精品解析：吉林长春市朝阳区长春高新技术产业开发区尚德学校2026-2027学年上学期九年级数学期中试题

2026-2027学年度上学期阶段大练习 九年级数学试题 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：含，不是整式方程，不符合． B选项：整理得，是仅含一个未知数且最高次数为2的整式方程，符合． C选项：化简得，未知数最高次数为1，不符合． D选项：含、两个未知数，不符合． 2. 若关于x的方程的一个根为1，则a的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根为1， ∴， 解得：． 故选：A． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据配方法的步骤解答即可． 【详解】解：， ， ， . 4. 如图，已知直线，直线交直线、、于点、、，直线交直线、、于点、、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法． 如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为（ ）米． A. 7.5 B. 7 C. 6.5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定．由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得米， 故选：D． 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，找出相似比是关键． 根据题意，得到，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，的周长为， ∴的周长是， 故选：B ． 7. 如图，将直角三角形纸片按如图方式折叠再展开，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 四边形周长是周长的2倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及图形折叠的性质、平行线的判定．熟练掌握相似三角形的判定与性质以及图形折叠的性质、平行线的判定是解题的关键． 根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质对每个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A.由折叠可知，， ， 故该选项正确，不符合题意； B.， ， 且由折叠的性质可知， ， ， ， 故该选项正确，不符合题意； C.， ， ，即， 故该选项正确，不符合题意； D.，且由折叠的性质可知， ， ， ，，， ， 的周长， 四边形的周长， 四边形的周长不是的周长的2倍， 故该选项错误，符合题意． 故选D． 8. 如图，在中，为坐标原点，，，且点，都在反比例函数的图象上．若点横坐标为1，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作轴，轴，且线段和线段的延长线交于点M．根据题意易证，又可用k表示出A点坐标．从而即可求出用k表示的B点坐标，代入反比例函数解析式，解出k即可． 【详解】如图，作轴，轴，且线段和线段的延长线交于点M． ∵，， ∴， ∴在和中， ∴． 根据题意可知A点坐标为， ∴，， ∴B点坐标为， 又∵点B在该函数图象上， ∴， 解得：． 经检验都是原方程的根． ∵函数图象在第一象限，即， ∴舍去， 故． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质．一元二次方程的解法，作出辅助线是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将点向上平移两个单位后得到的点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标平移． 点横坐标不变，纵坐标加，即可得平移后的点的坐标． 【详解】解：， ∴将点向上平移两个单位后得到的点坐标为． 故答案为：． 10. 若，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质与分式的化简求值．熟练掌握比例的性质与分式的化简求值是解题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算． 【详解】由 ，设 ，（其中 ）， 则 ， 所以 ． 故答案为：． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式，由此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，， 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． 12. 如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE． 【答案】∠D=∠B（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可． 【详解】解：∵∠DAB=∠CAE ∴∠DAE=∠BAC ∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时△ABC∽△ADE． 故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作直线，交于点．若，，则线段的长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】该题考查了尺规作垂直平分线，相似三角形的性质和判定，根据作图可知是的垂直平分线，从而得，，证明，列方程即可求解． 【详解】解：根据作图可知是的垂直平分线， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得：，（负值已舍去）， 故， 故答案为：9． 14. 如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的性质推出，，可以证明①说法正确；由平行线分线段成比例分别求得，，可以证明②说法正确；设，利用相似三角形的判定和性质求得，，可以证明④说法正确；根据现有条件不能说明，③说法错误． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，①说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，②说法正确； 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是的面积的12倍，④说法正确； 根据现有条件不能说明，③说法错误； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， 即，． 16. 如图，四边形四边形． （1）_________度； （2）求边x，y的长． 【答案】（1）70 （2）， 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题． （1）由相似多边形对应角相等，可得，再根据四边形内角和为即可求解； （2）根据相似多边形对应边长成比例，可得，代入数值即可求解． 【小问1详解】 解：四边形四边形，， ， 四边形内角和为，，， ， 故答案为：70； 【小问2详解】 解：四边形四边形， ， 即， 解得，． 17. 某商场购进一批台灯，9月销售200个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到288个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变，求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 【答案】10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20%. 【解析】 【分析】根据9月销售量与月平均增长率的数量关系，结合11月销售量列一元二次方程求解． 【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，由题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为． 18. 已知：关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：∵方程的二次项系数为1， ∴方程为一元二次方程， ∴ ， ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论为何值，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）先确定方程为一元二次方程，再计算判别式，即可证明结论； （2）利用根与系数的关系，可得，，代入，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在中，为延长线上一点，，过作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，则___________． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查两小时三角形的判定和性质平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，得到，即可证明结论； （2）先证明，得到，求出，由（1）知，得到，求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， 故答案为：． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中画出的中线． （2）在图的边上找到一点E，使． （3）在图的边上找到一点F，使． 【答案】（1） 的中线如图所示： （2） E点如图所示： （3）F点如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了网格中作图，涉及矩形的性质、三角形中线的定义、平行线分线段成比例定理、三角形的面积公式等，掌握这些是解题的关键． （1）利用矩形的性质找到的中点D，连接C、D即可； （2）利用平行线分线段成比例定理找到E即可； （3）利用相似三角形的判定与性质，即可找到F． 【小问1详解】 解：因为矩形的对角线互相平分，所以D如图所示，连接C、D即可得到的中线； 【小问2详解】 因为平行线分线段成比例，所以； 【小问3详解】 取点M、N，连接M、N交于F点， 则， ， ， 因为三角形高相等时，底边长度之比等于三角形面积之比，所以． 21. 我们有时会碰上形如的式子，其实我们可以将其进一步分母有理化．形如的式子还可以用以下方法化简：．参照式的化简方法解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】 【分析】（1）参照题干所给方法进行化简即可得； （2）先参照题干所给方法进行化简各式子，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题关键． 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 【答案】[教材呈现]；（1）；（2） 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键． [教材呈现]由四边形是矩形，得到，，，根据勾股定理得到，通过，得到，列方程即可得到结果； （1）证明，得到，求出，由即可求解； （2）作于，在中，根据勾股定理求得，，进而在中求得． 【详解】解：[教材呈现]∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点A到直线的距离； [拓展] （1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 故答案为：； （2）如图③，作于， ∵矩形，，， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设则， ∵将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 23. 如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）线段的长为 ； （2）当时，求的长； （3）当点在边上时，求证：； （4）当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； （4）的长为或. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可； （3）证明，结合，，从而可得结论； （4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案. 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，， 过作于，过作于， ∴四边形为矩形， ∴， 结合（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的右边时，过作于，过作于， 同理：， 四边形四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴； 综上：的长为或. 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点G是线段上一动点，若直线把分成的两部分，求点G的坐标； （3）已知D为的中点，点P是第二象限内一点，当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据题意先求出的面积，再设，，分两种情况①当时和②当时求出点G的坐标即可； （3）当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，则存在或，分类求解即可． 【小问1详解】 解：由得：，， ∵点， 设直线的解析式为，将点B，C的坐标代入得： ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 设，， 分以下两种情况： ①当时，即， ∴， 解得， ∴； ②当时，即， ∴， 解得， ∴． 综上，点G的坐标为或； 【小问3详解】 解：当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，则存在或， 分以下两种情况讨论： 当时，如图， 则且， 即且， ∵D是的中点， 则， 则点； 当时，如图， 则， 则， 过点P作交y轴于点H，则，则点，则点N是的中点， ∵的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 联立和的表达式得：， 则， 即点， ∵点N是的中点， 则由中点坐标公式得：点， 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形相似等，熟练掌握分类讨论是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期阶段大练习 九年级数学试题 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程的一个根为1，则a的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 2 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，直线交直线、、于点、、，直线交直线、、于点、、，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法． 如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为（ ）米． A. 7.5 B. 7 C. 6.5 D. 6 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 7. 如图，将直角三角形纸片按如图方式折叠再展开，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 四边形周长是周长的2倍 8. 如图，在中，为坐标原点，，，且点，都在反比例函数的图象上．若点横坐标为1，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将点向上平移两个单位后得到的点坐标为___________． 10. 若，则的值为________． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 12. 如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作直线，交于点．若，，则线段的长为________． 14. 如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 如图，四边形四边形． （1）_________度； （2）求边x，y的长． 17. 某商场购进一批台灯，9月销售200个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到288个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变，求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 18. 已知：关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若，求的值． 19. 如图，在中，为延长线上一点，，过作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，则___________． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中画出的中线． （2）在图的边上找到一点E，使． （3）在图的边上找到一点F，使． 21. 我们有时会碰上形如的式子，其实我们可以将其进一步分母有理化．形如的式子还可以用以下方法化简：．参照式的化简方法解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 23. 如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）线段的长为 ； （2）当时，求的长； （3）当点在边上时，求证：； （4）当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点G是线段上一动点，若直线把分成的两部分，求点G的坐标； （3）已知D为的中点，点P是第二象限内一点，当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $