专题05 由递推关系求通项的方法（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05由递推关系求通项的方法 题型归纳 题型一由前n项和或前n项积求通项 题型二累加法求通项 题型三累乘法求通项 题型四构造等差数列与等比数列 题型五取倒数、取对数与平方变形 题型专练 题型一：由前n项和或前n项积求通项 1.已知数列{an}的前n项和S,=n2+2n-1,则数列{a,}的通项公式为() A.a=n+l B.d=2n [2,n=1 [2,n=1 C.an= 2n-1,n≥2 D.an= 2n+1,n≥2 【答案】D 【详解】因为数列{an}的前n项和Sn=n2+2n-1, 当n=1时，4=S,=12+2×1-1=2: 当m≥2时，a.=S,-S=(m+2n-)-[(n-+2(n-）-1]=2n+1. 2,n=1 4=2不满足4，=2n+1'故a.= 2n+1,n≥2 2.已知正项数列{an},满足a=1,a4,+a,4,+…+a1+(n+l)a=l,则a6=() A.2 1 C.2026 D. 2026 【答案】D 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】令n=1,可求出a的值：令n≥2，由44，+a,a++a,a+(+)a1=l得 a,a,+a,a+…+an-1a,+na=l,两式作差推导出数列{nan}为常数列，求出数列{a}的通项公式，即可得 解 【详解】对任意的neN,an>0,且a=1, 当n=1时，则有a42+2a=1, 即2a+a,-1=0,解得a=2或a,=-1(舍)： 当n≥2时，由44+a,a,+…+a,a1+(n+1)a1=1①， 可得a4+a,a+…+am-an+na=1②， ①-②得aan1+(n+l)ai1-na=0, 整理可得[(n+1)a+1-nan](a1+an)=0, 由题意知an1+an>0,所以(n+1)a1=nan, 1 又因为4=l,a,=2,可得2a,=1-a,也满足等式(n+)al=ma.’ 故当n=1时，等式(n+l)am1=nan也成立， 故对任意的n∈N,(n+l)a=na,故数列{na}为常数列， 故对任意的n∈N,则na,=a=l, 1 1 所以an=三 ,故4026=2026 3.已知数列a,的各项均不为0，共前碳积为T,且受+是=eN).则=() 2025 2025 A.2026 B ,1013 2024 4048 ℃.2025 D.2025 【答案】B 【详解】当n=1时，4=7，受+受-山，得7=4=1 22 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-1 222- 有21Tm+T=2,T+1工’得工T =1 2" 2 ，则6-b1=14=元2。 .数列b}是以2为首项，公差为1的等差数列，即b,=2+(n-)×1=n+1: 7=2”2 6n+aeN)片 22025 4s-2=202s+1-2×20252025 2202 20261013 2024+1 4.己知数列{an}中，a=2027,对任意正整数n,均有4+4，+…+a.=na,则a6的值为一 【答案】1013 【分析】根据题意，由数列{a的前n项和Sn与an的关系得出数列am}的通项公式即可求解. 【详解】设数列{an}的前n项和为Sn,由a1+a2+…+an=nan可得，Sn=nan, 当n≥2时，有Sn=(n-la1,两式相减，a.=Sn-Sn=na。-(n-1)a1, 化脑利子品 则当n≥3时，a=4号22-2027××2×24××1-2- a a2 an-2 an 3456 nn+l 2×20274054 解得a, n(n+1n(n+可：当n=1时，a=2027,符合：当n=2时，由a+a,=4a,求得 4420 3，也符合 4054 1 所以406-2026×20271013 5.已知数列满足a+号+号+…+告=1 n 2*,则数列{an}的通项公式为 3 【答案】a,= 2+1,n≥2 【分析】根据给定条件，利用数列第n项与前n项和的关系分段求解. 3/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解扪数列a,4+号+导++号=1女，当n1时，4=1} 449 受+号+…号=1女，两式相藏得会=0--0宁点 、1 当n≥2时，4+ 23 n 3 整理得an= 2m,而a=4不满足上式。 3 所以an= n 2*1,n≥2 6.已知数列(a,}的前n项和为S,且a,+S,=6-,4 (n+2)a, 2一设b,=2nm+l21-D,数列伍，}的前n项和为T.: 则T,= 1 【答案】1n+2（neN) 【分析】先利用a。与S,的关系求数列{a,}的通项公式，再利用裂项相消法求数列b,}的前n项和. 【详解】因为a.+5,=6-4 2-1, 当n=1时，2a=6-4=2→a,=1. 当n≥2时，0，+S.=6-4, 2,01+S1=6-4 2-2, 444 两式相减得，2a,-a1=272=2, 两边同乘以2-1得，2”a。-2"a=4. 又2a=2, 所以数列{2”，}是以2为首项，以4为公差的等差数列， 所以2”0，=4n-2=202m-)→8-20 2-1 (n+2)a ,m+2)2-1.n+2=21-1] 所以6-2nm+l2n-)2na+1(2n-)2nn+0-2 2n-2(n+）-2; 1 所以T,=2 11111 1×2 4/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 =1-(n+1)2,neN" 7.已知数列{a,}的前n项和为Sn,且a=2,nS1=(n+1)S。+n2+n+1,则数列{2}的前n项和T,= 22m+3-20 8.4”-20 【答案】 (或等价形式3 【分析】由Sn与a的关系，求得a1-a,=2,从而得到数列{0m}是首项为2，公差为2的等差数列，求得 a,进而求得数列2}的通项公式，再由等比数列的前n项和公式求得T, 【详解】nS1=(n+)Sn+n2+n+1,得nSn1-nS,=Sn+n2+n+1, 即nan+1=Sn+n2+n+1, 当n≥2时，(n-1)a.=Sn-1+(n-1)'+(n-1)+1 两式相减，得a1-(n-)a,=(S。-Sn)+n2-(n-]+[n-(n-] 化简，得n(a1-a)=2n,所以a1-a,=2。 当n=1时，a2=a+3=5. 所以当n≥2时，a,=5+(n-2)×2=2n+1, 又4=2，不满足上式 所以数列{a,}从第2项开始，是公差为2的等差数列， [2,n=1 所以0n= 2n+1,n≥2 所以2= 4, n=1 22m,n22 所以数列2}从第2项开始，是公比为4的等比数列： 5(1-4-）22*3-20 当≥2时，7=4+ 1-4 3 T=4符合上式， 2m+3-20 所以数列{2}的前n项和为T,= 3 题型二：累加法求通项 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.在数列{a}中，a=a.+n,若an=46,a=1,则n的值为（) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【分析】通过累加法求得，，进而可求解 【详解】an+1=an+n,.a+1-an=n,an=(an-a-i)+(an-1-an-2)+…+(a2-a)+a1,n≥2 D8=(m-0+m-2)+…+1+am-n+a,n>2’则有0，=2十4，n22 2 12-1, 又n=1时，4=2+a成立， 所以a=n 2+d,MEN 区0三460=346”0+1，整理得900 2 解得n=10或n=-9(舍)， 则n=10 2.己知数列{a}满足递推关系a,=an+23,且首项a=2,则数列{a}的通项公式为() A.an=3-3- B.an=3”-1 C.a =3-1+1 D.an=3+3- 【答案】B 【分析】利用累加法，结合等比数列前项和公式分析即可. 【详解】当n≥2(neN)时，由a,=an+23-→a,-a1=23, 则01-am-2=23m-2 a4-2-a3=233 a4-a3=233, a3-42=232 a2-a=23, 累加得：a,-a=23+232+…+23-2+23, 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即0n=41+23+232+…+23"-2+23-1 因为4=2，所以0，=2+23+232+…+23-2+23=23°+23+232+…+23-2+231 =2×(3°+3+32+…+3-2+3-)=2× 1×1-3”) =3”-1, 1-3 当n=1时，a=3'-1=2满足题意，故数列{a,}的通项公式为：a.=3”-1(n∈N) 111 3。已知数列a}满足a=6:0-2=a+2m,则日+西。+…+a=（) 9 10 A.10 B.11 19 20 C.20 D.21 【答案】D 【分析】利用累加法求得m,利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，am+1-2=an+2n,a2=6, 令n=1,得02-2=41+2，a=a2-4=2, 又可得am1-an=2n+2,an-an-1=2n(n≥2). 所以an=a+(a2-a)+(a3-a2)+…+(an-an1) =2+4+…+2n=2+20.n=n0n+1), 2 1211 当n=1时a=2也符合上式，所以a,=n(n+l）则a,nn+1 a20223 4.在数列{a,}中，a=l,n(n+10(a1-a)=1,(neN),则a6=（) 4043 4051 A.2025 B.2026 4049 4051 ℃.2026 D.2025 【答案】B 【分析】将原等式变形化简，利用累加法求出，进而求得结果. 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 111 【详解】因为nn+1a1-a)=1则u-a,n+D元n+7 当2，。=a-aa440a-a)a-品}22】 +t-》1112 n n 显然a=1满足上式，即有a,-2m-1 ，所以4%-2×2026-14051 20262026· 2 5.已知数列{a,}满足a=2a.1=a,++2n,则a。=（） 31 A.a.=2n+1 -31 B.a=2n+2 C.a,=2-11 n+1n+2 D.0,=2-11 nn+l 【答案】D 【分析】利用累加法结合裂项相消法求解. 1 》0+2:0=at1】 11 【详解】因为42a=0+m十2三a+ n-1n+1即a.a-n-1n+1, 所以n≥2时， 11 an-an-= n-1n+1' 11 0n-1-0n-2= n-2n' 11 a-a-24' 4-41 又4=2' 上述n个等式相加得： nn+l 1 a=2也适合上式， 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a,=2-11 nn+l 6.己知数列{an}满足a=1,a。-a1=2”"aa1,则a.= 1 【答案】2”- 【分析】由a,-a=2”a.a1两边同时除以a,aH,采用累加求和的方法求通项 【详解】若0+1=0，则a。-a1=0,即a,=a1=0,这与4=1矛盾， 所以0n+1≠0 由a。-a+1=2“a,aH两边同时除以a01, 11=2 得aan 1-1=21-1=21-1=21=2 则aam- ’aa-22aa2,aa 上面的式子相如可得：4，日 11=2+2+2++2-20-22-2m22 1-2 1 a.=2”-1' 1 当n=1时，42一1，满足条件， 1 所以a=2”-1 题型三：累乘法求通项 且。已知正项数列a}满足014=，2 1 ∫n2 2=2n4=则数列a4 的前10项和为() 220 199 A.21 B.19 c.2 。 【答案】A 【详解】根据题意可得(2n-1(a-a,)=2a,即(2n-l)a1=(2n+1)a, 所u号则气2时，《=a受2=4得 3ax3x3x×2n-l=gx2n-1 1 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 因为4=2，所以a,= 2n-1 2· n2 4n2 4n2 所以a,anl (2n-1)(2n+1）4n2-1 1d1 n 则数列a,ani 的前0项和=10+兮}号+g动=10+日引》。 da2n-1 2.若数列{a,}的首项为1，且a,2n+1,设b,=a,a1:则数列{，}的前20项和S为（） 1 1 A.20 B.41 40 20 C.41 D.41 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列a}的通项公式，再根据b。=a。·a1进行裂项相消法求和即得. 羊解)=21，则0n=4×2兰×4x.,y0 a az as an 135.2n-31 =1×二×-×二×…× 357 2当n1时，符合影意，放 11_111 则6=aa2n-2n+22m-2n+入 散-6+660-月-写3…+园 1 +(。-正=，×0-)=20 2 故选：D. 3.在致列a,4=小=-.若mN,a,>3r:则的聚值孢且为() A（ B.(-1,1) c〔 【答案】A 01=5(n+1) 【分折】张题意可得。”。利用累乘法求出a的通项公式，依题意可得5”>(-3)2对 Vn∈N恒成立，再分n为奇数、n为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得。 10120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为04=5+》口，所以2-5+ n a n a-4x4×0xx0=5-×2x2x4x 当n≥2时，aaa,aa 7=nx5m-1 123 n-1 因为a=1,所以a=nx5(n≥2），又a=1×5=1,所以a,=m×5: 由neN,a>n(-3),得5>(-3)对neN恒成立： 当，为致时得 为增函数，则入 n 当，为偶数时。- 恒成立，易知y= 3 为减函数， 故1的取值范国为( 故选：A 4.在数列{a,}中，a=3,3a1=a.9,则a,=（) A.316 B.317 C.38 D.39 【答案】B an1-1 【分析】由已知得到。写×9，利用累乘法求出2即可得解 【详解】30=2g,2-×9 a 3 4,=2.gg.g4=}x 9xx9xIx9xIx9x3 aaa,a 3 3 3 ×943+2×3=34×32)）°×3=37. 故答案为：B 5已知数列a}满足。=2,6=， =a,，且{b.}是公比为2的等比数列，么=8，则a,+a,=( 11/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.222+229 B.221+22 C.222+228 D.221+229 【答案】A 【分折们由题意求出化)的通项公式，再限照么一会·利用米果头求出≥2时。，的表达式，验证。即 可确定{a}的通项公式，即可求得答案 【详解】由题意知亿}是公比为2的等比数列，b=8, 则bn=b×2"-3=8×2”-3=2": 故当n≥2时，6=2】 0n-1 n(n-1 则0，=008244=22…2-2=2g an-10n-2an-341 1(1-) 当n=1时，a,=2=22也适合上式， n(n-1 044=22+22 故an=22,则a,+a。=22”+22 故选：A 6.已知正项等差数列a,}满足。+a,++8=n+2aeN,则4 A.670 B.675 C.2025 D.4050 【答案】B +2=n+2 【分析】根据恩意结合等差数列性质可得a,三n，利用累乘法运算求解即可 【详解】因为数列a}为正项等差数列， 4+a++L1=n0,=02=”日 +2=n+2 则a,+a,++annm,a,2n+2即 an n 得9=54.7 02025-2025 可得a3G,5…a2023 a5-2025-675 累乘可得a,3 故选：B 12120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.己知数列{an},an=a(n≥2)，a=e,则数列{an}的通项公式为an= 【答案】e 标1取对数，化简运算可得na.-n-?≥2)，利用累乘法求出lna,=nna=n,即可求解 【详解】因为an=a(n≥2)， n1na2=”(n≥2)， 所以na,=na=na,即ha1n-y n-1 所以na1,na,2,,na,1n-1, 所以na,na Ind 1 2 n-1 na=n(n22),又a,=e' 所以1n 所以na,=nlna=n, 所以an=e(n≥2)，a=e也符合， 所以an=e”. 故答案为：e” 题型四：构造等差数列与等比数列 1.已知数列a}的前n项和为S,满足4=1，a1-20=3,则S,=() A.108 B.109 C.110 D.111 【答案】B 【分析】通过构造等比数列求出{a的通项公式，再由分组求和即可求得S;. 【详解】由题意得01=2a,+3,两边同时加3得01+3=2a,+3+3=2(a,+3),又a+3=4, -2,即a+3到是以2为公比。4为省项的等比数列 则a.+3 即a,+3=421=21,则an=21-3, 则S,=2-3+23-3+24-3+2-3+26-3=22+23+24+2+26-5×3 40-2）-15=109 1-2 13120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知数列{an}满足a1=1,a1-(n+l)a=2n(n+1),则a2o26=() A.2026×2027 B.2026×2028 C.2026×4051 D.2026×4052 【答案】C 【分析】利用数列递推公式推出数列”是等差数列，求出数列{a,}的通项，即可求得答案 【详解1因为a-a+a=2na+所以后常费-2， 所以n是首项为1，公差为2的等差数列， 所以g=2n-L,所以a,=n(2n-）, n 所以02026=2026×4051 3.已知数列a,}满足4=1a2平3a(aeN).则下列结论中不正确的有《） 1 一+3 为等比数列 {a}的通项公式为a,=2一3 B. 1 C.{a,}为递增数列 D. 的前项和T,=22-3n-4 n 【答案】C +3=21+3 1 【分析】原等式变形为a a. 一+3是以4为首项，2为公比的等比数列，求出 可得a 1 +3通项公式即可求出{a,}及aj 的通项公式，再利用分组求和法及等比数列的前项和即可求出 1 的前项和 【详解】因为 12+30.=2+3 an an +3=2+3 。1 所以a ,又+3=4≠0， a a 1 所以a +3是以4为首项，2为公比的等比数列，A正确： 14/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+3=4×2 a ，即4,2-3B正确： {a}为递减数列，C错误： 1 a广的前n项和7.=(22-3)+(2-3)++(2-3)=22+2++2"）-3n 2×0-2）-3=22-3-4,D正确。 =2× 1-2 4老数列a}的前n项为52”a=2产a-3,且4则3，={) A.22、1 7+1 B221-2211 C.221、1 0+1 D.221、1 20-1 【答案】D 【分析】根据递推关系式可构造出2a-1=4(2”a。-),从而证得数列2”a。-l为等比数列：根据等比 数列通项公式、求和公式，采用分组求和法可求得结果. 【详解】2ta1=2+2a,-3=4-2”an-3,2anH-1=4(2”an-1. 又2a-1=4,数列{2”a。-l是以4为首项，4为公比的等比数列， 2”an-1=4,÷a,=2”+ 2 8=+2+2+2-++++) 2x-2.动 1-2 2021、 =221-2+1- 201. 1 5.数列{a,}满足递推关系a.=3a+3”(neN,n≥2），a=3,则数列{a,}的通项公式为 【答案】a,=-3"(neN) 【分新析】根据已知得子-号号+1，应用构造法及等差数列的定义写出通项公式即可。 【详解由a=+3,得导-号1， 15120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令6=号，即b=b+,neN且n22 所以凸}是公差为1的等差数列， 4=号子1，因t6=1+a-1=n 所以an=b。3=n3”,n∈N 6在数别a}沛，4=gaeN).则a 1 【答案】2026 【分析】构造等差数列计算即可得 【联新1击8n-g品+aeN),则。d-a ,L=0+1-L+1 a,+1 又。1，故数列。为以，为首项。，为公差的等差数列， 1 1 1 1 1 m,则a,=7,即aa62026 故an 7.数列{an}满足a=2,a1=a(a.>0),则a.= 【答案】22“ 阅。=2，所以A是公比为2的等比数列、再利用等比数列的通项公式即得解 【分析】由题得1og2a, 【详解】因为数列{an}满足a=2,a+1=a(an>0), 所以l0g2an+1=2log2an log2 an+1=2 log2 an 所以{1og2a}是公比为2的等比数列， 所以log2a,=log242-=2,an=2 故答案为：22 题型五：取倒数、取对数与平方变形 1 n2+6na,+6a2_n+l 1.己知数列{a,}满足a=2,a 16120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 【答案】54-3 【分析】将递推式配成完全平方后换么，=” ,，再取对数将非线性递推转化为等比数列，求出通项后代入求 得4，. 2 【详解】由题意，对等式整理可得6+60+”-”+ n ，所以 +3 n+1+3 a 设6=” ，则b=2,故(6，+3)}2=b1+3,等式两边取对数可得21g(6,+3)=1g(61+3) 令Cn=g(b,+3),则C=g5,故数列Cn}是首项为g5,公比为2的等比数列， 7 所以C,=lg(6,+3)=2”g5=lg52”，故b,=52”-3,则0，=5-3，则454-3 2.正项数列{a,}满足a=2,2(a2-a,2)=30a,则a23= 【答案】2202 -之=多。设=m≥0，求出m=2得到a,}为等比 【分析】先对2a2-a,2)=30a.变形得到a.a2:设a, 数列，求出答案 【详解】因为2(d4-a)=304,所以 ia-ai=3 antian 2 即 上冯a出=m,则m- 13 ,a2,设a m 2' 1 解得：m=2或2： 因为{an}为正项数列，所以m>0,故m=2, 所以{a}为等比数列，首项为2，公比为2， 所以a2023=2×22022=22023 故答案为：22023 3已知数列a,}的首项。=2，a=202。 an+2,n=1?2,3,…,则02= 【答案】1006 17120 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2a 1 【分析】将am+1= 十2两边取倒数，即可得到 11=1 从而得到 是以1为首项，上为公差的等 a. 2 差数列，即可求出 的通项公式，即可得解： 【详解】解：因为。=2022 11,1 。111 1 。+2,所以a。,+乞即aa2所以{a 是以上为首项， 11,1/ 2 2为公差的等差数列，所以日2十2 -+a-1)=,所以a,=月，所以4：=202106 故答案为： 1006 已知数列a,}满足0=221,4=小已知数列满是么-，d≥2)，自=小则2 4. a 一的最 小值为 9 【答案】4 【分析】先对{a,}的递推式取倒数构造等差数列求。，再用累加法求{b,}的通项，最后转化为对勾函数求 正整数范围内的最小值。 详解】由41二2+1且a上心可得a>0,同理可依次证得。≥0，对“1三22十两边取倒数 之古+2，可宁是以，为的项。2为公若的等差数列，国此。2-，放6-4=2- 1 得aa 由累加法得，当n≥2时，(b-b)+(亿-b,)+…+(亿n-bn-)=3+5+…+2n-1. 6-4-8+2m-)》0-D=m2-1,故6=n≥2， 验证n=1时，也满足上式，故b。=n2. 令6-n+后N,因为届数y=文+ n n n 在(0，V3)上单调递减，在（区，+o)上单调递 增，3<V13<4, 所以数列Cn}在{1,2,3}上单调递减，在{4,5,6，…}上单调递增， 国此当1≤3时数列仁取得最水值6=号当之4时，数列仁取得放小值e,-翠且号学， 2922、29 18120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 因此，当n=4时数列{c}取得最小值4 5.已知数列{an}满足a=0,a1=a,+4a.+1+4n≥)，b,=a,+n,对任意不等于3的正整数m,都 有bm>b,则实数1的取值范围是 【答案】(-24，-16) 【分析】结合递推公式及等差数列的定义得到数列{V口，+口}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求 出{a,}的通项公式，再由二次函数的性质得到关于入的不等式组，解得即可 【详解】由a1=an+4Van+1+4n≥1)，得a1+1=（Va,+1+2(n≥)， 得Va1+1=Van+1+2(n≥)，即Va1+1-Van+1=2(n≥1)， 所以数列{N0,+1}是以Va,+1=1为首项，2为公差的等差数列， 则Va,+1=1+2(n-)=2n-1, 所以an=4n2-4n,于是bn=4n2-4n+n, 因为对任意不等于3的正整数m,都有bm>b, 又二次函数f)=4r-4x+2x图象的对称轴为=4。入 8” 54-元7 由题意得2<8<2，解得-24<入<-16，所以实数2的取值范围是(-24，-16) 6.已知数列满足4=10，a=10a,则an= 【答案】102°1 【分析】an=10a两边取以10为底的对数，得到b=l,b+=1+2b构造数列cn=b,+l,得到数列Cn}是首 项为2、公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式得到，=2”，从而求出b=C-1=2”-1,即可得 到an=102° 【详解】令bn=lgan,则b=lgl0=1. 由am1=10a两边取以10为底的对数， 得b+1=lgan+1=lg（10a)=1+2lgan=1+2bn: 所以数列也.}满足=1，b1=1+2b 令Cn=bn+1, 19120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则C1=b1+1=(1+2b,)+1=2(b,+I)=2cn, 且9=b+1=2. 因此数列{c}是首项为2、公比为2的等比数列，所以c。=2”. 于是bn=Cn-1=2”-1.从而lgan=2”-l,即an=102° 20120面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05由递推关系求通项的方法 题型归纳 题型一由前n项和或前n项积求通项 题型二累加法求通项 题型三累乘法求通项 题型四构造等差数列与等比数列 题型五取倒数、取对数与平方变形 题型专练 题型一：由前n项和或前n项积求通项 1.D 2.D 3.B 1 4. 1013 4.ns1 5.am= n 2*,n≥2 1 61- n+)-2（n∈N) 22m+3-20 8.4”-20 7 3 (或等价形式3 题型二：累加法求通项 1.B 2.B 3.D 4.B 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.D 6. 2”-1 题型三：累乘法求通项 1.A 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.e" 题型四：构造等差数列与等比数列 1.B 2.C 3.C 4.D 5.a,=n.3"(neN) 1 6. 2026 7.22 题型五：取倒数、取对数与平方变形 7 1.54-3 2.22023 1 3.1006 29 5.（-24,-16) 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.102-4 3/3面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05由递推关系求通项的方法 题型归纳 题型一由前n项和或前n项积求通项 题型二累加法求通项 题型三累乘法求通项 题型四构造等差数列与等比数列 题型五取倒数、取对数与平方变形 题型专练 题型一：由前n项和或前n项积求通项 1.已知数列{a}的前n项和S=m+2n-1,则数列{an}的通项公式为() A.a=n+l B.a=2n [2,n=1 [2,n=1 C.an= 2n-1,n≥2 D.dn= 2n+1,n≥2 2.已知正项数列{an},满足a,=1;a4,+a,4,+…+aa+(n+1)a=l,则a6=() A.2 1 C.2026 D. 2026 3.已知数列a,}的各项均不为0，其前n项积为7且受号=(eN),则=（) 2025 2025 A.2026 B.1013 2024 4048 C.2025 D.2025 4.已知数列{a,}中，a=2027,对任意正整数n,均有a+a2+…+a,=na.,则a6的值为一 5.已知数列a}满足4+受+号++号=12 2，则数列{a,}的通项公式为 115 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 (n+2)a, 6。已知数列{a,}的前n项和为s.,且a,+.=6-2产设，=2mn+12n-),数列6，}的前n项和为7 则T,= 7.己知数列{on}的前n项和为Sn,且a=2,nS1=(n+l)Sn+n2+n+1,则数列{2}的前n项和T,= 题型二：累加法求通项 1.在数列{a}中，a1=a,+n,若0n=46,4=1,则n的值为() A.9 B.10 C.11 D.12 2.已知数列{an}满足递推关系a,=a1+23,且首项a=2,则数列{a}的通项公式为() A.an=3-3- B.an=3”-1 C.an=3"+1 D.an=3+3-l 1+1+ 3已知数列a,}满足=6：a-2-a+2m:则4十4++a（） 9 10 A.10 B.11 19 20 C.20 D.21 4.在数列{a,}中，a=1,n(n+1al-a)=l,(n∈N),则a6=() 4043 4051 A.2025 B. 2026 4049 4051 C.2026 D.2025 2 5.己知数列{a,}满足4=2a=a++2m,则a,=（） 31 A.a.=2n+ 31 B.a.-2n+2 C.a,=2-11 n+1n+2 D.8,=2-11 nn+l 6.已知数列{an}满足a=1,an-an1=2"a,a+1,则an= 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：累乘法求通项 a1-0=2 了n2 1. 知正项数列a满起。2n-。,则数列a8的前0项和为（ 220 199 A.21 B.19 c.2 1 131 0.11 4n=2n-1 2.若数列{a,}的首项为1，且a,=2n+1,设b,=a,a1:则数列{6，}的前20项和S,为（） 1 1 A.20 B.41 c. 40 20 D.41 3.在数列a中，4==日，名Na>3r天：则的限值范周为《) A(3别 B.(-1,1) c〔 。.( 4.在数列{an}中，a=3,3a1=a,9,则a,=() A.36 B.37 C.318 D.39 5已知数列}病正4=2，么=会，且物是公比为2的等比数列：么=8：则4+4=( ) A.22+229 B.221+228 C.222+228 D.221+229 6已项彩发数列a浅花号。”eN),则号 25=（） A.670 B.675 C.2025 D.4050 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.己知数列{an},an=a(n≥2)，a,=e,则数列{an}的通项公式为an=一 题型四：构造等差数列与等比数列 1.已知数列a}的前n项和为Sn,满足a=1,a1-2an=3,则S=() A.108 B.109 C.110 D.111 2.已知数列{a}满足4=1，n01-(n+1)a=2n(n+),则a226=() A.2026×2027 B.2026×2028 C.2026×4051 D,2026×4052 a.(neN), 3.已知数列a,}满足4=la=2+30 则下列结论中不正确的有() A. +3 a. 为等比数列 B {a,}的通项公式为a,=2-3 1 1 C.{a,}为递增数列 0. a广的前n项和7=22-3m-4 1 5 4.若数列{a}的前n项和为S.,2a1=22a-3,且a4=2,则So=（) A.221、 227+1 C.221、1 220+1 D.221 2201 5.数列{a,}满足递推关系a,=3a+3”(n∈N,n≥2)，a=3,则数列{a,的通项公式为 6,在数列a}中，4-a-a-aeN).则a= a +1 7.数列{an}满足a=2,a=a(an>0),则a.= 题型五：取倒数、取对数与平方变形 1n2+6na,+6a2=n+l 1.已知数列{a,}满足a=2: a’则a,=一 2.正项数列{an}满足a=2,2(a2-a,2)=3a44n,则a2三 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3已知数列a,}的首项2=2,01=2 ,+2,n=1?2,3,,则a202= 4.已知感列，满足0爱4=已知数列a满足-6a2引有=少用的员 an 小值为 5.己知数列{an}满足a=0,a1=a.+4Va.+1+4(n2),b,=a,+m,对任意不等于3的正整数m,都 有bm>b,则实数元的取值范围是 6.已知数列满足a1=10,a1=10a,则a,= 515