浙江省杭州市2026—2027学年浙教版九年级数学上册期中考试模拟卷

浙江省杭州市2026—2027学年浙教版九年级数学上册期中考试模拟卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 2．如图，是的直径，点C、D在上，连接、，则图中的弦共有（     ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．下列函数是关于的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 5．如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．若二次函数的图象经过点、和，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 9．如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（     ） A．拱桥的水面跨度为4米 B．拱桥的半径为4米 C．点在该函数图象上 D．该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 10．如图①，在四边形中，，，，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，点同时从点出发沿以的速度匀速运动至点，规定其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点，运动时，随时间变化的函数图象，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时，是等腰三角形 二、填空题（共18分） 11．从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 12．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为__________________________． 13．如图，一个小球从杨辉三角的顶部下落，每一步向左、向右的概率均为，则小球最终下落至最后一行左起第3个点的概率为___________． 14．如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 15．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号） ①；②；③；④当时，． 16．如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为________． 三、解答题（共72分） 17．已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：． 18．已知抛物线（m为常数）的对称轴是直线求此抛物线的解析式． 19．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张． (1)请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； (2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 甲    乙 2 3 6 2 2  2 2  3 2  6 3 3  2 3  3 3  6 6 6  2 6  3 6  6 20．小丽和小云一起玩一种“造数”游戏，游戏规则如下：同时抛掷一枚硬币和两枚骰子（个面分别刻有），硬币的正、反两面分别表示“数”的符号（约定硬币正面向上表示“”号，反面向上表示“”号），与两个骰子朝上的面上的数字之和组合成一个“数”；如硬币抛掷结果为“硬币反面朝上，两个骰子朝上的面数字分别为2、5”，记为“”． (1)写出所有可能产生的“数”； (2)若约定投掷一次产生的“数”是或的倍数，则小丽获胜；若是的倍数，则小云获胜．这样约定公平吗？为什么？ 21．如图，是的直径，点C在上，． (1)求的度数； (2)若点D是弧的中点（点D与点C在的两侧），求的度数． 22．如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 23．已知线段是的一条弦，点C是上的一点． (1)连接、，如图1，如果，，且，求的半径长； (2)当圆心在线段上时． ①如图2，已知点D在上，满足，且，如果，求的长． ②如图3，已知点E在线段上，满足，如果沿着弦翻折后的弧线恰好经过点，求的值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市2026—2027学年浙教版九年级数学上册期中考试模拟卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】先从确定的数学结论入手判断必然事件，再验证其余选项． 【详解】解：A．年全年有天，故2025面全年有367天是不可能事件，不符合题意； B．任意三角形的内角和为，是必然事件，符合题意； C．下个月芒市是否下雨具有不确定性，是随机事件，不符合题意； D．射击运动员射击一次是否命中靶心具有不确定性，是随机事件，不符合题意． 2．如图，是的直径，点C、D在上，连接、，则图中的弦共有（     ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【详解】解：图中的弦有，共3条． 3．下列函数是关于的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B选项，、右边为整式，但自变量最高次数为，是一次函数，不符合题意； C选项右边为整式，自变量最高次数为，且二次项系数不为，符合题意； D选项右边为分式，不是整式，不符合题意． 4．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，取大试验次数下的频率近似值精确到即可． 【详解】解：由表格数据可知，试验次数为、、时，“个人中有个人同月过生日”的频率分别为、、， 随着试验次数增加，频率逐渐稳定在附近， 估计该事件的概率（精确到）为. 5．如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补，进行计算即可． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的四点， ∴， ∵， ∴． 6．已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数的最值出现在顶点或范围的端点处，据此计算可得y的取值范围 【详解】解： ∵， 抛物线开口向上，对称轴为直线，且， ∴当时，取得最小值； 当时，； 当时，； ∵， ∴的最大值为； ∴当时，的取值范围是 7．若二次函数的图象经过点、和，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， ∴点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 8．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 9．如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（     ） A．拱桥的水面跨度为4米 B．拱桥的半径为4米 C．点在该函数图象上 D．该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 【答案】C 【分析】根据图象与轴交于点，可得当时，，进一步可得A不符合题意；设拱桥的半径是r，可得，进一步可得B不符合题意；当水位上升米时，如图，可得，，进一步可得C符合题意；当水面上涨的高度为（单位：）时，可得，可得D不符合题意. 【详解】解：∵图象与轴交于点， ∴当时，， ∴（米），故A不符合题意； 设拱桥的半径是r， 则由垂径定理知，于F， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为5米；故B不符合题意； 当水位上升米时，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，， ∴点在该函数图象上，故C符合题意； 当水面上涨的高度为（单位：）时， 同理可得：， ∴， ∴该函数图象是某一个二次函数图象的一部分，故D不符合题意. 10．如图①，在四边形中，，，，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，点同时从点出发沿以的速度匀速运动至点，规定其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点，运动时，随时间变化的函数图象，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时，是等腰三角形 【答案】D 【分析】图②的三个关键点对应点的三个位置：时到、时到、时两个动点同时停止．先把时间还原成线段长，再分段用“底乘高的一半”写出，最后逐项验证． 【详解】解：由图②可知，当时点运动到点，当时点运动到点． ∵点的速度为， ∴，与题设相符． 当时，点在上，；点在上，． ∵， ∴． 由图②，时，取得最大值， ∴，故B错误． ∴，故A错误． 当时，令，得， ∴， ∴或，其中不在内，舍去， ∴当时，也成立，故C错误． 当时，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点（如图）， ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形，故D正确． 二、填空题（共18分） 11．从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 【答案】 【详解】解：中，偶数有2，4，6，8共4个，小于6的数有1，2，3，4，5共5个，不小于9的数只有9，共1个， ∵， 故发生的可能性从大到小排列为. 12．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为__________________________． 【答案】 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，对原抛物线解析式逐步变换即可． 【详解】解：二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则， ∵ 原抛物线解析式为，向左平移2个单位长度时，需将解析式中的自变量替换为， ∴ 左移2个单位后的解析式为， ∵ 再向上平移3个单位长度时，需在整个解析式后加上平移的单位长度3， ∴ 最终得到的抛物线解析式为． 13．如图，一个小球从杨辉三角的顶部下落，每一步向左、向右的概率均为，则小球最终下落至最后一行左起第3个点的概率为___________． 【答案】 【分析】小球从顶部下落至最后一行共经过5次分叉，每次分叉有2种选择，总共有种等可能的路径，画出相关的图进行推断求解即可． 【详解】解：由图可知，小球从顶部下落至最后一行共进行了5次向左或向右的选择， 小球下落的所有可能路径总数为（种）， 如下图： 由图可得，从左边落下时总共有6种可能， 同理可得，从右边落下时也总共有6种可能， ∴总共有12种可能到达点A， 小球最终下落至点A的概率． 14．如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解： ． 15．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号） ①；②；③；④当时，． 【答案】 ①②③ 【分析】二次函数图象开口向下，，函数有最大值；与y轴交于正半轴，；二次函数图象具有对称性，对称轴为；逐个分析判断即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，取最大值， 当时，， ，故③正确； 1到的距离为2，到的距离为2，根据二次函数图象的对称性可知，时，， 当时，，故④错误． 16．如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为________． 【答案】60 【分析】根据中心对称性质可知，结合隔风玻璃夹角为及始终隔离空气的条件，可得与之和不能超过，从而求解． 【详解】解：∵和关于圆心中心对称， ∴， ∵3翼隔风玻璃所成的夹角为，且在转动过程中始终使大厅内外空气隔离， ∴通道和不能同时与隔风玻璃连通， ∴， ∴， ∴， ∴通道所对圆心角的度数的最大值为． 三、解答题（共72分） 17．已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，绝对值，二次根式的性质化简，由二次函数的图象与轴的交点在轴的下方可知，然后化简代数式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方， ∴，， ∴， ∴ ． 18．已知抛物线（m为常数）的对称轴是直线求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先代入二次函数一般式的对称轴公式，求出参数，再代回原表达式即得到原抛物线解析式． 【详解】解：抛物线的对称轴公式为， 在抛物线中，，，， 将，代入中， 得， 解得， 将代入原抛物线表达式， 得抛物线解析式为． 19．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张． (1)请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； (2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 【答案】(1) (2)不公平，解释见解析 【分析】本题考查列表法求概率，某个事件的概率可以通过事件发生次数除以总次数来计算： （1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：所有可能出现的结果如下： 甲    乙 2 3 6 2 2  2 2  3 2  6 3 3  2 3  3 3  6 6 6  2 6  3 6  6 从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种， ∴两人抽取相同数字的概率为：； （2）解：从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为3的倍数有4种，所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：. ∵， ∴甲获胜的概率大，游戏不公平． 20．小丽和小云一起玩一种“造数”游戏，游戏规则如下：同时抛掷一枚硬币和两枚骰子（个面分别刻有），硬币的正、反两面分别表示“数”的符号（约定硬币正面向上表示“”号，反面向上表示“”号），与两个骰子朝上的面上的数字之和组合成一个“数”；如硬币抛掷结果为“硬币反面朝上，两个骰子朝上的面数字分别为2、5”，记为“”． (1)写出所有可能产生的“数”； (2)若约定投掷一次产生的“数”是或的倍数，则小丽获胜；若是的倍数，则小云获胜．这样约定公平吗？为什么？ 【答案】(1)可能产生的“数”有：所有可能产生的“数”：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、． (2) 约定公平，理由如下： 由（1）知： 产生的“数”中是的倍数有：：、；：、、、、；：、、、；：，共种可能， 是或的倍数的有：：、、、；：、、、、；：、、；共种可能． 两种情况可能性一样，所以约定是公平的． 【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，读懂题意，利用列表法，列出所有可能的情况，是解答本题的关键． （1）根据题意，列表得到所有可能产生的“数”，由此得到答案． （2）由（1）列出的表，分别得到产生的“数”中是的倍数，是或的倍数的数，由此得到结论． 【详解】（1）解：可能产生的“数”有： ：； ：、； ：、、； ：、、、； ：、、、、； ：、、、、、； ：、、、、； ：、、、； ：、、； ：、； ：， 列出表格如下： 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 正 正 2 正 3 正 4 正 5 正 6 正 7 正 8 正 9 正 10 正 11 正 12 反 反 2 反 3 反 4 反 5 反 6 反 7 反 8 反 9 反 10 反 11 反 12 故所有可能产生的“数”：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、． （2）略． 21．如图，是的直径，点C在上，． (1)求的度数； (2)若点D是弧的中点（点D与点C在的两侧），求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90度，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意得出弧是半圆，弧的度数是，再由圆周角定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． 在中，． （2）解：∵是的直径， ∴弧是半圆， ∵点D是弧的中点， ∴弧的度数是． ∵是弧所对的圆周角， ∴． 22．如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连结，，可得是等边三角形，，即可求解． （2）连结，根据M是的中点，利用等边三角形三线合一，求出的长度，再根据，得出，进一步得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连结，． ∵六边形是正六边形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为； （2）解：如图，连结， ∵M是的中点，， ∴，， ∴．                     ∵， ∴． ∴， ∴． 23．已知线段是的一条弦，点C是上的一点． (1)连接、，如图1，如果，，且，求的半径长； (2)当圆心在线段上时． ①如图2，已知点D在上，满足，且，如果，求的长． ②如图3，已知点E在线段上，满足，如果沿着弦翻折后的弧线恰好经过点，求的值． 【答案】(1)4 (2)①；② 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得到，进而得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可； （2）①连接，根据垂径定理得到、，由三角形中位线的性质得到，根据圆周角定理得到，利用求出长，进而求出长，在中，根据勾股定理求出长，利用求解即可； ②过点E作交于点，连接、、、，设、，则，由翻折的性质得：、、，证明，则，再证明，进而得到、，证明，得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接、， 、， 是等腰直角三角形， 在中，， ， 解得或（舍去）， 的半径长为4； （2）①解：如图，连接， 、是的半径， 、， 点是的中点， 是的中位线， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； ②解：如图，过点E作交于点，连接、、、，设交于点， ， ， 设、，则， 由翻折的性质得：、、， 是的直径， ， 在中，由勾股定理得：， 、， ， ， 、， ， ， ， 、， ，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、翻折的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)面积的最大值为8，此时点P的坐标为 (3)解：点的坐标为或，过程如下， 由（2）可知，， ∵将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点， ∴新抛物线是原抛物线向左和向下分别平移2个单位长度得到的， ∴新抛物线的解析式为， 情况一：当点在下方时， ∵， ∴， 同理可求出直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把代入得到， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得或 ∴； 情况二：当点在上方时，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 由以上可知，直线的表达式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理，根据，，利用待定系数法求出直线的表达式为， 联立，整理得到， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，进而求出直线的表达式为，设，则，根据，可得，据此求解即可； （3）分两种情况：当在下方时和当在上方时，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入得 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1所示，连接， 在中，当时，， 解得， ∴； 设直线的表达式为，将，代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设，则 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8， 此时， ∴面积的最大值为8，此时点P的坐标为； （3）解：点的坐标为或，过程如下， 由（2）可知，， ∵将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点， ∴新抛物线是原抛物线向左和向下分别平移2个单位长度得到的， ∴新抛物线的解析式为， 情况一：当点在下方时， ∵， ∴， 同理可求出直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把代入得到， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得或 ∴； 情况二：当点在上方时，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 由以上可知，直线的表达式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理，根据，，利用待定系数法求出直线的表达式为， 联立，整理得到， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $