精品解析：贵州省镇宁民族中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

贵州省镇宁民族中学2023-2024学年第一学期高二年级半期考试 数学试题 一、单选题（共40分，每小题5分） 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 2. 若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A. 5 B. 2 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解. 【详解】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为. 故选：C 3. 与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（ ） A. 3x+4y=0 B. 3x+4y+5=0 C. +4y=0 D. +4y+5=0 【答案】B 【解析】 【分析】关于轴对称的两直线斜率是相反数，过轴上同一点，由此可得． 【详解】直线的斜率是，与轴交点为， 因此它关于轴对称的直线方程是，即． 故选：B． 4. 圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】两圆外切时，有三条公切线． 【详解】圆标准方程为， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴，． 故选C． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线． 5. 若动点．分别在直线和上移动，则线段的中点到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，故其方程为：，故到原点的距离的最小值为. 故选：C 【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值. 6. 已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出直线 经过定点，分别求出，即可求解. 【详解】由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为. 而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为  ， 要使直线与线段有公共点，只需. 故选 ：C. 7. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义理解向量数量积的几何意义，结合图形即可计算得到. 【详解】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是， 所以，， 即的值只有一个． 故选：A. 8. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点A关于直线的对称点，转化为求点与圆上动点距离最小问题即可得解. 【详解】设点 关于直线 的对称点 ， 则 的中点为 ， ， 故 ，解得 ， 要使从点 到军营总路程最短， 即为点 到军营最短的距离， 由点与圆上点的距离的最小值为点与圆心距离减去半径知， “将军饮马”的最短总路程为 ， 故选 ：B 二、多选题（共20分 选对一个得2分、选错得0分、全选对得5分） 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 10. 设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 不存在 【答案】BC 【解析】 【分析】 由基本不等式可得，可得或，即可判断轨迹. 【详解】、，， ，，当且仅当，即时等号成立， 当时，即，此时点的轨迹是线段， 当时，即，此时点的轨迹是椭圆. 故选：BC. 【点睛】本题考查椭圆轨迹的判断，属于基础题. 11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（　　） A. EF平面ABC1D1 B. EF⊥B1C C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线平行证明线面平行，由线线垂直证明线面垂直，再得线线垂直，由线线关系、线面关系可得线线角、线面角. 【详解】对于A，连结BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B， 又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ， ∴EF平面ABC1D1， 故A正确； 对于B，∵平面，且平面，平面， ∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1 又AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B ∴B1C⊥平面ABC1D1 又∵BD1平面ABC1D1 ∴B1C⊥BD1，而EFBD1 ∴EF⊥B1C，故B正确； 对于C，由选项A，可知，在中，可知， 所以，所以EF与AD1所成角不为60°，故C不正确； 对于D，由选项A，可知，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中，可知， 所以，故D正确. 故选：ABD 12. 有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（ ） A. 圆 的圆心坐标为，半径为5 B. 若分别为两圆上两个点，则的最大距离为 C. 两圆外切 D. 若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程即可判断；对于B，画出图形结合三角不等式即可求解；对于C，由的关系即可判断；对于D，画出图形，结合垂径分线定理分析即可. 【详解】对于A，将圆的方程化为标准方程得， 由此可知圆 的圆心坐标为，半径为5，故A选项正确； 对于B，将圆的方程化为，如图所示： 不妨设分别为两圆上两个点，四个点共线， 则由三角不等式可知， 而分别为两圆的半径，即， 是指两圆圆心之间的距离，即， 所以， 由等号成立的条件可知，当且仅当点与点重合，点与点重合时，，故B选项正确； 对于C，由B选项分析可知， 故两圆相交，而不是外切，故C选项错误； 对于D，如图所示： 由题意不妨设，中点为，则， 又由于的半径为， 所以由垂径分线定理可知，即， 所以点的坐标为，又点的坐标为， 所以，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于B、D两选项的判断，因而是否能够准确作出图形、利用数学结合的思想来判断B、D两选项是解题的关键. 三、填空题（共20分，每小题5分） 13. 求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出两直线交点坐标，设出直线方程，代入点求出，得到答案. 【详解】联立，解得，故交点坐标为， 设直线方程为， 将代入得，解得， 故所求直线方程为. 故答案为： 14. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知． 15. 如图所示，在长方体中，，点是棱的中点，则点到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离． 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 点到面的距离：， 故答案为:． 【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间角与距离的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 16. 已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由已知及圆的性质，得四边形是正方形，得，由得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由，得，又是圆的切线， 由圆的性质，得四边形是正方形，则， 因此，椭圆离心率， 所以椭圆C的离心率e的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共70分） 17. 圆的圆心坐标为，且过点 （1）求圆的方程； （2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长． 【答案】（1）；（2）直线与圆相交；. 【解析】 【分析】 （1）由圆心、圆上点坐标求半径，进而写出圆的方程； （2）由点线距求到直线距离，可知直线与圆相交，进而应用几何法求弦长即可. 【详解】（1）圆的半径．故圆的方程为． （2）圆心到直线的距离，即，直线与圆相交，可知弦长为． 18. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点则， 由点是的中点得， 所以① 因为在圆上运动，所以② ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 19. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取中点为，连接，，由，分别为，的中点， 得，，由四边形为正方形，得，， 又为的中点，则，，于是四边形为平行四边形， 因此，又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取PC中点，利用线面平行的判定，结合平行四边形的性质推理得证. （2）根据给定条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由底面，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则. 20. 已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合韦达定理求出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 若直线与轴重合，则，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，所以，， 由韦达定理可得，， 所以， ，解得， 所以，直线的方程为或，即或. 21. 如图、某海面上有0、A、B一个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东 方向且距O岛 千米处，B岛在O岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点. （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西 方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险?请说明理由. 【答案】（1） （2）该船有触礁的危险，理由：由题意得，且该船的航线所在的直线的斜率为， 故该船的航线为直线， 由（1）知圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以该船有触礁的危险． 【解析】 【分析】（1）根据三点坐标代入求出圆的方程； （2）先求出航行路线的方程，再求出圆心到直线的距离，最后判断是否触礁. 【小问1详解】 由题意得， 设过三点的圆的方程为， 将代入，得，解得 所以圆的方程为； 【小问2详解】 略 22. 如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】 （Ⅰ）因为，，是的中点，，所以 即在图2中， ， 从而平面 又，所以平面． （Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先证，，再可证平面，进而可证平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值． 试题解析：（Ⅰ）略 （Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，， 所以为二面角的平面角，所以． 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为， 所以 得，． 设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为， 则，得，取， ，得，取， 从而， 即平面与平面夹角的余弦值为． 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省镇宁民族中学2023-2024学年第一学期高二年级半期考试 数学试题 一、单选题（共40分，每小题5分） 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A. 5 B. 2 C. 7 D. 6 3. 与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（ ） A. 3x+4y=0 B. 3x+4y+5=0 C. +4y=0 D. +4y+5=0 4. 圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 36 5. 若动点．分别在直线和上移动，则线段的中点到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共20分 选对一个得2分、选错得0分、全选对得5分） 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 不存在 11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（　　） A. EF平面ABC1D1 B. EF⊥B1C C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为 12. 有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（ ） A. 圆 的圆心坐标为，半径为5 B. 若分别为两圆上两个点，则的最大距离为 C. 两圆外切 D. 若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为 三、填空题（共20分，每小题5分） 13. 求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程___________. 14. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 15. 如图所示，在长方体中，，点是棱的中点，则点到平面的距离为__________． 16. 已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是__________ 四、解答题（共70分） 17. 圆的圆心坐标为，且过点 （1）求圆的方程； （2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长． 18. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 19. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 21. 如图、某海面上有0、A、B一个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东 方向且距O岛 千米处，B岛在O岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点. （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西 方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险?请说明理由. 22. 如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $