精品解析：吉林省吉林市普通中学2026-2027学年高二上学期期中调研测试数学试题

吉林市普通高中2026—2027学年度高二年级上学期期中调研测试 数 学 试 题 说明：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚． 3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. 已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为，半径等于5的圆的方程是 A. B. C. D. 3. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正四棱台的高为2，，O为底面的中心，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 7. 动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：，则原点到直线l的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，直线，经过点，且，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 直线的方程为 C. 直线的方程为 D. 直线的方程为 10. 已知圆：和圆：关于直线对称，点、点分别是圆、直线上的动点，，则（ ） A. B. 直线的方程为 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，椭圆的离心率为，过椭圆上一点作斜率为的直线，恰好平分的外角，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，直线的斜率为，则（） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线与的距离为______． 13. 已知圆：与圆：相切，则实数______． 14. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，动点满足，其中，，且点在三棱锥的外接球表面上，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，，且圆心在直线：上． （1）求圆的方程： （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程． 16. 已知椭圆：的焦距为2，短半轴长为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）过左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于，两点，若，求的值． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图1，在梯形中，，，，将沿翻折至，连接，得到图2的三棱锥，且． （1）求证：； （2）若，在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知点，为坐标原点，，射线与轴非负半轴的夹角为，将点绕点逆时针旋转角得到点． （1）若点，，求点的坐标； （2）证明：； （3），点总在曲线上运动．若点在曲线上，且，，直线与曲线在第三象限的交点为，且线段交直线于点；直线与曲线在第四象限的交点为，且线段交直线于点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市普通高中2026—2027学年度高二年级上学期期中调研测试 数 学 试 题 说明：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚． 3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. 已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率为，结合直线方向向量的求解方法，对每个选项逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 2. 圆心为，半径等于5的圆的方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对比圆的标准方程：进行判断即可. 【详解】因为圆心即为，半径，所以圆的标准方程为：， 故选C. 【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易. 3. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解. 【详解】由且，得直线的横截距为，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 4. 已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆焦点位置确定参数关系，利用椭圆中 列方程求解 . 【详解】已知椭圆方程为 ，由焦点坐标为 可知 ，半焦距 ， 根据椭圆参数的基本关系 ，代入可得： 解得 ， 又因为 ，得 . 5. 如图，正四棱台的高为2，，O为底面的中心，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出直线 与 的方向向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设上底面中心为 ，连接 ， 因为几何体为正四棱台，所以 平面 ， 因为 ，所以底面正方形 的对角线 ，则 ， 因为 ，所以上底面正方形 的对角线 ，则 ， 以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可知 ， 则，，，，，， 所以 ，， 设直线 与 所成的角为 ， 则 ， 故直线 与 所成的角的余弦值为. 6. 若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间基底的核心性质：构成基底的三个向量需线性无关（不共面），逐一判断各选项向量组是否满足线性无关即可． 【详解】对选项A：由，可知三个向量共面，无法构成基底，故A错误； 对选项B：由，可知三个向量共面，无法构成基底，故B错误； 对选项C：假设存在实数使得， 整理得，解得， 解得唯一解，故三个向量线性无关，可构成空间基底，故C正确； 对选项D：由，可知三个向量共面，无法构成基底，故D错误． 7. 动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据动点到定点和定直线的距离比例关系列等式，化简得到轨迹方程后匹配选项即可. 【详解】由题意可知，动点 到定点 的距离为 ， 到定直线 的距离为 ， 则两边平方消去根号和绝对值化简得， 即. 8. 已知直线：，则原点到直线l的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线方程为，可知该直线过定点， 由此可知，当时距离最大，长度为，，可知，无解，即长度取不到， 当直线过原点，即时，距离最短为，因此距离范围为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，直线，经过点，且，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 直线的方程为 C. 直线的方程为 D. 直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线线平行和线线垂直时候斜率之间的关系设出方程，代入点坐标即可计算. 【详解】因为直线，所以设直线方程为，代入点，解得， 所以直线方程为，所以A选项正确、B选项错误； 因为直线，所以设直线方程为，代入点，解得， 所以直线方程为，所以C选项正确、D选项错误. 10. 已知圆：和圆：关于直线对称，点、点分别是圆、直线上的动点，，则（ ） A. B. 直线的方程为 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题结合两圆对称的性质、直线方程求解、折线距离最值等知识点考查，运用圆的基本性质、点关于直线对称、两点间距离公式等知识即可解答． 【详解】选项A：两圆关于直线对称则半径相等，圆半径为2，圆半径为， 因此，解得，故A正确； 选项B：时，坐标为，中点为，斜率为， 故对称轴是的中垂线，斜率为1， 方程为，整理得，故B正确； 选项C、D：对任意直线上的点，圆上的点满足， 因此， 因为关于的对称点为， 所以最小值为， 因此最小值为，故C正确，D错误． 11. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，椭圆的离心率为，过椭圆上一点作斜率为的直线，恰好平分的外角，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，直线的斜率为，则（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用外角平分线的对称性构造焦点的对称点，结合椭圆的定义与三角形中位线定理，直接得为中位线且长度等于长半轴；B.由中位线平行关系得的倾斜角，结合外角平分线等角性质用两直线夹角公式求倾斜角，再由三角形内角和计算，判断其不为；C.在中由正弦定理表示两条焦半径长度，结合椭圆定义建立与的等量关系，化简求得离心率；D.两焦点到直线的垂足间距，等于在直线方向上的投影长度，计算后结合转化即可验证. 【详解】选项A，设椭圆左右焦点为、，满足，离心率，由椭圆的定义得， 因直线是的外角平分线，作 关于直线的对称点 ， 由角平分线的对称性，可得点落在直线的延长线上，；垂足是线段 的中点， 是 的中位线， 因此 ，故，，A正确； 选项B，作关于直线的对称点，由角平分线的对称性，点必在直线的延长线上，且； 由对称性质，垂足是线段的中点，因此， 又是中点，是中点，由三角形中位线定理得，， 由（即），，得直线的斜率为，倾斜角为，即， 直线斜率为（倾斜角），是外角平分线，故直线、与直线的夹角相等， 设直线斜率为，由两直线夹角公式得， 代入、，解得，即直线倾斜角为， 在中，，由内角和得，B错误； 选项C，在中，由正弦定理得， 代入、、、，得 ，解得，， 结合椭圆的定义得 ， 因此离心率，C正确； 选项D，因、，故等于向量在直线方向上的投影长度， 直线的方向向量取，单位方向向量为，向量， 则， 由，代入得，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线与的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】将直线变形为：， 由平行线间的距离公式得：. 13. 已知圆：与圆：相切，则实数______． 【答案】或 【解析】 【分析】两圆相切，有外切与内切两种情况，外切时圆心距等于半径之和，内切时圆心距等于半径之差的绝对值，分类讨论即可求得. 【详解】圆：，圆心，半径为， 圆：即， 圆心，半径为， ，由于两圆相切， 若两圆外切，则，； 若两圆内切，则，解得，或（舍去）. 综上，或6. 14. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，动点满足，其中，，且点在三棱锥的外接球表面上，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的条件建立空间坐标系，根据向量关系确定动点所在的平面区域，再利用几何特征确定三棱锥外接球的球心和半径，将立体几何问题转化为平面几何问题，识别出点的轨迹为圆的一部分，并计算其长度. 【详解】 由题意，建立空间坐标系， 则，，，， 因为，分别为棱，的中点，所以，， 设三棱锥的外接球球心为，半径为， 由到，，，距离相等可得: 解得，，. 即球心，半径. 由，且，， 点位于平面上的正方形区域内. 球心到平面的距离为， 因为，所以平面与求相交，交线为圆，交线圆的半径， 交线圆圆心为在平面上的投影. 交线方程为， 该圆与正方形的边界交于，，四点. 点的轨迹这一段圆弧，其总长度等于该圆的周长的一半， 所以点的轨迹长度为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，，且圆心在直线：上． （1）求圆的方程： （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，代入两点坐标，结合圆心在直线：上求出圆心与半径，即可得到圆的标准方程； （2）分直线斜率存在和不存在两类，利用圆心到切线的距离等于半径求解参数，得到切线方程. 【小问1详解】 设圆方程为， 则，所以圆的方程为. 【小问2详解】 若直线斜率不存在，则方程为，（舍去，不满足题意）； 若直线斜率存在，则设直线方程为即， ，两边平方得 解得或，所以直线的方程为或. 16. 已知椭圆：的焦距为2，短半轴长为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）过左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于，两点，若，求的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距、短半轴长结合参数关系求出椭圆标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式列方程求解倾斜角. 【小问1详解】  由题意可知，椭圆焦距，故，短半轴长，所以， 因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 椭圆左焦点的坐标为，直线的倾斜角， ① 当时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，此时，不符合题意，舍去； ② 当时，设直线的斜率为，则直线方程为， 设，， 联立直线与椭圆方程： ，消去并整理得， ，恒有两个不同实根， 由韦达定理得：，， ， 令，解得，即，结合，解得或； 综上，的值为或. 17. 如图，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在​中，分别是的中点， 由三角形中位线性质得， 因为，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 结合，可得，又平面​，平面​， 所以平面； （2） 平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】 【分析】（1）先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为底面，平面，所以，， 所以两两垂直， 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立右手坐标系， 根据，结合平行四边形的性质， 可得，，，，，，， 对平面，取平面内两个不共线向量， ， 设平面的法向量为， 则 ，取，解得，， 所以为平面的一个法向量， 对平面，取平面内两个不共线向量 ， 设平面的法向量为， 则 ，令，解得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图1，在梯形中，，，，将沿翻折至，连接，得到图2的三棱锥，且． （1）求证：； （2）若，在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在翻折前的梯形中： 由，翻折后对应得； 翻折后，，且，平面， 所以平面， 又平面，因此； （2）存在，为线段的中点，理由如下： 因为，，得. 由，得，又，故， 所以，故， 由（1）知，结合，，平面， 则平面， 以为原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设在上，令，， 则. 直线的方向向量为， ，， 设平面的法向量为， 则 ， 取，可得，，则， 设直线与平面所成角为， ， 解得，符合， 此时为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）由，，根据线面垂直判定定理证明平面，进而得到； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，结合条件列方程求结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 存在点，为线段的中点. 19. 已知点，为坐标原点，，射线与轴非负半轴的夹角为，将点绕点逆时针旋转角得到点． （1）若点，，求点的坐标； （2）证明：； （3），点总在曲线上运动．若点在曲线上，且，，直线与曲线在第三象限的交点为，且线段交直线于点；直线与曲线在第四象限的交点为，且线段交直线于点，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）， ， ， . （3）. 【解析】 【分析】（1）求出，从而得到点坐标，再代入旋转角度即可； （2）先求出，再利用两角和的正、余弦公式即可证明； （3）设，求出曲线的方程，再将其进行旋转得到标准椭圆方程，再设点，写出面积表达式，利用点到直线的距离公式、辅助角公式和正弦函数性质即可求出面积最大值. 【小问1详解】 ，且， 又∵点在第一象限，，点在角的终边上． 点. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设， ， 又， ∴曲线． ∵曲线关于对称， ∴将曲线顺时针旋转得到曲线，则旋转后对应点， 则，， 代入曲线得， ∴曲线． 曲线中，，，，旋转到曲线后对应点为， 如图，则的面积等于的面积． 设， 在第一象限，． 设，四边形的面积分别为，则， 下面先证为定值． ， 则直线，令得，则； 直线，令得，则； ， 设，直线， 即． 点到直线的距离， 当，即，此时， ， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $