专题02 解直角三角形基本模型（题型专练）数学新教材浙教版九年级下册

专题02 解直角三角形的基本模型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 基础单直角三角形模型 【典例1】 【答案】31 【详解】解：如图，过点C作于点，则，，， ∴, ∴（米）． 【变式1-1】 【答案】 【分析】本题为解直角三角形的实际应用，已知直角三角形的一条直角边和一个锐角，利用正切函数的定义，直接求出对边（树高）即可． 【详解】解：由题意可知，是直角三角形，， 根据正切函数的定义： ， 已知，代入得： ． 【变式1-2】 【答案】37 【分析】根据题意构建直角三角形模型，在中，利用锐角三角函数中正切的定义，结合已知边长和角度即可求出的长 【详解】解：根据题意可知，为直角三角形，且 ，， 在 中， ． 【变式1-3】 【答案】9.6米 【详解】解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中， ∵米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：旗杆的高是米． ▌题型02 子母型双直角三角形模型 【典例1】 【答案】(1)如图所示； (2)米 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义、解直角三角形的应用（仰角问题）以及一元一次方程的应用，熟练掌握利用正切函数表示直角三角形的边长，并根据线段差建立方程求解是解题的关键． （1）根据直角三角形中锐角三角函数的定义，在中，，因此可以直接用对边、斜边和邻边的比值来表示角的正弦和正切． （2）在两个直角三角形和中，分别利用和的正切值，将和用古塔高度表示出来，再根据米的条件列出方程，求解方程即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意可知，，即． 在中， （2）解：在中，∵， 在中，∵， 设米，则 解得≈． ∴古塔的高度为米． 【变式1-1】 【答案】 【分析】根据题意得，由得，再通过解可求出，进而可求出的高度． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，根据题意可得，，设，在中，根据的正切值即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的高度约为米，即旗杆的高度为米． 【变式1-3】 【答案】C 【分析】在中，，即，在，，即，分别求出的长，即可得到的长． 【详解】解：根据题意可得：，， 在中，，即， 米， 在，，即， 米， 米， 小聪和小辉所在测量位置之间的距离约为10.5米， 故选：C． 【变式1-4】 【答案】9.9米 【分析】延长交于H，设米，根据直角三角形的性质用x表示出，进而得出，根据正切的定义列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】 解：如图，延长交于H， 则， 设米， 在中，， ∴米， ∴米， 在中，， ∴ ∴， 解得：， ∴（米）， 答：旗杆顶部离地面的高度约为9.9米． 【变式1-5】 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． ▌题型03 背靠背型双直角三角形模型 【典例1】 【答案】气球应至少再上升米 【分析】 过作的垂线，设垂足为．即为所求的高度．在中，运用三角函数定义求出的值；进而可在中，求出的值． 【详解】 解：过作，垂足为点． 在中， ，， ． 在中， ，， ． 答：气球应至少再上升米． 【变式1-1】 【答案】 【分析】根据题意得，由得，再通过解可求出，进而可求出的高度． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，根据题意可得，，设，在中，根据的正切值即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的高度约为米，即旗杆的高度为米． 【变式1-3】 【答案】C 【分析】在中，，即，在，，即，分别求出的长，即可得到的长． 【详解】解：根据题意可得：，， 在中，，即， 米， 在，，即， 米， 米， 小聪和小辉所在测量位置之间的距离约为10.5米， 故选：C． ▌题型04 坡度（坡比）模型 【典例1】 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先根据坡度的定义求解，再由勾股定理求解； （2）先根据坡度的定义求解，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵的坡比（）为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的坡比（）为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴大坝横截面的面积， 答：大坝横截面的面积为． 【变式1-1】 【答案】A 【分析】根据坡度的概念，即坡面的铅直高度与水平宽度的比，列出比例式求解即可． 【详解】解： 迎水坡的坡比是， ， 又， ， （米）． 【变式1-2】 【答案】 【分析】由迎水坡的坡比是，坝高，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高， ∴， ∴． 【变式1-3】 【答案】3 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键．根据题意可得∶在中，，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：滑坡的坡度是， 在中，． ， ． 故答案为：3． 【变式1-4】 【答案】背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形，理解坡比是关键． 根据坡比得到米，设米，由坡比的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． ▌题型05 构造型解直角三角形模型 【典例1】 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 【变式1-1】 【答案】 【分析】作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可， 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故答案为：． 【变式1-2】 【答案】(1)米 (2)飞行时间为8秒 【分析】（1）解直角三角形，求出的值即可； （2）证明是等腰三角形，作，求出的长，再根据时间等于路程除以速度进行求解即可. 【详解】（1）解：在中，，， （米）． 答：地面引导员与外卖柜的距离为40米； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， 是等腰三角形， 作，则，四边形是矩形， ∴， （米）， ∴飞行时间为：（秒）. 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可得四边形为矩形， ， ，可以求解； （2）可得四边形为矩形，证明，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：设交于H点，如图1， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 在中， ∵ ， ∴， 在中， ∵ ， ∴， ∴， 答：灯笼的高度为； （2）解：过E点作于M点，延长交于N点，如图， ，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式1-4】 【答案】(1)甲同学的成绩是 (2)乙同学的成绩是 【分析】（1）过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解． （2）过点作，垂足为点，交的延长线于点．在中，根据三角函数的定义求得．再证明四边形是矩形，则，．在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． （2）解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是． 1 / 2 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形的基本模型 （题型突破·举一反三） 题型01 基础单直角三角形模型 题型02 子母型双直角三角形模型 题型03 背靠背型双直角三角形模型 题型04 坡度（坡比）模型 题型05 构造型解直角三角形模型 ▌题型01 基础单直角三角形模型 1.图形描述 2.基本等量关系 ； ； 3.解题思路:利用已知条件直接解直角三角形. 【典例1】（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 【变式1-1】（2026·浙江·模拟预测）如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为_______m．（用含的三角函数表示） 【变式1-2】（2026·辽宁大连·二模）如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） ． 【变式1-3】（2025·浙江台州·模拟预测）为了测量旗杆的高度，在离旗杆米的C处，用高米的测角仪测得旗杆顶部A的仰角为，求旗杆的高．（精确到米，） ▌题型02 子母型双直角三角形模型 ┐ 1.图形描述 两个直角三角形在公共直角边同一侧 母三角形： 子三角形： 2.基本等量关系 (1)边的关系：AC=AC(公共边) BC=BD+CD （2）角的关系： , 3.解题思路：利用基本等量关系列方程思想解直角三角形. 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，某校数学实践小组计划测量一座古塔的高度．他们采用了如下步骤： ①在古塔正前方水平地面上的点处，用测角仪测得塔顶的仰角为； ②沿直线后退米到达点处（点，，在同一直线上），再次用测角仪测得塔顶的仰角为． 测角仪的高度忽略不计．根据以上信息解决下列问题： (1)在图中标注出角，用关于，，的代数式表示角的正弦、正切． (2)计算古塔的高度（结果精确到米）．（参考数据： ） 【变式1-1】（（2026·浙江衢州·一模）如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度．兴趣小组在海拔的A处，测得气象雷达站顶端B的仰角为，气象雷达站底端C的仰角为，已知气象雷达站顶端B点的海拔约为，求气象雷达站的高度．（参考数据：，，）． 【变式1-2】（2023·浙江台州·三模）建筑物上有一旗杆，由距 的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： ． 【变式1-3】（2023·浙江杭州·一模）如图，小聪在一幢楼的楼顶点处，以的俯角看到一盏路灯的底部点，小辉在这幢楼的点处，以的俯角看到这盏路灯的底部点．路灯到楼的距离米，点在同一直线上．已知，，，，，．则小聪和小辉所在测量位置之间的距离约为（    ） A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米 【变式1-4】（2023-2024学年九年级数学下册题型专练）某校数学兴趣小组开展综合实践活动——测量校园内旗杆的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部点M的仰角，在与点A相距4.5米的点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D，N在同一条水平线上，且点M，N，D，A，B，E，C都在同一竖直平面内，点B，E，C在同一直线上），求旗杆顶部离地面的高度．（精确到0.1米，参考数据：） 【变式1-5】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 ▌题型03 背靠背型双直角三角形模型 ┐ 1.图形描述 两个直角三角形分居公共直角边左右两侧. 2.基本等量关系 (1)边的关系：AD=AD(公共边) BC=BD+CD （2）角的关系： , 3.解题思路：利用基本等量关系列方程思想解直角三角形. 【典例1】（2022·湖南湘潭·模拟预测） 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的处时，仪器显示正前方一高楼顶部的仰角是，底部的俯角是．为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，， 【变式1-1】（2026·浙江衢州·一模）如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度．兴趣小组在海拔的A处，测得气象雷达站顶端B的仰角为，气象雷达站底端C的仰角为，已知气象雷达站顶端B点的海拔约为，求气象雷达站的高度．（参考数据：，，）． 【变式1-2】（2023·浙江台州·三模）建筑物上有一旗杆，由距 的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： 【变式1-3】（2023·浙江杭州·一模）如图，小聪在一幢楼的楼顶点处，以的俯角看到一盏路灯的底部点，小辉在这幢楼的点处，以的俯角看到这盏路灯的底部点．路灯到楼的距离米，点在同一直线上．已知，，，，，．则小聪和小辉所在测量位置之间的距离约为（    ） A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米 ▌题型04 坡度（坡比）模型 1.图形描述 为铅直高度，为水平宽度，为坡角，用表示坡比. 2.基本等量关系 3.解题思路：作垂线构造直角三角形，利用勾股定理及三角函数结合线段的和差列方程解决问题. 【典例1】（浙江绍兴市新昌县拔茅中学等校2025-2026学年第二学期期中测试卷八年级数学）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比（）为，背水坡的坡比（）为，大坝高，坝顶宽． (1)求的长； (2)求大坝横截面的面积． 【变式1-1】（浙江温州第十二中等三校2025-2026学年第二学期期中检测八年级数学试卷）河堤横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长是（   ） A．10米 B．米 C．米 D．米 【变式1-2】（浙江舟山市定海三校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学质量监测）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是______m． 【变式1-3】（吉林省长春市德惠市第八中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题）如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是______m． 【变式1-4】（山东省威海市文登区七里汤中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） ▌题型05 构造型解直角三角形模型 1.解题思路：过关键点作水平线或竖直线分割图形，构造直角三角形，利用勾股定理及锐角三角函数结解直角三角形 2.解题步骤： 作图→构造直角三角形→设未知数→用三角函数表示线段→根据题意列方程→求解→作答. 【典例1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ① ； ②求乘客水杯的最大高度． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 【变式1-2】（2026·浙江杭州·二模）科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜的正上方垂直上升至距地面30米的点处悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台点处．如图，若地面引导员在点处测得无人机悬停点的仰角与客户阳台点的仰角均为（参考数据：，，）． (1)求地面引导员与外卖柜的距离． (2)若无人机的速度为10米/秒，求无人机从悬停点处飞到客户阳台点处需要多少时间． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）春节前夕，太原市道路两旁的路灯上挂起了灯笼，增添了不少年味．某班成立的学习小组想通过所学知识来测量灯笼的高度，下面是勤学小组和思辨小组的测量方案，根据表格中的信息回答问题． 小组名称 勤学小组 思辨小组 测量工具 自制测倾仪，皮尺 皮尺 测量示意图       测量方案及数据 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，利用自制的测倾仪测得A，B两点的仰角和分别为和，自制测倾仪的高度为 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，举起手中长度为的铅笔，竖直放置于眼前观察，调整的位置使铅笔的上、下端点分别与灯笼的上、下端点重合 计算 …… …… (1)利用勤学小组的数据计算灯笼的高度；（结果保留小数点后两位．参考数据：） (2)思辨小组的丽丽发现利用已有的测量数据无法计算出灯笼的高度，于是又测量了眼睛到铅笔所在直线的距离．若测得该数据为，则的高度为 m（用含x的式子表示）． 【变式1-4】（2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形的基本模型 （题型突破·举一反三） 题型01 基础单直角三角形模型 题型02 子母型双直角三角形模型 题型03 背靠背型双直角三角形模型 题型04 坡度（坡比）模型 题型05 构造型解直角三角形模型 ▌题型01 基础单直角三角形模型 1.图形描述 2.基本等量关系 ； ； 3.解题思路:利用已知条件直接解直角三角形. 【典例1】（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 【答案】31 【详解】解：如图，过点C作于点，则，，， ∴, ∴（米）． 【变式1-1】（2026·浙江·模拟预测）如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为_______m．（用含的三角函数表示） 【答案】 【分析】本题为解直角三角形的实际应用，已知直角三角形的一条直角边和一个锐角，利用正切函数的定义，直接求出对边（树高）即可． 【详解】解：由题意可知，是直角三角形，， 根据正切函数的定义： ， 已知，代入得： ． 【变式1-2】（2026·辽宁大连·二模）如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】37 【分析】根据题意构建直角三角形模型，在中，利用锐角三角函数中正切的定义，结合已知边长和角度即可求出的长 【详解】解：根据题意可知，为直角三角形，且 ，， 在 中， ． 【变式1-3】（2025·浙江台州·模拟预测）为了测量旗杆的高度，在离旗杆米的C处，用高米的测角仪测得旗杆顶部A的仰角为，求旗杆的高．（精确到米，） 【答案】9.6米 【详解】解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中， ∵米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：旗杆的高是米． ▌题型02 子母型双直角三角形模型 ┐ 1.图形描述 两个直角三角形在公共直角边同一侧 母三角形： 子三角形： 2.基本等量关系 (1)边的关系：AC=AC(公共边) BC=BD+CD （2）角的关系： , 3.解题思路：利用基本等量关系列方程思想解直角三角形. 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，某校数学实践小组计划测量一座古塔的高度．他们采用了如下步骤： ①在古塔正前方水平地面上的点处，用测角仪测得塔顶的仰角为； ②沿直线后退米到达点处（点，，在同一直线上），再次用测角仪测得塔顶的仰角为． 测角仪的高度忽略不计．根据以上信息解决下列问题： (1)在图中标注出角，用关于，，的代数式表示角的正弦、正切． (2)计算古塔的高度（结果精确到米）．（参考数据： ） 【答案】(1)如图所示； (2)米 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义、解直角三角形的应用（仰角问题）以及一元一次方程的应用，熟练掌握利用正切函数表示直角三角形的边长，并根据线段差建立方程求解是解题的关键． （1）根据直角三角形中锐角三角函数的定义，在中，，因此可以直接用对边、斜边和邻边的比值来表示角的正弦和正切． （2）在两个直角三角形和中，分别利用和的正切值，将和用古塔高度表示出来，再根据米的条件列出方程，求解方程即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意可知，，即． 在中， （2）解：在中，∵， 在中，∵， 设米，则 解得≈． ∴古塔的高度为米． 【变式1-1】（（2026·浙江衢州·一模）如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度．兴趣小组在海拔的A处，测得气象雷达站顶端B的仰角为，气象雷达站底端C的仰角为，已知气象雷达站顶端B点的海拔约为，求气象雷达站的高度．（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】根据题意得，由得，再通过解可求出，进而可求出的高度． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（2023·浙江台州·三模）建筑物上有一旗杆，由距 的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，根据题意可得，，设，在中，根据的正切值即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的高度约为米，即旗杆的高度为米． 【变式1-3】（2023·浙江杭州·一模）如图，小聪在一幢楼的楼顶点处，以的俯角看到一盏路灯的底部点，小辉在这幢楼的点处，以的俯角看到这盏路灯的底部点．路灯到楼的距离米，点在同一直线上．已知，，，，，．则小聪和小辉所在测量位置之间的距离约为（    ） A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米 【答案】C 【分析】在中，，即，在，，即，分别求出的长，即可得到的长． 【详解】解：根据题意可得：，， 在中，，即， 米， 在，，即， 米， 米， 小聪和小辉所在测量位置之间的距离约为10.5米， 故选：C． 【变式1-4】（2023-2024学年九年级数学下册题型专练）某校数学兴趣小组开展综合实践活动——测量校园内旗杆的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部点M的仰角，在与点A相距4.5米的点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D，N在同一条水平线上，且点M，N，D，A，B，E，C都在同一竖直平面内，点B，E，C在同一直线上），求旗杆顶部离地面的高度．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】9.9米 【分析】延长交于H，设米，根据直角三角形的性质用x表示出，进而得出，根据正切的定义列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】 解：如图，延长交于H， 则， 设米， 在中，， ∴米， ∴米， 在中，， ∴ ∴， 解得：， ∴（米）， 答：旗杆顶部离地面的高度约为9.9米． 【变式1-5】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． ▌题型03 背靠背型双直角三角形模型 ┐ 1.图形描述 两个直角三角形分居公共直角边左右两侧. 2.基本等量关系 (1)边的关系：AD=AD(公共边) BC=BD+CD （2）角的关系： , 3.解题思路：利用基本等量关系列方程思想解直角三角形. 【典例1】（2022·湖南湘潭·模拟预测） 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的处时，仪器显示正前方一高楼顶部的仰角是，底部的俯角是．为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，， 【答案】气球应至少再上升米 【分析】 过作的垂线，设垂足为．即为所求的高度．在中，运用三角函数定义求出的值；进而可在中，求出的值． 【详解】 解：过作，垂足为点． 在中， ，， ． 在中， ，， ． 答：气球应至少再上升米． 【变式1-1】（2026·浙江衢州·一模）如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度．兴趣小组在海拔的A处，测得气象雷达站顶端B的仰角为，气象雷达站底端C的仰角为，已知气象雷达站顶端B点的海拔约为，求气象雷达站的高度．（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】根据题意得，由得，再通过解可求出，进而可求出的高度． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（2023·浙江台州·三模）建筑物上有一旗杆，由距 的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，根据题意可得，，设，在中，根据的正切值即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的高度约为米，即旗杆的高度为米． 【变式1-3】（2023·浙江杭州·一模）如图，小聪在一幢楼的楼顶点处，以的俯角看到一盏路灯的底部点，小辉在这幢楼的点处，以的俯角看到这盏路灯的底部点．路灯到楼的距离米，点在同一直线上．已知，，，，，．则小聪和小辉所在测量位置之间的距离约为（    ） A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米 【答案】C 【分析】在中，，即，在，，即，分别求出的长，即可得到的长． 【详解】解：根据题意可得：，， 在中，，即， 米， 在，，即， 米， 米， 小聪和小辉所在测量位置之间的距离约为10.5米， 故选：C． ▌题型04 坡度（坡比）模型 1.图形描述 为铅直高度，为水平宽度，为坡角，用表示坡比. 2.基本等量关系 3.解题思路：作垂线构造直角三角形，利用勾股定理及三角函数结合线段的和差列方程解决问题. 【典例1】（浙江绍兴市新昌县拔茅中学等校2025-2026学年第二学期期中测试卷八年级数学）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比（）为，背水坡的坡比（）为，大坝高，坝顶宽． (1)求的长； (2)求大坝横截面的面积． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先根据坡度的定义求解，再由勾股定理求解； （2）先根据坡度的定义求解，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵的坡比（）为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的坡比（）为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴大坝横截面的面积， 答：大坝横截面的面积为． 【变式1-1】（浙江温州第十二中等三校2025-2026学年第二学期期中检测八年级数学试卷）河堤横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长是（   ） A．10米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据坡度的概念，即坡面的铅直高度与水平宽度的比，列出比例式求解即可． 【详解】解： 迎水坡的坡比是， ， 又， ， （米）． 【变式1-2】（浙江舟山市定海三校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学质量监测）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是______m． 【答案】 【分析】由迎水坡的坡比是，坝高，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高， ∴， ∴． 【变式1-3】（吉林省长春市德惠市第八中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题）如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是______m． 【答案】3 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键．根据题意可得∶在中，，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：滑坡的坡度是， 在中，． ， ． 故答案为：3． 【变式1-4】（山东省威海市文登区七里汤中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形，理解坡比是关键． 根据坡比得到米，设米，由坡比的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． ▌题型05 构造型解直角三角形模型 1.解题思路：过关键点作水平线或竖直线分割图形，构造直角三角形，利用勾股定理及锐角三角函数结解直角三角形 2.解题步骤： 作图→构造直角三角形设未知数用三角函数表示线段根据题意列方程求解作答. 【典例1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ① ； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 【答案】 【分析】作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可， 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故答案为：． 【变式1-2】（2026·浙江杭州·二模）科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜的正上方垂直上升至距地面30米的点处悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台点处．如图，若地面引导员在点处测得无人机悬停点的仰角与客户阳台点的仰角均为（参考数据：，，）． (1)求地面引导员与外卖柜的距离． (2)若无人机的速度为10米/秒，求无人机从悬停点处飞到客户阳台点处需要多少时间． 【答案】(1)米 (2)飞行时间为8秒 【分析】（1）解直角三角形，求出的值即可； （2）证明是等腰三角形，作，求出的长，再根据时间等于路程除以速度进行求解即可. 【详解】（1）解：在中，，， （米）． 答：地面引导员与外卖柜的距离为40米； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， 是等腰三角形， 作，则，四边形是矩形， ∴， （米）， ∴飞行时间为：（秒）. 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）春节前夕，太原市道路两旁的路灯上挂起了灯笼，增添了不少年味．某班成立的学习小组想通过所学知识来测量灯笼的高度，下面是勤学小组和思辨小组的测量方案，根据表格中的信息回答问题． 小组名称 勤学小组 思辨小组 测量工具 自制测倾仪，皮尺 皮尺 测量示意图       测量方案及数据 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，利用自制的测倾仪测得A，B两点的仰角和分别为和，自制测倾仪的高度为 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，举起手中长度为的铅笔，竖直放置于眼前观察，调整的位置使铅笔的上、下端点分别与灯笼的上、下端点重合 计算 …… …… (1)利用勤学小组的数据计算灯笼的高度；（结果保留小数点后两位．参考数据：） (2)思辨小组的丽丽发现利用已有的测量数据无法计算出灯笼的高度，于是又测量了眼睛到铅笔所在直线的距离．若测得该数据为，则的高度为 m（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可得四边形为矩形， ， ，可以求解； （2）可得四边形为矩形，证明，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：设交于H点，如图1， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 在中， ∵ ， ∴， 在中， ∵ ， ∴， ∴， 答：灯笼的高度为； （2）解：过E点作于M点，延长交于N点，如图， ，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式1-4】（2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 【答案】(1)甲同学的成绩是 (2)乙同学的成绩是 【分析】（1）过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解． （2）过点作，垂足为点，交的延长线于点．在中，根据三角函数的定义求得．再证明四边形是矩形，则，．在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． （2）解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $