精品解析：福建厦门市思明区厦门外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

厦外2024级数学九上独立练习3 一．单选题（每小题4分，共32分） 1. 时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了（　　）. A. 10° B. 20° C. 30° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，再求10分钟分针旋转的度数就简单了． 【详解】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟， 则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°， 那么10分钟，分针旋转了10×6°＝60°， 故选：D． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°，所以时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数，是解答本题的关键． 2. 如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（　　） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角定理及等腰三角形的性质解答． 【详解】解：∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OB′， ∵∠OAC＝20°， ∴∠OB′A＝20°， ∴∠A′OA＝20°×2＝40°． 故选B． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形与外角定理. 3. 在图中，将方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，找出图中三角形的关键处（旋转中心）按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案． 【详解】根据旋转的性质可知，绕O点顺时针旋转90°得到的图形是 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 4. 如图，在RtABC中，BAC＝，将ABC绕点A顺时针旋转后得到A（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接C．若C＝，则B的大小是（ ） A. 32° B. 64° C. 77° D. 87° 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据旋转可得：， 则， 则 ， 则， 则根据旋转图形的性质可得：． 故选：C. 5. 下列图形中，不是中心对称图形是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 等边三角形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【详解】由“中心对称图形”的定义“把一个图形绕一个点旋转180°后，这个图形能够和自己完全重合，我们就说这个图形是中心对称图形.”可知：选项A、B、D中的图形都是中心对称图形，只有C中的图形不是中心对称图形，故选C. 点睛：在多边形中，只有边数为偶数的多边形才有可能是“中心对称图形”，而边数是奇数的多边形都不可能是“中心对称图形”. 6. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用关于关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点M（m，n）与点Q（−2，3）关于原点对称， ∴m＝2，n＝−3， 则点P（m＋n，n）为（−1，−3），在第三象限． 故选C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确得出m，n的值是解题关键． 7. 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到到的位置，若四边形的面积为,则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理求得即可． 【详解】∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置， ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于24， ∴AD=DC=， ∵DE=2， ∴Rt△ADE中，AE=． 故选：D． 【点睛】考查了旋转的性质以及正方形的性质，解题关键是利用了旋转的性质得到：四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积． 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形． 若点A的坐标为（1，3），则点M和点N的坐标分别为M__________，N _________． 【答案】（-1，-3）、（1，-3） 【解析】 【详解】根据题意,知A. M两点关于原点对称,则M(−1,−3). M,N关于原点对称,M的坐标是(−1,−3),则N(1,−3). 故答案为M（-1，-3），N（1，-3）. 10. 如图是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】通过观察发现，当涂黑3时，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 【详解】解：如图，把标有数字3的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为3． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形． 11. 如图，、分别是正方形的边、上的点，且，连接、，将绕着正方形的中心按顺时针方向旋转到的位置，则旋转角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，确定一个旋转角，再计算解答即可． 【详解】解：连接， 绕着正方形的中心按顺时针方向旋转到的位置， 是对应点， 故是一个旋转角， 根据四边形是正方形，且正方形的中心为， ． 12. 如图，是正方形内一点，以为一边作正方形，使，，在的同旁，连接和，请描述与经过怎样的旋转可以重合：_______________________． 【答案】绕点逆时针旋转得到 【解析】 【分析】根据正方形的性质，证明解答即可． 【详解】解：∵正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴绕点逆时针旋转得到． 13. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角三角形EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）上述结论正确的是_____________．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据已知，结合等腰直角三角形性质根据ASA即可证明，然后由全等三角形性质能推理得到①②③⑤都是正确的，④不正确． 【详解】解：，，点是的中点， ，． ①在与中， ，，， （ASA）， ．正确； ②由①知，， ．正确； ③由①知，， ．又， 是等腰直角三角形．正确； ④只有当在中点时，故不能得出，错误； ⑤，同理可证． ．正确． 故正确的序号有①②③⑤． 【点睛】本题利用了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质．解题关键是根据等腰直角三角形性质和全等三角形的判定得出. 三．解答题（共48分） 14. 按要求作图 （1）请你在如图的正方形网格中，画出线段绕点顺时针旋转的线段； （2）如图，已知四边形和点，求作四边形，使四边形和四边形关于点成中心对称； （3）如图，和是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心． 【答案】（1）如图，线段即为所求作． （2）如图，四边形即为所求作的四边形． （3）如图，点即为所求作． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，确定点、绕点顺时针旋转后的对应点、，连接即可； （2）根据中心对称点平分对应点的连线即可得到各点的对称点，然后顺次连接即可； （3）连接对应点的连线，其交点即为对称中心点． 【小问1详解】 解：连接，将绕点顺时针旋转，且使得到点， 同样得到点，连接即可，如图所示： 【小问2详解】 解：连接，并延长到，使得，于是得到点的对称点， 同样画出点、点和点的对称点、点和点， 再顺次连接，如图所示的即为所求的四边形． 【小问3详解】 解：连接交于点， 如图，点即为所求作． 15. 如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，． （1）求旋转角的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】先根据旋转的定义找出旋转角，然后通过三角形内角和定理即可求解； 由旋转性质可得，所以，，通过等边对等角与三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上， ∴是旋转角， ∵，，， ∴，即旋转角的度数为； 【小问2详解】 解：∵将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即的度数为． 16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△A'BC'，其中点 A'，C'分别是点 A，C 的对应点． （1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接 AA'，求∠C'A'A 的度数． 【答案】（1）见解析（2）150° 【解析】 【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：△A'BC'即为所求； （2）在 Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°， ∴∠B=60°， ∵△A′B′C′由△ABC 旋转所得， ∴△A′B′C′≌△ABC， ∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°， ∴△ABA′为等腰三角形， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABA′为等边三角形， ∴∠BA′A=60°， ∴ ∠C′A′A=∠BA′C′+∠BA′A=150°． 【点睛】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键． 17. 问题提出： （1）如图1，在中，点P是边上任意一点，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．则线段、、三者之间的数量关系是　　． 问题探究： （2）如图2，在四边形中，，，．求的值； （3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点，连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段．连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证明即可； （2）将绕点A逆时针旋转到，连接，证明，得出，，证明，得出在同一直线上，证明，求出即可得出答案； （3）在AB上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，说明最小时最小，根据垂线段最短，当点P与点E重合时，最小，即最小，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：； 【小问2详解】 将绕点A逆时针旋转到，连接，如图所示： 根据旋转可知，，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 在上截取，连接，过点D作于点E，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴最小时最小， ∵垂线段最短， ∴当点P与点E重合时，最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为2． ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，含角直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明三角形全等． 18. 如图，在中，，．是边上一点（不与点B重合且），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）是的中点，连接并延长，交的延长线于点，依题意补全图形．若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：如图，过点作交于点， 关系为：，证明如下： 由（1）可知：， ， 是的中点 ， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质； （1）取的中点，连接，构造即可解决问题； （2）过点作交于点，构造即可解决问题； 正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 在中， 是等边三角形 线段绕点逆时针旋转得到线段 即是等边三角形 ， 即 【小问2详解】 略 19. 已知：正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．当点，，在一条直线上时，若，，求的长．（简写思路，可在备用图中画图） 【答案】或 【解析】 【分析】分当点在线段上时，如图所示，过作于点；当点在线段的延长线上时，如图所示，过作，交延长线于点，通过正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示，过作于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图所示，过作，交延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线，点，，在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 综上可知，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦外2024级数学九上独立练习3 一．单选题（每小题4分，共32分） 1. 时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了（　　）. A. 10° B. 20° C. 30° D. 60° 2. 如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（　　） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 3. 在图中，将方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在RtABC中，BAC＝，将ABC绕点A顺时针旋转后得到A（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接C．若C＝，则B的大小是（ ） A. 32° B. 64° C. 77° D. 87° 5. 下列图形中，不是中心对称图形是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 等边三角形 D. 平行四边形 6. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到到的位置，若四边形的面积为,则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形． 若点A的坐标为（1，3），则点M和点N的坐标分别为M__________，N _________． 10. 如图是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是__________． 11. 如图，、分别是正方形的边、上的点，且，连接、，将绕着正方形的中心按顺时针方向旋转到的位置，则旋转角为________． 12. 如图，是正方形内一点，以为一边作正方形，使，，在的同旁，连接和，请描述与经过怎样的旋转可以重合：_______________________． 13. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角三角形EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）上述结论正确的是_____________．（填序号） 三．解答题（共48分） 14. 按要求作图 （1）请你在如图的正方形网格中，画出线段绕点顺时针旋转的线段； （2）如图，已知四边形和点，求作四边形，使四边形和四边形关于点成中心对称； （3）如图，和是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心． 15. 如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，． （1）求旋转角的度数； （2）求的度数． 16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△A'BC'，其中点 A'，C'分别是点 A，C 的对应点． （1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接 AA'，求∠C'A'A 的度数． 17. 问题提出： （1）如图1，在中，点P是边上任意一点，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．则线段、、三者之间的数量关系是　　． 问题探究： （2）如图2，在四边形中，，，．求的值； （3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点，连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段．连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在中，，．是边上一点（不与点B重合且），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）是的中点，连接并延长，交的延长线于点，依题意补全图形．若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 19. 已知：正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．当点，，在一条直线上时，若，，求的长．（简写思路，可在备用图中画图） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $