专题09 对数运算（竞赛培优专项训练，8大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦对数运算全链条能力培养，从定义理解到实际应用分层设计，题型覆盖竞赛核心考点，强化数学抽象、运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数定义的理解|3题|定义域求解、参数范围分析|从概念本质出发，夯实抽象基础| |对数式与指数式互化|3题|互化判断、性质应用|建立指数与对数的双向联系| |解对数方程|3题|含参方程、多解问题|强化方程思想与定义域限制| |用已知对数表示其他对数|3题|多变量表示、公式逆用|培养代数变形与转化能力| |对数运算化简求值（无限制）|3题|多步运算、公式综合|提升运算准确性与技巧性| |对数运算化简求值（有限制）|3题|条件等式、参数关联|训练条件转化与整体代换| |换底公式证明恒等式|3题|多底转换、等式推导|发展逻辑推理与证明能力| |对数实际应用|3题|模型构建、数据处理|体现数学应用意识与建模能力|

专题09 对数运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 对数定义的理解 题型05 利用对数运算化简或求值（无限制条件） 题型02 对数式与指数式的互化 题型06 利用对数运算化简或求值（有限制条件） 题型03 解对数方程 题型07利用换底公式证明恒等式 题型04 用已知对数表示其他对数 题型08 对数的实际应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 对数定义的理解 1．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．使得表达式有意义的x范围是__________． 3．若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是______． 考点二 对数式与指数式的互化 4．已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 5．（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A． 与 B．与 C．与 D．与 6．（多选）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 考点三 解对数方程 7．若，，那么使的x的值是______． 8．若实数满足，则_________． 9．方程的解为_____. 考点四 用已知对数表示其他对数 10．（多选）若，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D．． 11．已知，，用，表示为__________． 12．用，，，，表示下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点五 利用对数运算化简或求值（无限制条件） 13．已知，且，且，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．求值：= . 15．计算下列各题： (1)； (2)； (3). 考点六 利用对数运算化简或求值（有限制条件） 16．已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 17．若，，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选）设正数，满足，，则（　　） A． B． C． D． 考点七 利用换底公式证明恒等式 19．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 20．已知正实数x，y，z满足． （1）求证：； （2）比较的大小． 21．已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 考点八 对数的实际应用 22．在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 23．围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是______位数，它的个位数字是______.（参考数据：） 24．为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个. (1)求a，k的值； (2)根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 一、单选题 1．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知，，，，则（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 3．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．(2024·河北保定高一上竞赛)若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（    ） A．1 B． C． D．0 5.（2024湖南邵阳二中高一上竞赛）设，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(2024·贵州贵阳“圆周率”杯竞赛)已知，则 ． 7．（2026·广东汕尾高一下竞赛）方程的实数解为__________. 8．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）方程的实根是 ． 9．（2024·厦门大学强基计划）表示不超过的最大整数，则 . 10．(2024·全国高中数学联赛四川预赛)已知，若，则的最大值为 ． 11．（2024·山东滨州数学竞赛）已知函数，则的值为 . 12．（2025·山东大学强基计划）已知，有，，，求的值. 13．（2026·重庆高三下竞赛）已知两不相等的正实数、均满足方程，则的值为________． 3、 解答题 14．(2024·山东高密冬季学令营竞赛)（1）计算：. （2）. 15．（2026·陕西咸阳高一上竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 16 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 对数运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 对数定义的理解 题型05 利用对数运算化简或求值（无限制条件） 题型02 对数式与指数式的互化 题型06 利用对数运算化简或求值（有限制条件） 题型03 解对数方程 题型07利用换底公式证明恒等式 题型04 用已知对数表示其他对数 题型08 对数的实际应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 对数定义的理解 1．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可. 【详解】要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：D 2．使得表达式有意义的x范围是__________． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0求解即可. 【详解】式子要有意义，则， 解得， 所以x范围是. 故答案为：. 3．若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 考点二 对数式与指数式的互化 4．已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 5．（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A． 与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【分析】按照指数对数互化公式计算即可. 【详解】指数对数互化公式是如果 ，则有 ， 对于A， ，化成对数是 ，错误； 对于B，正确； 对于C， ，化成对数是 ，错误； 对于D，正确； 故选：BD. 6．（多选）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 考点三 解对数方程 7．若，，那么使的x的值是______． 【答案】 【分析】利用函数的解析式，列出方程，求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，所以． 故答案为：． 8．若实数满足，则_________． 【答案】243 【分析】根据及将原式进行化简， 求出的值，再进行指对互化即求得的值. 【详解】，即，解得 由题知， 即，解得， 所以． 故答案为：243 9．方程的解为_____. 【答案】1 【分析】将方程转化为，按照一元二次方程的解法求得，所以.即方程的解为. 【详解】，得，整理得. 即. 因为，所以，所以，所以. 所以方程的解为. 故答案为：. 考点四 用已知对数表示其他对数 10．（多选）若，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】AD 【分析】根据对数函数与指数函数的性质结合指对运算逐项判断即可得结论. 【详解】由，可得，利用换底公式可得，A项正确； 因为，且， 所以，则， 所以，选项B错误， 因为，所以，C项错误； ，所以，D项正确． 故选：AD． 11．已知，，用，表示为__________． 【答案】 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 12．用，，，，表示下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【分析】应用对数的运算性质，将各式化为题设给定对数式的加减形式，即可得结果. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 考点五 利用对数运算化简或求值（无限制条件） 13．已知，且，且，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质，以及换底公式，即可得出答案. 【详解】对于A项，根据对数的运算可知，，故A错误； 对于B项，根据对数的运算可知，，故B错误； 对于C项，根据换底公式可知，，故C正确； 对于D项，根据对数的运算可知，，故D错误. 故选：C. 14．求值：= . 【答案】5 【分析】利用分数指数幂的运算法则与对数运算法则求解即可； 【详解】 . 15．计算下列各题： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则与对数恒等式化简运算即可； （3）根据对数运算法则结合对数恒等式与指数运算性质化简计算即可. 【详解】（1）原式 （2） （3） 考点六 利用对数运算化简或求值（有限制条件） 16．已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：B 17．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，， 则 ，可得或， 所以或， 若，又， 则，所以， 则或（舍去），，； 若，又， 则，所以， 则或（舍去）， 所以， 综上，. 故选：C. 18．（多选）设正数，满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，故选项A正确； 由选项A中，结合对数的运算法则可得，所以，故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，即. 所以，所以，故选项C错误； 由可得，即，根据对数运算法则可得，即，故选项D正确. 故选：ABD. 考点七 利用换底公式证明恒等式 19．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 20．已知正实数x，y，z满足． （1）求证：； （2）比较的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）令，利用指数式和对数式的互化求出，再利用对数的运算即可的证得结果； （2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系. 【详解】（1）证明：令， 利用指数式和对数式的互化知，， 则，， ∴. （2） 证明：因为正实数x，y，z，， 又，， 又，， ∴． 21．已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 考点八 对数的实际应用 22．在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 【答案】C 【详解】对两边同时取以为底的对数，可得. ∵ 当种群脚趾数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ①. ∵ 当种群眼睛数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ②. 将代入①，得， ∴ ，∴ . 将代入②验证： 左边，符合等式. ∴ .故选：C 23．围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是______位数，它的个位数字是______.（参考数据：） 【答案】 173 3 【分析】通过对数运算得到，即可解决第一空，根据的个位数以4为周期循环往复，即可完成第二空. 【详解】因为， 所以， 因为，则， 所以为位数， 由，其个位数分别为以为周期循环往复， 因为， 故的个位数与的个位数相同，即的个位数为. 故答案为：； 24．为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个. (1)求a，k的值； (2)根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 【答案】(1). (2)2032年 【解析】（1）由题可知：当时，；当时，. 所以，解得：. 所以. （2）因为函数（a，k，m，n为非零常数）的图象为连续的曲线，所以 由题可知：当时，；所以. 由，得 令，则，即. 所以，所以. 因为. 故可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份为2032年. 一、单选题 1．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】依题意，原方程等价于 即，显然只有一个正实根. 故选：B. 2．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知，，，，则（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【解析】∵，∴，即， 由基本不等式可知，又因为， 所以，即满足基本不等式取等条件，即， 故选：D. 3．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的定义域为，得， 因此函数中，，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 4．(2024·河北保定高一上竞赛)若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【解析】∵对任意实数，都有， 令，则. 又， ∴， ∵函数是上的单调函数，解得. ∴，∴. 故选：C. 5.（2024湖南邵阳二中高一上竞赛）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，，则，， 所以，. 二、填空题 6．(2024·贵州贵阳“圆周率”杯竞赛)已知，则 ． 【答案】5 【解析】设，则，，， 故. 7．（2026·广东汕尾高一下竞赛）方程的实数解为__________. 【答案】 【分析】由指数的运算和指数、对数的转化即可求解. 【详解】原方程可化为， 即， 所以，即， 所以. 8．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）方程的实根是 ． 【答案】2025 【解析】令，则函数单调递增，且， 因此函数与函数互为反函数，则与函数的交点在直线上， 因此，故， 故，解得， 9．（2024·厦门大学强基计划）表示不超过的最大整数，则 . 【答案】 【解析】若是整数，则； 若不是整数，则，故. 而是整数，，故由知，所以. 记，则. 对： 当时，是整数，所以； 当时，不是整数，所以. 故. 10．(2024·全国高中数学联赛四川预赛)已知，若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，， 解得或， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 11．（2024·山东滨州数学竞赛）已知函数，则的值为 . 【答案】3 【解析】因为，所以恒成立， 又，所以， 令，易知的定义域为， 又， 所以为奇函数，又， 所以，得到， 又，所以. 12．（2025·山东大学强基计划）已知，有，，，求的值. 【答案】 【解析】由已知得，，设，（，），得, 即，因为，所以有以下两种可能： ①，（舍去）； ②，，， 则，即. 13．（2026·重庆高三下竞赛）已知两不相等的正实数、均满足方程，则的值为________． 【答案】 【分析】设，可得出，由反函数的性质可得出函数与图象的交点必在直线上，于是得出，，进而得出，，再利用对数的运算性质化简可得答案. 【详解】设，由得， 函数与互为反函数，且均单调递增， 因此函数与图象的交点必在直线上，即，所以，． 于是，，故． 因此． 3、 解答题 14．(2024·山东高密冬季学令营竞赛)（1）计算：. （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1） . （2） . 15．（2026·陕西咸阳高一上竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 【答案】（1）1；（2） 【详解】（1）； （2）因为， 所以 . 16 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $