精品解析：吉林长春市长春净月高新技术产业开发区长春博硕学校2026-2027学年 九年级上学期数学期中试卷

长春博硕学校 2026-2027学年第一学期九年级期中检测 数学试卷 一、单选题（共8题，每小题3分） 1. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（ ） A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，正面朝上的次数可能为0次，1次，2次，3次，4次， ∴有两次正面朝上的情况可能发生,也可能不发生， ∴该事件是随机事件． 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不能仅通过表达式表面是否含判断，需先化简各选项，再结合二次函数的定义逐一验证． 【详解】解：A选项，的右边为分式，不是整式，不是二次函数． B选项，化简得，的最高次数为1，是一次函数． C选项，化简得，右边为整式，的最高次数为2，且二次项系数为，是二次函数． D选项，中的最高次数为1，是一次函数． 3. 二次函数的图象大致是（ ） A.   B. C. D.     【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，由的符号判断开口方向，由确定顶点位置及对称轴． 【详解】解：， 抛物线开口向下，故 C、D不符合题意； 顶点坐标为， 顶点在第二象限，对称轴为直线在轴左侧，故A不符合题意，故B符合题意． 4. 把二次函数化成一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用完全平方公式展开，再去括号、合并同类项，转化成二次函数一般形式． 【详解】解：． 5. “坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡的坡比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，即可计算答案． 【详解】解：， 斜坡的坡比是． 6. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线和作业纸的横格交于点、、．若线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等， ∴， ∵线段， ∴． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到，然后得到，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ， ． 8. 如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴， 当时，， ∴高度为． 二、填空题（共6小题，每小题3分） 9. 比较大小：___（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方法分别计算两个数的平方，通过比较平方数的大小，结合算术平方根的非负性，反推原数的大小关系，得出的结论． 【详解】解：∵，． 又∵，且​和5都是正数，正数的平方越大，这个数本身也越大， ∴． 10. 若，则锐角________． 【答案】##30度 【解析】 【详解】∵为锐角，且， ∴． 11. 已知二次函数经过和，则这个二次函数的解析式为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二次函数经过和， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为. 12. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形，确定总格子数和黑色区域格子数，利用概率公式计算即可． 【详解】解： ∵游戏板总共有9个相同的小正方形，其中黑色区域占据了其中4个小正方形， ∴击中黑色区域的概率是． 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，菱形中，对角线相交于点，点在上，连接交于点，，已知，.下列说法正确的是___________． ①；②：③：④；⑤点在上运动，连接，，则的最小值为． 【答案】 ①③④ 【解析】 【分析】利用菱形对角线平分对角的性质及已知条件推导角的关系验证①；通过证明及求出，，的长度，进而计算验证②③；利用三角函数定义验证④；利用轴对称性质及勾股定理求最短路径验证⑤． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，，，， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 如图，过点作于点， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴，即，故②错误； ∵， ∴，故③正确； 在中，，故④正确； 如图，作点关于的对称点，则在上，， 连接交于点，此时最小，最小值为， ， 在中，， ∴的最小值为， ，故⑤错误； 综上所述，正确的说法是①③④． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义，负整数指数幂的意义，以及二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，两条完全相同的绳子穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．已知每边每段绳子被选中的机会均等，用画树状图（或列表）的方法，求姐妹两人选中同一条绳子的概率． 【答案】 【解析】 【分析】由画树状图的方法求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 则共有种等可能的结果，其中姐妹两人选中同一条绳子的结果有种， 姐妹两人选中同一条绳子的概率． 17. 如图，平行四边形，交于点E，连接，F为上一点，且．求证：．     【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质结合等角的补角相等，找出，． 由平行四边形的性质结合等角的补角相等，可得出、，利用平行线的性质可得出，进而即可证出． 【详解】 略 18. 如图，学校生物小组的试验园地是一块长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟两横一纵的三条等宽小路．若要使种植面积为，求小路的宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，关键是找到等量关系列方程；由种植面积列方程求解． 【详解】解：设小路的宽为， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：小路的宽为． 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以为边画一个钝角三角形，使； （2）在图②中以为边画一个，使； （3）在图③中以为边画一个，使． 【答案】（1） 如图， 即为所求（答案不唯一）； （2）如图，即为所求（答案不唯一）； 如图： （3）如图，即为所求 【解析】 【分析】（1）过点B作于点M，通过角的正切值的求解方法求解； （2）通过勾股求出边长，再通过勾股定理逆定理求解判断 （3）通过角的正切值的求解方法求解； 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点M， ， 则即为所求（答案不唯一）； 【小问2详解】 如图，，， ，； ，， ，； 则即为所求（答案不唯一）； 【小问3详解】 则即为所求 【点睛】网格作图仍然是基于尺规作图原理，网格是由大小完全相同的正方形排列而成，它的基本构成是网格线和格点，其中网格线之间的关系为平行或垂直，相邻网格线间的距离相等，网格线的交点为格点，通常情况下，网格会有大小限制，并非无限延伸． 20. 一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其他都相同．小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率稳定在___________附近（结果精确到）： （2）若袋子中有4个黑球． ①估算袋子中两种颜色的球的总个数； ②若小明又将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，则摸出黑球的概率为___________．（用含的式子表示） 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）观察统计图，并利用频率估计概率的原理，即可得出结果； （2）①根据总球数黑球个数概率，计算即可得出结果；②根据概率等于所求情况数与总情况数之比，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：观察统计图可知，随着摸球次数的增加，摸到黑球的频率在附近波动，并逐渐趋于稳定，利用频率估计概率的原理，摸到黑球的频率稳定在附近； 【小问2详解】 解：①∵摸到黑球的频率稳定在附近，袋子中有4个黑球， ∴袋子中两种颜色的球的总个数为（个）； ②将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，袋子里黑球的总数变为，球的总个数变为，故此时摸出黑球的概率为． 21. 小明和小刚分别从学校和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了分钟．小刚匀速骑自行车直接回学校，两人在出发分钟时相遇（不停留）．两人离学校的路程（米）与各自离开出发地的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步的速度为_____米/分钟；步行的速度为_____米/分钟；点坐标为_____． （2）求小刚离学校的路程（米）与其离开出发地的时间（分钟）之间的函数关系式； （3）直接写出两人出发多长时间相距米． 【答案】（1），， （2） （3）两人出发分钟或分钟时，相距米 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，即可求解； （2）设小刚离学校的路程与其离开出发地的时间之间的函数关系式为，把和代入，解方程组求出、的值，即可得出答案； （3）设的解析式为，的解析式为，根据，，利用待定系数法求出的解析式为，的解析式为，分相遇前相距米和相遇后相距米两种情况，根据图象分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，小明开始跑步，中途改为步行， ∴小明分钟，跑步米， ∴小明跑步的速度为（米/分钟）， ∵小明到达图书馆恰好用了分钟，学校到图书馆的距离为米， ∴小明步行的速度为（米/分钟）， ∵小刚分钟骑自行车行驶（米）， ∴小刚骑自行车的速度为（米/分）， ∴小刚回学校所用时间为（分钟）， ∴点坐标为． 【小问2详解】 解：设小刚离学校的路程与其离开出发地的时间之间的函数关系式为， ∵和在的函数图象上， ∴， 解得：， ∴小刚离学校的路程与其离开出发地的时间之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：设的解析式为，的解析式为， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴的解析式为，的解析式为， 当相遇前相距米时，， 解得：， 当相遇后相距米时，， 解得：， 综上所述：两人出发分钟或分钟时，相距米． 22. 【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点D为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点E，使得，连结，可证，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则的范围是：________． 【拓展应用】 （1）如图，在中，，，，，求的长． （2）如图，在中，D为边的中点，分别以为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则________．（直接写出） 【答案】问题探究：；拓展应用：（1）；（2）4 【解析】 【分析】问题探究：根据三角形三边关系求出的范围，进而得到的范围； 拓展应用： （1）延长到点E，使，连接，先证，得到，，在中，根据勾股定理求即可得到的值； （2）延长到点G，使，连接，根据，得到，证明，得到，进而得到的值． 【详解】解：问题探究： 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展应用： （1）如图，延长到点E，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴； （2）如图，延长到点G，使，连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，判定并利用相似三角形的性质求线段的长度是解决本题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线上不重合的两点，横坐标分别为． （1）求的值； （2）当两点纵坐标的差为7时，求的值； （3）将抛物线上点和点之间的部分记为图象，当图象上的点的纵坐标随增大而先减小后增大时，求的取值范围； （4）当点在抛物线对称轴左侧，连接，以为斜边向下作直角，使轴，的边与抛物线交于点（点不与的顶点重合），连接，若将的面积分成的两部分，直接写出的值． 【答案】（1） （2）的值为或 （3）的取值范围是或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式即可解答； （2）得到两点的坐标，根据题意列方程即可解答； （3）根据题意可得点在对称轴直线的两侧，列不等式组即可解答； （4）根据题意求得点的坐标，根据或，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为直线， 解得； 【小问2详解】 解：根据（1）可得抛物线解析式为， 点为抛物线上不重合的两点，横坐标分别为， ，， ， 当两点纵坐标的差为7时，可得， 解得或； 【小问3详解】 解：图象上的点的纵坐标随增大而先减小后增大时， ∴点在对称轴直线的两侧， 则可得或， 解得或； 【小问4详解】 解：由（2）知， 当点在抛物线对称轴左侧时，，则点在抛物线对称轴右侧， 此时， 点的纵坐标始终比点的纵坐标小，如图， 轴，， 轴， ， 令， 可得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 将的面积分成的两部分， 或， 即或， 解得或． 24. 如图，在中，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连接，以、为边作．设点的运动时间为秒． （1）_________，________（用含的代数式表示）； （2）当点落在边上时，求的值； （3）连接，当直线与的一条边平行时，求的值； （4）取的中点，连接，是上的点，且，当的中心与点到同一条边距离相等时，直接写出的值．（写出一个满足条件的值即可） 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理计算即可得出的长，设交于点，由对称的性质可得，，由题意可得，再由正弦的定义求出，即可得出结果； （2）当点落在边上时，设交于点，由（1）可得，，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，最后再结合三角形的面积公式计算即可得出结果； （3）分情况讨论：当时，当时，根据平行四边形的性质、平行线的性质，并结合正弦的定义计算即可得出结果； （4）分情况讨论，根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质，并结合三角形中位线定义以及余弦的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 如图，设交于点， ∵作点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴，， 由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当点落在边上时，设交于点， 由（1）可得，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在边上时，的值为； 【小问3详解】 解：如图，当时，设交于点， 由（1）可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 如图，当时，设交于点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵与交于点， ∴与不平行； 综上所述，当直线与的一条边平行时，的值为或； 【小问4详解】 解：连接、、， ∵点是的中心， ∴点为、的交点，， 如图，当时，点与点到的距离相等，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴，即， 由（3）可得，此时； 如图，当时，点与点到的距离相等，连接， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即， ∵， ∴点、、三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴； 如图，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， ∵点为的中点， ∴，即， 作于点，于点，则，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，， ∴，即， 假设，则， 解得，不符合题意，舍去， ∴与不平行， 故不存在点与点到的距离相等的情况； 综上所述，当的中心与点到同一条边距离相等时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校 2026-2027学年第一学期九年级期中检测 数学试卷 一、单选题（共8题，每小题3分） 1. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（ ） A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 无法确定 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象大致是（ ） A.   B. C. D.     4. 把二次函数化成一般形式为（ ） A. B. C. D. 5. “坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡的坡比是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线和作业纸的横格交于点、、．若线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分） 9. 比较大小：___（填“”“”或“”）． 10. 若，则锐角________． 11. 已知二次函数经过和，则这个二次函数的解析式为___． 12. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 14. 如图，菱形中，对角线相交于点，点在上，连接交于点，，已知，.下列说法正确的是___________． ①；②：③：④；⑤点在上运动，连接，，则的最小值为． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 如图，两条完全相同的绳子穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．已知每边每段绳子被选中的机会均等，用画树状图（或列表）的方法，求姐妹两人选中同一条绳子的概率． 17. 如图，平行四边形，交于点E，连接，F为上一点，且．求证：．     18. 如图，学校生物小组的试验园地是一块长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟两横一纵的三条等宽小路．若要使种植面积为，求小路的宽． 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以为边画一个钝角三角形，使； （2）在图②中以为边画一个，使； （3）在图③中以为边画一个，使． 20. 一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其他都相同．小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率稳定在___________附近（结果精确到）： （2）若袋子中有4个黑球． ①估算袋子中两种颜色的球的总个数； ②若小明又将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，则摸出黑球的概率为___________．（用含的式子表示） 21. 小明和小刚分别从学校和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了分钟．小刚匀速骑自行车直接回学校，两人在出发分钟时相遇（不停留）．两人离学校的路程（米）与各自离开出发地的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步的速度为_____米/分钟；步行的速度为_____米/分钟；点坐标为_____． （2）求小刚离学校的路程（米）与其离开出发地的时间（分钟）之间的函数关系式； （3）直接写出两人出发多长时间相距米． 22. 【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点D为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点E，使得，连结，可证，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则的范围是：________． 【拓展应用】 （1）如图，在中，，，，，求的长． （2）如图，在中，D为边的中点，分别以为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则________．（直接写出） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线上不重合的两点，横坐标分别为． （1）求的值； （2）当两点纵坐标的差为7时，求的值； （3）将抛物线上点和点之间的部分记为图象，当图象上的点的纵坐标随增大而先减小后增大时，求的取值范围； （4）当点在抛物线对称轴左侧，连接，以为斜边向下作直角，使轴，的边与抛物线交于点（点不与的顶点重合），连接，若将的面积分成的两部分，直接写出的值． 24. 如图，在中，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连接，以、为边作．设点的运动时间为秒． （1）_________，________（用含的代数式表示）； （2）当点落在边上时，求的值； （3）连接，当直线与的一条边平行时，求的值； （4）取的中点，连接，是上的点，且，当的中心与点到同一条边距离相等时，直接写出的值．（写出一个满足条件的值即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $