专题05直角三角形与勾股定理9大题型51题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版
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内容正文：
专题05 直角三角形与勾股定理
基础·固本强基
题型1 直角三角形的角与边性质
题型2 勾股定理直接求边长
题型3 HL全等判定与直角三角形证明（重点）
提升·进阶突破
题型4 勾股定理逆定理与直角判定（重点）
题型5 斜边中线、面积与勾股综合（重难点）
题型6 网格、折叠与图形拼接中的勾股（难点）
拔高·压轴破难
题型7 几何折叠与勾股方程求长度（重点）
题型8 直角三角形中的动点距离与最值（重难点）
题型9 勾股—全等—等腰的多模型综合（难点）
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基础·固本强基
题型1 直角三角形的角与边性质（共6小题）
【模型】直角三角形两锐角互余（和为 90°），斜边是最长的边。
【步骤】① 由直角得两锐角之和为 90°；② 结合已知角（或角平分、等角关系）求解；③ 边的关系用勾股定理处理。
【易错】"互余"只对两个锐角成立，别把直角算进去；含 30° 角的直角三角形中，"30° 角所对的直角边等于斜边的一半"，要对准边与角。
1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】等腰三角形腰上的高既可以在三角形内部，也可以在三角形外部，需分两类情况讨论；每类都在直角三角形中，通过“倍长这条直角边”作辅助线，构造全等三角形，进而得到等边三角形，先推出“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”，再利用等边对等角和三角形内角和定理求出底角．
【详解】解：分两种情况讨论．
（1）当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，垂足D在上，如图．
在中，，于点D，
．
在直角三角形中，．
延长到点E，使，连接，则．
，，
．
在和中，
（公共边），，，
∴，
（全等三角形的对应边相等），
，
是等边三角形，
，即，
，即．
，
．
（2）当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，垂足D在的延长线上，如图．
在中，，交的延长线于点D，为钝角，
．
在直角三角形中，．
同(1)得，
．
，
，
．
综上，这个等腰三角形的底角为或．
【点睛】①腰上的高既可在三角形内部，也可在三角形外部，必须分类讨论，只算一种必然漏解；②教材中只有“角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质定理，“直角边等于斜边的一半，则所对锐角为”不能直接使用，应先倍长该直角边，构造全等三角形得到等边三角形推证后再用；③钝角情形中，与互补，顶角应为，不要把直接当作顶角，否则会漏掉这一解．
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵直角三角形中角所对的直角边为，
∴斜边长为．
3．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，，P是边上一点，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，，
．
，
，，
，
．
4．（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在中，平分，交于点，于点．若，，则的度数是________．
【答案】
【分析】根据垂直的定义和直角三角形两锐角互余求得，然后根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
5．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，，则的度数是_____________．
【答案】或
【分析】分类讨论的形状，利用三角形的内角和运算即可．
【详解】解：如图1，是锐角三角形，
∵，为三角形的高，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2，是钝角三角形，
∵，为三角形的高，为，所在直线的交点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的度数是或．
6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，是高，，若，则的长为_________________．
【答案】6
【分析】先由直角三角形两锐角互余求出，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长，最后根据计算即可．
【详解】解：在中，，，
∴，（直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半）．
又∵，
∴．
∵是边上的高，
∴，
∴．
在直角三角形中，
∵，
∴（的角所对的直角边等于斜边的一半）．
∴．
综上，的长为6．
【点睛】①“是高”即，垂足D在斜边上，所以；②运用“含角的直角三角形”的性质时，先认准斜边和的角所对的直角边：先用“斜边＝直角边的2倍”求，再用“直角边＝斜边的一半”求，方向不能搞反；③最后由线段的和差求解，不要把误当作．
题型2 勾股定理直接求边长（共6小题）
【模型】直角三角形中 a²+b²=c²（c 为斜边），知二求一——先认准斜边再代入。
【步骤】① 确定直角所对的边（最长边）为斜边 c；② 代入 a²+b²=c²；③ 开平方求未知边并检验合理性。
【易错】没认准斜边就套公式是头号错误；求直角边是"c²-a²"，求斜边才"a²+b²"；结果要检验是否满足三边关系。
7．（25-26八年级下·山西大同·期中）在直角三角形中，，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【详解】解：由题意，画出图形如下：
∴．
8．（26-27八年级上·全国·周测）在中，，，则（ ）
A．28 B．28或10 C．28或100 D．10
【答案】C
【详解】解：在中，，，
①若为斜边，则；
②若为斜边，则；
∴或．
【点睛】运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角，再分别确定哪条边是直角边，哪条边是斜边．
9．（2026八年级上·全国·专题练习）在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为（ ）
A．10 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理，求出斜边长，再根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：由勾股定理，得斜边长为，
由面积法得斜边上的高为．
10．（2026八年级上·全国·专题练习）已知一个直角三角形的两条直角边之和为14，斜边长为10，则它的面积为（ ）
A．20 B．48 C．30 D．24
【答案】D
【分析】设两直角边长为a、b，斜边长为c，根据勾股定理得到，根据完全平方公式求出的值，再由三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设两直角边长为a、b，斜边长为c，
则，，
由勾股定理有，
∴，
∴，
∴该直角三角形的面积为．
11．（26-27八年级上·全国·周测）如图，有一块直角三角形纸片，，，．现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点与点重合，则的长为________，的长为________cm．
【答案】 10 3
【分析】先在直角三角形中用勾股定理算出斜边，根据折叠性质得到、，设，在中列勾股方程求出．
【详解】解：∵ ，，，
∴ 在中，由勾股定理得
∴ ．
由折叠的性质可知，，，，
∴ ，．
设，则，
在中，由勾股定理得
，即：
．
∴．
12．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，垂足为，，，求的长．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出和的长，再利用勾股定理求出的长，再根据三角形面积相等求解即可．
【详解】解：过点作于点，
∵，，
∴，
在中，得：，
∵，
∴，
即，
解得．
题型3 HL全等判定与直角三角形证明（共6小题）
【模型】直角三角形特有的判定：斜边和一条直角边分别相等（HL）→ 两个直角三角形全等。
【步骤】① 先说明两个三角形都是直角三角形（有直角）；② 找出斜边相等 + 一条直角边相等；③ 用 HL 判定并写出结论。
【易错】HL 只适用于直角三角形，必须先写"∠C=∠C′=90°"；一般三角形中"边边角"不能判全等，别混用。
13．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，，若用“”判定，则添加一个条件可以使得成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】已知斜边是公共边，根据定理，需添加一组直角边相等．
【详解】解：，，
，
在和中，斜边公共，
若用判定，需添加直角边或，
∴只有C选项符合条件．
14．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是54，则线段的长为（ ）
A．13 B．15 C．16 D．18
【答案】B
【分析】
先证明全等，进而求出的值，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
15．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在与中，，，，点D为的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的长度 ．
【答案】(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
(2)
【分析】（1）由平行线的性质推出，证明，则可利用证明；
（2）过点A作于点F，连接，可证明，利用全等三角形的性质得到的长，则可求出的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，过点A作于点F，连接，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∴由平行线距离相等可得；
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
16．（26-27八年级上·北京西城·阶段检测）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)试判断的位置关系，并说明理由（适当做辅助线）．
【答案】(1)证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
(2)解：，理由如下：
如下图，延长，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）首先证明，然后利用“”证明全等即可；
（2）延长，交于点，首先由三角形内角和定理证明，再根据全等三角形的性质证明，进而可得，即可证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
17．（26-27九年级上·广东阳江·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明： 是边上的高，
，
即和都是直角三角形，
在和中，
，
；
(2)
【分析】（1）用证明和全等即可；
（2）由和全等得即可由线段和差求解．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，，，
，，
．
18．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，已知点A、E、F、C在同一条直线上，，过点E，F分别作，，连结、、，交于点G，若．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
∴．
【分析】根据线段的和差可推出，结合，即可由“”证得两个直角三角形全等．
【详解】略
提升·进阶突破
题型4 勾股定理逆定理与直角判定（共5小题）
【模型】若两较小边的平方和等于最大边的平方 → 该三角形是直角三角形，最大边所对的角是直角。
【步骤】① 找出最大边；② 算两较小边的平方和并与最大边的平方比较；③ 相等则判定为直角三角形（最长边所对角为直角）。
【易错】必须先找最大边再比较；结论要写清"最长边所对的角是直角"；与勾股定理（已知直角求边）的方向别混淆。
19．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．
【答案】
【分析】连接，先在中利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，最后把四边形拆成两个直角三角形求面积即可．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
20．（26-27八年级上·全国·阶段检测）一块四边形的空地如图所示，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，，，，，，求这块空地的面积．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据直角三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求出这块空地的面积．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
，
∴，
在中，，，
，，
，
∴是直角三角形，，
，
，
即这块空地的面积为．
21．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下：
在中， ，，，
∴，
∴．
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
(2)元
【分析】（1）根据勾股定理可知的长度，进而根据勾股定理的逆定理即可证明；
（2）求出总面积乘以100即可求得总花费．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
费用为：（元）；
∴铺满这块空地共需花费3600元．
22．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，求的长；
(2)判断是否为直角，并说明理由；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)15
(2)解：是直角，理由如下．
由（1）得，已知，．
，
．
，
根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，且．
(3)114
【分析】（1）在中，已知两条直角边，直接利用勾股定理求出斜边长度．
（2）算出之后，在中，计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，以此判断是不是直角．
（3）四边形的面积拆成与两个三角形面积之和，分别算出两个三角形面积再相加．
【详解】（1）解：，，，
在中，由勾股定理得：
，
．
（2）略
（3）解：，
，
．
23．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】
【分析】连接，由勾股定理得，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形，，再由计算即可得出结果．
【详解】解：连接，如图：
∵，
∴由勾股定理得，
∵，
∴是直角三角形，，
∴
．
题型5 斜边中线、面积与勾股综合（共5小题）
【模型】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；面积 = 两条直角边乘积÷2，也等于斜边×斜边上的高÷2。
【步骤】① 由斜边中线性质得到线段关系；② 用"等面积法"求斜边上的高（两直角边之积 ÷ 斜边）；③ 结合勾股求未知边。
【易错】"斜边中线 = 斜边一半"只在直角三角形中成立；斜边上的高必须用等面积法求，不能直接猜或用错底高配对。
24．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直角三角形斜边中线定理可得，利用勾股定理解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，是的中线，
∴，
∵在中，根据勾股定理有，
∴．
25．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据正方形的面积求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据勾股定理求出的长，然后即可求出的面积．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∵在中，，点是斜边的中点，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
26．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）如图，在 中，，，将绕点逆时针旋转得到 ，点，的对应点分别为 ，，若点恰好落在中点，则线段的长为______．
【答案】
【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，由旋转的性质得出，得出是等边三角形，旋转角，由勾股定理求出，再证明是等边三角形，即可求出．
【详解】解：连接，
∵是的中点，，
∴，
由旋转得，
∴是等边三角形，旋转角，
在 中，．
由旋转得，，
∴是等边三角形，
∴．
27．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，中，为中点，在上，且．若，则的长度是__________．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出长，根据勾股定理求出，最后再求解即可；
【详解】解：，
，
，为中点，
，
在中，
，
由勾股定理得：；
在中，
，，
由勾股定理得．
28．（26-27九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________．
【答案】5
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再根据勾股定理即可解答．
【详解】解：，D是的中点，，
，
根据勾股定理可得．
题型6 网格、折叠与图形拼接中的勾股（共7小题）
【模型】网格中求线段长 → 以它为斜边补出直角三角形（横、竖格数为两直角边），再用勾股求。
【步骤】① 在网格中补出以该线段为斜边的直角三角形；② 数出两条直角边的格数；③ 用勾股定理求长度，或比较大小。
【易错】数格要数准（是数格子不是数格点）；折叠题先找相等线段、再找直角，最后才用勾股，顺序别反。
29．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在的方格中，，，，，，分别位于格点上，从，，，四点中任取一点，与点，为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】利用勾股定理结合等腰三角形有两条边相等的定义逐个判断，最后统计出等腰三角形的总个数即可．
【详解】解：如图，设小方格边长为1，
在中，，故是等腰三角形，
在中，，故是等腰三角形，
在中，，，，故不是等腰三角形，
在中，，故是等腰三角形，
综上所述，所作三角形是等腰三角形的有3个．
30．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】解：连接，
∵平移的距离即为对应点所连线段的长度，
∴平移距离为．
31．（26-27八年级上·全国·周测）如图是由个边长为的小正方形拼成的网格，，，均为格点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，利用勾股定理逆定理可得，即，，进而求解即可．
【详解】解：如图，连接．
根据勾股定理，得，，．
∵，
∴，，
∴，，
∴．
32．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题．
(1)在图1中，以线段为一边画一个正方形，所画正方形的面积为_______；
(2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）观察网格，求出正方形面积，从点、点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形．
（2）将无理数边长拆分为网格直角三角形斜边，是直角边、的斜边，是直角边、的斜边，为整数格线段，取公共顶点拼接三边得到目标三角形．
【详解】（1）解：观察网格，点、横向差格，纵向差格，由勾股定理，正方形面积，因此正方形面积为．
从点向下平移格、向右平移格，同理从点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形．
（2）解：，，另为横格线段，
在网格中取格点，距离为；
另取一点使其满足上述三边关系，
即得到三边长为，，的三角形．
33．（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为．
(1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c；
(2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边；
（2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。
【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为，
所以小正方形的边长为，
因为，
得，
因为，
所以，
所以．
（2）解：因为小正方形的面积为，
所以，即①，
因为，即②，
，得，
所以．
所以直角三角形的面积为：．
34．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明．
【证法再现】如图1，把两个全等的直角和按图放置，已知 ．
(1)请用含a，b，c的式子表示下列图形的面积：
_________（用含a，b的代数式表示）；
________（用含a，b的代数式表示）；
________（用仅含的代数式表示）；
(2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程．
(3)【知识运用】如图2，南淝河北岸边有两点（看作直线上的两点）相距160米，为河两岸的两个便民取水点（看作两个点） ，垂足分别为 ，现要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短．请在图中确定点的位置，并求出该最短距离和．
【答案】(1)，，
(2)
证明：由（1）得，，，，
∵，
∴
∴
整理得；
(3)，最短距离为米
【分析】（1）根据图形中数据进行列式计算即可；
（2）因为，将（1）中各式代入整理即可得勾股定理；
（3）作点关于的对称点，连接，与的交点即为，作交的延长线于，在利用勾股定理求得即为所求．
【详解】（1）解：∵ ，
∴，
，
；
（2）证明：略；
（3）解：作点关于的对称点，连接，与的交点即为，长度即为所求最短距离，作交的延长线于，
在中，米，（米），
由勾股定理得：（米．
答：该最短距离和为200米．
35．（25-26八年级下·全国·课后作业）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠．
【初步尝试】
(1)如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则 ．
【拓展迁移】
(2)如图2，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．
① ， ；
②求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)①，；②正方形的边长是
【分析】（1）由勾股定理求出的长，由正方形的性质可得出答案；
（2）由全等三角形的性质及正方形的性质可得出答案；
由勾股定理得出，设 ，则，求出，则可得出答案．
【详解】（1）解：∵长方形纸片可看作由个全等的小正方形组成，是的中点，
∴，
∴，
∵拼接成一个大正方形纸片，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
②由①可知，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
设，
∴ ，
解得，
∴，
∴，
∴正方形的边长是．
拔高·压轴破难
题型7 几何折叠与勾股方程求长度（共5小题）
【模型】折叠求长通法：设未知线段为 x → 用折叠的等长关系把相关边都用 x 表示 → 在直角三角形中列勾股方程。
【步骤】① 设所求（或关键）线段长为 x；② 由折叠标出各边（用 x 和已知数表示）；③ 找直角三角形列勾股方程解出 x。
【易错】折叠后"哪段等于哪段"要标准，标错全错；列方程前要确认直角三角形在哪，必要时先作垂线构造直角。
36．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由折叠的性质可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可．
【详解】解：设，则，
由折叠的性质可得，
在中，，
∴，
∴，
∴．
37．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得，，利用勾股定理，解答即可．
【详解】解：，，，
，
根据折叠的性质，得，，，
，，
根据勾股定理，得，
解得．
38．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，是一张纸片，，，，现将其折叠，使点B与点A重合，折痕为，求的长．
【答案】
【分析】根据勾股定理先求，由折叠可知垂直平分，则，，在和中，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】解：，，，
，
由折叠可知垂直平分，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理可知，
，
解得，
，
在中，根据勾股定理可知，
．
即长为．
39．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，．将分别沿直线，折叠，使点，都与点重合．若，求的长．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和算出，由折叠性质得到，，，，推出，设，用总长表示，再在中列勾股方程求解．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得，，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
，即．
40．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，，，折叠的一角，使点与点重合，展开后得折痕，则的长是________．
【答案】
【分析】设，根据折叠性质得到，，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，解方程求出．
【详解】解：∵ 在中，，，，
设，
∴ ．
由折叠的性质可知，．
在中，，由勾股定理得
．
∴ 的长是．
题型8 直角三角形中的动点距离与最值（共6小题）
【模型】动点到定点的距离用勾股表示 → 再借"垂线段最短"或"两点之间线段最短"求最小值。
【步骤】① 设动点位置变量；② 用勾股表示目标距离（或距离之和）；③ 找几何最值条件（垂直时最短 / 对称化折为直）。
【易错】最值优先找几何意义，别硬算函数；动点到达端点或越过特殊位置时可能要分段讨论。
41．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】过点作于，根据直角三角形的两个锐角互余得到得出，根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时．
【详解】解：如图，过点作于，
，
，
，
，
根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时．
42．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在中，，，平分，，分别为，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在上取点，使，连接，过点作，交于，利用角平分线证明，进而证明，然后把的最小值转化为，再结合角构造等腰直角三角形，用勾股定理算出即可．
【详解】解：如图，在上取点，使，连接，过点作，交于，
平分，
，
在和中，
，
，
，当点，，共线时，取得最小值，即，
为点到的最短距离，
当与重合，即当点运动到点，点运动到点，取得最小值，
，，
，
，
，
，即，
解得，
的最小值为．
43．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在上取一点，使得，连接，则，得到，因此，的最小值为的长．过点C作于点H，则当点与点H重合时，取得最小值，为的长．根据勾股定理求出，再利用的面积即可求解．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为的长．
过点C作于点H，则当点与点H重合时，取得最小值，为的长．
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴最小值为．
44．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点E在等边的边上，，射线于点B，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为________．
【答案】
【分析】由等边三角形的性质可得，，作点关于射线的对称点，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可得，，则，由垂线段最短可得，当时，的值最小，求出，从而可得，计算出，即可得出结果．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
如图，作点关于射线的对称点，过点作于点，交于点，
由轴对称的性质可得，，
∴，
由垂线段最短可得，当时，的值最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
45．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，为上的一动点，连接，过点作，垂足为，若，连接，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】取的中点E，连接，根据垂线段最短，解答即可．
【详解】解：取的中点E，连接，
，
，
，
，
，
，
，
根据题意，得，
，
当三点共线时，取得最小值，且最小值为5．
46．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______．
【答案】
【分析】首先根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，且 ；然后根据三角形面积公式求出点 到直线 的距离，确定点 的轨迹是一条平行于 的直线；最后利用轴对称性质（将军饮马模型），作点 关于该直线的对称点，发现对称点即为点 ，从而将 的最小值转化为线段 的长度 ．
【详解】解：
是直角三角形，且 ，
，
设点 到直线 的距离为
解得
点 在平行于 且到 距离为 的直线 上 ，
如图所示，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，
直线 ，
直线
点 在直线 上
点 与点 关于直线 对称，且直线 到 的距离为 ，
，
，且点 在直线 右侧，
点 与点 重合，
的最小值 ．
题型9 勾股-全等-等腰的多模型综合（共5小题）
【模型】压轴综合常"三层递进"：先用全等（或等腰）得边角关系 → 再构造（或找出）直角三角形 → 最后用勾股列方程。
【步骤】① 梳理已知，确定先证全等还是先定等腰；② 由前一步结论标出各线段；③ 找直角三角形列勾股方程求解。
【易错】多模型混合要分层书写，跳步会丢过程分；每一步都要写明依据（全等判定、等腰性质、勾股定理）。
47．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作于点F．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【分析】利用即可证明，从而判断①正确；由角平分线的定义和三角形内角和定理即可判断②错误；由可得，再证明出，从而可得，即可判断③正确；作交的延长线于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，从而即可判断④正确．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
但无法直接得到，因此不一定平分，故②错误；
由可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如图，作交的延长线于点，
∵为的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④．
48．（25-26七年级下·上海·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点为线段的中点，点是直线上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，______．
【答案】或
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，结合为直角三角形进行分类讨论，再进一步求解即可．
【详解】解：∵等腰直角三角形中，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵为直角三角形，且，
∴分下面两种情况讨论：
①如图，当时，
∴，
∴；
②如图，当时，过点分别作、的垂线，垂足为、，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
49．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，于点，且，点是上一点，连接，且，延长交于点．
(1)求证：．
(2)若点为的中点，，求的长．
【答案】(1)证明：，
，
在和中：
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
(2)
【分析】（1）先利用HL证明，得到角相等，再通过直角三角形两锐角互余等量代换，推出，证得垂直；
（2）由垂直平分得，结合推出，再设，利用线段关系、等腰三角形性质列方程求解．
【详解】（1）略
（2）解：是中点，且，
是的垂直平分线，
．
，，，
为等腰直角三角形，．
设，则．
由（1）全等可知：，
．
在中，由勾股定理：
，
，
，
即，
解得，
，
，
即．
50．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段上一点，则以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)当三点共线时，如图2，若，求的长；
(3)如图3，若，连接，当运动到使得时，求的面积．（提示：在含的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】(1)
证明：∵都是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由等腰直角三角形得到，进而得到，即可证明；
（2）利用全等三角形的性质，证明，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）过点作于，过点作于，证明是底角为的等腰三角形和是等边三角形，然后根据题目的提示和勾股定理求得，最后根据计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
∴，
，
，
，
；
（3）解：过点作于，过点作于，如图，
∵是等腰直角三角形， ，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，，
∵，，
，
又∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
51．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接
(1)如图1，求证：；
(2)当A、E、F三点共线时，如图2，若，求的长；
(3)如图3，若，连接，当E运动到使得时，求的面积．
【答案】(1)
证明：∵都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，
对于（1），根据等边三角形的性质可得，，再根据“边角边”证明，则此题可解；
对于（2），先根据勾股定理求出，再说明，然后根据勾股定理求出答案；
对于（3），作，先根据“边角边”证明，可得，进而求出，然后说明是等边三角形，可得，最后根据得出答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点F作于H，如图3所示：
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（1）得：（SAS），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
$专题05 直角三角形与勾股定理
基础·固本强基
题型1 直角三角形的角与边性质
题型2 勾股定理直接求边长
题型3 HL全等判定与直角三角形证明（重点）
提升·进阶突破
题型4 勾股定理逆定理与直角判定（重点）
题型5 斜边中线、面积与勾股综合（重难点）
题型6 网格、折叠与图形拼接中的勾股（难点）
拔高·压轴破难
题型7 几何折叠与勾股方程求长度（重点）
题型8 直角三角形中的动点距离与最值（重难点）
题型9 勾股—全等—等腰的多模型综合（难点）
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基础·固本强基
题型1 直角三角形的角与边性质（共6小题）
【模型】直角三角形两锐角互余（和为 90°），斜边是最长的边。
【步骤】① 由直角得两锐角之和为 90°；② 结合已知角（或角平分、等角关系）求解；③ 边的关系用勾股定理处理。
【易错】"互余"只对两个锐角成立，别把直角算进去；含 30° 角的直角三角形中，"30° 角所对的直角边等于斜边的一半"，要对准边与角。
1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．或 B． C． D．或
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，，P是边上一点，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在中，平分，交于点，于点．若，，则的度数是________．
5．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，，则的度数是_____________．
6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，是高，，若，则的长为_________________．
题型2 勾股定理直接求边长（共6小题）
【模型】直角三角形中 a²+b²=c²（c 为斜边），知二求一——先认准斜边再代入。
【步骤】① 确定直角所对的边（最长边）为斜边 c；② 代入 a²+b²=c²；③ 开平方求未知边并检验合理性。
【易错】没认准斜边就套公式是头号错误；求直角边是"c²-a²"，求斜边才"a²+b²"；结果要检验是否满足三边关系。
7．（25-26八年级下·山西大同·期中）在直角三角形中，，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
8．（26-27八年级上·全国·周测）在中，，，则（ ）
A．28 B．28或10 C．28或100 D．10
9．（2026八年级上·全国·专题练习）在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为（ ）
A．10 B． C．5 D．
10．（2026八年级上·全国·专题练习）已知一个直角三角形的两条直角边之和为14，斜边长为10，则它的面积为（ ）
A．20 B．48 C．30 D．24
11．（26-27八年级上·全国·周测）如图，有一块直角三角形纸片，，，．现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点与点重合，则的长为________，的长为________cm．
12．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，垂足为，，，求的长．
题型3 HL全等判定与直角三角形证明（共6小题）
【模型】直角三角形特有的判定：斜边和一条直角边分别相等（HL）→ 两个直角三角形全等。
【步骤】① 先说明两个三角形都是直角三角形（有直角）；② 找出斜边相等 + 一条直角边相等；③ 用 HL 判定并写出结论。
【易错】HL 只适用于直角三角形，必须先写"∠C=∠C′=90°"；一般三角形中"边边角"不能判全等，别混用。
13．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，，若用“”判定，则添加一个条件可以使得成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是54，则线段的长为（ ）
A．13 B．15 C．16 D．18
15．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在与中，，，，点D为的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的长度 ．
16．（26-27八年级上·北京西城·阶段检测）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)试判断的位置关系，并说明理由（适当做辅助线）．
17．（26-27九年级上·广东阳江·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，已知点A、E、F、C在同一条直线上，，过点E，F分别作，，连结、、，交于点G，若．求证：．
提升·进阶突破
题型4 勾股定理逆定理与直角判定（共5小题）
【模型】若两较小边的平方和等于最大边的平方 → 该三角形是直角三角形，最大边所对的角是直角。
【步骤】① 找出最大边；② 算两较小边的平方和并与最大边的平方比较；③ 相等则判定为直角三角形（最长边所对角为直角）。
【易错】必须先找最大边再比较；结论要写清"最长边所对的角是直角"；与勾股定理（已知直角求边）的方向别混淆。
19．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．
20．（26-27八年级上·全国·阶段检测）一块四边形的空地如图所示，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，，，，，，求这块空地的面积．
21．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
22．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，求的长；
(2)判断是否为直角，并说明理由；
(3)求四边形的面积．
23．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
题型5 斜边中线、面积与勾股综合（共5小题）
【模型】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；面积 = 两条直角边乘积÷2，也等于斜边×斜边上的高÷2。
【步骤】① 由斜边中线性质得到线段关系；② 用"等面积法"求斜边上的高（两直角边之积 ÷ 斜边）；③ 结合勾股求未知边。
【易错】"斜边中线 = 斜边一半"只在直角三角形中成立；斜边上的高必须用等面积法求，不能直接猜或用错底高配对。
24．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
25．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ）
A． B． C． D．
26．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）如图，在 中，，，将绕点逆时针旋转得到 ，点，的对应点分别为 ，，若点恰好落在中点，则线段的长为______．
27．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，中，为中点，在上，且．若，则的长度是__________．
28．（26-27九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________．
题型6 网格、折叠与图形拼接中的勾股（共7小题）
【模型】网格中求线段长 → 以它为斜边补出直角三角形（横、竖格数为两直角边），再用勾股求。
【步骤】① 在网格中补出以该线段为斜边的直角三角形；② 数出两条直角边的格数；③ 用勾股定理求长度，或比较大小。
【易错】数格要数准（是数格子不是数格点）；折叠题先找相等线段、再找直角，最后才用勾股，顺序别反。
29．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在的方格中，，，，，，分别位于格点上，从，，，四点中任取一点，与点，为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
30．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．
31．（26-27八年级上·全国·周测）如图是由个边长为的小正方形拼成的网格，，，均为格点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
32．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题．
(1)在图1中，以线段为一边画一个正方形，所画正方形的面积为_______；
(2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形．
33．（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为．
(1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c；
(2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积．
34．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明．
【证法再现】如图1，把两个全等的直角和按图放置，已知 ．
(1)请用含a，b，c的式子表示下列图形的面积：
_________（用含a，b的代数式表示）；
________（用含a，b的代数式表示）；
________（用仅含的代数式表示）；
(2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程．
(3)【知识运用】如图2，南淝河北岸边有两点（看作直线上的两点）相距160米，为河两岸的两个便民取水点（看作两个点） ，垂足分别为 ，现要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短．请在图中确定点的位置，并求出该最短距离和．
35．（25-26八年级下·全国·课后作业）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠．
【初步尝试】
(1)如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则 ．
【拓展迁移】
(2)如图2，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．
① ， ；
②求正方形的边长．
拔高·压轴破难
题型7 几何折叠与勾股方程求长度（共5小题）
【模型】折叠求长通法：设未知线段为 x → 用折叠的等长关系把相关边都用 x 表示 → 在直角三角形中列勾股方程。
【步骤】① 设所求（或关键）线段长为 x；② 由折叠标出各边（用 x 和已知数表示）；③ 找直角三角形列勾股方程解出 x。
【易错】折叠后"哪段等于哪段"要标准，标错全错；列方程前要确认直角三角形在哪，必要时先作垂线构造直角。
36．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
37．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
38．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，是一张纸片，，，，现将其折叠，使点B与点A重合，折痕为，求的长．
39．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，．将分别沿直线，折叠，使点，都与点重合．若，求的长．
40．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，，，折叠的一角，使点与点重合，展开后得折痕，则的长是________．
题型8 直角三角形中的动点距离与最值（共6小题）
【模型】动点到定点的距离用勾股表示 → 再借"垂线段最短"或"两点之间线段最短"求最小值。
【步骤】① 设动点位置变量；② 用勾股表示目标距离（或距离之和）；③ 找几何最值条件（垂直时最短 / 对称化折为直）。
【易错】最值优先找几何意义，别硬算函数；动点到达端点或越过特殊位置时可能要分段讨论。
41．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
42．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在中，，，平分，，分别为，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
43．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
44．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点E在等边的边上，，射线于点B，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为________．
45．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，为上的一动点，连接，过点作，垂足为，若，连接，则的最小值为__________．
46．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______．
题型9 勾股-全等-等腰的多模型综合（共5小题）
【模型】压轴综合常"三层递进"：先用全等（或等腰）得边角关系 → 再构造（或找出）直角三角形 → 最后用勾股列方程。
【步骤】① 梳理已知，确定先证全等还是先定等腰；② 由前一步结论标出各线段；③ 找直角三角形列勾股方程求解。
【易错】多模型混合要分层书写，跳步会丢过程分；每一步都要写明依据（全等判定、等腰性质、勾股定理）。
47．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作于点F．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
48．（25-26七年级下·上海·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点为线段的中点，点是直线上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，______．
49．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，于点，且，点是上一点，连接，且，延长交于点．
(1)求证：．
(2)若点为的中点，，求的长．
50．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段上一点，则以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)当三点共线时，如图2，若，求的长；
(3)如图3，若，连接，当运动到使得时，求的面积．（提示：在含的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）
51．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接
(1)如图1，求证：；
(2)当A、E、F三点共线时，如图2，若，求的长；
(3)如图3，若，连接，当E运动到使得时，求的面积．
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