4.3-4.4 对数与对数函数（六大题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上学期 第四章 指数函数与对数函数 专项训练 4.3-4.4 对数与对数函数（六大题型）专项训练 人教A版必修第一册数学高一上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第四章 指数函数与对数函数 4.3~4.4） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．全卷分六个考点，每个考点的题目按基础、中档、难排列，建议先读考点归纳再动笔。 2．凡涉及对数，先写出底数大于0且不等于1、真数大于0的条件；解对数方程要检验，对数不等式的解集写成区间。 3．解答题需写出换底、换元、利用单调性去掉对数符号等关键步骤。 内容速览　六考点39题（选19·填14·解6）｜解析版 15 页：速查表、答案、详解｜配图 4 幅 　考点归纳 1．对数的概念与指对互化：对数的定义、指数式与对数式互化、底数与真数的限制条件（零和负数没有对数） 2．对数的运算性质与换底公式：积、商、幂的对数，换底公式及其推论，用已知对数表示未知对数 3．对数函数的定义、定义域与图象特征：对数函数的定义、定义域、图象过定点、底数与图象位置、由图象确定参数 4．对数函数的单调性与比较大小：同底数比较、中间量0与1、含参数的对数不等式、分段函数的单调性 5．对数型方程、不等式的求解：化为同底数、换元、借助图象求解集，真数为正的限制不能漏 6．综合应用：复合函数的单调区间与值域、含参数的单调性、指对混合求值、不同函数增长的差异 　考点01　对数的概念与指对互化 1．对数log4()的值是(____)。 A．－3 B．－ C．－ D． 2．若(m－1)＝－3，则实数m＝________。 3．使式子logx－1(5－x)有意义的实数x的取值范围是(____)。 A．(1，2)∪(2，5) B．(－∞，2)∪(2，5) C．(1，5) D．(－∞，5) 4．已知a＝log312，则＋的值为________。 5．若log3[log2(log5x)]＝0，则x＝ (____)。 A．5 B．10 C．32 D．25 6．已知函数f(x)＝logx(x+6)。 (1)求f(x)的定义域； (2)解方程f(x)＝2； (3)解方程f(x)＝1＋logx4。 　考点02　对数的运算性质与换底公式 7．log832的值等于(____)。 A．4 B． C． D．2 8．计算：lg2.5＋lg40－lg0.1＝________。 9．设lg2＝a，lg3＝b，则log312可以表示为(____)。 A． B． C．2a D． 10．已知＝＝m，且＋＝2，则m＝________。 11．已知log189＝a，＝5，则用a，b表示log3645的结果是(____)。 A． B． C． D． 12．设实数x，y满足＝＝36。 (1)用对数分别表示x与y； (2)求＋的值； (3)比较3x与4y的大小。 　考点03　对数函数的定义、定义域与图象特征 13．若函数y＝ (－4a+4)·logax是对数函数，则实数a的值为(____)。 A．3 B．1或3 C．2 D．1 14．函数f(x)＝lg(x+2)＋的定义域为________。 15．函数y＝loga(2x－5)＋3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是(____)。 A．(，3) B．(3，4) C．(3，3) D．(1，3) 16．如图，四条曲线C1，C2，C3，C4依次对应函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx。据图判断，把a，b，c，d和1从大到小排列，正确的是(____)。 A．b＞a＞1＞d＞c B．a＞b＞1＞d＞c C．b＞a＞1＞c＞d D．a＞b＞1＞c＞d 17．如图，已知函数g(x)＝loga(x+b)（a＞0，且a≠1）的图象，结合图中两点的坐标可得g(25)＝________。 18．已知a＞1，要使函数y＝loga(x+b)的图象不进入第四象限，实数b的取值范围应是(____)。 A．[0，+∞) B．(－∞，1] C．(1，+∞) D．[1，+∞) 19．已知函数f(x)＝lg(a+2x+1)。 (1)若a＝－3，写出使f(x)有意义的x的范围； (2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (3)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。 　考点04　对数函数的单调性与比较大小 20．根据对数函数的单调性，下列不等式中成立的一个是(____)。 A．log30.8＞0 B．4＜5 C．log21.8＜log22.5 D．lg0.5＞lg0.6 21．用“＞”或“＜”填空：1.5________1.2。 22．设a＝log0.50.4，b＝log30.5，c＝，把a，b，c按从小到大的顺序用“＜”连接：________。 23．若loga()＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是(____)。 A．(，1)∪(1，+∞) B．(0，)∪(1，+∞) C．(1，+∞) D．(0，) 24．分段函数f(x)：x＜1时f(x)＝ (2a－1)x＋3a；x≥1时f(x)＝logax。若f(x)在(－∞，+∞)上单调递减，则a的取值范围是(____)。 A．(0，] B．(0，) C．[，) D．(，) 25．设f(x)＝log3()。 (1)求使f(x)有意义的x的取值范围，并判断f(x)的奇偶性； (2)用单调性的定义证明：f(x)在其定义域上单调递增； (3)若f(2m－1)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围。 　考点05　对数型方程、不等式的求解 26．方程log2(x+2)＋log2(x－2)＝5的解是(____)。 A．x＝6 B．x＝－6 C．x＝16 D．x＝6或x＝－6 27．在真数有意义的前提下，满足(3－x)≥－2的x组成的集合用区间表示为________。 28．满足log0.3(3x－2)＞log0.3(x+4)的实数x的取值范围是(____)。 A．(－4，3) B．(－∞，3) C．(3，+∞) D．(，3) 29．把log3x看作一个整体进行换元，可求得关于x的方程－log3()－3＝0的全部解为________。 30．如图，函数y＝log2x的图象与直线y＝x－1交于A(1，0)，B(2，1)两点，则不等式log2x＞x－1的解集为________。 31．使lg(－3x)＜1成立的全体实数x组成的集合是(____)。 A．(－2，5) B．(－2，0)∪(3，5) C．(－∞，0)∪(3，+∞) D．(－∞，－2)∪(5，+∞) 32．已知函数h(x)＝log3(x+3)＋log3(1－x)。 (1)求h(x)的定义域； (2)解方程h(x)＝log3(2x+6)； (3)解不等式log3(x+3)＞log3(1－x)＋1。 　考点06　综合应用 33．当≤x＜4时，函数y＝log2x＋1的值域为(____)。 A．[－2，3] B．[－2，3) C．[－3，2) D．[－2，5) 34．已知函数f(x)：x＞0时f(x)＝log3x，x≤0时f(x)＝，则f(f())＝________。 35．函数y＝log2(－2x+5)的值域是(____)。 A．R B．(2，+∞) C．[4，+∞) D．[2，+∞) 36．函数f(x)＝(－4x－5)的单调递增区间是________。 37．如图，在同一坐标系中画出了函数y＝，y＝4x，y＝log2x的图象。记P＝，Q＝4x，S＝log2x，当1＜x＜4时，把P，Q，S按从小到大的顺序用“＜”连接：________。 38．若函数f(x)＝loga(2－ax)在区间[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是(____)。 A．(1，2) B．(0，1)∪(1，2) C．(1，+∞) D．(1，2] 39．已知函数f(x)＝ (log2x－2)·log4(4)，x∈[，8]。 (1)令t＝log2x，写出t的范围； (2)把f(x)写成关于t的二次函数； (3)当x取何值时f(x)取得最大值和最小值？求出这两个最值。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 7 8 9 答案 C 9 A D B 3 B 题号 10 11 13 14 15 16 17 18 答案 6 D A (－2，3] C A 3 D 题号 20 21 22 23 24 26 27 28 答案 C ＜ b＜c＜a B C A [－1，3) D 题号 29 30 31 33 34 35 答案 x＝27或x＝ (1，2) B B D 题号 36 37 38 答案 (－∞，－1) S＜P＜Q A 　考点01　对数的概念与指对互化 1．【答案】C 【解析】设log4()＝x，由对数的定义得＝。 ＝＝，＝，所以2x＝－3，x＝－。 所以选C。 A项：化同底时漏写4＝，由＝直接得x＝－3，按此错法真算得－3；B项：底数与真数的位置颠倒，算成4，按此错法真算得－；D项：把真数看成8，漏掉了倒数带来的负号，算成log48，按此错法真算得。 2．【答案】9 【解析】由对数的定义，(m－1)＝－3等价于m－1＝＝8， 所以m＝9。此时真数m－1＝8＞0，符合要求。 3．【答案】A 【解析】对数式要有意义，底数必须大于0且不等于1，真数必须大于0（零和负数没有对数）： ①底数x－1＞0，得x＞1；②底数x－1≠1，得x≠2；③真数5－x＞0，得x＜5。 三个条件同时成立，x的取值范围是(1，2)∪(2，5)。 所以选A。 B项：只要求底数不等于1、真数为正，漏掉了底数大于0，按此错法真算得(－∞，2)∪(2，5)；C项：漏掉了底数不等于1的条件，按此错法真算得(1，5)；D项：只考虑了真数为正这一个条件，按此错法真算得(－∞，5)。 4．【答案】 【解析】由a＝log312，根据对数的定义得＝12。 ＝÷＝9÷12＝； ＝＝＝12。 所以原式＝＋12＝。 5．【答案】D 【解析】由外向内逐层把对数式化为指数式： log3[log2(log5x)]＝0，所以log2(log5x)＝＝1； log2(log5x)＝1，所以log5x＝＝2； log5x＝2，所以x＝＝25。检验：x＝25时，最内层真数x＝25＞0，log525＝2＞0，log22＝1＞0，各层真数都为正，所以x＝25符合要求。 所以选D。 A项：把log3u＝0解成u＝0，于是log5x＝＝1，按此错法真算得5；B项：最后一步把log5x＝2当成x＝5×2，按此错法真算得10；C项：最后一步由log5x＝2写成x＝，按此错法真算得32。 6．【答案】（1）(0，1)∪(1，+∞)；（2）x＝3；（3）x＝2 【解析】【解答】(1)底数x要满足x＞0且x≠1，真数x＋6＞0得x＞－6，三者同时成立，所以f(x)的定义域为(0，1)∪(1，+∞)。 (2)由对数的定义，f(x)＝2即＝x＋6，整理得－x－6＝0，解得x＝3或x＝－2。x＝－2不满足底数x＞0，舍去；x＝3在定义域内。所以方程的解为x＝3。 (3)因为1＝logxx，所以1＋logx4＝logxx＋logx4＝logx(4x)。原方程化为logx(x+6)＝logx(4x)，于是x＋6＝4x，解得x＝2。 x＝2在定义域内，且此时两个真数x＋6＝8＞0，4x＝8＞0，所以方程的解为x＝2。 　考点02　对数的运算性质与换底公式 7．【答案】B 【解析】由换底公式，log832＝＝5÷3＝。 所以选B。 A项：把对数当成真数与底数相除，算成32÷8，按此错法真算得4；C项：换底后把分子、分母写颠倒，算成，按此错法真算得；D项：把换底公式误记成log232－log28，按此错法真算得2。 8．【答案】3 【解析】lg2.5＋lg40＝lg(2.5×40)＝lg100＝2； lg0.1＝lg()＝－1。 所以原式＝2－(－1)＝3。 9．【答案】B 【解析】lg是以10为底的常用对数。由换底公式，log312＝。 lg12＝lg(×3)＝2lg2＋lg3＝2a＋b，lg3＝b， 所以log312＝。 所以选B。 A项：换底时把分子、分母写颠倒，按此错法真算得；C项：把换底公式误当成lg12－lg3，按此错法真算得2a；D项：把lg4误写成＝，按此错法真算得。 10．【答案】6 【解析】，都有意义，所以a≠0，b≠0，从而m＞0且m≠1。 由对数的定义，a＝log4m，b＝log9m，于是＝logm4，＝logm9， ＋＝logm4＋logm9＝logm36＝2，所以＝36，又m＞0，得m＝6。 11．【答案】D 【解析】由＝5得b＝log185。 log1845＝log18(9×5)＝log189＋log185＝a＋b； log182＝log18()＝1－log189＝1－a，log1836＝log18(18×2)＝1＋log182＝2－a； 由换底公式，log3645＝＝。 所以选D。 A项：换底时把分子、分母写颠倒，按此错法真算得；B项：把log1845误当成log189与log185的积，按此错法真算得；C项：误以为36＝，把log1836当成2，按此错法真算得。 12．【答案】（1）x＝log336，y＝log436；（2）1；（3）3x＜4y 【解析】【解答】(1)由对数的定义，x＝log336，y＝log436。 (2)由换底公式，＝＝log363，＝＝log364， 所以＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1。 (3)x＝log336＞log33＝1，y＝log436＞log44＝1，所以x＞0，y＞0。 3x÷(4y)＝＝＝。 函数g(t)＝log36t在(0，+∞)上单调递增，1＜64＜81，所以0＜log3664＜log3681，于是3x÷(4y)＜1。又4y＞0，所以3x＜4y。 　考点03　对数函数的定义、定义域与图象特征 13．【答案】A 【解析】对数函数y＝logax中，logax前面的系数为1，底数满足a＞0且a≠1。 由－4a＋4＝1得－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3。 a＝1不能作对数的底数，舍去，所以a＝3。 所以选A。 B项：解出a＝1或a＝3后没有检验底数a≠1，按此错法真算得1或3；C项：把“系数为1”错写成“系数为0”，由＝0得a＝2，按此错法真算得2；D项：检验时把底数条件看反，舍去了a＝3而留下a＝1，按此错法真算得1。 14．【答案】(－2，3] 【解析】要使f(x)有意义，需真数x＋2＞0（零和负数没有对数），且被开方数3－x≥0， 解得x＞－2且x≤3，所以定义域为(－2，3]。 15．【答案】C 【解析】loga1＝0与a的取值无关。令2x－5＝1，得x＝3，此时y＝0＋3＝3， 所以图象恒过定点P(3，3)。 所以选C。 A项：把“loga1＝0”错记成“loga0＝0”，令真数2x－5＝0，得x＝，y＝0＋3，按此错法真算得(，3)；B项：令真数为1求出x＝3，却把loga1当成1，得y＝4，按此错法真算得(3，4)；D项：照搬y＝logax过点(1，0)的结论，直接取x＝1，按此错法真算得(1，3)。 16．【答案】A 【解析】作直线y＝1，它与曲线y＝logmx的交点是(m，1)，交点的横坐标就是底数，交点越靠右底数越大。 C1，C2上升，底数大于1，直线y＝1与C2的交点在与C1的交点右侧，所以b＞a＞1； C3，C4下降，底数在0与1之间，直线y＝1与C4的交点在与C3的交点右侧，所以1＞d＞c。 于是b＞a＞1＞d＞c。 所以选A。 B项：对底数大于1的两条曲线，误认为在x＞1的部分位置越高底数越大，按此错法真算得a＞b＞1＞d＞c；C项：对底数在0与1之间的两条曲线，误认为在x＞1的部分位置越低底数越小，按此错法真算得b＞a＞1＞c＞d；D项：两组曲线的底数大小都判反，按此错法真算得a＞b＞1＞c＞d。 17．【答案】3 【解析】图象过点(－1，0)，所以loga(－1+b)＝0，－1＋b＝1，b＝2； 图象过点(7，2)，所以loga9＝2，＝9，又a＞0，所以a＝3。 于是g(x)＝log3(x+2)，g(25)＝log327＝3。 18．【答案】D 【解析】a＞1时，y＝loga(x+b)在(－b，+∞)上单调递增，当0＜x＋b＜1时y＜0，当x＋b≥1时y≥0。图象不进入第四象限，就是图象上横坐标x＞0的点，纵坐标都满足y≥0。 若b≥1，则x＞0时x＋b＞1，y＞0，图象不进入第四象限。若b＜1：当0≤b＜1时取x＝＞0，此时0＜x＋b＜1；当b＜0时取x＝－b＞0，此时x＋b＝。两种情形都有y＝loga(x+b)＜0，点(x，y)在第四象限，不合题意。 所以b的取值范围是[1，+∞)。 所以选D。 A项：只要求x＞0时函数有定义，由－b≤0得b≥0，按此错法真算得[0，+∞)；B项：把不等号方向写反，由b≤1作答，按此错法真算得(－∞，1]；C项：漏掉等号（b＝1时图象过原点，x＞0的部分都在x轴上方，并不进入第四象限），按此错法真算得(1，+∞)。 19．【答案】（1）(－，1)；（2）(1，+∞)；（3）[0，1] 【解析】【解答】记u＝a＋2x＋1。 (1)a＝－3时，需－3＋2x＋1＞0，即3－2x－1＜0，(x－1)(3x+1)＜0，解得－＜x＜1，所以定义域为(－，1)。 (2)定义域为R，即对一切实数x都有u＞0。a＝0时u＝2x＋1，x≤－时u≤0，不合题意；a≠0时需a＞0且判别式Δ＝4－4a＜0，解得a＞1。所以a的取值范围是(1，+∞)。 (3)值域为R，要求u能取遍全体正数。a＝0时u＝2x＋1能取遍全体正数，符合；a＜0时u有最大值，取不到较大的正数，不合题意；a＞0时需u的最小值不大于0，即Δ＝4－4a≥0，得0＜a≤1。 综上，a的取值范围是[0，1]。 　考点04　对数函数的单调性与比较大小 20．【答案】C 【解析】y＝log2x中底数2＞1，函数在(0，+∞)上单调递增，1.8＜2.5，所以log21.8＜log22.5成立。 所以选C。 A项误以为对数的值总是正数，忽略了底数大于1时真数小于1的对数为负，按此错法会判为成立，实际不成立；B项只比较了真数4＜5，忽略了底数＜1时y＝x是减函数，按此错法会判为成立，实际不成立；D项误把y＝lg x（底数10＞1）当成减函数，按此错法会判为成立，实际不成立。 21．【答案】＜ 【解析】y＝x中底数＜1，函数在(0，+∞)上单调递减；因为1.5＞1.2，所以1.5＜1.2。 22．【答案】b＜c＜a 【解析】y＝log0.5x在(0，+∞)上单调递减，0.4＜0.5，所以a＝log0.50.4＞log0.50.5＝1； y＝log3x在(0，+∞)上单调递增，0.5＜1，所以b＝log30.5＜log31＝0； y＝在R上单调递减，0.5＞0，所以0＜c＝＜＝1。 所以b＜c＜a。 23．【答案】B 【解析】1＝logaa，原不等式即loga()＜logaa。 当a＞1时，y＝logax在(0，+∞)上递增，需＜a，与a＞1一起得a＞1； 当0＜a＜1时，y＝logax在(0，+∞)上递减，需＞a，得0＜a＜。 综上，a的取值范围是(0，)∪(1，+∞)。 所以选B。 A项：0＜a＜1时去掉对数符号没有改变不等号方向，得＜a＜1，按此错法真算得(，1)∪(1，+∞)；C项：只讨论了a＞1的情形，按此错法真算得(1，+∞)；D项：只讨论了0＜a＜1的情形，按此错法真算得(0，)。 24．【答案】C 【解析】f(x)在(－∞，+∞)上递减，需同时满足：①x≥1时y＝logax递减，0＜a＜1；②x＜1时一次函数递减，2a－1＜0，a＜； ③在x＝1处左段不低于右段：(2a－1)×1＋3a≥loga1＝0，即5a－1≥0，a≥。 三者取交集，a的取值范围是[，)。 所以选C。 A项：衔接条件的不等号方向写反，按此错法真算得(0，]；B项：漏掉分界点处的衔接条件③，按此错法真算得(0，)；D项：衔接条件写成了严格不等式5a－1＞0，按此错法真算得(，)。 25．【答案】（1）(－2，2)，f(x)是奇函数；（2）见解析；（3）(，) 【解析】【解答】(1)需＞0，即(2+x)(2－x)＞0，解得－2＜x＜2，所以x的取值范围是(－2，2)，它关于原点对称。 f(－x)＋f(x)＝log3()＋log3()＝log31＝0，所以f(－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数。 (2)记u(x)＝＝－1＋。任取x1，x2∈(－2，2)，且x1＜x2，则2－x1＞2－x2＞0，所以＜，即0＜u(x1)＜u(x2)。 因为y＝log3u在(0，+∞)上单调递增，所以log3u(x1)＜log3u(x2)，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在(－2，2)上单调递增。 (3)由f(2m－1)＋f(m)＞0得f(2m－1)＞－f(m)＝f(－m)。f(x)在(－2，2)上单调递增，所以需同时满足：－2＜2m－1＜2，－2＜m＜2，2m－1＞－m。 解得m的取值范围是(，)。 　考点05　对数型方程、不等式的求解 26．【答案】A 【解析】方程有意义需x＋2＞0且x－2＞0，即x＞2。 在此条件下，原方程化为log2[(x+2)(x－2)]＝5，即－4＝＝32，解得x＝6或x＝－6。 x＝－6不满足x＞2，舍去，所以方程的解是x＝6。 所以选A。 B项：检验时把真数条件看反，舍去了x＝6，按此错法真算得x＝－6；C项：把两个对数的和当成和的对数，写成log2(2x)＝5，按此错法真算得x＝16；D项：化简后没有检验真数为正，两个根都保留，按此错法真算得x＝6或x＝－6。 27．【答案】[－1，3) 【解析】－2＝4，原不等式即(3－x)≥4。 y＝t在(0，+∞)上单调递减，并且真数必须为正，所以0＜3－x≤4，解得－1≤x＜3。 解集为[－1，3)。 28．【答案】D 【解析】真数必须为正：3x－2＞0且x＋4＞0，得x＞。 y＝log0.3t在(0，+∞)上单调递减，所以3x－2＜x＋4，得x＜3。 两者同时成立，解集为(，3)。 所以选D。 A项：只考虑了x＋4＞0，漏掉了3x－2＞0，按此错法真算得(－4，3)；B项：漏掉了真数为正的条件，按此错法真算得(－∞，3)；C项：没注意底数0.3＜1，去掉对数符号时不等号方向没有改变，按此错法真算得(3，+∞)。 29．【答案】x＝27或x＝ 【解析】方程中x＞0，此时log3()＝2log3x。设t＝log3x，原方程化为－2t－3＝0， 解得t＝3或t＝－1。由log3x＝3得x＝＝27，由log3x＝－1得x＝＝，都满足x＞0。 所以方程的根为x＝27或x＝。 30．【答案】(1，2) 【解析】log2x有意义需x＞0。验证：log21＝0＝1－1，log22＝1＝2－1，A，B确为两个交点。 由图可知，在0＜x＜1和x＞2时曲线y＝log2x位于直线y＝x－1的下方；在A，B之间曲线位于直线的上方，可代值验证：x＝时，＝＞2，所以＞，log2()＞log2＝，而－1＝。 所以不等式的解集为(1，2)。 31．【答案】B 【解析】1＝lg10，原不等式即lg(－3x)＜lg10。 y＝lg t在(0，+∞)上单调递增，且真数必须为正，所以0＜－3x＜10。 由－3x＞0得x＜0或x＞3；由－3x－10＜0得－2＜x＜5。 取交集，解集为(－2，0)∪(3，5)。 所以选B。 A项：漏掉了真数为正的条件，按此错法真算得(－2，5)；C项：只解了真数为正这一个条件，按此错法真算得(－∞，0)∪(3，+∞)；D项：解－3x－10＜0时把解集写到了两根之外，按此错法真算得(－∞，－2)∪(5，+∞)。 32．【答案】（1）(－3，1)；（2）x＝－1；（3）(0，1) 【解析】【解答】(1)需x＋3＞0且1－x＞0，解得－3＜x＜1，所以h(x)的定义域为(－3，1)。 (2)方程有意义需－3＜x＜1且2x＋6＞0，即－3＜x＜1。在此条件下原方程化为log3[(x+3)(1－x)]＝log3(2x+6)， 所以(x+3)(1－x)＝2(x+3)，即(x+3)(x+1)＝0，解得x＝－3或x＝－1。x＝－3使真数x＋3＝0，舍去；x＝－1在定义域内。所以方程的解为x＝－1。 (3)1＝log33，所以log3(1－x)＋1＝log3[3(1－x)]。y＝log3t在(0，+∞)上单调递增，所以原不等式等价于x＋3＞3(1－x)＞0， 即x＋3＞3－3x且1－x＞0（此时x＋3＞0自然成立），解得x＞0且x＜1。所以不等式的解集为(0，1)。 　考点06　综合应用 33．【答案】B 【解析】y＝log2x＋1在(0，+∞)上单调递增。 x＝时，y＝log2()＋1＝－3＋1＝－2；x＝4取不到，y＝log24＋1＝3这个值也取不到， 所以值域是[－2，3)。 所以选B。 A项：端点x＝4取不到，却把3也算进值域，按此错法真算得[－2，3]；C项：求值时漏掉了常数1，按此错法真算得[－3，2)；D项：把log24当成真数4本身，按此错法真算得[－2，5)。 34．【答案】 【解析】＞0，f()＝log3()＝log3()＝－2； －2≤0，f(－2)＝＝。 所以f(f())＝。 35．【答案】D 【解析】u＝－2x＋5＝＋4≥4，u的取值范围是[4，+∞)。 y＝log2u在(0，+∞)上单调递增，所以y≥log24＝2，值域为[2，+∞)。 所以选D。 A项：误以为对数型函数的值域总是R，按此错法真算得R；B项：u能取到最小值4，却把端点2写成开区间，按此错法真算得(2，+∞)；C项：把真数u的范围[4，+∞)直接当成了函数的值域，按此错法真算得[4，+∞)。 36．【答案】(－∞，－1) 【解析】由－4x－5＞0得x＜－1或x＞5，定义域为(－∞，－1)∪(5，+∞)。 u＝－4x－5＝－9在(－∞，－1)上单调递减，在(5，+∞)上单调递增； y＝u在(0，+∞)上单调递减。任取x1＜x2＜－1，则u(x1)＞u(x2)＞0，所以u(x1)＜u(x2)，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；同理可得f(x)在(5，+∞)上单调递减。所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)。 37．【答案】S＜P＜Q 【解析】当1＜x＜4时，S＝log2x＜log24＝2，而P＝＞＝2，所以S＜P； y＝与y＝4x的图象交于点(4，16)（＝16＝4×4），由图可知，当1＜x＜4时直线y＝4x在曲线y＝的上方（例如x＝2时，＝4＜4×2＝8），所以P＜Q。 所以S＜P＜Q，即log2x＜＜4x。 38．【答案】A 【解析】a是对数的底数，a＞0且a≠1，所以u＝2－ax在[0，1]上单调递减。 任取0≤x1＜x2≤1，则u(x1)＞u(x2)。在真数为正的前提下：若0＜a＜1，y＝logau在(0，+∞)上单调递减，得f(x1)＜f(x2)，f(x)在[0，1]上单调递增，不合题意；若a＞1，y＝logau单调递增，得f(x1)＞f(x2)，符合题意。所以a＞1； 又真数在[0，1]上要恒为正，u的最小值为2－a，需2－a＞0，得a＜2。 所以a的取值范围是(1，2)。 所以选A。 B项：误以为0＜a＜1时也满足（没有分析内外层的单调性），按此错法真算得(0，1)∪(1，2)；C项：漏掉了真数为正的条件，按此错法真算得(1，+∞)；D项：把真数条件写成了2－a≥0，按此错法真算得(1，2]。 39．【答案】（1）[－1，3]；（2）f(x)＝－t－2；（3）x＝8时最大值为4，x＝时最小值为－ 【解析】【解答】(1)y＝log2x在(0，+∞)上单调递增，x∈[，8]，所以t∈[log2()，log28]，即t的取值范围是[－1，3]。 (2)x＞0，log4(4)＝log44＋log4()＝1＋2log4x，由换底公式，log4x＝＝，所以log4(4)＝1＋t。 于是f(x)＝(t－2)(t+1)＝－t－2。 (3)f(x)＝－t－2＝－，t∈[－1，3]。 当t＝，即log2x＝，x＝＝时，取最小值－； 二次函数图象开口向上，t＝3比t＝－1离对称轴t＝更远，t＝3时函数值为4，t＝－1时函数值为0，所以当t＝3，即x＝8时，取最大值4。 所以f(x)的最大值为4（x＝8），最小值为－（x＝）。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期 第四章 指数函数与对数函数 专项训练 4.3-4.4 对数与对数函数（六大题型）专项训练 人教A版必修第一册数学高一上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第四章 指数函数与对数函数 4.3~4.4） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．全卷分六个考点，每个考点的题目按基础、中档、难排列，建议先读考点归纳再动笔。 2．凡涉及对数，先写出底数大于0且不等于1、真数大于0的条件；解对数方程要检验，对数不等式的解集写成区间。 3．解答题需写出换底、换元、利用单调性去掉对数符号等关键步骤。 内容速览　六考点39题（选19·填14·解6）｜解析版 15 页：速查表、答案、详解｜配图 4 幅 　考点归纳 1．对数的概念与指对互化：对数的定义、指数式与对数式互化、底数与真数的限制条件（零和负数没有对数） 2．对数的运算性质与换底公式：积、商、幂的对数，换底公式及其推论，用已知对数表示未知对数 3．对数函数的定义、定义域与图象特征：对数函数的定义、定义域、图象过定点、底数与图象位置、由图象确定参数 4．对数函数的单调性与比较大小：同底数比较、中间量0与1、含参数的对数不等式、分段函数的单调性 5．对数型方程、不等式的求解：化为同底数、换元、借助图象求解集，真数为正的限制不能漏 6．综合应用：复合函数的单调区间与值域、含参数的单调性、指对混合求值、不同函数增长的差异 　考点01　对数的概念与指对互化 1．对数log4()的值是(____)。 A．－3 B．－ C．－ D． 2．若(m－1)＝－3，则实数m＝________。 3．使式子logx－1(5－x)有意义的实数x的取值范围是(____)。 A．(1，2)∪(2，5) B．(－∞，2)∪(2，5) C．(1，5) D．(－∞，5) 4．已知a＝log312，则＋的值为________。 5．若log3[log2(log5x)]＝0，则x＝ (____)。 A．5 B．10 C．32 D．25 6．已知函数f(x)＝logx(x+6)。 (1)求f(x)的定义域； (2)解方程f(x)＝2； (3)解方程f(x)＝1＋logx4。 　考点02　对数的运算性质与换底公式 7．log832的值等于(____)。 A．4 B． C． D．2 8．计算：lg2.5＋lg40－lg0.1＝________。 9．设lg2＝a，lg3＝b，则log312可以表示为(____)。 A． B． C．2a D． 10．已知＝＝m，且＋＝2，则m＝________。 11．已知log189＝a，＝5，则用a，b表示log3645的结果是(____)。 A． B． C． D． 12．设实数x，y满足＝＝36。 (1)用对数分别表示x与y； (2)求＋的值； (3)比较3x与4y的大小。 　考点03　对数函数的定义、定义域与图象特征 13．若函数y＝ (－4a+4)·logax是对数函数，则实数a的值为(____)。 A．3 B．1或3 C．2 D．1 14．函数f(x)＝lg(x+2)＋的定义域为________。 15．函数y＝loga(2x－5)＋3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是(____)。 A．(，3) B．(3，4) C．(3，3) D．(1，3) 16．如图，四条曲线C1，C2，C3，C4依次对应函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx。据图判断，把a，b，c，d和1从大到小排列，正确的是(____)。 A．b＞a＞1＞d＞c B．a＞b＞1＞d＞c C．b＞a＞1＞c＞d D．a＞b＞1＞c＞d 17．如图，已知函数g(x)＝loga(x+b)（a＞0，且a≠1）的图象，结合图中两点的坐标可得g(25)＝________。 18．已知a＞1，要使函数y＝loga(x+b)的图象不进入第四象限，实数b的取值范围应是(____)。 A．[0，+∞) B．(－∞，1] C．(1，+∞) D．[1，+∞) 19．已知函数f(x)＝lg(a+2x+1)。 (1)若a＝－3，写出使f(x)有意义的x的范围； (2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (3)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。 　考点04　对数函数的单调性与比较大小 20．根据对数函数的单调性，下列不等式中成立的一个是(____)。 A．log30.8＞0 B．4＜5 C．log21.8＜log22.5 D．lg0.5＞lg0.6 21．用“＞”或“＜”填空：1.5________1.2。 22．设a＝log0.50.4，b＝log30.5，c＝，把a，b，c按从小到大的顺序用“＜”连接：________。 23．若loga()＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是(____)。 A．(，1)∪(1，+∞) B．(0，)∪(1，+∞) C．(1，+∞) D．(0，) 24．分段函数f(x)：x＜1时f(x)＝ (2a－1)x＋3a；x≥1时f(x)＝logax。若f(x)在(－∞，+∞)上单调递减，则a的取值范围是(____)。 A．(0，] B．(0，) C．[，) D．(，) 25．设f(x)＝log3()。 (1)求使f(x)有意义的x的取值范围，并判断f(x)的奇偶性； (2)用单调性的定义证明：f(x)在其定义域上单调递增； (3)若f(2m－1)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围。 　考点05　对数型方程、不等式的求解 26．方程log2(x+2)＋log2(x－2)＝5的解是(____)。 A．x＝6 B．x＝－6 C．x＝16 D．x＝6或x＝－6 27．在真数有意义的前提下，满足(3－x)≥－2的x组成的集合用区间表示为________。 28．满足log0.3(3x－2)＞log0.3(x+4)的实数x的取值范围是(____)。 A．(－4，3) B．(－∞，3) C．(3，+∞) D．(，3) 29．把log3x看作一个整体进行换元，可求得关于x的方程－log3()－3＝0的全部解为________。 30．如图，函数y＝log2x的图象与直线y＝x－1交于A(1，0)，B(2，1)两点，则不等式log2x＞x－1的解集为________。 31．使lg(－3x)＜1成立的全体实数x组成的集合是(____)。 A．(－2，5) B．(－2，0)∪(3，5) C．(－∞，0)∪(3，+∞) D．(－∞，－2)∪(5，+∞) 32．已知函数h(x)＝log3(x+3)＋log3(1－x)。 (1)求h(x)的定义域； (2)解方程h(x)＝log3(2x+6)； (3)解不等式log3(x+3)＞log3(1－x)＋1。 　考点06　综合应用 33．当≤x＜4时，函数y＝log2x＋1的值域为(____)。 A．[－2，3] B．[－2，3) C．[－3，2) D．[－2，5) 34．已知函数f(x)：x＞0时f(x)＝log3x，x≤0时f(x)＝，则f(f())＝________。 35．函数y＝log2(－2x+5)的值域是(____)。 A．R B．(2，+∞) C．[4，+∞) D．[2，+∞) 36．函数f(x)＝(－4x－5)的单调递增区间是________。 37．如图，在同一坐标系中画出了函数y＝，y＝4x，y＝log2x的图象。记P＝，Q＝4x，S＝log2x，当1＜x＜4时，把P，Q，S按从小到大的顺序用“＜”连接：________。 38．若函数f(x)＝loga(2－ax)在区间[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是(____)。 A．(1，2) B．(0，1)∪(1，2) C．(1，+∞) D．(1，2] 39．已知函数f(x)＝ (log2x－2)·log4(4)，x∈[，8]。 (1)令t＝log2x，写出t的范围； (2)把f(x)写成关于t的二次函数； (3)当x取何值时f(x)取得最大值和最小值？求出这两个最值。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $