精品解析：福建省泉州实验中学2026-2027学年 九年级上学期 数学第三次阶段测试

泉州实验中学2027届九上数学第三次阶段考 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求． 1. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，8 C. 1，2，5，10 D. 2，3，5，8 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明在点C处测得树顶端A的仰角为，且米，则树高度为（ ）米． A. B. C. D. 7. 三角函数、、之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如图，在中，，，点为的重心，作于点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，．当对角线最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则的值是______． 12. 在锐角中，若，则的度数是______． 13. 如图，小明一家自驾到某景区游玩，到达地后，导航显示车辆应先行驶13千米至地，再沿北偏东方向行驶千米到达景区．小明发现景区恰好在地的正北方向，则，两地的距离为________千米． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 15. 如图，在的正方形网格中，，，，均为格点（网格线的交点），交网格线于点，则的值是__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点．平面内一动点满足（a为常数），过，两点的直线与x轴负半轴交于点，点与点关于y轴对称．若有且只有一点，使得与相似，则a的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 20. 如图，中，过点B作于E，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） （1）当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点间的水平距离长． 22. 综合与实践 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们就长方体收纳盒的制作展开了讨论． 如图1，长方形纸板的长为，宽为，将其纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折叠成一个如图2所示的有盖的长方体收纳盒，和恰好重合且无重叠部分． 解决问题：设收纳盒的高为． （1）收纳盒底面的边_____cm，_____cm．（用含的代数式表示） （2）若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高． （3）收纳盒底面的面积可以是吗？若可以，求出收纳盒的高；若不能，请说明理由． 23. 综合与实践 问题情境： 已知国际标准纸的长与宽的比为，平时常用的纸的长宽之比为就是 ，在数学综合实践课上，老师给同学准备了一些纸，同学们围绕国际标准纸开展探究． 操作步骤： 第一步：将纸沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上， 展开后折痕交于点； 第二步：继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上， 展开后折痕交于点， 连接； 交流讨论： 同学们基于以上的折纸操作，提出以下结论： （1）； （2）是等腰直角三角形． 理性验证： 判断以上两个结论是否正确，如果正确，请加以证明；若不正确，请说明理由； 拓展延伸： （3）如图，已知正方形，请用尺规作图的方式在图中作出一个国际标准纸规格的矩形，其中矩形一边的长等于正方形的边长． (保留作图痕迹，不写作法) 24. 如图，在平行四边形中，过点作的延长线于点，垂足为点，，，，点从点出发，沿方向匀速向点运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速向点运动，速度为；过点作，交于点．当点、中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段也停止运动，连接．解答下列问题： （1）当　　　时，点为的中点． （2）　　　． （3）设五边形的面积为，求与之间的函数关系式． （4）是否存在某一时刻，使得点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，正方形的边长为1，，交于点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）记的面积为，的面积为，，求的最小值； （3）如图（2），过点作交于点，取的中点，连接，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网6组卷网 泉州实验中学2027届九上数学第三次阶段考 (本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求. 1.下列四组线段中，是成比例线段的一组是() A.1,2,3,4 B.2,4,6,8 C.1,2,5,10 D.2,3,5,8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段a、b、C、d,如果a:b=c:d, 则它们成比例.计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解。 【详解】解：A、2 053075g+ 1 ,4 ,24,不成比例： =0.56 2 B、4 ,8 0.752*6 ,48,不成比例： =0.55=0.51=5 C、2 ，10,“210,成比例： ≈0.6665=0.6252+ D、3 8 38,不成比例. 故选：C 2用配方法解方程×-4x-3=0 下列配方正确的是（) A.(x-2)2=7 B.(x+2)}=7 c(x-2)}'=3 D.(x-2)}=1 【答案】A 第1页/共42页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】方程移项后，两边同时加上4，变形即可得到结果 x2-4x=3 【详解】方程移项得 方程两边同时加上4，得r-4x+4=3+4 即r-2)2=7 故选：A, 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 3.如图，已知∠I=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△ADE的是() AB AC AB BC A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C.ADAE D.AD DE 【答案】D 【解析】 【详解】解：∠1=∠2， .∠I+∠DAC=∠2+∠DAC .∠BAC=∠DAE A、∠C=∠E,∠BAC=∠DAE,可以得到△ABCP△ADE,故本选项不符合题意： B、∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE,可以得到△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意： AB AC C、ADAE,∠BAC=∠DAE,可以得到△ABCP△ADE,故本选项不符合题意： 第2页/共42页 6学科网 组卷网 AB BC D、ADDE,∠B与∠ADE的大小无法判定，无法判定△ABC∽△ADE,故本选项符合题意· 4.已知 ABC△DEF,若S:S=4:9.则ABDE值为（) 4.3:2 B2:3 C4:9 D.16:81 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，由面积比求对应边的比： 【详解】解：，△ABC∽△DEF. SMABC AB SADEF DE· SMmc=4:9 .DE9. AB 2 .DE3, 即AB:DE=2:3 故选：B, 5.在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映. 上映第一周票房收入达898亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的 增长率增长，设增长率为x,则可列方程为() 南京 照相綰 第3页/共42页 学科网命组卷网 A.8.98(1+x)=12.93 B.8.98(1+x)}2=12.93 c.8.98+8.98(1+x)}2=12.93 D.8.98+8.98(1+x)+8.981+x)2=12.93 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式， 根据思意可得出第二周的票房为8.98(1+)，第三周的票房为8.98(1+，将第三周的票房收入代入即 可得出答案。 【详解】增长率为x,则第二周的票房为8.98(1+)，第三周的票房为8.98(1+x, 所以可列方程为8.98(1+x)}=12.93 故选：B. 6.如图，小明在点C处测得树顶端A的仰角为，且BC=10米，则树高度AB为()米. 10 20 A.10tana B.tana C.10sina D.sina 【答案】A 【解析】 【详解】解：小明在点C处测得树项端A的仰角为α，且BC=10米， 第4页/共42页 6学科网命组卷网 .tana= ABAB BC10, 即树高度AB为l0tana米. 7.三角函数sin31°、cos16°、cos43°之间的大小关系是() sin31°<cosl6°<cos43° cos43°<sin31°<cosl6 A. B. sin31°<cos43°<cosl6 C. D.cos16°<sin31°<cos430 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点.根据三角函数之间的关系，得出sin31°=cos59°，再根据 余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可. 【详解】解：.sin31°=cos59°， 又16°<43°<59°，余弦值随着角度的增大而减小， .sin31°<cos43°<c0s16°，故C正确. 故选：C. 8.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分 别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() D B E A.2 B.1 c.v2 D.V3 第5页/共42页 6学科网 组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出DE是△ABC的中位线是解题 ADAG1 AE AG I 关键.取格点G、H,由网格的性质可知，EG∥CH,得到ABAH2,ACAH2,进而证明 DE△ABC 是 的中位线，即可求解， 【详解】解：如图，取格点G、H, H G D B 由网格的性质可知，EG∥CH, AD AG 2 1 AE AG 2 1 AB AH 42 AC AH 42 分别是ABAC ∴.DE 的中点， .DE△ABC 是 的中位线， :.DE=-BC=1 2 故选：B OD 2 9.如图，在△ABC中，BC=6,∠B=90°，点O为△ABC的重心，作OD⊥AB于点D,若BD3, 则AO=() 第6页/共42页 6学科网 组卷网 Bh A.25 B.4V2 C.v10 D.2V10 【答案】D 【解析】 【分析】延长AO交BC于点M,利用重心性质得出M为BC中点及AO 与AM 的比例关系，结合ODIIBC证得△ADO~△ABM,求出OD和AD的长，最 后利用勾股定理求解， 【详解】解：延长AO交BC于点M M △ABC 点 为 的重心， A0 2 ∴.M为BC 的中点，AM3 .BC=6 :.BM=IBC=3 2 第7页/共42页 学科网 命组卷网 .OD⊥AB∠B=90° ∴.OD‖BC ∴.△ADO△ABM OD AD A0 2 BM AB AM 3 :.OD=BM 0D2 BD 3 .BD=3 AD AD 2 AB AD+BD 3, ∴.AD=2BD=6 在RIAAD0中，A0=VAD2+OD2=V62+22=2√10 10.如图，在四边形ABCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，AB=4,AD=2.当对角线AC最大 时，tan∠ABD的值为( B D √5 5 √3 A.3 B.3 c.5 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于定角定比（旋转相似瓜豆）最值模型，己知固定角30°，一组定边，通过构造辅助点E, 第8页/共42页 命学科网 命组卷网 得到△ABD∽△EBC,实现线段EC和AD的定比转化；再利用两点之间线段最短，AC≤AE+EC, 当A,E,C三点共线时，AC取得最大值；最后回到已知线段，作垂线构造直角三角形，求 tan∠DBA ，核心思路是构造旋转相似转移线段，结合三角不等式求最值，最后解直角三角形求值 【详解】解：过点A作AB的垂线，在该垂线上取点E,使∠ABE=30°，如图所示 E .∠CBD=30° .∠ABE=∠CBD ·.∠ABE-∠EBD=∠CBD-∠EBD 即∠ABD=∠EBC, :∠BDC=90°，∠DBC=30° .coS∠DBC= BD3 BC 2, 同理，在Rt△4BE中， CoS∠ABE=BAV5 BE 2 BD BA BC BE, 又：∠ABD=∠EBC. ∴.△ABD∽AEBC 第9页/共42页 6学科网 命组卷网 .AD BD EC BC 2, ·EC=23 n45 3, AB=4,∠ABE=30°，∠BAE=90°， tan30°=4EV5 AB 3, AE=3 43 ×4= 31 3, 由三角不等式：4C≤AE+EC=83 3, 当A,E,C三点共线时取等号，此时AC最大， 当A,E,C三点共线时，如下图所示， B .:∠AEB=90°-∠ABE=60° ∴.∠BEC=180°-∠AEB=120° 由相似，∠BAD=∠BEC=120°， 过点D作DH⊥AB,交BA的延长线于点H,如下图， 第10页/供42页 6学科网命组卷网 A H ∴.∠DAH=180°-∠BAD=60° 在Rt△ADH中： sin60°=DHvV5 AD2,c0s60°=AH、1 AD 2 曲AD=2,得：DH= 3AD-,AH=1AD-1 ∴.BH=AB+AH=4+1=5 在Rt△BHD中：tan∠DBA=DH-V3 BH5· 【点睛】本题是典型瓜豆原理（旋转相似）最值题，难点在于主动构造含30°的直角三角形，创造相似三 角形把AD转化为定长线段EC;再利用“两点之间线段最短”锁定AC最大的位置，最后作高构造直角 三角形计算三角函数值，充分考查相似转化、最值思想和解直角三角形. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. a 3 b-a 11.若b4,则a的值是一 【答案】3 【解析】 第11页/共42页 命学科网命组卷网 【分析】根据已知比例关系，设a=3k、b=4k，其中k≠0，代入所求分式化简计算即可. a 3 【详解】解：b4 “可设a=3张，b=4kk0 ,其中 b-a 将a=3k,b=4k代入a得： b-a-4k-3k_k_1 a 3k 3k 3. 12.在锐角△ABC中，若 inA、 =0 2 ，则∠A的度数是 【答案】30°#0度 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值. 利用特殊角的三角函数值进行求解即可， 1 【详解】解：·sin1- =0 2 sin 4=1 1 2, 又∠A是锐角， :<A=300 故答案为：30° 13.如图，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应先行驶13千米至B地，再沿北偏 第12页/共42页 6学科网 组卷网 ?方向行驶12、2千米到达景区C,小明发现景区C恰好在4地的正北方向，则A,C两地的距离 为 千米. 北 B 【答案】 17 【解析】 【分析】构造直角三角形，作高BH⊥AC,先利用45°直角三角形性质求出BH、CH,再在 RIAABH 中用勾股定理求H,线段相加得到AC长。 AC 【详解】解：过点B作BH⊥AC于点H, 北 H B 由题意可得∠CBH=45°， .∠HCB=45°， .BH=CH, 第13页/共42页 命学科网命组卷网 .BC=122 BC2 BH2+CH2 .BH=CH=12, .AB=13, :.AH =AB2-BH2=5 .AC=HC+AH=12+5=17. 14.若关于x的一元二次方程(k+)X-2x+3=0有实数根，则k的取值范围是 ks、2 【答案】 Γ3且k≠-1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当△>0时，方程有两 个不相等的两个实数根：当△=0时，方程有两个相等的两个实数根：当△<0时，方程无实数根.根据 一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可 【详解】解：：关于x的一元二次方程(k+)x-2x+3=0 有实数根， :△-(-29-4(k+)×3≥0，且k+1≠0， 解得， fs、2 3且k≠-1， 故答案为： fs、2 3且k≠-1. 15.如图，在3×3的正方形网格中，A,B,C,D均为格点（网格线的交点），BC交网格线于点E, 则tan∠AEB的值是】 第14页/供42页 6学科网6组卷网 E 【答案】2 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到∠BCF=∠AEB,可得到这两个角的正切相等，代入数据即可求解. 【详解】解：如图，在3×3的正方形网格中， .AG‖FC G ∴.∠BCF=∠AEB :∠BFC=90°， .tan∠AEB=tan∠BCF= BF -=2 CE 16如图，在平面直角坐标系0 中，直线少=x+ 与直线少2x x相交于点A,与x轴交于点B.平面 内一动点C(m,”)满足n=-m+am1+1(a为常数)，过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点 E D △ABD,△ABE 与点关于y轴对称.若有且只有一点，使 与 相似，则a的值为 第15页/供42页 6学科网 命组卷网 B 【答案】3或-1 【解析】 AB BD 【分析】设点D(x,0(x<O),则E(-x,0),结合相似三角形的性质易得BEAB,进而解得x=-2, 可确定点D的坐标：利用待定系数法确定AC直线的表达式，并将点Cm-m+am+川)代入y=x+2, 可得关于m的一元二次方程，结合“有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似”可得该方程有且只有 一个实数根，进而计算a的值. 【详解】解：如图，设点D(x0(x<0),则E-x,0) △ABD与△ABE相似， .E只能在点B左侧， .∠ABE=∠DBA, AB BD △ABDAEBA,则BEAB, .AB2=BE.BD 第16页/共42页 命学科网命组卷网 :.(2-6)}+(4-0)2=(6+x)(6-x) X=4,解得=2 .∵x<0 x=-2 .D(-2,0) 设直线4C的表达式为y=c+b(k≠0)】 将点A,点D的坐标代入， 4=2k+b ∫k=1 得10=-2k+b,解得b=2, AC y=x+2 直线心的表达式为 把C(m,m+am+)代入y=x+2,得-m2+am+1=m+2, :m2+(1-a）m+1=0 ,有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似， 方程m+(1-)m+1=0有且只有一个实数根，即该方程有两个相等的实数根。 :△=(1-a°-4=0，解得a=3或a=-1. ∴.满足条件的a值为3或-1. 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.计算：3tan30°-8+(-2026)°. 【答案】V3-1 第17页/供42页 6学科网6组卷网 【解析】 【详解】解：3tan30°-8+(-2026)° 3x 3 2-2+1 =5-2+1 =3-1 18解方程： 2x2+3x-1=0 【答案)出、3+ 4,5=3-7 4 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键. 根据公式法解方程即可. a=2,b=3,c=-1 【详解】解： .△=b2-4ac=32-4×2×(-1)=17 :x=-3±7--3±V17 2×24, 、、、=3+17,2=3一77 4. 19.在如图的方格纸中，△0AB的顶点坐标分别为O(0,0),A-2,-),B(l,-3),△04B与△0AB 是关于点P为位似中心的位似图形. 第18页/供42页 6学科网命组卷网 (1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 （②)以原点0为位似中心，在位似中心的同侧画出△01B的一个位似△OAB,使它与△01B的位似比 为2：1： (3)a0MB的内部一点M的坐标为a,）,直接写出点M在△O1B,中的对应点M,的坐标为 【答案】(1) 如图，点P为所作， y P A A B B （-5,-1) (2)如图， △OA,B2即为所作： 3)(2a,2b) 【解析】 【分析】本题考查位似图形及位似变换： 第19页/共42页 6学科网命组卷网 (1)分别延长44、BBO0 它们的交点为P点，再写出P点坐标： (2)把A、B点的横纵坐标都乘以2得到4、B点的坐标，然后指点并连线即可： (3)利用(2)中对应点的坐标变换规律求解即可. 【小问1详解】 解：分别延长44、BBO0 它们的交点为P点， △04B与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形， 则点P为所作，P点坐标为-5-) 故答案为： （-5,-) 【小问2详解】 解：如图，A(-2,-).B(1,-3) 把A、B点的横纵坐标都乘以2得：4，(4，-2）、B,(-2,6) 连接 OA OB:A.B2 △OA,B2即为所作： 【小问3详解】 解：：△01B的内部一点M的坐标为(a,b) 由(2②)知：△0AB与△01B是关于原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1 点M在A0A,B中的对应点M2的坐标为(2a,2b) 故答案为： (2a,2b) 20.如图，ABCD中，过点B作BE⊥CD于E,F为AE上一点，且∠BFE=∠C 第20页/供42页 命学科网命组卷网 E (1)求证：△ABF∽△EAD: (2)若AB=3,AD=2,∠BAE=30°，求BF的长. 【答案】(1) 证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BCAB∥DC .∠C+∠EDA=180°∠BAF=∠AED .∠BFE=∠C∠BFE+∠AFB=180° ∠AFB=∠EDA, ∴.△ABF∽△EAD: (2)V3 【解析】 【分析】(I)由平行四边形的性质结合条件可得到∠BAF=∠AED,∠AFB=∠EDA,据此即可证得结论： (2)由平行线的性质可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由含30°角直角三角形的性质及勾股定理可求得 AE,再根据相似三角形的性质即可解答。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：：AB∥CD,BE⊥CD ∴.∠ABE=∠BEC=90° 第21页/供42页 命学科网命组卷网 ∠BAE=30 :.BE-1AE 2 在Rt△MBE中，AE=AB+BE2,AB=3 得B=9+AB: 4 解得E=2W5(负值舍去。 ,△ABF∽△EAD. BF AB AD EA, BF 3 得223， 解得BF=V3 故BF的长为V5 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、30°角的直角三角形的性质、勾股定 理等知识，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键， 21.如图，小明从点A出发，沿着坡度i(即tanA)为l:2.4的坡道AB向上走了130m到达点B,再沿 着水平平台BC向前走了80m到达点C,最后沿着坡角为36.8°的坡道CD向上走了150m到达点D. (参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75) 第22页/供42页 6学科网 组卷网 D B i=1:2.4 C68 A E (1)当小明到达点B时，求他沿垂直方向上升的高度： A, (2)求点 间的水平距离E长 【答案】(1)50m (2)320m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡度是坡面 的铅直高度h和水平宽度I的比是解题的关键， (I)过点B作BF⊥AE于F,过点C作CG⊥AE于G,延长BC交DE于H,,设BF=xm,根据坡 度的概念用x表示出AF,根据勾股定理求出BF: (2)根据余弦的定义求出CH,进而求出AE. 【小问1详解】 解：过点B作BF⊥AE于F,过点C作CG⊥AE于G,延长BC交DE于H, D B 1:2.4 C68.--H A<----- 设BF=xm, 第23页/供42页 6学科网 组卷网 坡道AB的坡度为1：2.4， .AF=2.4xm, 在RtAABF中，AB2=BF2+AF2,即l30=x+(2.4x2. 解得：x=50, 所以他沿垂直方向上升的高度为50m; 【小问2详解】 解：由(1)可知：AF=50x=120m,四边形BFGC为矩形， FG=BC=80m,CG=BF=50m 在Rt△DCH中，CD=l50m,∠DCH=36.8o 则CH=CD.cos∠DCH≈150×0.8=120m, 则AE=AF+FG+GE=120+80+120=320m, 所以点A,D间的水平距离AE长约为320m, 22.综合与实践 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们就长方体收纳盒的制作展开了讨论. 60cm 30cm 如图1，长方形纸板的长为 ，宽为 ， 将其纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折叠成一个 如图2所示的有盖的长方体收纳盒，EF和HG恰好重合且无重叠部分. F(G) E(H) 图1 图2 第24页/供42页 6学科网列组卷网 解决问题：设收纳盒的高为xcm (I)收纳盒底面ABCD的边BC=cm,AB=c.(用含x的代数式表示) (2)若收纳盒底面MBCD的面积为500cm ,求该收纳盒的高。 (3)收纳盒底面4BCD的面积可以是900cm 吗？若可以，求出收纳盒的高；若不能，请说明理由 【答案】1)(30-2x).(30-x) 5cm (2)该收纳盒的高为 (3) 解：收纳盒底面1BCD的面积不可以是00cm2 理由：假设收纳盒底面MBCD的面积可以是9O0cm 则有(30-2x)(30-x)=900 整理得X-45x=0 解得=0,5=45 .x>0,30-2x>0 .0<x<15 显然两个解均不符合题意， “收纳盒底面ABCD 的面积不可以是900cm2 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，理解题意并列出一元二次方程是关键： (I)由图知，BC的长度是长方形纸板的宽减去两个高的差，AB的长度是长方形纸板的长减去两个高的 差的一半； 第25页/供42页 命学科网命组卷网 (2)由(1)所求结合长方形面积公式即可列出一元二次方程，求解即可： (3)由(1)所求结合长方形面积公式即可列出一元二次方程，求解即可. 【小问1详解】 解：BC=(30-2x)cm, AB=(60-2对=(30-x0cm 故答案为： (30-2x)(30-x) 【小问2详解】 解：根据题意，得（30-2x(30-x)=500 2-45x+200=0 整理得 解得=5,5=40 (不合题意，舍去)· 5cm 答：该收纳盒的高为 【小问3详解】 略 23.综合与实践 问题情境： 已如国际标准纸的长与宽的比为2：1，平时常用的A4纸的长宽之比为就是V2:1,在数学综合实我课 上，老师给同学准备了一些A4纸，同学们围绕国际标准纸开展探究. 操作步骤： 第一步：将AA纸ABCD沿过点A的直线折叠，使点D的对应点D'落在边BC上，展开后折痕AE交 CD E 于点： 第二步：继续沿过点A的直线折叠，使点B的对应点B落在AD'上，展开后折痕交BC于点F,连接 EF: 交流讨论： 第26页/供42页 6学科网命组卷网 B 同学们基于以上的折纸操作，提出以下结论： (1)CE:DE=BF:FD'; (2)△AEF是等腰直角三角形 理性验证： 判断以上两个结论是否正确，如果正确，请加以证明：若不正确，请说明理由； 拓展延伸： (3)如图，已知正方形ABCD,请用尺规作图的方式在图中作出一个国际标准纸规格的矩形，其中矩形 一边的长等于正方形的边长.（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(I)CE:DE=BF:FD'成立，理由如下： (2)△AEF是等腰直角三角形成立， 理由，如图，连接B'F，DE y 刀 R B F D ,四边形ABCD是矩形， :.∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°. 由折叠性质可得AD=AD',∠ADE=∠AD'E=90°，DE=DE, A4纸的长宽之比为就是V2:1, AD':AB=2:1 第27页/供42页 6学科网命组卷网 :sin∠AD'B=2 2 .∠AD'B=45°， .∠AD'B=∠BAD'=45°， .∠ED'C=∠D'EC=∠DAD'=45°， .CD'=CE. CE 12 ·DEV22,即DE=V2CE: 由折叠性质可知： ∠BMF=∠BAF-)∠BMD'=2.5°.BF=∠ABF=90,BF=BF, 2 :∠DAE=∠DAE=)∠DAD=2.5 Γ21 ,∠FBD=90, .∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠AED=67.5°，∠B'FD'=∠B'D'F=45°. .△ABF△ADE,B'F=B'D', AB BF 1 BF2 ∴.AD DE2,DF=√2B'F=V2BF,即DF-2, CE BF ∴.DE=√2BF,DED'F, :.BF=CD'=CE,CE:DE=BF:FD',故(I)结论正确； .BF +FD'=CD'+FD'. .BD'=CF. 第28页/供42页 6学科网命组卷网 BD'=AB. .AB=CF, :∠ABF=∠FCE=90°， :.△ABF≌aFCE(SAS) AF=EF,∠BAF=∠CFE=22.5°， .∠AFB+∠CFE=90°， ∴.∠AFE=90°， ∴，△AEF是等腰直角三角形，故(2)结论正确：： (3)如图， E B 【解析】 【分析】(I)连接B'F,D'E,由四边形ABCD是矩形，则 ∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90° AD=AD'∠ADE=∠AD'E=90° 由折叠性质可得 DE=DE,通过sin∠AD'B=V2 CE 12 2,求得∠ADB=45°，则DEV2=2,即DE=√2CE,由折 ∠BAF=∠BAB=∠BAD'=22.5 叠性质可 ,∠ABF=∠ABF=90°，BF=B'F,所以 第29页/供42页 6学科网命组卷网 ∠DAB=DAE-)DAD=225°，∠PBD=90°，证明△ABF∽△ADE,得ADDE5. AB BF 1 BF√2 CE BF D'F=√2B'F=V2BF,即D'F-2,可得DE=V2BF,DEDF,所以BF=CD'=CE, CE:DE=BF:FD,放（人结论正确： (2)通过(l)证明△MBF≌aFCE(SAS),所以AF=EF,∠BAF=∠CFE=22.5°，得 ∠AFE=90°，所以可得△AEF是等腰直角三角形： (3)连接正方形的两条对角线，交于O点，以B点为圆心，以OB长为半径画弧，交AB边于E点，以 C点为圆心，以OC长为半径画弧，交CD边于F点，连接EF,则矩形BCFE的长与宽的比为V2:1 【详解】解：(1)略 (2)略 (3)连接正方形的两条对角线，交于O点，以B点为圆心，以OB长为半径画弧，交AB边于E点，以 C点为圆心，以OC长为半径画弧，交CD边于F点，连接EF,则矩形BCFE的长与宽的比为V2:l 理由：，四边形ABCD是正方形， .OB=04= -AB 2 ,AB=BC,ABICD, 由作图可知：BE=OB=OC=CF, ∴四边形BCFE是矩形， BC:BE=2:1 第30页/共42页 6学科网 命组卷网 ∴矩形BCFE即为所求. 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，尺规作图， 正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，掌握知识点的应用是解题的关键 24.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC的延长线于点E,垂足为点E, AB=AC=10cm BC=12cm CE=6cm P CA A “，点从点出发，沿“方向匀速向点”运动，速度为 1cm/s,同时，点P从点D出发，沿DC 方向匀速向点运动，速度 2cms:过点9作2M1DB 交DB于点M.当点P、P中有一点停止运动时，月一点也停止运动，线段O“也停止运动，莲按 OM PQ(0<t<5) ,解答下列问题： D D B B H E 图1 图2 (1)当1=时，点为CD的中点. (2)sin∠BAC=_ (3)设五边形CP0ME的面积为(cm）, 求y与t之间的函数关系式. (4)是否存在某一时刻，使得点C、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出【的值；若 不存在，请说明理由. 5 【答案】(1)2 第31页/供42页 命学科网组卷网 24 (2)25 ④)y=袋++24 10140125 (4)存在，当t为3或53或32时，△CPQ是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论思想的运用， (1)根据点Q的运动速度和路程即可求出答案： (2)利用等积法求出BH=B℃4F_12x848, AC10=5(m),利用正弦定义即可求出答案： ME= (3)根据△DQM∽△DCE解得 最后利用 S边e=S,ece+S形ouc解答即可： (4)分 CP=CQ,CP=P和CQ=PQ三种情形讨论即可求解. 【小问1详解】 在平行四边形ABCD中，AB=CD=IOcm,点O从点D出发，沿DC方向匀速向点C运动，速度为 2cm/s 当点2为CD的中点时，即 DQ=CD=5em 则2t=5 5 f=- 解得2， 第32页/供42页 命学科网命组卷网 5 t=-S 即当2时，点为CD的中点. 嘴案为： 【小问2详解】 如图3，过点A作AF⊥BC于点F,过点B作BH⊥AC于点H, D M 图3 AB=AC=10cm,BC=12cm. .BF-CF-BC=6cm 2 :.AF=VAB2-BF2=V102-6=8cm, 在△ABC中，2 8c4r=4C-B别 、心/=C:AF-12×8=48cm) AC 48 ∴sim∠BAC=BH-5_24 AB1025 24 故答案为： 25 【小问3详解】 第33页供42页 6学科网命组卷网 Q,QG⊥AC G 如图3，过点作 于点， ABCD 四边形 是平行四边形， .AB∥CD ∴.∠DCA=∠BAC sin∠0cG=sin∠BAH=24 25, 又.C0=CD-D0=10-21 0G249G_24 :.Cg25,即10-2t25, :0c-20-2m, 25 .5.we-jPC.-QG-3x =1x2装0-20-2r+10wm 25 25 .QM∥CE .△DOMP△DCE OM DM .CE DE, :AB∥CD .∠DCE=∠ABC, .cos∠DCE=cos∠ABC=BF=6_3 AB105, :QM∥CE ,∠DQM=∠DCE∠QME=∠CED=90° 第34页/供42页 6学科网6组卷网 :cos∠DOM=cos∠DCE=3 . ew=ngea∠Dew-gpQ-g. ·∠AFE=∠DEC=90°ADII BC ∠ADE=180°-∠CED=90° 四边形AFED是矩形， :.DE=AF=8, o9 6 .CE DE 68 rE-)cm aaag+68)-24-云】 ∴.S五t边形PCBM0=S,POC+S梯形OMEC 12 =2号(-2x+10+240-235 -24+241+24-24 255 25 _48+241+24, 24 = 25 5 y与之间的函数关系式为y= 48+241+24. 25 5 【小问4详解】 △CP “是等腰三角形， 第35页/供42页 命学科网命组卷网 :…分 CP=CO CO=QF CP=PO 和 三种情况讨论： 当CP=C9时，10-21=t, ① 10 解得=3； CO=OP ②当 时，过点9作TLPC,交PC于点了，如图4， A D H 1, M B 图4 .TC=IPC=11 2 2 在RtABH中， 4B=10cm,BH=4 5cm 5 ∴.coS∠BAH= > 25, 7 ∴.cos∠QCT= 25· TC T 0C25, 7 .10-2125 140 .t= 53: 第36页/供42页 6学科网命组卷网 ③ CP=PO时，过点P作PR1DC于点R, D M 则cR-c0=×0-20=6-0m, :cos∠PCR=25, 7 CR 7 5-t7 .CP25,即t25, 125 .t= 32, 10140125 综上所述，当1为3或53或32时，△CP2是等腰三角形. 25.如图，正方形ABCD的边长为1，∠AED=45°，AE交BD于点F,交BC于点G,连接BE, CE H K 图(1) 图(2) (1)求证：DE⊥BE: (2)记AADF的面积为，△BGF的面积为 2S=S+S,求S的最小值： 第37页/供42页 6学科网6组卷网 HC (3)如图(2)，过点D作DH⊥AE交AE于点H,取BE的中点K,连接HK,HC,求HK的值. 【答案】(1)证明：·四边形ABCD是正方形，BD是对角线 :∠ABD=∠ADB=45° :∠ABD=450 ∴.∠ABD=∠AED ∴A,B,E,D四点共圆， :∠AEB=∠ADB=450 ∠BED=∠AEB+∠AED=9O°DE⊥BE ,即 (2)V2-1 (3)V2 【解析】 【分析】(1)由正方形的性质得到∠ABD=∠ADB=45°，证明出A,B,E,D四点共圆，利用同弧所 对的圆周角相等得到∠AEB=∠ADB=45°，进而求解即可： (2)过点F作MN∥AB分别交AD,BC于点M,N,证明四边形ABNM是矩形，得到MN=AB=1, ∠MMF=∠DM=∠BNF=90,设MF=x,则N=N-MF=1- ，则 ，利用相似三角形的性质表 BG=1-x 示出 x，然后表示出 S=x2x,整理得到 到r-(+)x+=0 ”2,然后利用判别式求解即可； (3)延长HK到点P使KP=HK,连接BP,CP,设BC与DE交于点F,证明 第38页/供42页 命学科网命组卷网 △BKP≌aBKH(SAS),得到△DEH是等腰直角三角形，推出DH=EH，∠HDE=45°，然后证明 aPBC≌aHDC(SAS),得到PC=HC,∠BCP=∠DCH,证明△HCP是等腰直角三角形，得到 HD=√2CH,进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点F作MN∥AB分别交AD,BC于点M,N ,四边形ABCD是正方形，且边长为1 AD BC AB=AD=1 ∴四边形ABNM是平行四边形 ∠BAD=900 ∴四边形ABWM是矩形 :.MN=AB=I∠AMF=∠DMF=∠BNF=90 设MF=x,则FN=MN-MF=1-x .ADI∥BC 第39页/共42页 6学科网列组卷网 ,△FADAFGB FM AD x 1 .FN-BG,即1-xBG .BG=1-x 5=8+840r+acNx+}生0-+红 2 x :=x2+ 整理得， -6++号0 .A=(S+1-4x1x≥0 :.(+1)2≥2 :S+1≤-V2或S+l≥V2 :8≤-V2-1(金去)或S25-l S的最小值为V2-1, 【小问3详解】 解：如图，延长HK到点P使KP=HK,连接BP,CP,设BC与DE交于点F 第40页/供42页 6学科网组卷网 H B :点K是BE的中点 .BK=EK 又，∠BKP=∠EKH :.△BKP≌aEKH(SAS) :BP=HE∠KBP=∠KEH=4S° :DH⊥AE,∠DEH=45 △DEH 是等腰直角三角形 :DH=EH∠HDE=45O .BP=DH,∠KBP=∠HDE :四边形ABCD是正方形 :ZDCF=90°BC=CD ·∠BFE=∠DFC∠BED=∠DCF=9O0 ∠EBF=∠CDF ,∠EBF+∠KBP=∠CDF+∠HDE∠PBC=∠HDC ,即 又.BC=CD 第41页/供42页 6学科网命组卷网 :.△PBC≌aHDC(SAS) :PC=HC∠BCP=∠DCH ,∠BCP+∠BCH=∠DCH+∠BCH ∠HCP=∠BCD=90° :AHCP 是等腰直角三角形 CH=CP CH2+CP2=HP2 .2Cr2=HP,即HP=V2CH :.KP-HK=HP= CH HC=2 .HK 第42页/供42页