2024-2025学年高二数学人教版A版选择性必修二4.5数列的综合应用

课后作业(十四)　数列的综合应用 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生，必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为a万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过________年，使得木材总量翻两番．(参考数据：log21.15≈0.202，log235≈5.129，log223≈4.524)(　　) A．5 B．6 C．9 D．10 [解析]　第1年：2019年底的木材总量为a万立方米， 第2年：2020年底的木材总量为a(1＋15%)万立方米， 第3年：2021年底的木材总量为a(1＋15%)2万立方米， 第4年：2022年底的木材总量为a(1＋15%)3万立方米， …… 第n年：木材总量为a(1＋15%)n－1万立方米， 木材总量翻两番即为4a，令a(1＋15%)n－1＝4a，则1.15n－1＝4，n－1＝log1.154＝2log1.152＝2×≈9.9，即n≈10.9，又n∈Z，∴n＝11，故第11年时，即至少经过10年，才能使得木材总量翻两番．故选D. [答案]　D 2．(5分)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S6＝(　　) A．62 B．64 C．126 D．128 [解析]　设正数的等比数列{an}的公比为q，q＞0，由a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，得a2＋a5＝2(a4＋2)，∴2q＋2q4＝2(2q3＋2)，解得q＝2.∴S6＝＝126.故选C. [答案]　C 3．(5分)已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2024条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2024，则其公差为(　　) A. B. C. D. [解析]　由题意得，最短弦长a1＝2＝8，最长弦长a2024＝2×5＝10，则公差d＝＝＝. [答案]　B 4．(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＋1＝4an，则使不等式＋＋…＋<1000成立的正整数n的最大值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 [解析]　∵3Sn＋1＝4an，∴Sn＝an－，当n＝1时，a1＝S1＝a1－，即a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1，即an＝4an－1，∴数列{an}是首项a1＝1，公比q＝4的等比数列，则an＝a1qn－1＝4n－1，即＝＝2n－1，∴＋＋…＋＝20＋21＋…＋2n－1＝＝2n－1，若使＋＋…＋<1000成立，则需2n－1<1000，即n≤9，所以满足题意的正整数n的最大值为9. [答案]　C 5．(6分)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．若Sn＝(n＋1)2，则{an}是等差数列 B．若Sn＝2n＋1－2，则{an}是等比数列 C．若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 D．若{an}是等差数列，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1 [解析]　a1＝S1＝4，a2＝S2－S1＝9－4＝5，a3＝S3－S2＝16－9＝7,2a2≠a1＋a3，不满足{an}是等差数列的概念，故A错误；当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n，又a1＝S1＝2满足上式，所以an＝2n，即{an}是等比数列，故B正确；当an＝(－1)n时，{an}是等比数列，S2＝－1＋1＝0，S4＝－1＋1－1＋1＝0，S6＝－1＋1－1＋1－1＋1＝0，不满足S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，故C错误；∵{an}是等差数列，∴S2n＋1＝＝＝(2n＋1)an＋1，故D正确．故选BD. [答案]　BD 二、填空题 6．(5分)农民收入由工资收入和其他收入两部分构成.2017年某地区农民人均收入为13150元(其中工资收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2018年起的6年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2023年该地区农民人均收入约为________元．(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42) [解析]　农民人均收入来源于两部分，一是工资收入为7800×(1＋6%)6＝7800×1.066≈11076(元)，二是其他收入为5350＋6×160＝6310(元)，因此，2023年该地区农民人均收入为11076＋6310＝17386(元)． [答案]　17386 7．(5分)下面给出一个“直角三角形数阵”． ， ，， …… 满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a(i，j)(i，j∈N*)，则a(20,20)＝________. [解析]　设第一列形成的数列为{bn}，则{bn}是首项为，公差为的等差数列，故bn＝，b20＝5.设第20行形成的数列为{cn}，则{cn}是首项为5，公比为的等比数列，故cn＝5·n－1，c20＝.即a(20,20)＝c20＝. [答案]　 8．(5分)在数列{an}中，an＝则其前n项和Sn＝______________. [解析]　当n为偶数时，奇数项、偶数项各有项，则Sn＝[1＋5＋9＋13＋…＋(2n－3)]＋(32＋34＋36＋…＋3n)＝＋＝＋(3n－1)；当n为奇数时，则n－1为偶数，则Sn＝Sn－1＋an＝＋(3n－1－1)＋2n－1＝＋(3n－1－1)． 综上可知， Sn＝ [答案]　 三、解答题 9．(10分)已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求{an}的通项公式及k的值； (2)设数列{bn}的通项bn＝2an，求证：{bn}是等比数列，并求{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)∵等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a， ∴a＋3a＝2×4＝8，解得a＝2， 故数列{an}的首项为2，公差为2， 故an＝2＋2(n－1)＝2n， 前n项和为Sn，且Sk＝＝110， 整理得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(负值舍去)． ∴an＝2n，k＝10. (2)由(1)得bn＝22n＝4n， 故＝＝4，故数列{bn}是等比数列， ∴Tn＝＝×(4n－1)． 10．(10分)设各项均是正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为1的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，求使Tn>成立的最小正整数n. [解]　(1)由题设知＝＋(n－1)＝＋n－1. 则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝2－3＋2n. 由2a2＝a1＋a3得 2(2＋1)＝a1＋2＋3， 整理得a1－2＋1＝(－1)2＝0， 解得a1＝1，故当n≥2时，an＝2n－1. 又a1＝1，满足上式， ∴数列{an}的通项公式是an＝2n－1. (2)Tn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝＝＝， 由Tn>，得>， ∴n>＝100.7， ∵n∈N*，∴n≥101， 即使Tn>成立的最小正整数n＝101. 能力提升 11．(5分)已知数列{bn}满足bn＝2λn－1－n2，若数列{bn}是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C．(－1,1) D. [解析]　数列{bn}是递减数列，则bn＋1－bn＝2λn－(n＋1)2－2λn－1＋n2＝6λn－2n－1<0恒成立，当n为偶数时，6λ<(2n＋1)·2n恒成立，由于{(2n＋1)·2n}为递增数列，所以数列{(2n＋1)·2n}的最小值为20，所以6λ<20，即λ<.当n为奇数时，6λ>－(2n＋1)·2n恒成立，由于{－(2n＋1)·2n}为递减数列，则数列{－(2n＋1)·2n}的最大值为－6，所以6λ>－6，所以λ>－1.综上所述，实数λ的取值范围是. [答案]　A 12．(6分)(多选)如图①，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方作一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图②中的图形；对图②中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图③中的图形，依此类推，我们就得到了一系列图形． 记第n个图形(图①为第1个图形)中的所有线段长度的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题，其中正确的是(　　) A．数列{Sn}是等比数列 B．数列{Sn}是递增数列 C．存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn>2023 D．存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2023 [解析]　由题意，得题图①中的线段为a，S1＝a，题图②中的正六边形的边长为，S2＝S1＋×4＝S1＋2a；题图③中的最小正六边形的边长为，S3＝S2＋×4＝S2＋a；题图④中的最小正六边形的边长为，S4＝S3＋×4＝S3＋；依次类推，Sn－Sn－1＝，所以{Sn}为递增数列，但不是等比数列，即A错误，B正确；因为Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1)＝a＋2a＋a＋＋…＋＝a＋＝a＋4a<5a，即存在最大的正数a＝，使得对任意的正整数n，都有Sn<2023，即C错误，D正确．故选BD. [答案]　BD 13．(5分)设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________. [解析]　由题意可知，数列{cn}的前n项和Sn＝，前2n项和S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋.因为数列{cn}是“和等比数列”，即为非零常数，所以d＝4. [答案]　4 14．(10分)如图，正△ABC的边长为20 cm，取BC边的中点E，作正△BDE；取DE边的中点G，作正△DFG……如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG…，求前20个正三角形的面积和． [解]　设第n个三角形边长为a cm， 则第n＋1个三角形边长为 cm， 设第n个三角形面积为an cm2， 则an＝a2 cm2，an＋1＝·2＝a2 cm2， ∵＝，a1＝S△ABC＝×202＝100 cm2， 所以这些三角形面积成等比数列，且公比q＝， 首项a1＝100，所以前20个正三角形的面积和为 S20＝＝ (cm2)． 创新拓展 15．(13分)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，且2a3，a5,3a4成等差数列，数列{bn}满足bn＝2log2an＋1，Sn为数列{bn}的前n项和． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<4. [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由a2＝2，且2a3，a5,3a4成等差数列，得2a5＝2a3＋3a4， 即4q3＝4q＋6q2，∴2q2－3q－2＝0， 解得q＝2或q＝－(舍去)． ∴an＝a2qn－2＝2·2n－2＝2n－1， ∴bn＝2log2an＋1＝2log22n＝2n. (2)证明：由(1)知，Sn＝＝n(n＋1)， ∴cn＝＝＝， 令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋， 则Tn＝＋＋…＋＋， 两式作差得Tn＝1＋－ ＝1＋－＝2－－， ∴Tn＝4－－<4，即c1＋c2＋c3＋…＋cn<4.4.4*　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列的综合应用 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生，必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为a万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过________年，使得木材总量翻两番．(参考数据：log21.15≈0.202，log235≈5.129，log223≈4.524)(　　) A．5 B．6 C．9 D．10 2．(5分)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S6＝(　　) A．62 B．64 C．126 D．128 3．(5分)已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2024条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2024，则其公差为(　　) A. B. C. D. 4．(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＋1＝4an，则使不等式＋＋…＋<1000成立的正整数n的最大值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 5．(6分)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．若Sn＝(n＋1)2，则{an}是等差数列 B．若Sn＝2n＋1－2，则{an}是等比数列 C．若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 D．若{an}是等差数列，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1 二、填空题 6．(5分)农民收入由工资收入和其他收入两部分构成.2017年某地区农民人均收入为13150元(其中工资收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2018年起的6年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2023年该地区农民人均收入约为________元．(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42) 7．(5分)下面给出一个“直角三角形数阵”． ， ，， …… 满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a(i，j)(i，j∈N*)，则a(20,20)＝________. 8．(5分)在数列{an}中，an＝则其前n项和Sn＝______________. 三、解答题 9．(10分)已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求{an}的通项公式及k的值； (2)设数列{bn}的通项bn＝2an，求证：{bn}是等比数列，并求{bn}的前n项和Tn. 10．(10分)设各项均是正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为1的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，求使Tn>成立的最小正整数n. 能力提升 11．(5分)已知数列{bn}满足bn＝2λn－1－n2，若数列{bn}是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C．(－1,1) D. 12．(6分)(多选)如图①，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方作一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图②中的图形；对图②中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图③中的图形，依此类推，我们就得到了一系列图形． 记第n个图形(图①为第1个图形)中的所有线段长度的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题，其中正确的是(　　) A．数列{Sn}是等比数列 B．数列{Sn}是递增数列 C．存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn>2023 D．存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2023 13．(5分)设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________. 14．(10分)如图，正△ABC的边长为20 cm，取BC边的中点E，作正△BDE；取DE边的中点G，作正△DFG……如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG…，求前20个正三角形的面积和． 创新拓展 15．(13分)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，且2a3，a5,3a4成等差数列，数列{bn}满足bn＝2log2an＋1，Sn为数列{bn}的前n项和． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<4. 学科网（北京）股份有限公司 $$