微专题 对数及其运算8大题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

微专题 对数及其运算 【题型1 对数的概念 】 规律与方法 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】对数的概念判断与求值、指数式与对数式的互化 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以 3.（26-27高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 【题型2 对数的恒等式 】 规律与方法 1、=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. 2、对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). 1.（25-26高一上·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数的运算律及对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 2.（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】由对数与指数的性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 3.（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.91 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】利用对数的性质和指数式与对数式的互化关系求解． 【详解】（1）由，得， 故. （2）由，得，故. （3）因为， 所以，所以. 【题型3 对数的运算性质1 】 规律与方法 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 1.（26-27高二·全国·学业考试复习）（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【详解】. 2.（24-25高二上·山东·学业考试真题）（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】． 3.（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若__________. 【答案】 【难度】0.92 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式计算，即可求解. 【详解】                                                                                           4.（26-27高三上·天津西青·阶段检测）计算：__________. 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值、对数的运算 【详解】原式 【题型4 对数的运算性质2 】 规律与方法 1.先考虑对数的基本运算。 2.再利用完全平方、因式分解、lg2+lg5=1解决问题 1.（2027高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【难度】0.76 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）利用对数运算法则和指数运算法则计算即可； （2）利用对数运算法则计算即可求解. 【详解】（1） （2）原式 ． 2.（26-27高一上·全国·课后作业）计算：. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值、对数的运算、指数式与对数式的互化 【详解】 . 3.； 【答案】 原式 . 【题型5 换底公式 】 规律与方法 1.换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. 2.换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 1.（26-27高一上·全国·课堂例题） ________　. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】根据对数换底公式化简求解即可. 【详解】 2.（24-25高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的运算、对数的运算 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （3）利用换底公式结合对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . 3.（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】先利用指对数互化公式，再由对数运算性质与换底公式化简所求式，代入整理即得. 【详解】（1）因为,所以. 所以; （2）. 4.（26-27高三上·天津红桥·开学考试）已知，，，则的最小值为______． 【答案】/ 【难度】0.7 【知识点】对数的运算性质的应用、条件等式求最值、对数的运算 【分析】先化简对数关系式，再利用均值不等式求得最小值. 【详解】因为，所以， 由，，可知， 所以，当且仅当时取等， 则，即的最小值为. 【题型6 证明恒等式】 规律与方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1.（25-26高一上·陕西渭南）已知：，求证：． 【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【解答过程】设，显然， 则，可得， 所以. 2.（25-26高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【解题思路】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 3.（25-26高一上·上海·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明：令且， 则，，， 所以， ， 故成立. 由（1）知， (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、运用换底公式证明恒等式、指数式与对数式的互化 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）略； （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 4.（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知实数，满足：，，则______. 【答案】3 【难度】0.5 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、指数式与对数式的互化 【分析】由同构思想和函数单调性得，结合已知即可得解. 【详解】∵，∴， 又，∴，即， 又函数在定义域上单调递增，所以，， ∴. 【题型7 对数方程的求解】 规律与方法 1.运用对数的运算性质转化为一次或者二次方程。 2.注意真数和底数的范围。 1.（25-26高一上·上海）设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 【解题思路】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【解答过程】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C. 2.方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】由换底公式变形解对数方程即可. 【解答过程】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 3.（25-26高一·山东枣庄）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【解题思路】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【解答过程】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 4.（25-26高一上·天津河西·阶段检测），，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】利用指对互化得，变形得，解二次方程求得，即可得解. 【详解】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以. 故答案为： 【题型8 指对数的应用】 规律与方法 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 1.（25-26高一上·湖南）8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型.2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花.党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展.在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为（    ）（参考数据，，，，） A．6% B．7% C．8% D．9% 【解题思路】设年平均增长率为，列式运算得解. 【解答过程】设我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率为， 则由题意， 即，即， . 故选：C. 2.（25-26高一上·云南·阶段练习）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强.若声强是声强的150倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（    ）（结果四舍五入保留整数） A．14 B．21 C．22 D．23 【解题思路】求出声强对应的声强级，再结合对数性质和公式运算即可. 【解答过程】设声强的声强级为，声强的声强级为， 则，由题知， 则， 故选：C. 3.（25-26高一上·上海·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【解题思路】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【解答过程】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 对数及其运算 【题型1 对数的概念 】 规律与方法 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数；④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2 对数的恒等式 】 规律与方法 1、=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. 2、对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). 1.（25-26高一上·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知，则（     ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3). 【题型3 对数的运算性质1 】 规律与方法 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 1.（26-27高二·全国·学业考试复习）（    ） A．0 B． C．1 D．2 2.（24-25高二上·山东·学业考试真题）（   ） A．1 B． C．2 D． 3.（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若__________. 4.（26-27高三上·天津西青·阶段检测）计算：__________. 【题型4 对数的运算性质2 】 规律与方法 1.先考虑对数的基本运算。 2.再利用完全平方、因式分解、lg2+lg5=1解决问题 1.（2027高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 2.（26-27高一上·全国·课后作业）计算：. 3.计算： ； 【题型5 换底公式 】 规律与方法 换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. 换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 1.（26-27高一上·全国·课堂例题） ________　. 2.（24-25高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2) (3) 3.（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示).(2) (用表示)． 4.（26-27高三上·天津红桥·开学考试）已知，，，则的最小值为______． 【题型6 证明恒等式】 规律与方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1.（25-26高一上·陕西渭南）已知：，求证：． 2.（25-26高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 3.（25-26高一上·上海·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 4.（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知实数，满足：，，则______. 【题型7 对数方程的求解】 规律与方法 1.运用对数的运算性质转化为一次或者二次方程。 2.注意真数和底数的范围。 1.（25-26高一上·上海）设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 2.方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.（25-26高一·山东枣庄）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 4.（25-26高一上·天津河西·阶段检测），，则______． 【题型8 指对数的应用】 规律与方法 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 1.（25-26高一上·湖南）8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型.2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花.党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展.在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为（    ）（参考数据，，，，） A．6% B．7% C．8% D．9% 2.（25-26高一上·云南·阶段练习）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强.若声强是声强的150倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（    ）（结果四舍五入保留整数） A．14 B．21 C．22 D．23 3.（25-26高一上·上海·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. 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