16.1.2幂的乘方与积的乘方（第2课时 积的乘方）（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

16.1 幂的运算 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 第2课时　积的乘方 第十六章 整式的乘法 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解积的乘方运算性质 (ab)n=anbn（n是正整数）的推导过程，能用自己的语言准确表述“积的乘方”法则。 掌握积的乘方法则，能熟练运用该法则进行积的乘方运算，并能与同底数幂的乘法、幂的乘方综合运用，正确区分三类幂的运算。 经历从特殊到一般探究积的乘方法则的过程，体验类比、归纳、化归等数学思想与方法，发展合情推理能力与运算能力，增强学习数学的信心。 幂的运算性质： 知识点链接 1.下列计算中,结果不等于a12的是 (　　) A.(a6)6　　　B.a2·a3·a4·a3 C.(a2)3·a6　　　D.a2·(a2)5 A 解： (a6)6=a36,则A符合题意. a2·a3·a4·a3=a12,则B不符合题意. (a2)3·a6=a6·a6=a12,则C不符合题意. a2·(a2)5=a2·a10=a12,则D不符合题意. 知识回顾 1. 同底数幂的乘法： am·an=am+n （m，n都是正整数）， 即同底数幂相乘， 底数不变，指数相加。 2. 幂的乘方： (am)n=amn （m，n都是正整数）， 即幂的乘方， 底数不变，指数相乘。 解：(am)m·(am)2=·a2m=, (am+2)m=a(m+2)m=, (am·a2)m=(am+2)m=, =, (am)3·(am-1)m=a3m·= 2.下列各式中,与(am)m·(am)2的计算结果不相同的是(　　) A.(am+2)m　　　B.(am·a2)m C. 　　D.(am)3·(am-1)m 知识回顾 C 解：∵3m+4n=5, ∴8m×16n=23m×24n =23m+4n=25=32 3.已知3m+4n=5,则8m×16n的值为(　　) A.10　　　B.12　　　C.32　　　D.36 C 请计算：⑴ (2×3)2； ⑵ (2×5)3 ⑴ (2×3)2 = =36， 22 ×23 = =36 新课导入 2 62 4×9 你前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方， 今天继续研究幂的运算中一类重要情形 ——“积的乘方” ⑵ (2×5)3= =1000， 23 ×53 = =1000 103 8×125 大家观察一下，(1)(2)中的两个式子有什么关系？ (2×3)2与22 ×23 相等： (2×3)2 = 22 ×23 (2×5)3与23 ×53 相等： (2×5)3 =23 ×53 尝试完成下面填空 × 5 新课导入 2 大家想一想，如果把数字换成字母，(ab)2会是什么样的呢？ 把 (ab)2 看作两个 (ab) 相乘，即 (ab)·(ab)， 再利用乘法交换律、结合律整理。 底数是积的幂，它的运算能不能像“幂的乘方”那样直接“指数相乘”？其中蕴含着怎样的运算规律？ 我们开始今天的学习——积的乘方 新知探究 探究点1 积的乘方法则的探究 请同学们完成教材“探究”中的填空，并思考下面的运算过程用到了哪些运算律？运算结果有什么规律？ (1) (ab)2 =______________= ____________ = a( )b( ) ； (2) (ab)3 =_____________ = ____________ = a( )b( ) . (ab)·(ab) (a·a)·(b·b) 2 2 (ab)·(ab) ·(ab) (a·a·a)·(b·b·b) 3 3 乘方的意义 乘法交换律、 结合律 乘方的意义 问题1：运算过程用到了哪些运算律？ 新知探究 探究点1 积的乘方法则的探究 请同学们完成教材“探究”中的填空，并思考下面的运算过程用到了哪些运算律？运算结果有什么规律？ (1) (ab)2 =______________= ____________ = a( )b( ) ； (2) (ab)3 =_____________ = ____________ = a( )b( ) . (ab)·(ab) (a·a)·(b·b) 2 2 (ab)·(ab) ·(ab) (a·a·a)·(b·b·b) 3 3 【猜想】 (ab)n=_______。 anbn 问题2：观察第（1）（2）两题的结果，你能发现什么规律？ 由 (ab)2=a2b2，(ab)3=a3b3，可初步发现： 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 新知探究 探究点1 积的乘方法则的探究 请同学们完成教材“探究”中的填空，并思考下面的运算过程用到了哪些运算律？运算结果有什么规律？ (1) (ab)2 =______________= ____________ = a( )b( ) ； (2) (ab)3 =_____________ = ____________ = a( )b( ) . (ab)·(ab) (a·a)·(b·b) 2 2 (ab)·(ab) ·(ab) (a·a·a)·(b·b·b) 3 3 问题3（一般化）：对于任意底数 a、b 与任意正整数 n，怎样计算 (ab)n？  (ab)n = (ab)·(ab)····· (ab) ( )个ab = (a·a·····a)·(b·b·····b) ( )个( ) = anbn n n a ( )个( ) n b （乘方的意义） （乘法交换律、结合律） （乘方的意义） 新知探究 探究点1 积的乘方法则的探究 请同学们完成教材“探究”中的填空，并思考下面的运算过程用到了哪些运算律？运算结果有什么规律？ (1) (ab)2 =______________= ____________ = a( )b( ) ； (2) (ab)3 =_____________ = ____________ = a( )b( ) . (ab)·(ab) (a·a)·(b·b) 2 2 (ab)·(ab) ·(ab) (a·a·a)·(b·b·b) 3 3 文字表述： 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab)n = anbn (n是正整数) 问题4：由此能得出积的乘方计算法则吗？ 字母表述 新知探究 探究点1 积的乘方法则的探究 请同学们完成教材“探究”中的填空，并思考下面的运算过程用到了哪些运算律？运算结果有什么规律？ (1) (ab)2 =______________= ____________ = a( )b( ) ； (2) (ab)3 =_____________ = ____________ = a( )b( ) . (ab)·(ab) (a·a)·(b·b) 2 2 (ab)·(ab) ·(ab) (a·a·a)·(b·b·b) 3 3 问题5：三个或三个以上因式的积的乘方是否也具有这一性质？ (abc)n = (ab)ncn = anbncn 三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质. （n是正整数） 典例分析 注意：“每一个因式分别乘方”，防止遗漏因式或系数。 例1　计算： = (–2)4 ·(x3)·y4 = x2 ·(y2)2 = (–5)3 ·b3 = 23·a3 （1）(2a)3； （2）(–5b)3； （3）(xy2)2； （4）(–2x3y)4. 解：（1）(2a)3 （2）(–5b)3 （3）(xy2)2 （4）(–2x3y)4 = 16x12y4 = x2y4 = –125b3 = 8a3 记得带符号！ 探究点1 积的乘方法则的探究 新知探究 （1）底数是积的形式，要“每一个因式分别乘方”，一个因式都不能漏， 如 (ab)3=a3b3； （2）系数（常数因数）也要乘方，如 (-2a)2=(-2)2·a2=4a2； （3）若某个因式本身带有指数，则该因式乘方时指数要相乘， 如 (xy2)2=x2(y2)2=x2y4； （4）注意符号：负因数乘方时，指数为偶数结果为正，指数为奇数结果为负， 如 (-3)4=81，(-3)3=-27。 (ab)n=anbn（n是正整数），运用积的乘方法则时要注意什么？ 议一议 探究点1 积的乘方法则的探究 新知探究 探究点2 幂的运算法则的辨析与运用要点 (其中都是正整数). 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 一、同底数幂的乘法性质 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式： 把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。 即：（都是正整数）. 新知探究 探究点2 幂的运算法则的辨析与运用要点 二、幂的乘方法则 （1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ， 根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. (其中都是正整数). 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 新知探究 探究点2 幂的运算法则的辨析与运用要点 (其中是正整数). 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 三、积的乘方法则 （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便. 如： 16 新知探究 探究点2 幂的运算法则的辨析与运用要点 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加. 指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 注意事项 运算 文字法则 字母表示 指数处理 适用前提 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 am·an＝am+n 相加 底数相同 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n＝amn 相乘 指数与指数 积的乘方 每个因式分别乘方，再相乘 (ab)n＝anbn 各指数分别乘 n 积的形式 　三种幂运算的对比 例2. 简便方法计算： 典例分析 解:原式 指数相同的两个幂相乘可以逆用积的乘方公式，先算底数相乘 根据算式特征将一个幂分解为两个同底数幂相乘，事先简便运算 典例分析 例3. 已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：根据题意得： 2a+2c•3b＝26•3， ∴a+2c＝6，b＝1， ∵a，b，c为自然数， ∴当c＝0时，a＝6； 当c＝1时，a＝4； 当c＝2时，a＝2； 当c＝3时，a＝0， ∴a+b+c不可能为8． D 新知巩固 1. 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ 【教材P101】 （3）(–2a)2 = –4a2. （1）(a5)2 = a7； （2）(ab2)3 = ab6 ； × × × a10 a3b6 4a2 解：（1）不正确。这是幂的乘方 应“底数不变，指数相乘”： (a5) 2 =a5×2=a10。 （2）不正确。这是积的乘方， 应“每一个因式分别乘方”：(ab2)3=a3·(b2)3=a3b6。 （3）不正确。系数－2 也要乘方，且指数为偶数时结果为正： (-2a)2=(-2)2·a2=4a2。 新知巩固 【教材P101】 3. 计算： （1） (ab)4； （2）(–3×102)3； 解原式= a4b4 （3） （4）(2ab2)3·2ab2. 原式 ·x3·(y2)3 =-x3y6 原式=23·a3·(b2)3·2ab2 =8a3b6·2ab2 =16a4b8。 原式=(-3)3·(102)3 =-27×106 =-27 000 000 （或-2.7×107）； 拓展提升 1.计算_________． 解：原式= ． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，当底数可以简便运算时，可以利用幂的运算法则，分解出指数相同的幂的因式 2.若x，y均为实数，，， 则； ． 拓展提升 2021 1 解：∵， ∴，， ， ∵ ， 即， ∴， ∴， 拓展提升 3.阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_________ （填写>、<或=）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算． （1）解：由题意，对于同指数， 不同底数的两个幂和， 当时，则有， 可知． > （3）原式 ． （2）∵， ， 又∵， ∴； 1.(2026天津红桥期中)若(kaᵐ-ⁿbᵐ+ⁿ)⁴=16a⁸b¹6，则k+m+n=__________。 真题感知 解：∵(kaᵐ-ⁿbm+n)⁴=k⁴a⁴⁽m-n⁾b⁴⁽m-n）=16a⁸b¹⁶， ∴k⁴=16，m+n=4，k=2或k=-2， 当k=2时，k+m+n=2+4=6； 当k=-2时，k+m+n=-2+4=2。 6或2 真题感知 2.（2024·黑龙江·大庆市第十九中学七年级期末） 已知5a=2b=10，那么 的值为________. 解:∵5a=10，2b=10 ∴（5a）b=10b  ， （2b）a=10a； 即5ab=10b  ， 2ab=10a ∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b 即a+b=ab ∴=1 1 真题感知 3.（2024·北京昌平·七年级期末）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1) ______ ； (2)若，求的值； (1)解：由题意知 ， 1 (2)解：∵ ， ∴， 解得：， ∴的值为2． 课堂小结 知识点总结 ►积的乘方法则：(ab)n=anbn（n是正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ►积的乘方法则对两个及两个以上因式的积都成立，三个或三个以上因式的积的乘方同样适用。 ►积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方共同构成“幂的运算”的完整体系，三者之间要能够正确区分与综合运用。 课堂小结 方法思想总结 （1）从特殊到一般： 由 (ab)2、(ab)3 等特殊情形，归纳得出一般法则 (ab)n=anbn； （2）类比思想： 类比同底数幂的乘法、幂的乘方的探究路径，始终以“乘方的意义”作为推证的基本工具； （3）化归思想： 把“积的乘方”化归为“先分别计算各因式的乘方，再相乘”，实现化未知为已知。 课堂小结 易错提醒 （1）漏乘因式： 如 (ab)3=a3b3，必须“每一个因式分别乘方”，不能只乘方其中一个因式； （2）法则混淆： 积的乘方是“底数分别乘方、指数不变”，易与幂的乘方“底数不变、指数相乘”相混淆； （3）系数与符号： 系数也要乘方，如 (-2a)2=4a2（不能写成-4a2）；负因数乘方时注意指数奇偶决定符号； （4）运算顺序： 含加减乘的混合运算中，先算乘方（幂的运算），再算乘法，最后合并同类项。 课后练习 3. 计算： （1） (2ab)3； （2） (–3x)4； 解：原式= 23·a3·b3 原式= = (–3)4·x4 原式= = xm·2·yn·2 原式= (–2)4×(103)4 （3） (xmyn)2； （4）(–2×103)4. = 16×1012 = 8a3·b3 = 81x4 = x2my2n = 1.6×1013 【教材P101】 课后练习 4. 计算： （1） x·x3+x2·x2； （2） (–3pq)3； 解：原式= x4+x4 原式= (–3)3 · p3 · q3 原式= –(–2)4 ·(a2)4 ·b4 = a8 + a8 + 4a8 （3） –(–2a2b)4； （4）a3·a4·a + (a2)4 + (–2a4)2. = 6a8 = 2x4 = –27p3q3 = –16a8b4 原式=a8+a8+(-2)2(a4)2 =-(16a8b4) 【教材P101】 课后练习 6. 计算： （1）[(–2a2b3)3]2； （2）(–2xy2)6 + (–3x2y4)3 . (2)解： 原式=(-2)6·x6·(y2)6+ (-3)3·(x2)3·(y4)3 =64x6y12+(-27x6y12) =37x6y12 （1）解： 方法一： 因为(-2a2b3)3=(-2)3·(a2)3·(b3)3=-8a6b9； 所以[(-2a2b3)3]2=(-8a6b9)2 =(-8)2·(a6)2·(b9)2 =64a12b18； 方法二： [(-2a2b3)3]2=(-2)3×2·(a2)3×2·(b3)3×2 =(-2)6a12b18 =64a12b18。 【教材P101】 9. 若 am = an(a>0，a≠1)，则 m = n.请利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果 2×8x×16x = 222，求 x 的值； （2）如果 (9x)2 = 38，求 x 的值. 【教材P102】 解：（1）因为 2×8x×16x = 2×(23)x×(24)x = 2×23x×24x = 21+7x = 222， 所以 1 + 7x = 22，所以 x = 3. （2）因为 (9x)2 =[(32)x]2 = (32x)2 = 34x = 38 ， 所以 4x = 8，所以 x = 2. 课后练习 谢谢聆听 $