16.1.1同底数幂的乘法（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

16.1 幂的运算 16.1.1 同底数幂的乘法 第十六章 整式的乘法 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解同底数幂的乘法的性质，能正确地运用性质解决一些简单问题. 会用数学的思维推导“同底数幂的乘法的性质”，使学生初步理解从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律. 通过对公式的应用，进一步发展学生观察、归纳、类比等能力，发展有条理的思考能力和表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心. 章前导言 为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长为pｍ，宽为bｍ的长方形绿地，向两边分别加宽aｍ和cｍ，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？不同的表示方法之间有什么关系？ 章前导言 p(a+b+c)=pa+pb+pc 回答上面的问题，要用到整式的乘法知识．本章我们将在七年级学习整式 的加减法的基础上，继续学习整式的乘法．整式的乘法是代数运算以及解决许 多数学问题的重要基础．我们可以类比数的运算，以运算律为基础，研究整式 的乘法运算． 知识回顾 在七年级我们学习过有理数的乘方，回忆一下乘方的相关知识. an 指数 底数 幂 n 个 a 相乘 a×a× ···×a 1.求个相同因数的积的运算叫做_____；乘方的结果叫做___; 将个相乘写成乘方的形式为___. 表示的意义是______________；其中____叫底数；__叫指数； 读作_______________________. 乘方 幂 a n an n 个 a 相乘 a 的 n 次方（或 a 的 n 次幂） = 新课导入 2 搭载国产芯片的“神威•太湖之光” 是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿次的超级计算机，拥有千万核的超级计算机。 6 新课导入 2 1 亿= = 。 搭载国产芯片的“神威•太湖之光” 是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿次的超级计算机，拥有千万核的超级计算机。 100 000 000 108 1 亿亿= = 。 1 亿的1亿倍 108×108 1 0亿亿= = 。 1 亿亿的10倍 10×108×108 108×108= . 10×108×108= . 新课探究 1:一种电子计算机每秒可进行1千万亿()次运算， 它工作s可进行多少次运算？ 我们该如何列式？我们该如何计算？ 1015×103 探究点1 认识同底数幂乘法 ×(10×10×10) （乘方的意义） 3个10 （乘法的结合律） （乘方的意义） 15个10 =(10×10×···×10) 18个10 =10×10×···×10 =1018 1015×103 2 2. 观察算式×，两个因式有何特点？ 2 1016×103 ① 两个因式都是幂的形式； ② 底数都是10. 我们观察可以发现，和这两个因数底数相同，是同底的幂的形式. 所以我们把×这种运算叫做同底数幂的乘法. 新课探究 探究点1 认识同底数幂乘法 同底数幂的乘法 相同底数的幂相乘 新知探究 探究点1 简单的同底数幂的乘法运算 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现规律并提出猜想吗？ （1）105×102＝10（　　）；　　　 （2）a3·a2＝a（　　）；　　　 （3）5m×5n＝5（　　）.（m，n是正整数） (m+n)个5 解：(1)×= =10( ) 10×10×10×10×10×10×10 8 (2)·= ( )×( ) = × =a( ) × × × 5 (3)×=( )×( )= = 5( ) 5 × 5× 5 × 5× 5 × …× 5× 5 m+n (m，n是正整数). 发现 新知探究 探究点1 简单的同底数幂的乘法运算 观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？ 103 ×102 = 10（ 5 ）=10（ ） 23 ×22 = 2（5 ）=2（ ） a3× a2 = a（ 5 ）=a（ ） 猜想：·= （m、n都是正整数） 3+2 3+2 3+2 左边两个数指数的和等于右边的数的指数. 乘数和积都是幂的形式 乘数和积的底数相同 am＋n 新知探究 探究点1 简单的同底数幂的乘法运算 通过上述三个算式的计算规律， 你能计算am·an (m、n都是正整数)吗？ am·an 底数不变 指数相加 = (a·a·····a) · (a·a·····a) ( )个a ( )个a = a·a·····a ( )个a = am+n m n m+n (乘方的意义) (乘法结合律) (乘方的意义) 同底数幂的乘法运算法则 即同底数幂相乘，底数 ，指数 . 新知探究 探究点1 简单的同底数幂的乘法运算 你能用语言描述这一规律吗？ 不变 相加 一般地，对于任意底数 a 与任意正整数 m，n， am·an＝am＋n（m，n都是正整数）. 结果：①底数不变 ②指数相加 条件：①乘法 ②底数相同 典例分析 探究点1 简单的同底数幂的乘法运算 例1、计算： （1）x2·x5；　　（2）a·a6；　　　（3）xm·x3m＋1. 解：（1）x2·x5＝x2＋5＝x7；　 　 （2）a·a6＝a1＋6＝a7；　 （3）xm·x3m＋1＝xm＋3m＋1＝x4m＋1. 公式 am·an = am+n a = a1 新知探究 探究点2 较复杂的同底数幂乘法运算 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示等于什么呢？ 三个或三个以上同底数幂相乘，也具有相同的性质： am·an·····ap = am+n+···+p (m、n都是正整数) 解 ：(1)(－2)×(－2)4×(－2)3 ＝(－2)1＋4＋3 ＝(－2)8＝256 典例分析 探究点2 较复杂的同底数幂乘法运算 例2、计算： （1）（－2）×（－2）4×（－2）3；　　 （2）（m－n）3·（m－n）5·（m－n）4. (2)(m－n)3·(m－n)5·(m－n)4 ＝(m－n)3＋5＋4 ＝(m－n)12. 能算出结果的要算出来 底数是（-2）， 指数分别是是1,4,3 把（m-n）看成一个整体， 底数是（m-n）， 指数分别是是3,5,4 新知探究 探究点2 较复杂的同底数幂乘法运算 ②am·an·ap＝am＋n＋p（m，n，p都是正整数）. 1.不要忽略指数是“1”的因式，如：a·a6≠a0+6 . 2.在运算时，注意把底数看成一个整体，同时注意“负号”. 同底数幂乘法 ①am·an＝am＋n（m，n都是正整数）. 公式中的底数a不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他式子； 新知探究 探究点2 较复杂的同底数幂乘法运算 判断下列计算是否正确，并简要说明理由. 1 2 3 4 练习 5 18 典例分析 例3.计算: (1)(x+y)3·(y+x)4; (2)xn+1·x2·x3-n; (4)原式=a3+5+a2+6-2a1+1+6 =a8+a8-2a8 =0. (3)(b-2)4·(2-b)3; (4)a3·a5+a2·a6-2a·a·a6.  解:(1)原式=(x+y)3+4 =(x+y)7. (2)原式=x(n+1)+2+(3-n) =x6. 指数要合并同类项，进行化简 (3)原式=(2-b)4·(2-b)3 =(2-b)4+3 =(2-b)7. 互为相反数的偶次方幂相等 (b-2)4= (2-b)4 结果要合并同类项，进行化简 典例分析 例4、（1）已知am＝3，an＝21，求am＋n的值. 解：∵am＝3，an＝21， ∴am＋n＝am·an＝3×21＝63. 方法指导： 当幂的指数是和的形式时，可以逆运用同底数幂乘法法则，将幂指数和转化为同底数幂相乘，然后把幂作为一个整体带入变形后的幂的运算式中求解. （2） (2026重庆铜梁期中)若2x+y-2=0， 则5²ˣ·5ʸ=__________。 解：∵2x+y-2=0， ∴2x+y=2， ∴5²ˣ·5ʸ =5²ˣ⁺ʸ =5²=25。 25 新知巩固 1. 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ 【教材P99 】 (1) a3·a2 = a6； (2) a·a3 = a0+3 = a3； (3) m3·m3 = 2m3； (4) x2m·x4n–2 = x2m+4n–2. × a3·a2 = a3+2 = a5 × a·a3 = a1+3 = a4 × m3·m3 = m3+3 = m6 √ 21 新知巩固 2. 计算： （1）a2·a6； （2）b5·b； 解：原式 （3）y2n·yn+1； （4） 解：原式= a2+6 解：原式= b5+1 解：原式= y2n+n+1 = a8 = b6 = y3n+1 【教材P99 】 22 拓展提升 1、.对于任意实数a,b,规定一种新运算,记作(a,b):如果ac=b,那么(a,b)=c. 例如:因为23=8,所以(2,8)=3.令(2,4)=x,(2,16)=y,(2,64)=z, 求证:(2,4)+(2,16)=(2,64). 证明:∵(2,4)=x，(2,16)=y，(2,64)=z, ∴2x=4，2y=16，2z=64. ∵2x×2y=2x+y=2z=64, ∴x+y=z ∴(2,4)+(2,16)=(2,64). 拓展提升 2. 已知2a+4-2a+1=112,求a的值. 解：2a+4-2a+1 =24×2a-2×2a =16×2a-2×2a =14×2a 因为 2a+4-2a+1=112 所以 14×2a=112, 解得：2a=8, 因为; 23=8 所以： a=3. 真题感知 1.(2026青海西宁月考)已知3ˣ=y，则3ˣ⁺¹=（　　　　） A. y　　　　B. 1+y C. 3+y　　　　D. 3y 2．(2025北京怀柔期末)]下列计算正确的是（　） A. a4·a3=a B. a4·a3=a7 C. a4·a3=a12 D. a4·a3=a64 3．(2025福建建瓯期中)已知 x+y-3=0，则 3x·3y 的值是（　） A. 9 B. 27 C. D. B B 4.(2026海南海口月考)计算(x-y)²·(y-x)⁵·(x-y)的结果是（　　　　） A. -(x-y)⁸　　　　B. (x-y)⁸ C. x⁸-y⁸　　　　D. -x⁸+y⁸ D A 当底数不同但能化成同底数时，先化归为同底数幂，再运用法则 真题感知 4. [新定义](2025山东济南质检改编) 规定新运算“*”：a*b=2a×2b， 如：1*3=2×23=16． (1) 求 2*3 的值． (2) 若 2*(2x+1)=64，求 x 的值． 解：(1) 由 a*b=2a×2b 可得: 2*3=22×23=25=32． (2) 由 a*b=2a×2b 可得: 2*(2x+1)=22×2(2x+1)=2(2x+3)． 因为 2*(2x+1)=64=26， 所以 2x+3=6， 解得: x=． 课堂小结 知识点总结 同底数幂的乘法 法则 am·an=am+n (m,n都是正整数） 注意 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数） 直接应用法则 常见变形：(-a)2=a2, (-a)3=-a3 底数相同时 底数不相同时 先变成同底数再应用法则 课堂小结 方法思想总结 ►从特殊到一般的归纳思想：由 23 · 24 = 27 等具体实例，归纳出一般法则 am · an = am+n，体现由特殊到一般的数学研究方法。 ► 转化（化归）思想：把“幂的乘法”这一新问题，转化为“指数的加法”这一已学问题——底数不变、指数相加，实现未知向已知的转化。 ► 整体思想：当底数是多项式等整体时，把 (x+y) 等看成一个整体底数，可使运算化繁为简。 ► 逆向思维：不仅会正用 am · an = am+n，还会逆用 am+n = am · an，增强运算的灵活性。 ► 类比迁移：本法则与后续“幂的乘方、积的乘方”联系紧密，注意区分“指数相加”与“指数相乘”，为整式的乘除运算打下基础。 课堂小结 易错提醒 ٭混淆“同底数幂相乘”与“幂的乘方”：同底数幂相乘是指数相加，即 am · an = am+n；切忌把底数相乘或把指数相乘。 ٭ 底数必须相同：只有底数相同的幂相乘才能用“指数相加”。如 23 · 32 底数不同，不能合并指数。当底数不同但互为相反数时（如 a 与 −a），可先化为同底数再运算。 ٭ 漏写指数 1：单个字母或数作为底数时，指数是 1，只是省略不写。如 a · a3 中 a 的指数是 1，结果应为 a1+3 = a4，不能写成 a3。 ٭ 忽略底数为负数的符号：当底数为负数或含负号整体时，要注意幂的符号。如 (−a)2 · (−a)3 = (−a)5 = −a5；还要区分 (−a)n 与 −an 的不同含义：前者底数是 −a，后者是 an 的相反数。 ٭ 忽视法则的使用条件：am · an = am+n 中 m、n 都是正整数，运用时要明确其适用范围。 1. 计算： （1）b3·b； （2）a5·a2； （3）(–x)·(–x)2·(–x)3； （4）xm·x2m–1. 课后练习 解：原式= b3+1 解：原式= a5+2 解：原式= (–x)1+2+3 解：原式= xm+2m-1 = b4 = (–x)6 = x6 = x3m-1 习题 16.1 课本p101页 = a7 课后练习 7. 信息存储设备常用 B，KB，MB，GB，TB 等作为存储量的单位，其中 1 KB = 210 B(字节)，1 MB = 210 KB，1 GB = 210 MB，1 TB = 210 GB. 例如，我们常说某计算机的硬盘容量是 2 TB，某移动硬盘的容量是 512 GB，某文件的大小是 156 KB 等. 对于一个存储量为 64 GB 的闪存盘，其容量有多少字节？ 解：64GB = 64×210×210×210 (B) = 236 (B) . 答：对于一个存储量为 64 GB 的闪存盘，其容量有 236 B. 习题 16.1 课本p101页 谢谢聆听 $