第23章 解直角三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版九年级上册

第23章 解直角三角形 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若一个直角三角形的两边长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长为（     ） A．或 B．或2 C．5 D．5或4 【答案】B 【分析】因式分解解一元二次方程得两边长，分两种情况利用勾股定理求斜边，利用直角三角形斜边中线性质求中线长． 【详解】解：， 整理得， 解得两根为， 即直角三角形两边长为和， ①当4是直角边时，由勾股定理得斜边长 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得中线长； ②当4是斜边时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得中线长； 综上，该直角三角形斜边上的中线长为或2． 2．如图，点是菱形对角线上一动点，点是的中点，若，，则的最小值是(     ) A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用菱形的轴对称性得出，将的最小值转化为线段的长，根据等边三角形的性质和勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，， 四边形是菱形， 点与点关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形， 点是的中点， ，， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 3．如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为（     ） A．0.4 B．2.5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ． 4．在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，．再根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，且． ∴，． ∴，． ∵、均为锐角． ∴，． ∵三角形内角和为． ∴． 5．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为． 6．如图，在中，，是斜边的中点，把沿着折叠，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质、折叠的性质，垂直的含义即可解答． 【详解】解：∵在中，，是斜边的中点， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴， ∴， 故A正确； ∵由折叠可得：，而， ∴无法证明， 故B错误； 根据三角形三边关系可得：， 故C错误； 无法证明， 故D错误． 7．如图是某公园秋千的侧面示意图，已知静止时秋千的拉绳的长为，为，为了安全起见，秋千设置的成人“安全角度”不超过，则成人离地面的最高距离（即点，到地面的最高距离）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，作垂直于底面，再根据题意可得，然后根据，求出，最后根据可得答案． 【详解】解：过点A作于点E，作垂直于底面，垂足为点F， 根据题意可得． 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， 即成人离地面的最高距离为． 8．如图，点均在正方形网格的格点上，且交于点，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格，求一个角的正切值，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，，再证明然后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，正方形网格的小正方形的边长为， 依题意，， 取格点，连接， 依题意，， 结合网格特征得， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 结合网格特征，， 则， ∴， 故选：A． 9．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 10．如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，．过点作，垂足为点，利用三角函数分别求出和的值，进而可得． 【详解】解：∵客轮在海上以的速度由向航行，航行后到达处， ∴， ∵在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，正北与正南方向成一条直线， ∴， ∵处在南偏东方向上，， ∴在的北偏西方向， ∴， ∴， 过点作，垂足为点，即，如图： ∴， ∴， ∴． 11．在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由于是的中点，故，将点绕原点旋转（考虑逆时针和顺时针两种方向），利用旋转的性质计算对应点坐标． 【详解】解：，， 为中点， ，即 如图所示，连接点与点， 则，且为第一象限角平分线， 将线段绕着原点O旋转， 即将线段绕原点O旋转； 当顺时针旋转时，旋转至，则， 过点作轴垂线，与轴交于点， 由于点与轴的夹角为，则, 在中，则 ，， ， 由勾股定理可得，， 故； 当逆时针旋转时，旋转至，则 ， 过点作轴垂线，与轴交于点， 由于点与轴的夹角为，则 ， 在中， ，则，， ， 由勾股定理可得，, 故； 综上所述，将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为或． 12．如图，，矩形的顶点，分别在、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中，点到点的最大距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点E，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，两者相加即可得解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接、、， ，， ， ，四边形是矩形， ， ， 根据三角形的三边关系，， 当过点E时最大，最大值为． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 【答案】或 【分析】点在直线上，分两种情况讨论，结合矩形性质和角平分线性质得到，再根据锐角三角函数定义计算结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在边上时，如图1： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； 当点在的延长线上时，如图2： 同理可得， ∵， ∴， 在中，； 综上，的值为或． 14．如图，，的平分线上有一点P，，则____________． 【答案】 【分析】过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点F， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 【答案】5 【分析】作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． 16．如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 【答案】 【分析】根据相似的性质得到，，，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵用12个相似的直角三角形组成的图案， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴． 17．如图，中，于F，于E，M为的中点，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的两底角相等求出和，再根据平角的定义求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：，为的中点， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 18．如图，在中，，点为的中点，点为上一点，点D为上一点，，，若，，则的值______． 【答案】/ 【分析】先证，得到，然后可得，再设，则，利用勾股定理求出，然后由正切的定义求解． 【详解】解：， 而，， ， 又 ， ， ， 又 点是的中点， ∴， ， 在 中，设，则， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知：如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点A作，垂足为点D，设，根据，得出，再根据，表示出的长，再在中，根据，即可求出x的值，从而得出的长，即可求解． 【详解】解：过点A作，垂足为点D， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ，即 解得：， ∴． 20．如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． (1)求的长； (2)木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； (3)如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ 【答案】(1)米 (2)木棍在滑动过程中，线段的长度未发生改变； (3)米 【分析】（1）根据题意，由勾股定理直接代入值计算即可； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （3）在新情况下，由勾股定理求出长，与原来米比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意可知米，米， 在中，由勾股定理可得（米）； （2）解：连接，如图所示： 在中，为的中点，则（米）； （3）解：如图所示： 当木棍的底端向外滑出米时，米，米， 在中，由勾股定理可得（米）， 刚开始时米， 木棍的顶端沿墙下滑距离为米． 21．【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)【定理证明】为证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请完成证明过程．已知∶在中，，O是边的中点．求证∶． (2)【知识应用】如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点 P，点P到四边形四个顶点的距离均为d，求d的长． 【答案】(1)证明：延长至，使，连接，， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据已知条件构造矩形，由矩形性质得到； （2）连接，则得到两个直角三角形斜边的中线，可得，根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，取的中点，连接，， ∵，点是的中点， ∴，即点到四边形四个顶点的距离相等， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴． 22．关于三角函数有如下的公式： ；① ；② ；③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 根据上面的内容，你可以选择适当的公式解决下面的问题： (1)试求的值； (2)如图所示，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高． 【答案】(1) (2)建筑物的高为米 【分析】（1）根据题目中给出的三角函数公式，根据，列出算式，即可得到答案； （2）过点作于点，证明四边形是矩形，得到，，根据，利用三角函数解得米，由（1）中结论，根据，利用三角函数解得米，进而得到的高度． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，过点作于点， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴， 由（1）可知，， （米）， （米）． 答: 建筑物的高为米． 23．和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ， ，， ． (3)16 【分析】（1）根据三角形面积公式，然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算； （2）根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义，，再等量代换推导出两角和正弦公式； （3）根据与，求出，再利用勾股定理求出高，最后用三角形面积公式算出面积． 【详解】（1）解： ． （2）证明：略 （3）解：过点作，垂足为． ， ． 设，． 在中， ，，． ，． ． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点，点． (1)求直线的解析式； (2)在x轴上取点C，连接，若，求的值； (3)在（2）的条件下，点D在线段上，点D绕点C顺时针旋转得到点E，连接交y轴于点F，，点G为线段中点，连接，若平分，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点C的坐标为，根据，得到，据此建立方程求解即可； （3）过点D作轴于点H，设，则，证明是等腰直角三角形，得到，则；求出直线的解析式为；设，由旋转的性质可得，据此建立方程可推出，则；过点G作交直线于点T，则直线的解析式为，可求出；证明，得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交x轴，y轴于点，点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设点C的坐标为，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图所示，过点D作轴于点H， 设，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 设， 由旋转的性质可得， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D与点E不重合， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点G为线段中点， ∴； 如图所示，过点G作交直线于点T， 则直线的解析式为， 设， 把代入得， 解得， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴ ； ， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 25．手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【答案】(1) (2)千米 (3)①米；②约米 (4)米 【分析】（1）由方位角求出、，再由三角形内角和求； （2）过点作于点，把斜三角形分成两个直角三角形求解； （3）①由坡度知水平距离是垂直高度的3倍；②由“速度×时间”求坡面的长，再用坡角求垂直上升的高度，加上点已上升的25米； （4）由树顶俯角与树高求出，得，再由塔顶俯角求塔高． 【详解】（1）解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向， ∴在的南偏东方向， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：过点作于点． 在中，，，， ∴， ． 在中，，， ∴， ∴， ∴，两地的距离为千米． （3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟， ∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为， ∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． （4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米， ∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则 ， ∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米， ∴（米）． 由塔顶的俯角为得： ， ∴， ∴， ∴塔高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的综合应用：方位角、坡度与坡角、俯角．关键是把实际问题转化为直角三角形：第（2）问作垂线构造直角三角形；第（3）问理解坡度是垂直高度与水平距离的比；第（4）问先用树高与俯角求水平距离，再由水平距离之间的关系求塔高． 26．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例如：直角三角形中，，则所对的边. 可以解决下列问题 【问题引入】 (1)如图①，将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，若，求的长； 【衍生拓展】 (2)如图②，在中，，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，时，求的长； 【深入探究】 (3)如图③，在边长为6的等边三角形中，D是的中点，E是所在直线上一动点，连接，将线段绕点D按逆时针方向旋转得到线段，连接、，在点E运动的过程中，当点A、D、F在同一直线上时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可知，，然后根据勾股定理求解即可； （2）连接，延长交于，证明垂直平分得，，然后利用勾股定理依次求出，即可； （3）连接并延长，在的延长线上取点，使得，连接，由旋转的性质可知，，，证明 得，点在与夹角为的直线上运动．过点作的垂线，垂足为，当点在点时，取得最小值．延长与的延长线交于点，当点、、在同一直线上时，点与点重合，可求，在中求出，，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：将绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ； （2）解：如图，连接，延长交于， 由旋转得，， 是等边三角形， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ，， ， ， ； （3）解：在边长为6的等边三角形中，D是的中点， ，， 如图，连接并延长，在的延长线上取点，使得，连接， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中，， ， ， 则点在与夹角为的直线上运动， 过点作的垂线，垂足为，当点在点时，取得最小值．延长与的延长线交于点， 当点、、在同一直线上时，点与点重合， ，， ， 在中，， ， ， ∴当点、、在同一直线上时，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 解直角三角形 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若一个直角三角形的两边长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长为（     ） A．或 B．或2 C．5 D．5或4 2．如图，点是菱形对角线上一动点，点是的中点，若，，则的最小值是（     ） A．1 B． C．2 D．3 3．如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为（     ） A．0.4 B．2.5 C．3 D．5 4．在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 6．如图，在中，，是斜边的中点，把沿着折叠，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图是某公园秋千的侧面示意图，已知静止时秋千的拉绳的长为，为，为了安全起见，秋千设置的成人“安全角度”不超过，则成人离地面的最高距离（即点，到地面的最高距离）为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点均在正方形网格的格点上，且交于点，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 9．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．如图，，矩形的顶点，分别在、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中，点到点的最大距离为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 14．如图，，的平分线上有一点P，，则____________． 15．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 16．如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 17．如图，中，于F，于E，M为的中点，，，则的度数为______． 18．如图，在中，，点为的中点，点为上一点，点D为上一点，，，若，，则的值______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知：如图，在中，，，，求的长． 20．如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． (1)求的长； (2)木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； (3)如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ 21．【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)【定理证明】为证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请完成证明过程．已知∶在中，，O是边的中点．求证∶． (2)【知识应用】如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点 P，点P到四边形四个顶点的距离均为d，求d的长． 22．关于三角函数有如下的公式： ；① ；② ；③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 根据上面的内容，你可以选择适当的公式解决下面的问题： (1)试求的值； (2)如图所示，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高． 23．和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点，点． (1)求直线的解析式； (2)在x轴上取点C，连接，若，求的值； (3)在（2）的条件下，点D在线段上，点D绕点C顺时针旋转得到点E，连接交y轴于点F，，点G为线段中点，连接，若平分，求点D的坐标． 25．手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 26．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例如：直角三角形中，，则所对的边. 可以解决下列问题 【问题引入】 (1)如图①，将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，若，求的长； 【衍生拓展】 (2)如图②，在中，，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，时，求的长； 【深入探究】 (3)如图③，在边长为6的等边三角形中，D是的中点，E是所在直线上一动点，连接，将线段绕点D按逆时针方向旋转得到线段，连接、，在点E运动的过程中，当点A、D、F在同一直线上时，直接写出线段的长． 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中，， ， ， 则点在与夹角为的直线上运动， 过点作的垂线，垂足为，当点在点时，取得最小值．延长与的延长线交于点， 当点、、在同一直线上时，点与点重合， ，， ， 在中，， ， ， ∴当点、、在同一直线上时，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第23章解直角三角形（高效培优单元自测提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 2 3 4 5 6 个 8 10 11 12 B B B C B A C A C D B 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13. 14.3 15.5 6,号 17.66 18.18. 212 33 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】6V3-6 【解析】解：过点A作AD⊥BC,垂足为点D, 设AD=X, .∠C=45°，AD⊥BC, ∴，△ACD是等腰直角三角形， .'.CD=AD=x, .'BD=BC-CD=6-x, 在Rt△ABD中，∠B=30°， 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan 30=AD 3 BD' 即3 6-x 解得：x=33-3, .AB=2AD=2x=63-6. 20.【答案】(1)12米 (2)木棍在滑动过程中，线段OP的长度未发生改变： 312-/133米 【解析】（1)解：如图所示： o 7777i7m 由题意可知○B=5米，AB=13米， 在Rt△A0B中，由勾股定理可得0A=√AB-0B-132-5-12(米)： (2)解：连接OP,如图所示： B 在Rt△AOB中，P为AB的中点，则OP=号AB=6.5(米)： (3)解：如图所示： W B 7777777T 当木棍的底端B向外滑出1米时，OB=6米，AB=13米， 在Rt△A0B中，由勾股定理可得0A=AB-0B=V13-6=V133米）， 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .刚开始时OA=12米， :.木棍的项端A沿墙下滑距离为12-3米. 21.【答案】(1)详见解析 (2)R13 【解析】(1)证明：延长BO至D,使OD=OB,连接AD,CD, D 点O是AC的中点， ∴.OA=OC, .OD=OB ∴.四边形ABCD是平行四边形， .∠ABC=90°， ∴.四边形ABCD是矩形， ..AC=BD. .OD=OB. :.OB-BD=AC; 2 2 (2)解：如图，连接AC,取AC的中点P,连接PB,PD, 9- ,∠B=∠D=90°，点P是AC的中点， :PB=PD=二AC=PA=PC,即点P到四边形ABCD四个顶点的距离相等， 2 :.PB=PD-PA-PC-d-AC, 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AD=X,则BC=X+2, 在Rt△ABC中，AB+BC=AC2, 在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2, AB2+BC2=AD2+CD2即42+x+2=62+X2 解得x=4, ∴.AD=4, AC=VAD2+CD=V42+6=V16+36=V52=2V131 d-5Ac-25- 22.【答案】(1)2+3 (2)建筑物CD的高为84米 【解析】(1)解：tan75°=tan45°+30=tan45°+tan30° 3+3=2+3: 1-tan45°×tan30°3-9V3 (2)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, D E 由题意可知，ABCD, ∴.∠ABC=∠DCB=90°， DE⊥AB, ∴.四边形DEBC是矩形， ∴ED=BC,CD=BE, ,在Rt△ADE中，∠ADE=a=60°， .AE=ED·tan60°=BC·tan60°=423（米）， :在Rt△ACB中，∠ACB=B=75°， .AB=BC·tan75, 由(1)可知，tan75°=2+3 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=42×2+3=84+423(米)， .CD=BE=AB-AE=84+42V3-42V3=84(米)· 答：建筑物CD的高为84米. 4 23. 【答案】5 (2)答案详见解析 (3)16 【解折析】（1)解：56=号ABAC·sin∠BAC 2 =1×4×3× 2 5 24 (2)证明：如图所示，过点A作AD⊥BC,垂足为D,不妨设∠BAD=(,∠DAC=B A :SAABC=SAABD+S△ACD B D →号AB-AGsin∠BMG=号AB AD∠BaD+吃AGAD:sn∠DAC ∴AD-AGsinle+-2An-ADxsinw+号ACAD-sinB 两边同时除以号AB:ACs得ina+P=sin+ Ac AB sin B. .AD⊥BC, .∴.cosa= AB'COs B=AD AD AC' .sina+β=cosβ·sina+sinβ·cosa. (3)解：过点A作AH⊥CD,垂足为H, 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A :'∠B=45°an∠BAD= B D H .∴tan∠DAH=DI=l AH 2 设DH=X,AH=2x, 在Rt△ADH中，AD=AH+DH (2V10)2=(2x)2+x2 40=5x2,X2=8,x=292. .DH=2V2,AH=42 S。=AHCD=×482x42=16 24.【答案】(1)y=2x+4 明 【解析】(1)解：：直线y=kx+b分别交x轴，y轴于点A-2,0,点B0,4, -2k+b=0 b=4月 k=2 b=4' ∴.直线AB的解析式为y=2x+4: (2)解：设点C的坐标为c,0,则OC=c, A-2,0,B0,4, .AC=c--2=c+2,OB=4, ∴.BC2=0C2+0B2=c2+16, .AC=BC, 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AC2=BC2 c+2=c2+16 .c=3, .0C=3, “BC=V32+16=5 sin∠BCA=sin∠BC0=4 (3)解：如图所示，过点D作DH⊥y轴于点H, 设Dd,2d+4,则H0,2d+4,DH=-d, .∠BFD=135°， .∠DFH=180°-∠BFD=45°， ∴.△DHF是等腰直角三角形， ..FH=DH=-d, ..OF=OH+FH=2d+4-d=d+4, .F0,d+4: 设直线DF的解析式为y=kx+b, .dk+b=2d+4, b=d+4 k=19 b=d+4 ∴.直线DF的解析式为y=x+d+4: 设Ee,e+d+4, 由旋转的性质可得CD=CE, ..CD2=CE2, 由(2)得C3,0, e-32+e+d+4-0l2=d-32+2d+4-0P, e-32-d-32+e+d+42-2d+42=01 7/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.e-3+d-3jle-3-d+3+e+d+4+2d+4le+d+4-2d-4=0, ..(e+d-6)(e-d)+e+3d+8(e-d)=0, ∴.e-dle+d-6+e+3d+8=0, :点D与点E不重合， ∴.e≠d,即e-d≠0， ∴.e+d-6+e+3d+8=0, ∴.e=-2d-1, ∴.e+d+4=-d+3, ∴.E-2d-1,-d+3, ,点G为线段OE中点， a29 如图所示，过点G作乙‖AB交直线DE于点T, 2 r234 erlk2+305入y-d42+345-*d4 2 解得t=一d+3 2 2+3d+5-d+3+3d+5-d+1 22 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -d+3d+11: T2,2 ,DE平分∠BDG, ∴.∠BDE=∠GDE, .乙‖AB, ∴.∠GTD=∠BDE, ∴.∠GDT=∠GTD ∴.DG=TG, ∴DG2=TG2: oc2-d- 4到 16d+8d+1+25d+50d+25 4 4 =41d2+58d+26 4 TG2--2d-1-d+3+-d+3_d+uP 2 22 2 -5d2+40d+80 4 :41d+58d+26-5d+40d+80 4 4 解得d=号或d=1(舍去) .2d+4=1, 25.【答案】(1)45 223+2千米 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)①75米：②约49米 454-123米 【解析】(1)解：如图1，由题意得∠BAC=45°+15°=60°， .B在A的北偏西45°方向， ∴.A在B的南偏东45°方向， .∠ABC=180°-45°-60°=75， ∴.∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-75°=45°， ∴.4C的度数为45°. (2)解：过点B作BD⊥AC于点D. 60° D 159 45 A: 图1 在△ABD中，∠ADB=90°，∠A=60°，AB=4, BD=ABsin60=4x13=23 AD-Ao60=4×号2 在△BCD中，∠BDC=90°，∠C=45°， ..CD= BD =2V3, tan45° ..AC=AD+CD=2+23 ·A'C两地的距离为2/3+2千米 (3)①解：坡面JL的坡度为1：3，垂直高度上升了25米， ∴.L点到J点之间的水平距离为25×3=75（米）. 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②解：，以20米/分的速度行进了30分钟， ∴，坡面L1的长为20×30=600（米）. ,坡面LI的坡角为45°， ∴.从L点到1点的垂直上升高度为600sin45°=600×- 2=3002(米)， ∴.山顶I点处的垂直高度IK=25+300V2=25+300×1.414=449.2≈449（米）， ∴.山顶I点处的垂直高度IK约为449米. (4)解：如图，过点S,O分别作PQ的垂线，垂足分别为K,L,依题意，四边形SKPT,OLPR是矩形， ..SK=PT,PR=OL,=LP,KP=ST, P R 图3 .树高ST=12米，无人机垂直高度PQ=60米， “点Q与树顶S的垂直距离为QK=60-12=48(米). ,树顶S的俯角为60°，则∠QSK=60° tan60=48 PT' ∴.PT=SK 48=48=163(米)， tan60。-q3 ,P点到塔底R的距离比到树底T的距离多8米， .PR=PT+8=163+8(米). 由塔顶O的俯角为37°得：∠QOL=37° tan37=PQ-V点=60-V,名id, PR 163+8 60-V≈0.75×163+8=123+6 ∴.乙=54-12V3, 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·塔高oR为54-123米。 26. 【答案】(1)2V2 (2)R21 (3)3+3V3 【解析】(1)解：，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE, ∴.AB=AD=2,∠BAD=90°， .BD=AB2+AD2=22 (2)解：如图，连接BD,延长DC交AB于F, D AB=AD∠BAD=60° B由旋转得 ∴.△ABD是等边三角形， ∴.AD=BD=AB=6, ∴.点D在AB的垂直平分线上， .AC=BC, .∴.点C在AB的垂直平分线上， .DC垂直平分AB, .∠AFD=90°，AF=BF=AB=3, .DF=3AF=33, .CF=DF-CD=33-3=23. ∴.AC=VAF2+CF=32+23=21 (3)解：，'在边长为6的等边三角形ABC中，D是AC的中点， Dc-号Ac=3.AC8=60 如图，连接BD并延长，在BD的延长线上取点M,使得DM=DC=3,连接MF, 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D DE=DF∠EDF=90° 由旋转的性质可知， .∴.∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDM=90°， ∴.∠EDC=∠FDM, DE=DF 在△EDC和△FDM中， ∠EDC=∠FDM DC=DM ∴.△EDC≌△FDM(SAS, ∴.∠DMF=∠ECD=60°， 则点F在与DM夹角为60°的直线上运动， 过点A作MF的垂线，垂足为F,当点F在点F时，AF取得最小值.延长FM与AC的延长线交于点N, 当点A、D、F在同一直线上时，点F与点N重合， .'∠MDN=90°，∠DMF=60°， .∠MND=30°， 在Rt△MDN中，MN=2DM=6, ∴.DN=V62-3=331 ∴.AN=AD+DN=3+3V3: ∴.当点A、D、F在同一直线上时，AF=AN=3+3V3. 13/13