专题07比例线段与相似三角形判定9大题型52题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材浙教版

专题07 比例线段与相似三角形判定 基础·固本强基 题型1 成比例线段与比例基本性质 题型2 平行线分线段成比例求值 题型3 利用两角对应相等判定相似 提升·进阶突破 题型4 两边成比例且夹角相等判定相似 题型5 三组对应边成比例判定相似 题型6 已知相似关系求对应边角 题型7 相似比、周长比和面积比 拔高·压轴破难 题型8 相似多边形对应边与面积综合（重点） 题型9 位似中心和坐标变换（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 成比例线段与比例基本性质（共6小题） 【模型】a/b=c/d ⇔ ad=bc；还可设比值为 k 把各量统一表示，便于代入。 【步骤】① 写出比例式（注意先后顺序）；② 交叉相乘转化为等积式；③ 需要时设 a=kb、c=kd 代入求解。 【易错】① 四条线段单位不统一就直接比；② 比例顺序写错导致对应关系错；③ 忽略线段长为正、分母不为 0。 一、成比例线段与比例基本性质 1．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）下面四组线段中，不成比例的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、4、6 2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·广东深圳·期中）若，则___． 4．（26-27九年级上·陕西西安·期中）已知，则_____________． 5．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知线段，，则，的比例中项线段为__________． 6．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的值． 题型2 平行线分线段成比例求值（共6小题） 【模型】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；三角形中平行于一边的直线截另外两边，所得线段对应成比例。 【步骤】① 找出平行线与两条截线；② 按“上比下 = 上比下”或“上比全 = 上比全”统一形式写比例式；③ 代入已知数求解。 【易错】① 对应关系搞错（左边用“上:下”、右边却用“上:全”）；② 截线方向不一致导致线段配错；③ 用成比例线段时漏了某一段。 7．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，，与相交于点．若直线之间的距离相等，，则下列比例式中，不成立的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（     ）． A．9 B．7 C．5 D．6 10．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知：如图，直线，直线、分别与直线、、交于点、、和点、、，，、，则________． 11．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，，，则的长为______． 12．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，一组平行直线，，与直线，分别交于点，，和，，．若，，求的长． 题型3 利用两角对应相等判定相似（共6小题） 【模型】两组角对应相等的两个三角形相似（AA），这是最常用的判定。 【步骤】① 找第一组等角（公共角、对顶角、平行线得到的同位角/内错角）；② 找第二组等角（常由同弧的圆周角、直角、平行关系得到）；③ 写相似时注意顶点对应顺序。 【易错】① 只有一组等角就判定相似；② 相似符号中顶点顺序不对应，导致后面比例式全错；③ 等角依据没写明。 13．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．求证：． 14．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，点D在边上，．点E在边上，．求证：． 15．（26-27九年级下·全国·课后作业）如下图，在中，E为上一点，连接，点F在线段上，且满足．求证：． 16．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 17．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 提升·进阶突破 题型4 两边成比例且夹角相等判定相似（共7小题） 【模型】两边对应成比例且夹角相等（SAS），两三角形相似；必须是夹角。 【步骤】① 找出相等的一组角；② 计算夹这组角的两组边的比是否相等（先化简）；③ 判定相似并写出对应关系。 【易错】① 用了非夹角（类似 SSA）判定相似；② 两边的比的“方向”写反（应同为“小三角形:大三角形”）；③ 比值未化简看不出相等。 19．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 20．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：． 21．（26-27九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． (1)若，则与是否相似？为什么？ (2)若，则与是否相似？为什么？ 22．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 23．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，．求证：． 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，，，，．求证：． 题型5 三组对应边成比例判定相似（共6小题） 【模型】三组边对应成比例（SSS）则相似；先按大小排序再配对最稳。 【步骤】① 把两个三角形的三边分别按长短排序；② 计算对应边的比并化成最简；③ 三个比一致则相似。 【易错】① 不排序导致对应关系配错；② 比值未化简（如 2/3 与 4/6）误判为不相等；③ 边长含根号时不会化简比。 26．（26-27九年级上·全国·单元复习）若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 27．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，．判断与是否相似，并说明理由． 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 29．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 30．（26-27九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，，分别是，，的中点．求证：． 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知．求证：． 题型6 已知相似关系求对应边角（共5小题） 【模型】相似三角形的对应角相等、对应边成比例，先由相似符号确定对应关系再列式。 【步骤】① 由相似符号（如 △ABC∽△DEF）读出对应顶点；② 列比例式求未知边；③ 角直接写相等，必要时结合内角和。 【易错】① 对应顶点找错，比例式全盘皆错；② 比例式列反（大比小与小比大混用）；③ 图形中有多组相似时张冠李戴。 32．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知，若、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 33．（2027九年级下·全国·专题练习）将三角形纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若与相似，则的长是_____． 34．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 35．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，D是边上一点，． (1)求证： (2)若，求的长． 36．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型7 相似比、周长比和面积比（共5小题） 【模型】相似比为 k 时，周长比 = k，面积比 = k²；反过来由面积比求相似比要开平方。 【步骤】① 先确定相似比（注意是谁比谁）；② 周长比等于相似比；③ 面积比等于相似比的平方，逆向时开方取正。 【易错】① 面积比忘了平方（或把 k² 当成 k）；② 相似比的顺序写反；③ 由面积比反求线段比时忘了开方。 37．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，则和的相似比是（     ） A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 39．（26-27九年级下·全国·课后作业）两个相似三角形的相似比是，已知其中一个三角形的一条高线长度为10，那么另一个三角形对应的高线长度是______． 40．（2024·上海普陀·一模）如图，在中，，是边上的高，如果，，那么与的相似比________． 41．（21-22九年级上·湖南怀化·期末）已知△ABC∽△DEF，相似比是1∶3，则面积比S△ABC∶S△DEF=________． 拔高·压轴破难 题型8 相似多边形对应边与面积综合（共6小题） 【模型】相似多边形对应角相等、对应边成比例，面积比等于相似比的平方。 【步骤】① 判定相似（角分别相等且边成比例，两者都要）；② 用对应边之比求未知边长；③ 用面积比求面积，注意开方与平方的方向。 【易错】① 只满足边成比例就判定多边形相似（如菱形与正方形）；② 面积比与边长比混用；③ 对应关系找错。 42．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，于，矩形、矩形的顶点分别在、的三边上，且矩形矩形．已知下列某个选项中的线段之比可求两矩形的相似比，则这个选项是（    ） A． B． C． D． 43．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，矩形中，，连接，的中点，矩形矩形，则的长为__________；连接，，作矩形使其顶点都在的边上，当点，，三点共线时，矩形的面积为__________． 44．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 45．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图，在矩形中，点P是边上一动点，连接，作于点H，作于点E，作直线于点F，交于点G．已知：，． （1）若点E，F分别为的中点时，记矩形的面积为，矩形的面积为，则的值为________； （2）在点P的运动过程中，若，矩形与矩形相似，则n的值为________． 46．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点A落在点H处， 折痕为； 使边落在边上， 点B落在点G处， 折痕为． 若矩形与原矩形相似，， 则的长为____________． 47．（23-24八年级下·山东淄博·期末）将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 题型9 位似中心和坐标变换（共5小题） 【模型】位似图形对应点的连线都经过位似中心，对应边平行，对应点到位似中心的距离之比等于相似比的绝对值；以原点为位似中心时坐标直接乘 k。 【步骤】① 确定位似中心与相似比 k（注意正负）；② 以原点为位似中心时把横纵坐标都乘 k；③ k<0 时对应点在中心另一侧。 【易错】① k 为负时方向画错；② 位似中心不是原点时仍直接把坐标乘 k；③ 把位似与平移、一般相似混淆。 48．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点D的坐标是__________． 49．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 50．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为____________． 51．（25-26七年级下·广东广州·期末）广州市人民公园内一环形人行步道大致呈长方形ABCD，已知AB边长度约为150米，BC边长度约为210米．某公司通过审批后，在现公园内进行两台马拉松人形机器人的性能测试，机器人甲从A点出发，沿着的顺时针方向跑，机器人乙从B点出发，沿着的逆时针方向跑步．若以点A为原点，AB、AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系（如图），当机器人乙的速度是机器人甲的速度2倍时，测得两台机器人同时出发后第一次相遇的地点的坐标为，则机器人乙从出发到跑完半马距离（取21000米）时，两台机器人共相遇了______次，最后一次相遇的地点的坐标为______． 52．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． $专题07 比例线段与相似三角形判定 基础·固本强基 题型1 成比例线段与比例基本性质 题型2 平行线分线段成比例求值 题型3 利用两角对应相等判定相似 提升·进阶突破 题型4 两边成比例且夹角相等判定相似 题型5 三组对应边成比例判定相似 题型6 已知相似关系求对应边角 题型7 相似比、周长比和面积比 拔高·压轴破难 题型8 相似多边形对应边与面积综合（重点） 题型9 位似中心和坐标变换（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 成比例线段与比例基本性质（共6小题） 【模型】a/b=c/d ⇔ ad=bc；还可设比值为 k 把各量统一表示，便于代入。 【步骤】① 写出比例式（注意先后顺序）；② 交叉相乘转化为等积式；③ 需要时设 a=kb、c=kd 代入求解。 【易错】① 四条线段单位不统一就直接比；② 比例顺序写错导致对应关系错；③ 忽略线段长为正、分母不为 0。 一、成比例线段与比例基本性质 1．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）下面四组线段中，不成比例的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、4、6 【答案】B 【详解】解：A选项：，四条线段成比例，不符合题意； B选项：，四条线段不成比例，符合题意； C选项：，四条线段成比例，不符合题意； D选项：，四条线段成比例，不符合题意． 2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据成比例线段的给定顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：线段，，，为成比例线段， ， ，，， ． 3．（26-27九年级上·广东深圳·期中）若，则___． 【答案】 【分析】已知，将所求分式拆分为可代入已知比值的形式，直接计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 化简得 . ∵ ∴ 代入得 . 4．（26-27九年级上·陕西西安·期中）已知，则_____________． 【答案】 【分析】已知，可将、用含、的代数式表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 将，代入， 可得． 5．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知线段，，则，的比例中项线段为__________． 【答案】6 【分析】根据比例中项的定义列方程求解，注意线段长度为正数，需舍去负解． 【详解】解：设线段，的比例中项为， ∴， 解得或， ∵线段的长度为正数， ∴舍去， 因此，的比例中项线段为． 6．（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）设比例系数为，用含的式子表示a、b、c，代入求解，进而得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列等式，结合线段长度求的值． 【详解】（1）解：设， ， ∵， ， 即，解得， ． （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∵x是线段长度，， ∴． 题型2 平行线分线段成比例求值（共6小题） 【模型】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；三角形中平行于一边的直线截另外两边，所得线段对应成比例。 【步骤】① 找出平行线与两条截线；② 按“上比下 = 上比下”或“上比全 = 上比全”统一形式写比例式；③ 代入已知数求解。 【易错】① 对应关系搞错（左边用“上:下”、右边却用“上:全”）；② 截线方向不一致导致线段配错；③ 用成比例线段时漏了某一段。 7．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，，与相交于点．若直线之间的距离相等，，则下列比例式中，不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知条件直线之间的距离相等，逐一分析每个选项是否成立． 【详解】解：，且之间的距离相等， ． ， ，故选项正确； ，， ， ，故选项正确； ， 选项错误； ， ， , ， ，故选项正确． 8．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 9．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（     ）． A．9 B．7 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知：如图，直线，直线、分别与直线、、交于点、、和点、、，，、，则________． 【答案】9 【分析】先根据“平行线分线段成比例定理”列比例式求出的长，再根据即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、， ∴， 解得， ∴． 11．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，，，则的长为______． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例定理，得，再结合，，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，一组平行直线，，与直线，分别交于点，，和，，．若，，求的长． 【答案】 【分析】先由平行线分线段成比例定理得，结合已知求出的长，再与相加即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型3 利用两角对应相等判定相似（共6小题） 【模型】两组角对应相等的两个三角形相似（AA），这是最常用的判定。 【步骤】① 找第一组等角（公共角、对顶角、平行线得到的同位角/内错角）；② 找第二组等角（常由同弧的圆周角、直角、平行关系得到）；③ 写相似时注意顶点对应顺序。 【易错】① 只有一组等角就判定相似；② 相似符号中顶点顺序不对应，导致后面比例式全错；③ 等角依据没写明。 13．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．求证：． 【答案】证明：∵的平分线交于点， ， 由题意， ∴, ∴， ∴， ∴． 【分析】由条件分别证明，，即可证明题目． 【详解】略 14．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，点D在边上，．点E在边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】先证明，即可证明两个三角形相似． 【详解】略 15．（26-27九年级下·全国·课后作业）如下图，在中，E为上一点，连接，点F在线段上，且满足．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 【分析】由平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，再证明，即可证明． 【详解】略． 16．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 【答案】∵平分， ∴. ∵， ∴. 即. 又∵， ∴. 又∵， ∴. 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可. 【详解】略 17．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴． 【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证． 【详解】略 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 【答案】证明：， ， ∵， ∴， ． 【分析】由两组对应角相等的两个三角形相似可证． 【详解】略 提升·进阶突破 题型4 两边成比例且夹角相等判定相似（共7小题） 【模型】两边对应成比例且夹角相等（SAS），两三角形相似；必须是夹角。 【步骤】① 找出相等的一组角；② 计算夹这组角的两组边的比是否相等（先化简）；③ 判定相似并写出对应关系。 【易错】① 用了非夹角（类似 SSA）判定相似；② 两边的比的“方向”写反（应同为“小三角形:大三角形”）；③ 比值未化简看不出相等。 19．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质解决问题的关键是能证明两三角形相似． 根据题目条件可以利用“两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明，进而得到对应角相等． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 20．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】根据两边成比例且夹角相等证明即可． 【详解】略 21．（26-27九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． (1)若，则与是否相似？为什么？ (2)若，则与是否相似？为什么？ 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据两角相等，两三角形相似证明即可； （2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【答案】证明： ， ，即， 又 ， ． 【分析】根据可得，结合可证． 【详解】略 23．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：∵，且， ∴． 【详解】略 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 题型5 三组对应边成比例判定相似（共6小题） 【模型】三组边对应成比例（SSS）则相似；先按大小排序再配对最稳。 【步骤】① 把两个三角形的三边分别按长短排序；② 计算对应边的比并化成最简；③ 三个比一致则相似。 【易错】① 不排序导致对应关系配错；② 比值未化简（如 2/3 与 4/6）误判为不相等；③ 边长含根号时不会化简比。 26．（26-27九年级上·全国·单元复习）若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 【答案】A 【分析】先将两三角形的边按从小到大排序，验证三边是否对应成比例，即可判断相似性． 【详解】解：将两三角形的边长按从小到大排序． 的三边长为，，． 的三边长为，，． ∵， ∴两三角形三边对应成比例，一定相似． 27．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，．判断与是否相似，并说明理由． 【答案】与相似．理由如下： ∵在中，， 在中，， ， ． 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可证得． 【详解】略 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 29．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 【答案】(1)证明：，，，， ． 设每小格的长度为，则，， ， ， ； (2)， 【分析】（1）设每小格的长度为，勾股定理求出的长，进而得到，即可得出结论； （2）根据网格特点和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设每小格的长度为，则，又， ，解得， 由（1）知，， ；. 30．（26-27九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，，分别是，，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用三角形中位线定理得到三组线段之间的数量关系，推导出三边对应成比例，依据三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】证明：，，分别是，，的中点， ，，是的中位线， ，，， ， ． 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知．求证：． 【答案】 证明：， ， ． ． 即． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的对应角相等得到即可求解． 【详解】略 题型6 已知相似关系求对应边角（共5小题） 【模型】相似三角形的对应角相等、对应边成比例，先由相似符号确定对应关系再列式。 【步骤】① 由相似符号（如 △ABC∽△DEF）读出对应顶点；② 列比例式求未知边；③ 角直接写相等，必要时结合内角和。 【易错】① 对应顶点找错，比例式全盘皆错；② 比例式列反（大比小与小比大混用）；③ 图形中有多组相似时张冠李戴。 32．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知，若、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴，， ， ∴ ， ∴ ． 33．（2027九年级下·全国·专题练习）将三角形纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若与相似，则的长是_____． 【答案】或2 【分析】设，则．由折叠的性质知．利用分类思想，结合三角形相似的性质，列式解答即可． 【详解】解：设，则．由折叠的性质知． 分两种情况：①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 综上所述，的长为或2． 34．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质证明； （2）由相似三角形的性质推出，进而计算． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 35．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，D是边上一点，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵（公共角） ∴（两角分别相等的两个三角形相似） (2) 【分析】（1）首先找到两个三角形的公共角，结合已知条件，因为两角分别相等的两个三角形相似，所以可证明． （2）如果已经证明两个三角形相似，那么根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的边长即可求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由， 得对应边成比例：， 将代入， 得， ∴， ∴的长为． 36．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形和垂直平分线得到，，即可证明； （2）由矩形得到，，，再证明，得到，接着根据得到，代入解得，最后得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型7 相似比、周长比和面积比（共5小题） 【模型】相似比为 k 时，周长比 = k，面积比 = k²；反过来由面积比求相似比要开平方。 【步骤】① 先确定相似比（注意是谁比谁）；② 周长比等于相似比；③ 面积比等于相似比的平方，逆向时开方取正。 【易错】① 面积比忘了平方（或把 k² 当成 k）；② 相似比的顺序写反；③ 由面积比反求线段比时忘了开方。 37．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，则和的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， 即和的相似比是． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：∵，相似比为， ∴边上的中线与边上的中线的比为， ∵边上的中线长为， ∴边上的中线长为. 39．（26-27九年级下·全国·课后作业）两个相似三角形的相似比是，已知其中一个三角形的一条高线长度为10，那么另一个三角形对应的高线长度是______． 【答案】4或25 【分析】利用相似三角形对应高线的比等于相似比，分两种情况讨论已知高线所属的三角形即可求解． 【详解】解：设另一个三角形对应的高线长度为， ∵相似三角形对应高线的比等于相似比，题目未说明已知高线属于哪个三角形，因此分两种情况计算； 当长为的高线是较小三角形的高线时， 可得， 解得； 当长为的高线是较大三角形的高线时， 可得， 解得； 因此另一个三角形对应的高线长度为或． 40．（2024·上海普陀·一模）如图，在中，，是边上的高，如果，，那么与的相似比________． 【答案】/0.75 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 只要证明，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：是边上的高， ， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 41．（21-22九年级上·湖南怀化·期末）已知△ABC∽△DEF，相似比是1∶3，则面积比S△ABC∶S△DEF=________． 【答案】1：9 【分析】由△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3， ∴S△ABC：S△DEF=1：9． 故答案为：1：9． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 拔高·压轴破难 题型8 相似多边形对应边与面积综合（共6小题） 【模型】相似多边形对应角相等、对应边成比例，面积比等于相似比的平方。 【步骤】① 判定相似（角分别相等且边成比例，两者都要）；② 用对应边之比求未知边长；③ 用面积比求面积，注意开方与平方的方向。 【易错】① 只满足边成比例就判定多边形相似（如菱形与正方形）；② 面积比与边长比混用；③ 对应关系找错。 42．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，于，矩形、矩形的顶点分别在、的三边上，且矩形矩形．已知下列某个选项中的线段之比可求两矩形的相似比，则这个选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，可得，，再由矩形矩形，可得两矩形的相似比等于，连接，证明，可得，可证得，从而得到，故D选项符合题意；，故A选项不符合题意；再证明， 可得，，故B，C选项不符合题意，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即，， 如图，连接， ∵矩形矩形， ∴两矩形的相似比等于，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故D选项符合题意； ∴，故A选项不符合题意； 在矩形、矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴，，故B，C选项不符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 43．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，矩形中，，连接，的中点，矩形矩形，则的长为__________；连接，，作矩形使其顶点都在的边上，当点，，三点共线时，矩形的面积为__________． 【答案】 / 【分析】第一问根据相似矩形对应边成比例列方程求解；第二问设矩形的宽，长，利用表示出与的关系，再利用三点共线及平行线分线段成比例（或相似三角形）建立关于的方程求解． 【详解】解∶矩形矩形， ， ∵E为的中点， ∴ 设，则， ， ， ， ， 即 四边形是矩形，分别是的中点， ，，，， 设矩形中，， ， 四边形是矩形，矩形,矩形， ， ， ， 即， ， 连接，如图 ，点，，三点共线， ， ， 即， ， ， ，即， ， ， ， 将代入上式得 ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 矩形的面积 ． 44．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 【答案】 【分析】由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论． 【详解】解：如图2： 正八边形， ，，， 四边形是矩形， ， 内部阴影是正八边形， ， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ， 阴影部分为正八边形，正八边形都相似， ∴正八边形与阴影部分的面积比为． 45．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图，在矩形中，点P是边上一动点，连接，作于点H，作于点E，作直线于点F，交于点G．已知：，． （1）若点E，F分别为的中点时，记矩形的面积为，矩形的面积为，则的值为________； （2）在点P的运动过程中，若，矩形与矩形相似，则n的值为________． 【答案】 2或4 【分析】（1）根据线段中点的定义可得，，由勾股定理可得；证明，得到，则；证明，可得，则，，再根据矩形面积公式求解即可； （2）分点F在上和点F在的延长线上两种情况，证明得到，证明，，再根据相似多边形的性质得到或，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当点F在上时，∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴，即 ∵矩形与矩形相似， ∴或， 当时，则， ∴，即， ∴； 当时，则， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，； 当点F在延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴，即 ∵矩形与矩形相似， ∴或， 当时，则， ∴，即， ∴； 当时，则， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，或； 综上所述，或 故答案为：2或4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，相似多边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与相似多边形的性质是解题的关键． 46．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点A落在点H处， 折痕为； 使边落在边上， 点B落在点G处， 折痕为． 若矩形与原矩形相似，， 则的长为____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：． 47．（23-24八年级下·山东淄博·期末）将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来平行四边形相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：平行四边形的相邻两边与的比值是或． 故答案为：或． 题型9 位似中心和坐标变换（共5小题） 【模型】位似图形对应点的连线都经过位似中心，对应边平行，对应点到位似中心的距离之比等于相似比的绝对值；以原点为位似中心时坐标直接乘 k。 【步骤】① 确定位似中心与相似比 k（注意正负）；② 以原点为位似中心时把横纵坐标都乘 k；③ k<0 时对应点在中心另一侧。 【易错】① k 为负时方向画错；② 位似中心不是原点时仍直接把坐标乘 k；③ 把位似与平移、一般相似混淆。 48．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点D的坐标是__________． 【答案】 【分析】由平移性质及判定四边形为矩形，得出及；构造一线三直角模型，证明，利用相似比求出和的长，结合点坐标即可求解． 【详解】解：过点作轴于点 线段平移得到线段 ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ， ， ， 在中， 轴 即 ， 点在第四象限 点的横坐标为 点坐标为，点在点下方 点的纵坐标为 点的坐标是． 49．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧． 【详解】解：正方形中、， ∴边长为， ∴，， 正方形中、， ∴边长为， ∴，， 分两种情况讨论： 情况1：两个正方形在位似中心的异侧 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 情况2：两个正方形在位似中心的同侧 连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或． 50．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为____________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质和点、的坐标得到，，再根据折叠的对应角相等和平行线的性质推出，然后根据等角对等边和勾股定理求出，进而求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即C、D纵坐标相同， ∵点，点， ∴，， 由折叠的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 51．（25-26七年级下·广东广州·期末）广州市人民公园内一环形人行步道大致呈长方形ABCD，已知AB边长度约为150米，BC边长度约为210米．某公司通过审批后，在现公园内进行两台马拉松人形机器人的性能测试，机器人甲从A点出发，沿着的顺时针方向跑，机器人乙从B点出发，沿着的逆时针方向跑步．若以点A为原点，AB、AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系（如图），当机器人乙的速度是机器人甲的速度2倍时，测得两台机器人同时出发后第一次相遇的地点的坐标为，则机器人乙从出发到跑完半马距离（取21000米）时，两台机器人共相遇了______次，最后一次相遇的地点的坐标为______． 【答案】 43 【分析】根据两人的速度关系可求出乙跑完半马，甲所跑的路程，两人路程和减去第一次相遇所走的路程，用剩余路程除以长方形周长即为相遇次数，取整加１就是相遇总次数；根据两人的速度关系可求出到最后一次相遇乙所跑的路程，除以长方形周长就可知最后一次相遇时乙的位置． 【详解】解：∵乙的速度是机器人甲的速度2倍， ∴设甲的速度为，则乙的速度为， 乙从出发到跑完半马用时， 此时甲跑了米， 则甲乙共跑了（米）， 第一次相遇时，两人共走了（米）， 则剩余路程为（米）， 从第一次相遇后每合跑米，两人相遇一次， 则相遇（次）， 取整数则相遇42次，加上第一次相遇，共相遇（次）； ∵设甲的速度为，则乙的速度为， ∴第一次相遇时，乙跑了（米） 第一次相遇后每合跑一圈，乙跑（米）， 则最后一次相遇时乙跑的总路程为（米）， ， 即乙跑了28圈加380米，即又回到． 52．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，可证明得到，据此可求出点C的坐标，再根据题意可得位似比为，结合正方形在第三象限可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． $