴位置定 b（左同右异）；组合式用特殊点的函数值代入。 【步骤】① 开口向上 a>0、向下 a<0；② 由对称轴 x=-b/(2a) 在 y 轴左/右侧判 b（左同右异）；③ c 是与 y 轴交点纵坐标；a+b+c 看 x=1 时的点，4a-2b+c 看 x=-2 时的点。 【易错】① b 的符号判反；② 组合式不会翻译成“某个特殊横坐标处的函数值”；③ 把 2a+b 这类式子孤立判断，不看对称轴与 ±1 的关系。 43．（26-27九年级上·山东淄博·期中）抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线对称轴为直线，且经过点，即可得出，根据图象可得，，即可判断①，根据抛物线与轴有两个交点，得出，即可判断②，根据和关于对称轴对称，得出，即可判断③，根据，代入，即可判断④，根据当时，最大值，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，经过点， ， ， 结合图象可得， ∴，， ∴，故①正确， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，，故②正确， ∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③错误， ， ∴，故④错误， 当时，最大值， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确， 故正确的有3个. 44．（26-27九年级上·吉林松原·期中）如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④若一元二次方程没有实数根，则，其中正确结论的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐一判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故结论①不正确； ∵顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴， 故结论②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点为， ∴的最大值是2， ∵一元二次方程没有实数根， ∴，故结论④正确； 综上，正确结论为②③④，共3个． 45．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于，两点．与轴相交于点．对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用 时的函数值判断②；结合 确定点 坐标，代入解析式推导③，将点代入可得，将代入即可推导④． 【详解】解： ∵抛物线开口向下，与 轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线 ， ∴， 即 ， ∴，故①正确； 由图象可知，当 时，， ∴， ∵， ∴， 即 ，故②错误； ∵，， ， ∵， ∴， 由图象可知， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 将点代入函数得：， ∵， ∴， 则， 将代入函数得：， ∴关于的方程有一个根为，故④正确． 综上可知，正确的有①③④． 46．（26-27九年级上·广东惠州·期中）二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③图象过点．其中正确的结论有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标；根据时图象的位置判断函数值的符号； 【详解】解：由抛物线开口向下，得， 由对称轴为直线，得，即， 由抛物线与轴交点在轴上方，得， ，故①错误； 抛物线过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为，故③正确； 由图象可知，当时，， 当时，，故②错误； 综上所述，正确的结论有1个． 47．（26-27九年级上·陕西榆林·期中）如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，小明观察该函数图象后，得出了下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】①由图象得，，再结合对称轴即可判断；②图象与轴有两个交点，即可判断；③由图象得当时，，即可判断；④由对称轴为直线得，即可判断；⑤当时，图象既有部分在轴上方，也有部分在轴下方，即可判断． 【详解】解：①由图象得，， ， ， ， 故此项错误； ②由图象得，图象与轴有两个交点， ； 故此项正确； ③由图象得， 当时，； ； 故此项正确； ④对称轴为直线， ， ， 故此项错误； ⑤当时，图象既有部分在轴上方，也有部分在轴下方， 有，也有， 故此项错误； 故正确的个数有个． 48．（26-27九年级上·河南省直辖县级单位·期中）已知二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】首先确定函数图象的对称轴，其次利用对称性，将时的函数值转化为时的函数值，结合图象进行判断． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相同， 由函数图象可知当时，， ∴当时，， ∴． 题型9 含参数二次函数图像位置问题（共6小题） 【模型】含参图象先找“与参数无关的不变量”（定点、对称轴、开口），再按参数分类画草图。 【步骤】① 把解析式整理，找出不含参数的量（如恒过的定点）；② 按开口方向、对称轴左右、交点个数确定分类标准；③ 逐类画草图验证，取并集。 【易错】① 分类标准不唯一，出现重复或遗漏；② 参数在二次项系数时忘了 a=0 会退化成一次函数；③ 只算代数条件不画草图，导致范围端点出错。 49．（2026·山东德州·一模）已知某函数图像关于y轴对称，当，；当时，．若直线与这个函数图像有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先利用函数关于轴对称的性质，画出函数图象，联立直线与抛物线解析式，通过判别式确定的值，结合图象分析得到的取值范围． 【详解】∵函数图象关于轴对称， 且当，；当时，． 由此可得函数图像如图： 根据图像可知，直线与这个函数图像有三个交点， 且直线与抛物线只有一个交点时， 直线与这个函数图像有三个交点， 联立直线与抛物线， 得，整理得， 判别式，解得， 此时直线方程为， 只有直线位于直线与中间时，有四个交点， 故当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 50．（25-26九年级上·山东泰安·期中）若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先得出关于的方程有两个不相等的实数根，且，利用一元二次方程根的判别式可得，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，则，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，且， ∴这个方程根的判别式， ∴， 又∵关于的方程的两根，均为正实数， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 51．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数． (1)若它的图像过点，求此二次函数解析式． (2)当时，随的增大而增大，求的范围． (3)如果，，都在这个二次函数上，且，求的范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数图形的性质，运用待定系数法，二次函数的单调性，及二次函数的对称性推导参数的取值范围． （）已知二次函数的图像过点，将点的坐标代入函数解析式即可求出a的值，进而得到二次函数解析式； （）根据二次函数的对称轴公式，结合函数在时的单调性，随的增大而增大，确定的取值范围； （）依据二次函数的对称性(纵坐标相同的点关于对称轴对称)，先求出对称轴，再结合点的坐标关系以及的条件，确定a的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中，可得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数的对称轴为， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，且对称轴， ∴； （3）解：∵二次函数的对称轴为， ∵，，都在这个二次函数上，且和的纵坐标相同， ∴和关于对称轴对称， ∴，即， 因此距离对称轴均为2个单位， ∵，且， ∴点的横坐标与对称轴的距离为， ∴当时，， ∴， 解得， 当时，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大， 等价于点比点离对称轴更近，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即， 解得； 当时，开口向下，函数值随离对称轴距离增大而减小， 等价于点比点离对称轴更远，即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 解得， 综上，的范围为或． 52．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）在二次函数中． (1)已知该函数图象经过，求这个二次函数的表达式． (2)当时，该二次函数图象与轴有且只有一个交点，求的范围． (3)如果，在该二次函数图象上，且，求的范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得顶点坐标为，根据题意得到，结合图象得到保证在处不在x轴上方，保证在处在x轴上方，据此列出不等式即可求解； （3）由，，结合，求得，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为，恒在轴下方， ∵该二次函数图象与轴有且只有一个交点， ∴开口向上，即， 要满足时与x轴有且只有一个交点，需满足： 当时， (保证在处不在x轴上方)，解得； 当时，(保证在处在x轴上方)，解得； ∴； （3）解：将代入函数得， ∴， ∵， ∴，解得或， 将代入函数得， ∵， ∴， ∴， 当时，则， ∴，解得或， 当时，则； 当时，则或； 当时，则， ∴，解得， 当时，则； 当时，则； 综上，当时，或；当时，． 即． 53．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于的二次函数（为常数） (1)求证：对于任意的实数，该二次函数图像与轴总有交点； (2)若此抛物线与轴有两个交点，一个交点在轴正半轴，另一个交点在轴负半轴，求的范围． 【答案】(1) 证明：，当时， ， ∴． ∴此抛物线与x轴总有交点； (2) 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点和解一元二次方程， （1）令，得出一元二次方程，然后求出方程中判别式的值，即可证明结论； （2）令，得出一元二次方程，然后对方程分解因式，又因一个交点在轴正半轴，另一个交点在轴负半轴，从而可以求得符合要求的正整数m的值． 【详解】（1）略 （2）解：令，则 ∴， 所以或， 解得，， 因为抛物线与x轴有两个交点，一个交点在轴正半轴，另一个交点在轴负半轴， ∴． 54．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数， (1)该函数与轴有两个交点，求的范围； (2)该函数图像与轴相交于两点，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用二次函数图像与轴交点个数和判别式的关系列不等式求解； （2）结合根与系数的关系与轴上两点距离的计算方法建立方程求解． 【详解】（1） 解：∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； （2）解：设点，，则方程的两根为，， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ，即，解得． 题型10 二次函数性质的恒成立参数问题（共5小题） 【模型】恒成立转化为最值条件：y≥0 恒成立 ⇔ 最小值≥0（或用 a>0 且 Δ≤0）；区间上恒成立必须看区间内的最小值。 【步骤】① 明确不等式方向与自变量范围；② 全局恒成立可用判别式，区间恒成立用顶点与端点的最值；③ 检验边界能否取等号。 【易错】① 用 Δ≤0 却忘了先要求 a>0；② 区间恒成立误用全局判别式；③ 端点处能否取等号没验证，范围多/少一个点。 55．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中给出四个点：，经过四个点中的三个点画二次函数的图象，对于画出的所有二次函数的图象，甲认为它们一定经过点，乙认为恒成立．两人的说法（    ） A．两人都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．两人都错 【答案】C 【分析】先判断能构成二次函数的三点组合，再分别判断甲、乙说法的正误即可。 【详解】解：∵ ，，三点都在直线上，三点共线，无法确定二次函数， ∴ 能确定二次函数的三点组合为：，，， 其中组合不含点，代入三点坐标求得解析式为，当时，，说明该二次函数不经过点，因此甲的说法错误； 分别计算三个组合对应二次函数的判别式： 对组合：； 对组合：求得解析式为，； 对组合：求得解析式为，； ∴ 所有二次函数都满足，乙的说法正确； 综上，甲错，乙对． 56．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）关于x的不等式恒成立，求a的范围______． 【答案】或 【分析】本题考查含参数的二次不等式恒成立问题，涉及二次函数的开口分析、判别式及分类讨论思想．先讨论当时及当时，不等式的解集情况．再讨论当且时，不等式可看作抛物线在x轴上方相对应的自变量的取值，只有当抛物线开口向上，与x轴没有交点时，不等式才恒成立，据此即可求解． 【详解】解：当时，不等式化为，恒成立，但不是关于x的不等式； 当时，不等式化为，不恒成立； 当且时，要使不等式恒成立，则 ， 解得或， 综上所述，a的取值范围为或． 57．（26-27九年级上·天津和平·阶段检测）若对于一切实数x，不等式恒成立，则m的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】分三种情况：①，②，③，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①当时，不等式为，恒成立； ②当时，关于的二次函数图象的开口向上， ∴不存在对于一切实数，不等式恒成立； ③当时，关于的二次函数图象的开口向下， ∴要使对于一切实数，不等式恒成立，只需这个二次函数的最大值，即， ∴此时； 综上，的取值范围是． 58．（24-25九年级上·山东滨州·期中）二次函数，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数化为顶点式，根据恒成立，得到关于m的不等式，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数，且， ∴二次函数的图象开口向上，时，函数有最小值，且最小值为， ， ∴， 解得：， 故答案为：． 59．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据题意，对进行分类讨论，再根据函数的性质，逐个求出满足条件的的取值范围即可． 【详解】解：第一种情况，当时，函数为， 当时，，不符合题意； 第二种情况，当时，函数为， 开口向上，对称轴为直线，即当时，随的增大而增大， 当时，，解得，不符合题意； 第三种情况，当时，函数为， 开口向下，对称轴为直线，顶点， 当时，即， 若，则，解得，符合题意； 当时，即， 当时，随的增大而增大， 当时，，解得， ， 不存在； 综上可得：． 故答案为：． $