专题03垂直平分线与角平分线8大题型47题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题03 垂直平分线与角平分线 基础·固本强基 题型1 线段垂直平分线的性质与判定 题型2 角平分线的性质与判定 题型3 两类等距性质的直接计算 提升·进阶突破 题型4 垂直平分线与等腰三角形的转化 题型5 角平分线结合全等证明 题型6 多条垂直平分线或角平分线交点问题（重点） 拔高·压轴破难 题型7 角平分线—垂直平分线联动综合（重难点） 题型8 等距轨迹与轴对称最短路径（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 垂直平分线的性质与判定（共6小题） 【模型】垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反过来，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【步骤】① 识别垂直平分线（垂直 + 平分两个条件同时成立）；② 用性质得"距离相等"；③ 或由"距离相等"反推点在垂直平分线上。 【易错】判定必须"垂直"和"平分"同时满足，只垂直或只平分都不成立；用判定定理时要先说明"到两端距离相等"。 1．（26-27八年级上·天津河东·阶段检测）如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 6．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F，，，求的周长． 题型2 角平分线的性质与判定（共6小题） 【模型】角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 【步骤】① 识别角平分线；② 把"到两边的距离"画成垂线段；③ 用性质得距离相等（或用判定反推）。 【易错】"距离"必须是垂直距离，随手连一条线不算；用性质前常要先作垂线（辅助线），并写明"作……⊥……" 7．（26-27八年级上·辽宁营口·期中）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，平分，若，则的面积为（     ） A．30 B．21 C．18 D．15 9．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，的平分线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A．6 B．9 C． D． 10．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，平分，垂足为，若，则点到的距离为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 11．（26-27八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，平分交于点，，，则点到的距离为_______． 12．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，中，，是的角平分线，于点E，于点F，若，则的长为_______． 题型3 两类等距性质的直接计算（共5小题） 【模型】垂直平分线给"到两端等距"、角平分线给"到两边等距" → 把等距翻译成线段相等，再列方程求长度或周长。 【步骤】① 标出所有等距得到的相等线段；② 设未知数，把相关边长用同一未知数表示；③ 列方程求解（周长题常用整体代换）。 【易错】垂直距离必须标直角符号；求周长时优先"整体转化"到某一条线段上，逐段硬算容易出错. 13．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 14．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 15．（26-27八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 16．（2026八年级上·河南三门峡·专题练习）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，若，，，则的长为______． 17．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为___________． 提升·进阶突破 题型4 垂直平分线于等腰三角形的转化（共5小题） 【模型】垂直平分线上的点 + 线段两端 → 自然构成等腰三角形（两腰相等）；等腰三角形底边上的中线也是底边的垂直平分线。 【步骤】① 由垂直平分线得 PA=PB；② 得到等腰三角形后用"等边对等角"；③ 结合内角和求角或求边。 【易错】"垂直平分线"与"三线合一"互逆使用时必须写清依据；不能把底边中线直接当成高（除非先证出等腰）。 18．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E，下述结论：（1）平分；（2）；（3）的周长等于；（4）D是的中点．其中正确结论的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 19．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 20．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，已知，，的中垂线交于点、交于点．下列结论：①是的平分线；②是等腰三角形；③．正确的结论有几个（     ） A． B． C． D． 21．（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，是边上的一点，的垂直平分线经过点，与相交于点． (1)求的度数； (2)若，则的周长为___________． 22．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 题型5 角平分线结合全等证明（共7小题） 【模型】角平分线提供一组等角 → 与公共边（或已知等边）组合，凑出 SAS 或 ASA 判定全等。 【步骤】① 由角平分线写出两个相等的角；② 找公共边或已知相等的边；③ 判定全等后推出线段或角相等。 【易错】角平分线只给"角相等"，证全等还差边时要另找（公共边最常见）；别把角平分线当成垂直或平分对边。 23．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）综合应用 (1)【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法． 如图，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （________）注：在括号内填写理由依据 (2)【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)【变式探究】如图3，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 24．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知为的平分线，，点在上，于于．求证： (1)平分； (2)． 25．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)的长度是________． 26．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，平分，点分别在上，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 27．（26-27八年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，求点到的距离． 28．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中， 是上的一点，连接，作交于点， 交于点，且平分，连接． (1)证明： 垂直平分． (2)若面积为，．求的周长． 29．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，，，点D是内一点，且平分，，点E是延长线上一点，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 题型6 多条垂直平分线或角平分线交点问题（共6小题） 【模型】三角形三条边的垂直平分线交于一点（到三个顶点距离相等）；三条角平分线交于一点（到三边距离相等）。 【步骤】① 分清是"边的垂直平分线"还是"角的平分线"；② 用交点性质（到顶点等距 / 到边等距）；③ 结合周长、面积计算。 【易错】两类交点性质别混：垂直平分线交点到顶点等距，角平分线交点到边等距；面积题常用"等距"统一表示高。 30．（21-22八年级下·辽宁辽阳·阶段检测）在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D，E，F分别为垂足，且，则点O到三边的距离分别是（     ） A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5 31．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，，点P是，平分线的交点，则点P到边的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，是边和的垂直平分线，的交点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 33．（21-22八年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，，点为、的角平分线的交点． (1)的度数是_____． (2)请问点是否在的角平分线上？请说明理由． (3)与有什么数量关系？并说明理由． 34．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则_____cm． 35．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，中，，点O是垂直平分线的交点，求的度数． 拔高·压轴破难 题型7 角平分线-垂直平分线联动综合（共6小题） 【模型】同一图形中两类等距同时出现 → 分别转化，再找公共量（常是某段长度）作桥梁联立。 【步骤】① 标出所有由等距得到的相等线段；② 设未知数统一表示各边；③ 列方程（常用勾股定理或周长关系）求解。 【易错】等量关系一多就乱，先整理"每条线段由哪条性质得来"再动笔；设的未知数要贯穿全题，别中途换元。 36．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 37．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，中，边的垂直平分线与的外角的角平分线交于点E，过点E作，垂足为H，则____． 38．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 39．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的平分线，垂直平分于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 40．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 41．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，平分，垂直平分，交于点G，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如果，，求，的长． 题型8 等距轨迹于轴对称最短路径（共6小题） 【模型】到两点等距的轨迹是这两点连线的垂直平分线；到角两边等距的轨迹是角平分线——确定动点轨迹后再用轴对称求最短。 【步骤】① 确定动点所在的轨迹（垂直平分线或角平分线）；② 作对称点，化折为直；③ 用"两点之间线段最短"求最小值。 【易错】对称点要作关于"动点所在的那条直线"；答案要说明"此时动点在哪"，不能只写一个数值。 42．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 43．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（     ） A．4.5 B．4.8 C．6 D．8 44．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 45．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 46．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，中，，，，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点，分别为，上一个动点，则的最小值为__________． 47．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，下面我们运用数学模型解决最短路径问题． 最短路径问题 提出问题 如图1，牧民从A地出发．到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 理解模型 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接A．与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 应用模型 如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处、才能使所建的步道总长度最短？ 迁移延伸 如图5，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E，F． (1)任务一：证明：如图3，在直线l上另取任一点．连接，，． 根据轴对称性质，得， ①， ∴， ∵(② ） ∴，即路径最短． (2)任务二：请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线．（要求：保留画图痕迹，写出结论） (3)任务三：连接，．若，判定的形状，并说明理由． $专题03 垂直平分线与角平分线 基础·固本强基 题型1 线段垂直平分线的性质与判定 题型2 角平分线的性质与判定 题型3 两类等距性质的直接计算 提升·进阶突破 题型4 垂直平分线与等腰三角形的转化 题型5 角平分线结合全等证明 题型6 多条垂直平分线或角平分线交点问题（重点） 拔高·压轴破难 题型7 角平分线—垂直平分线联动综合（重难点） 题型8 等距轨迹与轴对称最短路径（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 垂直平分线的性质与判定（共6小题） 【模型】垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反过来，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【步骤】① 识别垂直平分线（垂直 + 平分两个条件同时成立）；② 用性质得"距离相等"；③ 或由"距离相等"反推点在垂直平分线上。 【易错】判定必须"垂直"和"平分"同时满足，只垂直或只平分都不成立；用判定定理时要先说明"到两端距离相等"。 1．（26-27八年级上·天津河东·阶段检测）如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长为多少即可． 【详解】解： 是线段的垂直平分线， ， 的周长是， ， ， ， ， 又 ， ． 2．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于D点，交于E点， ∴， ∴的周长． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得到，通过线段等量代换，的周长可表示为，即可求解． 【详解】解： 是边的垂直平分线， ， 的周长． 5．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 【答案】8 【分析】根据线段垂直平分线的性质推出，将的周长转化成，即可求出答案． 【详解】解：垂直平分， ． ，，， ． 6．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F，，，求的周长． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，再结合三角形的周长计算即可． 【详解】解：，的垂直平分线分别交于点E，F， ，， ，， 的周长为． 题型2 角平分线的性质与判定（共6小题） 【模型】角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 【步骤】① 识别角平分线；② 把"到两边的距离"画成垂线段；③ 用性质得距离相等（或用判定反推）。 【易错】"距离"必须是垂直距离，随手连一条线不算；用性质前常要先作垂线（辅助线），并写明"作……⊥……" 7．（26-27八年级上·辽宁营口·期中）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式求出的长，结合角平分线的性质求解． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， 是的角平分线，，， ， 点到的距离是4． 故选：． 8．（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，平分，若，则的面积为（     ） A．30 B．21 C．18 D．15 【答案】D 【详解】解：过作于， ∵在中，平分，， ∴， ∵， ∴的面积为． 9．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，的平分线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】利用角平分线的性质，得到点D到、的距离相等，因此和的面积之比等于底边长，再结合两个三角形面积相加等于总面积，列方程求出的面积． 【详解】解：如图，过点作，， 是的平分线， ， ，，     ，， ， 设，则， ， ， ． 10．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，平分，垂足为，若，则点到的距离为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过点P作于点D，由角平分线的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点D， ∵平分，， ∴， ∴点到的距离为10． 11．（26-27八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，平分交于点，，，则点到的距离为_______． 【答案】4 【分析】先求出的长，过点作于点，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴点到的距离为． 12．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，中，，是的角平分线，于点E，于点F，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】过作于点，根据角平分线的性质得到，再根据计算即可． 【详解】解：过作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． 题型3 两类等距性质的直接计算（共5小题） 【模型】垂直平分线给"到两端等距"、角平分线给"到两边等距" → 把等距翻译成线段相等，再列方程求长度或周长。 【步骤】① 标出所有等距得到的相等线段；② 设未知数，把相关边长用同一未知数表示；③ 列方程求解（周长题常用整体代换）。 【易错】垂直距离必须标直角符号；求周长时优先"整体转化"到某一条线段上，逐段硬算容易出错. 13．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵线段的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∴的周长． 14．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长． 【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，， ，， 的周长为， ， 的周长为：． 15．（26-27八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【答案】13 【分析】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 16．（2026八年级上·河南三门峡·专题练习）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，若，，，则的长为______． 【答案】2 【分析】由角平分线的性质定理可得，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴， 即的面积为． 提升·进阶突破 题型4 垂直平分线于等腰三角形的转化（共5小题） 【模型】垂直平分线上的点 + 线段两端 → 自然构成等腰三角形（两腰相等）；等腰三角形底边上的中线也是底边的垂直平分线。 【步骤】① 由垂直平分线得 PA=PB；② 得到等腰三角形后用"等边对等角"；③ 结合内角和求角或求边。 【易错】"垂直平分线"与"三线合一"互逆使用时必须写清依据；不能把底边中线直接当成高（除非先证出等腰）。 18．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E，下述结论：（1）平分；（2）；（3）的周长等于；（4）D是的中点．其中正确结论的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， ， ， ，即平分，故（1）正确 ； ， ， ， ，故（2）正确； 的周长，故（3）正确； ， ， ， ，即不是的中点，故（4）错误； 综上所述，正确的结论有3个． 19．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 20．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，已知，，的中垂线交于点、交于点．下列结论：①是的平分线；②是等腰三角形；③．正确的结论有几个（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可计算出，由中垂线的性质可得，进而得到，再分别计算出和即可判断正确的结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线，故①正确， ∵是的外角， ∴，故③正确， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②正确， 综上，正确的结论有3个． 21．（26-27八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，是边上的一点，的垂直平分线经过点，与相交于点． (1)求的度数； (2)若，则的周长为___________． 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，结合已知条件得出答案即可； （2）根据三角形内角和定理得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 22．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由等腰顶角求底角，依托三线合一得到，借助三角形外角建立角度等式算出； （2）利用三线合一推出，对周长做线段等量代换，结合转化线段，代入长度求出周长． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 解得； （2）∵，， ∴， ∴， ∴的周长：， 由（1）知：， ∴， ∴的周长：． 题型5 角平分线结合全等证明（共7小题） 【模型】角平分线提供一组等角 → 与公共边（或已知等边）组合，凑出 SAS 或 ASA 判定全等。 【步骤】① 由角平分线写出两个相等的角；② 找公共边或已知相等的边；③ 判定全等后推出线段或角相等。 【易错】角平分线只给"角相等"，证全等还差边时要另找（公共边最常见）；别把角平分线当成垂直或平分对边。 23．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）综合应用 (1)【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法． 如图，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （________）注：在括号内填写理由依据 (2)【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)【变式探究】如图3，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)；全等三角形的对应边相等 (2) (3)． 证明：过作于，则． ，， ， ， ， ∴． 又 ，而， 平分． 过作于， 角平分线上的点到两边距离相等， ． 在和中，，， ， ． 设，． 中，， ． ， ， ， 而． 再由勾股定理和面积公式： ． 消去，得． ， ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质填空即可； （2）在上取点，使，连接，通过证明，得到、、共线，为中点，再根据与，的面积关系推出的面积； （3）过作于，过作于，由是等腰直角三角形，推出，由于平分，根据角平分线的性质，得到，从而证明，得到．设、，则在中，，通过列出与的关系式，最后利用勾股定理和三角形面积公式推出与的数量关系． 【详解】（1）解：两空分别为ASA、全等三角形的对应边相等． （2）解：如图，在上取点，使，连接． 平分， ， 又 、， ． ，， 、、共线，为中点． ．而与的高相同， ， ． （3）略 24．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知为的平分线，，点在上，于于．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)证明：为的平分线， ， 在和中： ， ， 即平分； (2)证明：，， 、分别是点到两边、的距离， 由（1）可知：平分，且点在上， ． 【分析】（1）利用角平分线定义得到一组相等角，结合已知边相等与公共边，用证明三角形全等，再由全等三角形对应角相等证出平分； （2）结合（1）得到的角平分线结论，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，证明． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 25．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)的长度是________． 【答案】(1)证明：连接           ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，，           在和中， ， ∴，           ∴，           ∴点在的垂直平分线上； (2)2 【分析】（1）连接，，根据证明得，可证点D在的垂直平分线上； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）略． （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 26．（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，平分，点分别在上，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)证明：过点D作于点G，过点D作于点H， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：如图，设交于O， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点D作于点G，过点D作于点H，根据角平分线的性质得出，通过证明，即可得出结论； （2）设交于O，证明，得到，可知，证明，得到，可知． 【详解】（1）略； （2）略． 27．（26-27八年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，求点到的距离． 【答案】(1)全等．理由如下： ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ； (2)① 由（1）可知， ，， ， ，即， 又 ， ； ②点到的距离为 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据证明和全等即可； （2）①根据，得到，，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证结论； ②根据等腰三角形三线合一的性质得到平分，根据，，得到，继而根据角平分线的性质定理得到点到的距离为． 【详解】（1）略； （2）略； ②由①可知，，， 平分， 点到的距离等于点到的距离， ，， ，即， ， 点到的距离为． 28．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中， 是上的一点，连接，作交于点， 交于点，且平分，连接． (1)证明： 垂直平分． (2)若面积为，．求的周长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴点和点 在的垂直平分线上， ∴垂直平分； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质和判定，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定得到，进而得到，，根据垂直平分线的判定方法可证明结论； （2）首先根据三角形全等的性质证明，再利用面积法求出，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得， ∴，， ， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 29．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，，，点D是内一点，且平分，，点E是延长线上一点，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：平分 在和中 (2) (3) 在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形外角的性质、线段垂直平分线的判定及性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由平分得，根据 “”即可证明； （2）根据等腰三角形性质得结合角平分线性质和三角形外角即可解答； （3）在线段上截取，连接，由“”证得，根据全等三角形性质，和线段的和差即可求证结论． 【详解】（1）略． （2）解：， 平分 是的外角 （3）解：略． 题型6 多条垂直平分线或角平分线交点问题（共6小题） 【模型】三角形三条边的垂直平分线交于一点（到三个顶点距离相等）；三条角平分线交于一点（到三边距离相等）。 【步骤】① 分清是"边的垂直平分线"还是"角的平分线"；② 用交点性质（到顶点等距 / 到边等距）；③ 结合周长、面积计算。 【易错】两类交点性质别混：垂直平分线交点到顶点等距，角平分线交点到边等距；面积题常用"等距"统一表示高。 30．（21-22八年级下·辽宁辽阳·阶段检测）在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D，E，F分别为垂足，且，则点O到三边的距离分别是（     ） A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，然后根据角平分线的性质得出点到三边的距离相等，设为，等积法建立关于的方程求解即可. 【详解】解： ∵，，， ∴； ∵点为的三条角平分线的交点，，，， ∴； 设， 连接，，， ∵， ∴，即， 解得； ∴点到三边，，的距离分别是，，. 31．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，，点P是，平分线的交点，则点P到边的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断，角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可． 【详解】解： ，，， ，， ， ， 如图所示，过点P作、、分别垂直于，、，垂足分别为D、E、F，连接 ，的角平分线交于点P， ， ∴ ∴， ， ∴， ∴点P到的距离为1. 32．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，是边和的垂直平分线，的交点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由垂直平分线的性质得出，，，证明，求得，由四边形内角和性质求出，进而由对顶角相等得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，，， ，． ， ， ， ， ，即， ， ． 33．（21-22八年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，，点为、的角平分线的交点． (1)的度数是_____． (2)请问点是否在的角平分线上？请说明理由． (3)与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由点是和角平分线的交点可推出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数； （2）过点分别作的三边的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质和判定即可得到结论； （3）延长，在延长线上取，连接，根据角平分线的定义得到，推出为等边三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： 点是和角平分线的交点， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：在，理由见解析； 过点分别作三角形三边的垂线，垂足分别为， 分别是的角平分线， ， ， 点在的角平分线上； （3）解：，理由见解析 延长，在延长线上取，连接， 分别是的角平分线， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ． 34．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则_____cm． 【答案】18 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 根据垂直平分线的性质可知即可得知三者相加的和． 【详解】解：∵点O为三边垂直平分线的交点 ∴ ∴ 故答案为：18 ． 35．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，中，，点O是垂直平分线的交点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 连接，结合垂直平分线的性质可得，进而可知，结合题意以及三角形内角和定理可得，然后由 求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵点O是垂直平分线的交点，即垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 拔高·压轴破难 题型7 角平分线-垂直平分线联动综合（共6小题） 【模型】同一图形中两类等距同时出现 → 分别转化，再找公共量（常是某段长度）作桥梁联立。 【步骤】① 标出所有由等距得到的相等线段；② 设未知数统一表示各边；③ 列方程（常用勾股定理或周长关系）求解。 【易错】等量关系一多就乱，先整理"每条线段由哪条性质得来"再动笔；设的未知数要贯穿全题，别中途换元。 36．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质和垂直平分线的性质解答即可． 【详解】垂直平分， ， 平分、、， ， ． 37．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，中，边的垂直平分线与的外角的角平分线交于点E，过点E作，垂足为H，则____． 【答案】 【分析】过点E作的垂线，垂足记为F，因为是的角平分线，根据角平分线的性质，所以可推出，且可证明，得到．因为是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，所以，结合已得的，可证明，得到．设的长度为x，用含x的式子分别表示和的长度，结合建立方程，求解得到的长度． 【详解】连接、，过作于． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵平分，，， ∴，且 在和中：， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴． 设，则，是的延长线， ∴； 又， ∴， 解得， 即． 38．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质得，由角平分线的性质得，证明即可； （2）证明，得，由（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵是的平分线，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴，， 上两式相加得， ∴． 39．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的平分线，垂直平分于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵ 是 的平分线，，， ∴ ． ∵ 垂直平分 ，连接、． ∴ ． 在 和 中， ∴ ． ∴ ． (2)2 【分析】（1）先根据角平分线的性质得到 ，再由线段垂直平分线的性质得到 ，利用 证明两个直角三角形全等，证出 ． （2）先用证明 和 全等，得到 ，结合第一问 ，代入 ， 列方程，算出 ． 【详解】（1）略． （2）解：在和中， ， ∴． ∴． 由图可知，，． ∵， ∴． ∵，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 40．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，于，于， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（）由角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，再证明即可求证； （）证明，得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 41．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，平分，垂直平分，交于点G，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如果，，求，的长． 【答案】(1)证明：如图，连接，． 垂直平分， ． 平分，，， ，． 在与中， ， ， ． (2)， 【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质以及角平分线性质得到，，再由证明全等即可； （2）先证明，再由全等三角形的性质结合线段和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，． 在与中， ， ， ， ． ， ， 即， ， ． 题型8 等距轨迹于轴对称最短路径（共6小题） 【模型】到两点等距的轨迹是这两点连线的垂直平分线；到角两边等距的轨迹是角平分线——确定动点轨迹后再用轴对称求最短。 【步骤】① 确定动点所在的轨迹（垂直平分线或角平分线）；② 作对称点，化折为直；③ 用"两点之间线段最短"求最小值。 【易错】对称点要作关于"动点所在的那条直线"；答案要说明"此时动点在哪"，不能只写一个数值。 42．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 43．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（     ） A．4.5 B．4.8 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先过点作交于点，交于点，过点作于点，再利用角的平分线的性质得出，此时有最小值，即的长度，再利用等面积法即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴， 此时有最小值． 又 ， 的最小值为的长度． ∵，，，， ， ∴， 即的最小值是． 44．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，即的最小值为的长度，最后再根据面积法求解即可． 【详解】解：点G在的垂直平分线上， ， ∴， 过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，如图： ∴的最小值为的长度． ∵的面积为， 又∵三角形面积为， ∴， 解得， ∴的最小值为． 45．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 46．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，中，，，，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点，分别为，上一个动点，则的最小值为__________． 【答案】8 【分析】过M作于D，在线段上取一点E，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点P，Q分别为，上一个动点，得到当P在上，Q与E重合时，最小． 【详解】解：过M作于D，在线段上取一点E，使，连接，， ，为的平分线，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， 当P在上时， 点P，Q分别为，上一个动点， 当P在上，Q与E重合时，最小． 47．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，下面我们运用数学模型解决最短路径问题． 最短路径问题 提出问题 如图1，牧民从A地出发．到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 理解模型 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接A．与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 应用模型 如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处、才能使所建的步道总长度最短？ 迁移延伸 如图5，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E，F． (1)任务一：证明：如图3，在直线l上另取任一点．连接，，． 根据轴对称性质，得， ①， ∴， ∵(② ） ∴，即路径最短． (2)任务二：请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线．（要求：保留画图痕迹，写出结论） (3)任务三：连接，．若，判定的形状，并说明理由． 【答案】(1)①，②三角形任意两边之和大于第三边 (2)解：如图所示，点C，D即为所确定的点． 此时步道总长度最短，为的长． (3)解：为等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， 由对称可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形. 【分析】（1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别作点A关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）根据对称性得到，，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 $