专题04轴对称与等腰三角形9大题型57题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题04 轴对称与等腰三角形 基础·固本强基 题型1 轴对称图形及对称轴判断 题型2 等腰三角形边角计算 题型3 等腰三角形“三线合一”的应用（重点） 提升·进阶突破 题型4 等腰三角形的判定与推理（重点） 题型5 等边三角形性质判定与综合（重点） 题型6 等腰三角形与全等的联合证明（重点） 拔高·压轴破难 题型7 等腰三角形多解分类讨论（重点） 题型8 轴对称折叠中的角与线段综合（重难点） 题型9 轴对称最短路径与“将军饮马”模型（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 轴对称图形及对称轴判断（共6小题） 【模型】沿一条直线折叠后两部分完全重合 → 这条直线是对称轴；对应点连线被对称轴垂直平分。 【步骤】① 尝试折叠，找出可能的对称轴；② 检验对应点连线是否被该直线垂直平分；③ 得出对称轴条数与相关结论。 【易错】"两个图形成轴对称"与"一个图形是轴对称图形"表述不同；对称轴是一条直线，说"中线是对称轴"时应说"中线所在的直线"。 1．（26-27八年级上·福建·期中）运动是每个人生活中的一部分，下列各个运动图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·甘肃武威·期中）下列图案中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·江西赣州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·湖南常德·期末）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型2 等腰三角形的边角计算（共6小题） 【模型】等腰三角形两底角相等（等边对等角）→ 设底角（或顶角）为 x，用内角和 180° 列方程。 【步骤】① 判断哪条是腰、哪条是底边；② 设顶角或底角为 x，用两底角相等列式；③ 解方程求各角。 【易错】已知一个角时要分"它是顶角还是底角"两类讨论；底角一定是锐角（小于 90°），顶角可以是钝角。 7．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长为（     ） A． B．或 C． D． 8．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（        ） A． B．或 C．或 D． 9．（25-26八年级上·云南德宏·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为（     ） A． B． C．或 D．不确定 10．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________． 11．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）若等腰三角形的一个内角是，则它的底角度数是_______；若等腰三角形的一个内角是，则它的底角度数是 ______． 12．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为________． 题型3 等腰三角形三线合一的应用（共6小题） 【模型】等腰三角形底边上的中线、高线和顶角平分线互相重合——已知其中一条，可同时得到另外两条的作用。 【步骤】① 确认是等腰三角形且所取线段在底边上；② 由"三线合一"得垂直、平分或角平分；③ 用得到的条件继续推理。 【易错】"三线合一"只对底边上的那条线段成立，腰上的中线没有这个性质；使用前必须先证（或已知）三角形是等腰的。 13．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，，则的长为（     ） A． B． C． D． 14．（黑龙江肇源县东部乡镇联考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）如图，在中，，平分，，，垂足分别为、．则图中全等三角形的对数共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段AB与CD相交于点E，，，则图中全等三角形有（     ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 16．（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰三角形中，，．高线与角平分线交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 18．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，等边三角形中，是上的高，若，则________． 提升·进阶突破 题型4 等腰三角形的判定与推理（共8小题） 【模型】"等角对等边"：一个三角形有两个角相等 → 它是等腰三角形（也可用定义：两边相等）。 【步骤】① 找出相等的两个角（或两条边）；② 由"等角对等边"判定等腰；③ 再用等腰的性质（底角相等、三线合一）继续推理。 【易错】性质与判定方向别反（性质：边相等推出角相等；判定：角相等推出边相等）；判定时两个角必须在同一个三角形内。 19．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 20．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图 ，平分，P 是上一点， 交 于点 D, (1)求证： 是等腰三角形． (2)若，，求的长和的度数． 21．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，平分，点在上，点在的延长线上，且 ，交于点．求证：是等腰三角形． 22．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 23．（26-27七年级上·山东淄博·期中）完成下面的证明． 如图，在中，平分，平分，，． 求证：是等腰三角形． 证明：平分，平分（已知）， ，（______________）． 又（__________） __________（等量代换）． 又（已知）， __________，（___________________________） （__________） __________（__________）即是等腰三角形 24．（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，点是边上的一个动点，过点作，交于点，且平分，在边上取点，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的面积． 25．（26-27八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 26．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 题型5 等边三角形的性质与判定（共7小题） 【模型】三边相等、三个内角都是 60°；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 【步骤】① 用"等腰 + 一个 60° 角"或"三边相等"判定等边；② 得三边相等、三角都是 60°；③ 结合全等、面积求解。 【易错】必须是"有一个角是 60° 的等腰三角形"才是等边三角形，普通三角形含 60° 角不算；判定要写清依据，别凭图像认定。 27．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 28．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 29．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 30．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 31．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 32．（22-23八年级下·山东枣庄·期中）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 33．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，平分交于点，，延长至点，使得．连接． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作于点，求证：是线段的垂直平分线． 题型6 等腰三角形与全等的联合证明（共5小题） 【模型】等腰提供一组等边（或等角）+ 全等补齐另一组条件 → 先等腰后全等（或反之）链式推进。 【步骤】① 由等腰得边（角）相等；② 与已知条件凑齐判据（SSS/SAS/ASA/AAS）；③ 判定全等后推出要证的结论。 【易错】等腰提供的条件要写清来源（哪两条为腰）；写"≌"时对应顶点顺序别写反。 34．（26-27九年级上·山西朔州·期中）综合与探究 【问题情景】 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，点F在线段上运动（点F不与端点D，E重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【推理证明】 (1)求证：． 【拓展延伸】 (2)如图2，连接交于点H． ①点F在线段上运动的过程中，判断与的位置关系，并说明理由． ②若，点F在线段上运动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 35．（26-27八年级上·吉林松原·期中）根据题目条件，解答下列各题 (1)如图①，在等腰三角形中，，和分别是边，上的中线． ①求证：； ②如图②，与相交于点，连接并延长交于点，求证：； (2)在等边三角形中，，点、分别是边，上的点，，连接，交于点，连接并延长交于点，若，直接写出的值． 36．（25-26九年级上·吉林·期中）【操作发现】 (1)如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是________； 【类比探究】 (2)如图，在等腰直角内取一点，使，将绕顶点逆时针旋转得到，连接．请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 【解决问题】 (3)如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．将绕顶点逆时针旋转得到，连接．若，，，则的长为________． 37．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）综合探究： (1)如图1，中，，，为的中线，延长使得，连接．和的位置关系是__________；的取值范围是__________． (2)如图2，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，求证：． (3)如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，，请直接写出__________． 38．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，的高线，交于点，且． (1)求证：； (2)若，判断和的数量关系，并说明理由． 拔高·压轴破难 题型7 等腰三角形多解分类讨论（共4小题） 【模型】已知边（或角）未指明是腰还是底 → 分两类讨论，再用三边关系（或内角和）检验是否成立。 【步骤】① 分"已知边是腰"和"已知边是底边"两类；② 每类分别计算周长或角度；③ 检验后舍去不成立的情形。 【易错】漏掉其中一类是最常见失分点；算完必须检验（如 2、2、5 不能构成三角形，要舍去），不能两类都写。 39．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，在等腰中，，，点为底边的中点，点在三角形内部且满足，连接、，在上方有一点，满足，，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数为________． 40．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中：①当点在线段上时，； ②当点在线段上时，； ③当点不在线段上时，； ④点在运动的过程中，始终有． 所有正确结论的序号是：_____________． 41．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在全等三角形的学习中，同学们发现全等不仅是图形间的重要关系，更是推导线段相等、角相等的重要理论依据．基于这一知识基础，数学综合实践课上，老师组织同学们开展探究活动，进一步挖掘全等三角形在几何问题解决中的应用价值，深化对知识的理解与灵活运用． (1)【观察猜想】 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． (2)【拓展探究】 如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【解决问题】 在中，，，，为等腰直角三角形，，请求出点C到的距离． 42．（2026八年级上·全国·专题练习）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点， 是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 题型8 轴对称折叠中的角与线段综合（共7小题） 【模型】折叠即轴对称 → 折叠前后对应角相等、对应线段相等，折痕是对称轴（垂直平分对应点连线）。 【步骤】① 标出折叠前后的对应点、对应角；② 写出相等的角与线段；③ 结合内角和、勾股或全等求解。 【易错】折叠后重叠部分的角度容易看错；最稳的做法是设"∠1=∠2=x"，再用三角形内角和列方程。 43．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 45．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，，E为上一点，连接，，，将沿折叠，使点A落在点F处，连接，，．下列结论：①；②；③；④是等腰直角三角形；⑤，其中，正确的结论个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 46．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，在内有一点，将向外翻折至，其中为其对称轴，过点，分别作，的垂线，垂足为，，，，已知，，那么________． 47．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)若，将沿直线翻折得到，连接交于． i）如图2，若，求证：为的中点； ii）如图3，交于点G，若，求． 48．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为等边三角形，点为边上一点；点为边上一点，连接，，． (1)如图，当点是中点时，求的度数； (2)如图，在（1）的条件下，延长交延长线于点，将沿折叠得到，延长到点，使得，连接，线段与相等吗？说明理由； (3)如图，点为射线上一点，连接，将沿折叠得到，延长到点，连接，使得，若，且，求的值． 49．（25-26八年级上·江西宜春·期中）【课本再现】 折叠常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． (1)【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢？小军同学提供了一种方法：把翻折，使点B落在点C上，折痕分别交、于点D、E（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明； (2)【方法运用】 如图3，在中，，点D是边上一点，连接． ①如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； ②如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由； (3)【拓展提升】 如图4，在四边形中，点C是的中点，，且，，，请直接写出长度的最大值． 题型9 轴对称最短路径与将军饮马模型（共8小题） 【模型】"将军饮马"：在直线 l 上找一点 P 使 PA+PB 最小 → 作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B，与 l 的交点即 P。 【步骤】① 作其中一个定点关于动点所在直线的对称点；② 连对称点与另一定点，交点即所求位置；③ 最小值 = 这条线段的长度（常借勾股求）。 【易错】对称点必须关于"动点所在的直线"作；两点在直线同侧才需作对称，异侧直接连线即可；答案要写最小值并说明点的位置。 50．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 51．（25-26七年级下·北京·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 52．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 53．（19-20八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，等边△中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为_____. 54．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》在学校的花园里，有一个边长为5米的等边三角形花坛，园艺师要在边的中线上设置一个浇水装置，同时在边上有一株特殊的花卉，已知米．现在需要用水管连接和，再连接和来灌溉花卉．为了更好地规划后续花卉种植，要使得水管长度最短，此时_____． 55．（21-22八年级上·广东韶关·期中）如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__． 56．（20-21七年级下·山东青岛·期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． (1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由； (2)连接，求为何值时，； (3)若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 57．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． $专题04 轴对称与等腰三角形 基础·固本强基 题型1 轴对称图形及对称轴判断 题型2 等腰三角形边角计算 题型3 等腰三角形“三线合一”的应用（重点） 提升·进阶突破 题型4 等腰三角形的判定与推理（重点） 题型5 等边三角形性质判定与综合（重点） 题型6 等腰三角形与全等的联合证明（重点） 拔高·压轴破难 题型7 等腰三角形多解分类讨论（重点） 题型8 轴对称折叠中的角与线段综合（重难点） 题型9 轴对称最短路径与“将军饮马”模型（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 轴对称图形及对称轴判断（共6小题） 【模型】沿一条直线折叠后两部分完全重合 → 这条直线是对称轴；对应点连线被对称轴垂直平分。 【步骤】① 尝试折叠，找出可能的对称轴；② 检验对应点连线是否被该直线垂直平分；③ 得出对称轴条数与相关结论。 【易错】"两个图形成轴对称"与"一个图形是轴对称图形"表述不同；对称轴是一条直线，说"中线是对称轴"时应说"中线所在的直线"。 1．（26-27八年级上·福建·期中）运动是每个人生活中的一部分，下列各个运动图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念，寻找图形的对称轴． 【详解】解：观察图形可知，选项 、、 中的图形均能找到对称轴，是轴对称图形．选项 中的图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 3．（26-27八年级上·甘肃武威·期中）下列图案中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据轴对称图形的定义得： A、B、D选项的图形是轴对称图形，C选项图形不是轴对称图形. 4．（26-27八年级上·江西赣州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义，判断各图形是否存在对称轴 ． 【详解】∵ 轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形 ． ∴ 观察各选项图形 选项A、B、C中的图形均无法找到一条直线使折叠后两部分重合，不是轴对称图形 ． 选项D中的五角星沿经过顶点的直线对折，两部分完全重合，是轴对称图形 ． 5．（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找图形的对称轴，判断对折后两部分是否完全重合，进行解答，即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 6．（25-26七年级下·湖南常德·期末）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 题型2 等腰三角形的边角计算（共6小题） 【模型】等腰三角形两底角相等（等边对等角）→ 设底角（或顶角）为 x，用内角和 180° 列方程。 【步骤】① 判断哪条是腰、哪条是底边；② 设顶角或底角为 x，用两底角相等列式；③ 解方程求各角。 【易错】已知一个角时要分"它是顶角还是底角"两类讨论；底角一定是锐角（小于 90°），顶角可以是钝角。 7．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】分腰长为和两种情况讨论，结合三角形三边关系取舍后计算周长． 【详解】解：当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 综上所述，这个三角形的周长为． 8．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（        ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】未明确的角是顶角还是底角，需分类讨论． 【详解】解：当的角为底角时，底角为． 当的角为顶角时，底角为． 9．（25-26八年级上·云南德宏·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为（     ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】分的角为顶角、底角两种情况，根据等腰三角形两底角相等，利用三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：当的角为等腰三角形的底角时，底角度数为， 当的角为等腰三角形的顶角时，底角度数为， 综上，这个等腰三角形的底角度数为或． 10．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________． 【答案】或 【分析】分腰长为和底边长为进行讨论即可求出答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则底边长为，此时三角形三边长分别为， ∵ ∴等腰三角形的腰长为符合题意； 当等腰三角形的底边长为时，则腰长为，此时三角形三边长分别为， ∵ ∴等腰三角形的腰长为符合题意； 综上可知，腰长为或． 11．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）若等腰三角形的一个内角是，则它的底角度数是_______；若等腰三角形的一个内角是，则它的底角度数是 ______． 【答案】 或 【分析】已知内角为钝角时，该角无法作为等腰三角形的底角，只能为顶角，结合三角形内角和与等腰三角形两底角相等的性质计算底角；已知内角为锐角时，需分该角为顶角、该角为底角两种情况验证，排除不符合三角形内角和的情况后得到对应底角度数． 【详解】解：首先分析已知内角为的情况： 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， 若为底角，则两个底角的和为，大于， 不符合三角形内角和定理，该情况不成立. 只能为等腰三角形的顶角， 此时底角度数为． 再分析已知内角为的情况： 分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的顶角， 此时底角度数为， 情况2：若为等腰三角形的底角， 等腰三角形的两个底角相等， 另一个底角也为，此时顶角度数为，符合三角形内角和定理. 此时底角度数为． 综上，当已知内角为时，等腰三角形的底角度数为或． 12．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为________． 【答案】/25度 【分析】先判断只能是顶角，再利用三角形内角和与等腰三角形两底角相等求出底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形底角一定是锐角，， ∴这个角只能是顶角． ∵三角形内角和为，等腰三角形两个底角相等， ∴底角． 题型3 等腰三角形三线合一的应用（共6小题） 【模型】等腰三角形底边上的中线、高线和顶角平分线互相重合——已知其中一条，可同时得到另外两条的作用。 【步骤】① 确认是等腰三角形且所取线段在底边上；② 由"三线合一"得垂直、平分或角平分；③ 用得到的条件继续推理。 【易错】"三线合一"只对底边上的那条线段成立，腰上的中线没有这个性质；使用前必须先证（或已知）三角形是等腰的。 13．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，从而即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 14．（黑龙江肇源县东部乡镇联考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）如图，在中，，平分，，，垂足分别为、．则图中全等三角形的对数共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】由，平分，可证得；利用全等的结论可证得；再利用角平分线的性质可证得． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴, ， 在和中，有， ∴； ∴， ∵，，垂足分别为、． ∴， 在和中，有， ∴； 在和中，有 ∴； 综上可得图中全等三角形的对数共有3对． 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段AB与CD相交于点E，，，则图中全等三角形有（     ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴图中全等三角形有3对． 16．（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰三角形中，，．高线与角平分线交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等腰三角形中，高线同时也是底边上的中线和顶角的平分线．在中，由求出，再由平分得，进而求出，由平分得． 【详解】解：，是的高线， ，平分， ， 在中，， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ． 17．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合的性质得出既是高也是顶角平分线，因此． 【详解】解：，， 平分（等腰三角形三线合一）， ， 又∵， ． 18．（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，等边三角形中，是上的高，若，则________． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质可得，利用等边三角形三线合一的性质可得为中点，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 提升·进阶突破 题型4 等腰三角形的判定与推理（共8小题） 【模型】"等角对等边"：一个三角形有两个角相等 → 它是等腰三角形（也可用定义：两边相等）。 【步骤】① 找出相等的两个角（或两条边）；② 由"等角对等边"判定等腰；③ 再用等腰的性质（底角相等、三线合一）继续推理。 【易错】性质与判定方向别反（性质：边相等推出角相等；判定：角相等推出边相等）；判定时两个角必须在同一个三角形内。 19．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ； 由（1）得，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）由，则，根据，然后通过等腰三角形的“三线合一”性质即可求解； （2）根据，得，然后由（1）得，，所以，最后通过等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 20．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图 ，平分，P 是上一点， 交 于点 D, (1)求证： 是等腰三角形． (2)若，，求的长和的度数． 【答案】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2)的长为6，的度数． 【分析】（1）根据条件，结合平行线性质得，再根据角平分线的性质得，进而得，再根据等角对等边即可得． （2）根据 平分，结合条件，即可求出，再根据平行线性质得，进而求出，再根据等腰三角形性质即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴． 21．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，平分，点在上，点在的延长线上，且 ，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】利用平行线的性质得出，再利用角平分线的定义得出，然后等量代换得出，利用等角对等边得出，即可得证. 【详解】略 22．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， ． ， ， ， 是等腰三角形. 【分析】先证明，进而得到，等量代换结合等角对等边，推出，即可得证． 【详解】略 23．（26-27七年级上·山东淄博·期中）完成下面的证明． 如图，在中，平分，平分，，． 求证：是等腰三角形． 证明：平分，平分（已知）， ，（______________）． 又（__________） __________（等量代换）． 又（已知）， __________，（___________________________） （__________） __________（__________）即是等腰三角形 【答案】角平分线的定义；已知；；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等角对等边 【分析】由角平分线的定义得出，结合已知得出，由平行线的性质得出，据此即可得证． 【详解】略 24．（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，点是边上的一个动点，过点作，交于点，且平分，在边上取点，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：平分， ， 又， ，， ， ∴， 为等腰三角形； (2)24 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）过点作，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理证明，得出，最后根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，如图所示： 为等腰三角形， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 25．（26-27八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质，可得，，结合，即可证明结论； （2）过D作于H，根据三线合一以及三角形内角和定理，可得，求出的长，进而根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 如图，过D作于H， ∴，， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】利用证明，得出，根据等角对等边得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】略 题型5 等边三角形的性质与判定（共7小题） 【模型】三边相等、三个内角都是 60°；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 【步骤】① 用"等腰 + 一个 60° 角"或"三边相等"判定等边；② 得三边相等、三角都是 60°；③ 结合全等、面积求解。 【易错】必须是"有一个角是 60° 的等腰三角形"才是等边三角形，普通三角形含 60° 角不算；判定要写清依据，别凭图像认定。 27．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 28．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 29．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 30．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 31．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 32．（22-23八年级下·山东枣庄·期中）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，即可得到结论； （2）证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知是等边三角形，， ，， ， ， , ， ， ， ， ． 33．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，平分交于点，，延长至点，使得．连接． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作于点，求证：是线段的垂直平分线． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． (2) 证明：由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线． 【分析】（1）由等边对等角可得，利用三角形外角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义可得，即；最后根据有两个内角为的三角形是等边三角形即可证明结论； （2）先证明可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型6 等腰三角形与全等的联合证明（共5小题） 【模型】等腰提供一组等边（或等角）+ 全等补齐另一组条件 → 先等腰后全等（或反之）链式推进。 【步骤】① 由等腰得边（角）相等；② 与已知条件凑齐判据（SSS/SAS/ASA/AAS）；③ 判定全等后推出要证的结论。 【易错】等腰提供的条件要写清来源（哪两条为腰）；写"≌"时对应顶点顺序别写反。 34．（26-27九年级上·山西朔州·期中）综合与探究 【问题情景】 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，点F在线段上运动（点F不与端点D，E重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【推理证明】 (1)求证：． 【拓展延伸】 (2)如图2，连接交于点H． ①点F在线段上运动的过程中，判断与的位置关系，并说明理由． ②若，点F在线段上运动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明，，，线段绕点A逆时针旋转得到线段，， ，，， ， ． 在和中， ． (2)①． 理由，，，D，E分别为的中点， ，． 在和中， ， ， ， ，即． ②1或． 【分析】（1）利用旋转的性质，结合证明即可； （2）①同（1）利用证明，再根据全等三角形的对应角相等以及等腰直角三角形的性质求解即可； ②分三种情况讨论，画出对应的图形，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略； ②分三种情况，，，． ，D，E分别为的中点， ， 由旋转可得，为等腰直角三角形，， 如图1，当时， ， ， ． ， ， ，， ，． ， ， ． 根据勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去，线段长不能为负）． 如图2，当时， ． 根据前面的证明，得，， ， ， ， ， ． 当时，则， ， 故点F与点E重合，与点F在线段上运动时，不与端点D、E重合的要求矛盾．此时不成立． 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为1或． 35．（26-27八年级上·吉林松原·期中）根据题目条件，解答下列各题 (1)如图①，在等腰三角形中，，和分别是边，上的中线． ①求证：； ②如图②，与相交于点，连接并延长交于点，求证：； (2)在等边三角形中，，点、分别是边，上的点，，连接，交于点，连接并延长交于点，若，直接写出的值． 【答案】(1)证明：， ， ∵和分别是边，上的中线， ∴、分别为、的中点， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 证明：由得，， ， ， ， 垂直平分， ． (2)2 【分析】（1）证明，即可证明结论； 由，可得，可得，再由，可得垂直平分，即可证明结论； （2）证明、、是的中线，可得平分，，，平分，利用角的直角三角形，可得，即可求解． 【详解】（1）略 略 （2）解：∵， ∴点是的中点， ∵，，， ∴， ∴点是的中点， ∴、是的中线， ∵，交于点，连接并延长交于点， ∴是的中线， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形，、是的中线， ∴，，，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26九年级上·吉林·期中）【操作发现】 (1)如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是________； 【类比探究】 (2)如图，在等腰直角内取一点，使，将绕顶点逆时针旋转得到，连接．请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 【解决问题】 (3)如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．将绕顶点逆时针旋转得到，连接．若，，，则的长为________． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵将绕顶点逆时针旋转得到， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ∴，三点共线， ； (3) 【分析】（1）根据旋转性质得，再利用等腰直角三角形的性质求的度数． （2）由旋转性质得，先判断的形状，再求的度数，进而得出与的位置关系． （3）通过旋转构造全等三角形和等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵绕点逆时针旋转得到， ， ∴是等腰直角三角形， ； （2）略 （3）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ， 在中，． 37．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）综合探究： (1)如图1，中，，，为的中线，延长使得，连接．和的位置关系是__________；的取值范围是__________． (2)如图2，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，求证：． (3)如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，，请直接写出__________． 【答案】(1)； (2)证明：如图，延长至点H，使，连接， ∵点D为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (3)4 【分析】（1）由“”可证，可得，由和三角形的三边关系可求解； （2）延长至点H，使，连接，证明，得，，又，有，故；从而，，即得； （3）延长至点M，使，连接，证明，得，，由，平分，得，而，有，，可得，故，，因，故，可得，又，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图，延长至点M，使，连接， ∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 38．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，的高线，交于点，且． (1)求证：； (2)若，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：，是的高线， ∴， ，， ． 在和中， ． ． (2)解：，理由如下： ，是的高线， 平分（等腰三角形三线合一）， ． 由（1）知， ， ． 【分析】（1）利用高线得到直角，推导角相等，证明，证得． （2）由、是高，根据等腰三角形三线合一得，再结合全等三角形的对应边相等，推出． 【详解】（1）略 （2），理由：略． 拔高·压轴破难 题型7 等腰三角形多解分类讨论（共4小题） 【模型】已知边（或角）未指明是腰还是底 → 分两类讨论，再用三边关系（或内角和）检验是否成立。 【步骤】① 分"已知边是腰"和"已知边是底边"两类；② 每类分别计算周长或角度；③ 检验后舍去不成立的情形。 【易错】漏掉其中一类是最常见失分点；算完必须检验（如 2、2、5 不能构成三角形，要舍去），不能两类都写。 39．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，在等腰中，，，点为底边的中点，点在三角形内部且满足，连接、，在上方有一点，满足，，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】先利用等腰三角形内角性质求出，再求出；作点，点与关于对称，连接和，证明；分和两种情况，时算出，结合，用内角和得到；时通过证明，并利用全等三角形的性质即可得到． 【详解】解：，， ． ， ． 如图，延长至，使得，连接，， 点为的中点， ． 在和中， ， ， ，． ，， ， 在和中， ， ∴， ∴， 是以为腰的等腰三角形， 分、两种情况讨论． 情况一：如图，若，则， ， ． ，，， ∴，， ，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ，是中点，由等腰三角形三线合一，平分， ∴， 在中，由三角形内角和得：， ∴； 情况二：若，则， 如图，连接， ∵， ∴， ，， ， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点P，N，C三点共线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，为或． 40．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中：①当点在线段上时，； ②当点在线段上时，； ③当点不在线段上时，； ④点在运动的过程中，始终有． 所有正确结论的序号是：_____________． 【答案】①②④ 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得到，证明 ，推出， 则可证明，；当点在线段上时，可证明，由三角形内角和定理可证明；当点在线段的延长线上时，，当点在线段的延长线上时，，可判断④；当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大，求出当点与点重合时和当点与点重合时的度数，可判断①；当点在线段上时，在上截取，连接，证明是等边三角形，得到，证明，得到，可判断②；当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，需分类讨论，画出示意图，构造手拉手全等可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， 线段的垂直平分线交直线于点， ， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ∴， ， ，； 如图，当点在线段上时， ∴ ； ∵， ， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时， ； 如图，当点在线段的延长线上时， ， 综上所述，点P在运动的过程中，始终有，故④正确； 为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点， 当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大， 当点在线段上时，可分两种情况讨论： 当点越接近点时，点越靠近点，当点与点重合时，最小，如图所示， ∵，， ∴是等边三角形， ，即； 当点越远离点时，点越靠近点，当点与点重合时，如图所示， 同理可得是等边三角形， ，； ； 当O点在线段（不与，重合）上时，，故①正确； 当点在线段上时，如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，需分类讨论： 当点在的延长线上时，如图所示，在上截取，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ， ； 当点在的延长线上时，如图所示，在上截取，连接， 同理可证明， ∴， ∵ ∴，故③错误 综上所述，正确的有①②④． 41．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在全等三角形的学习中，同学们发现全等不仅是图形间的重要关系，更是推导线段相等、角相等的重要理论依据．基于这一知识基础，数学综合实践课上，老师组织同学们开展探究活动，进一步挖掘全等三角形在几何问题解决中的应用价值，深化对知识的理解与灵活运用． (1)【观察猜想】 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． (2)【拓展探究】 如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【解决问题】 在中，，，，为等腰直角三角形，，请求出点C到的距离． 【答案】(1)①；② (2) ，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； (3)点C到的距离为1或5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是分类讨论点C的位置． （1）①由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由角度的关系可求解； ②根据与全等即可得线段、之间的数量关系． （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，由此可得数量关系． （3）分类讨论点C在上方时与点C在下方时，添加合适的辅助线，构造全等三角形证明全等得到边与角的关系求解即可． 【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 故答案为：； ②由①知，， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）解：如图所示，当点C在上方时， 过点C作于点E，连接，在上截取． ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 设， ∴， ∵， ∴，解得，即， ∴点C到的距离为1； 如图所示，当点C在下方时， 过点C作于点E，过点C作交的延长线于点D， ∵，， ∴， 又， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，，， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 又∵， 在与中， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得，即， ∴点C到的距离为5； 综上所述，点C到的距离为1或5． 42．（2026八年级上·全国·专题练习）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点， 是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： ∵平分， ∴设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴，， 在中，， ∴， ∴ ∴，，， ∴为等边三角形； (2)的度数为或或 【分析】（1）①先利用等腰三角形性质求出，再由三角形内角和算出，结合周角求出，最后在等腰中求； ②设角，根据角平分线、等腰三角形性质表示出各个内角，利用三角形内角和求出角度，判定三角形形状； （2）分三种位置情况进行分类讨论，设为未知数，结合等腰三角形、三角形内角和、外角性质列等式求解． 【详解】（1）解：①在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴； ②略 （2）解：的度数为或或，理由如下： ∵直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， ∴有以下三种情况： ①当直线与线段交于点时，如图①所示： 设， ∵是以为腰的等腰三角形，即， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图②所示： 设， ∵， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形，即， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③当直线与直线的延长线相交于点时，如图所示： 设， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、周角定义、三角形外角性质以及等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形边角关系，做到不重不漏分类讨论是解题的关键． 题型8 轴对称折叠中的角与线段综合（共7小题） 【模型】折叠即轴对称 → 折叠前后对应角相等、对应线段相等，折痕是对称轴（垂直平分对应点连线）。 【步骤】① 标出折叠前后的对应点、对应角；② 写出相等的角与线段；③ 结合内角和、勾股或全等求解。 【易错】折叠后重叠部分的角度容易看错；最稳的做法是设"∠1=∠2=x"，再用三角形内角和列方程。 43．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，则有，然后可得，由翻折可得，，即，进而根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可得，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 44．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 45．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，，E为上一点，连接，，，将沿折叠，使点A落在点F处，连接，，．下列结论：①；②；③；④是等腰直角三角形；⑤，其中，正确的结论个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】延长交于点，由折叠的性质可得，，，结合三角形内角和定理求出，从而得出，即，即可判断①正确；由折叠的性质可得，再证明，即可判断②正确；证明，得出，即可判断③正确；求出，再结合，即可判断④正确；由等腰三角形的性质可得，再判断出，即可判断⑤错误；从而得出结果． 【详解】解：①如图，延长交于点， ， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故①正确，符合题意； ②由折叠的性质可得：， ∵是等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故④正确，符合题意； ⑤∵，于点， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 46．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，在内有一点，将向外翻折至，其中为其对称轴，过点，分别作，的垂线，垂足为，，，，已知，，那么________． 【答案】21 【分析】连接，，根据折叠有，根据，列式计算即可． 【详解】如图，连接，， 将向外翻折至， ， ． ∵过点，分别作，的垂线，垂足为，，，， ∴，，，， ∴ ， ． 47．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)若，将沿直线翻折得到，连接交于． i）如图2，若，求证：为的中点； ii）如图3，交于点G，若，求． 【答案】(1)证明：在中，， ， ， 又， ， 在和中， ； (2)i）证明：如图所示，连接， ， ，， ， ， 由翻折可知， ， ， 是的中线， 为的中点； ii） 【分析】（1）根据三角形内角和定理可证，利用可证结论成立； （2）i）连接，由可证，，根据平行线的性质可证，由翻折可知，从而可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证结论成立； ii）连接，延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，由（1）可知，根据全等三角形的性质可知，，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）i）略 ii）解：如图所示，连接，延长、交于点， 设， ， ， 由翻折可知， ，， ， 在和中， ， ，， 由（1）可知， ，， ，， ，， ， ， 即， 解得：， ，， ． 48．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为等边三角形，点为边上一点；点为边上一点，连接，，． (1)如图，当点是中点时，求的度数； (2)如图，在（1）的条件下，延长交延长线于点，将沿折叠得到，延长到点，使得，连接，线段与相等吗？说明理由； (3)如图，点为射线上一点，连接，将沿折叠得到，延长到点，连接，使得，若，且，求的值． 【答案】(1) (2)线段与相等，理由： ∵沿折叠得到， ∴，， ∵，，共线， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ (3) 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求，结合三角形内角和算出； （2）由折叠得边、角相等，推出直角相等，结合，证三角形全等，得； （3）结合等边、折叠、平行线导等角，证全等得，同高三角形面积比等于底之比，代入线段长度求面积比值． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵点是中点， ∴，即， ∵， ∴； （2）略； （3）∵为等边三角形， ∴，即， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵和等高， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．（25-26八年级上·江西宜春·期中）【课本再现】 折叠常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． (1)【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢？小军同学提供了一种方法：把翻折，使点B落在点C上，折痕分别交、于点D、E（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明； (2)【方法运用】 如图3，在中，，点D是边上一点，连接． ①如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； ②如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由； (3)【拓展提升】 如图4，在四边形中，点C是的中点，，且，，，请直接写出长度的最大值． 【答案】(1) 证明：如图2（2）， 由翻折可知：； ∵， ∴， ∵， ∴； (2)①， ②，理由如下： 在上取点，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】本题考查图形的翻折，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）由翻折可知：；根据即可求证； （2）①将沿翻折，由角平分线得到落在上，则，即可得到 ，代入即可得到； ②在上取点，使得，连接，先证明，得到，再证明，得到，即可得到； （3）把沿向上翻折，使点B落在点上，把沿向上翻折，使点落在点上，由翻折可得，，，，，，再求出，得到是等边三角形，则，最后根据，得到当，在线段上时，最大． 【详解】（1）略 （2）解：①将沿翻折， ∵平分， ∴落在上； ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ②略 （3）解：把沿向上翻折，使点B落在点上，把沿向上翻折，使点落在点上， ∵点C是的中点，， ∴， ∵，， ∴由翻折可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当，在线段上时，最大， 故答案为：． 题型9 轴对称最短路径与将军饮马模型（共8小题） 【模型】"将军饮马"：在直线 l 上找一点 P 使 PA+PB 最小 → 作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B，与 l 的交点即 P。 【步骤】① 作其中一个定点关于动点所在直线的对称点；② 连对称点与另一定点，交点即所求位置；③ 最小值 = 这条线段的长度（常借勾股求）。 【易错】对称点必须关于"动点所在的直线"作；两点在直线同侧才需作对称，异侧直接连线即可；答案要写最小值并说明点的位置。 50．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 51．（25-26七年级下·北京·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质求出边长，作点关于的对称点，连接交于点，连接，利用两点之间线段最短可知即为的最小值，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高，， ∴，，平分， 作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴在上，，， ∴， 即有最小值，为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ， ∴， ∴的最小值为． 52．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质求出边长，作点关于的对称点，连接交于点，连接，利用两点之间线段最短可知即为的最小值，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】解： 是等边三角形，是边上的高，， ，，平分， 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 在上，，， ， 即有最小值，为， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形 ， ， 的最小值为． 53．（19-20八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，等边△中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为_____. 【答案】5 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小，最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′； 【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC， ∵BD⊥AC， ∴AD=DC=3.5cm， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′， ∵AQ=2cm，AD=DC=3.5cm， ∴QD=DQ′=1.5cm， ∴CQ′=BP=2cm， ∴AP=AQ′=5cm， ∵∠A=60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′=PA=5cm， ∴PE+QE的最小值为：5cm． 故答案为5． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称的性质，以及最短距离问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 54．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》在学校的花园里，有一个边长为5米的等边三角形花坛，园艺师要在边的中线上设置一个浇水装置，同时在边上有一株特殊的花卉，已知米．现在需要用水管连接和，再连接和来灌溉花卉．为了更好地规划后续花卉种植，要使得水管长度最短，此时_____． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，最短路径的计算，掌握等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算方法是关键． 根据题意，取的中点，则米，连接交于点，则点关于的对称点为点，由三线合一可证，根据角的和差计算即可求解． 【详解】解：∵是边长为5米的等边三角形， ∴米， ∵米， ∴点是的中点， 如图所示，取的中点，则米，连接交于点， ∴点关于的对称点为点， ∴，此时水管长度最短， ∴，则， ∴， ∵，即， ∴，， ∵点关于的对称点为点， ∴米，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 55．（21-22八年级上·广东韶关·期中）如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴， 的最小值为5． 故答案为：5． 56．（20-21七年级下·山东青岛·期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． (1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由； (2)连接，求为何值时，； (3)若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 【答案】(1) 与始终相等，理由如下： 为等边三角形， ，， 又动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动， ， ， ， 与始终相等； (2)． (3)7 【分析】（1）本题根据题干的条件证明，利用全等三角形性质，即可解题． （2）本题考查几何动点问题及等腰三角形的性质，根据，推出，得到，结合（1）中，等量代换得到，再题意列出方程，即可求解． （3）本题考查利用将军饮马模型求线段和的最小值及等边三角形的判定和性质，作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P，再利用轴对称性确定线段，证明为等边三角形，再由等边三角形的性质求解的长即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 平行于， ， ， 由（1）可知，， ， ， 解得． （3）解：， 平分， 作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P， ， ， ， ，， ，又， 为等边三角形， ， 的最小值为7． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、几何动点问题、将军饮马模型求线段和的最小值，解题的关键在于利用轴对称找出动点取得最小值的位置． 57．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 【答案】(1)A (2) ①， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）将绕点C顺时针旋转得到，得到，根据等边三角形的性质得到，推出点B，A，三点共线，于是得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； ②设与交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，在上截取，得到是等边三角形，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A； （2）①略 ②略 $