吉林省吉林市普通高中2026-2027学年高二上学期期中调研测试数学试卷

( ★ 保密 · 启用前 ★ ) 吉林市普通高中2026—2027学年度高二年级上学期期中调研测试 数 学 试 题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。 1．已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量为 A． B． C． D． 2．圆心为，半径为的圆的标准方程为 A． B． C． D． 3．如果，，那么直线不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数= A． B． C． D． 5．如图，正四棱台的高为，，为底面的 中心，则直线与所成的角的余弦值为 A． B． C． D． 6．若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是 A． B． C． D． 7．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动 点的轨迹方程是 A． B． C． D． 8．已知直线，则原点到直线的距离的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，直线，经过点，且，，则 A．直线的方程为 B．直线的方程为 C．直线的方程为 D．直线的方程为 10．已知圆和圆关于直线对称， 点、点分别是圆、直线上的动点，，则 A． B．直线的方程为 C．的最小值是 D．的最小值是 11．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，椭圆 的离心率为，过椭圆上一点作斜率为的直线，恰好平分的外角，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，直线的斜率为，则 A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．两条平行直线与的距离为 ． 13．已知圆与圆相切，则实数 ． 14．如图，正方体的棱长为，，分别为 棱，的中点，动点满足， 其中，，且点在三棱锥的外接球表 面上，则点的轨迹长度为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知圆经过点，，且圆心在直线上. （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程. 16．（本小题满分15分） 已知椭圆的焦距为，短半轴长为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过左焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于，两点，若， 求的值． 17．（本小题满分15分） 如图，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，， ，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证: 平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 如图，在梯形中，，，，将沿翻折 至，连接，得到图的三棱锥，且. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，在线段上是否存在点，使直线与平面所成 角的正弦值为? 若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由. 图 图 19．（本小题满分17分） 已知点，为坐标原点，，射线与轴非负半轴的夹角为，将点 绕点逆时针旋转角得到点． （Ⅰ）若点，，求点的坐标； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ），点总在曲线上运动. 若点在曲线上， 且，，直线与曲线在第三象限的交点为，且线段交 直线于点；直线与曲线在第四象限的交点为，且线段交 直线于点，求面积的最大值． 命题、校对：高二数学命题组 ( 高二数学试题 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $吉林市普通高中2026一2027学年度高二年级上学期期中调研测试 数学试题参考答案 一、单项选择题： 2 3 4 6 7 8 D 夕 D B D 二、多项选择题： 9 10 11 AC ABC ACD 三、填空题： 1 12. 2 13. 4或6 14. √2元 四、解答题 15.【解析】 (I)设圆心C(a,a-3),则|AC=BC1· a-1)2+(a-42=a-5)2+(a-2)2,=3,…3分 .C(3,0),r=AC=V3-1)+(0-1)2=5, 圆C的方程为(x-3)子+y2=5.…6分 (Ⅱ)(0-3)2+12=10>5，.点P(0,1)在圆C外， ①直线2斜率存在，设直线2的方程为y=x+1,即化-y+1=0.…8分 ÷点C3,0)到直线Z,的距离为《=3k+1=5,2x+3-2=0, Vk2+1 解得k=-2或k=二， 11分 即直线L,的方程为2x+y-1=0或x-2y+2=0. 高二数学试题答案 ②直线1，斜率不存在，显然不符合（舍）. 综上所述，直线12的方程为2x+y-1=0或x-2y+2=0.…13分 16.【解析】 (I）由题知，2c=2,b=1,.c=1,a2=b2+c2=2, 绿准方程为2十1.… (I)由题知，F(-L0),当8=90°时，14BFV2≠4W 3 2(舍)： 当日≠90°时，k=tan日，设直线1的方程为y=k(x+1),A(x1,y),B(x2,y2). y=k(x+1), 2+2=1, ·消去y,得(22+1)x2+42x+22-2=0,… …8分 .△=16k4-4(2k2+1)2k2-2)=8(k2+1)>0, 4k2 2k2-2 X1+x2= 2k2+1’七= …10分 2k2+1 dAB=1+积 4k2 2k2+1 42-2到=1+R.251+E-22+)-4 2k2+1 2k2+1 2k2+1 3 解得k=-1或k=1, …13分 e引（匠0=牙取0- ，…15分 17.【解析】 (I)证明：（法一）连接AD1,BC.在△BAD1中，：E,F分别为BD1,AB的中点， .EF是△BAD1的中位线，.EFI∥AD1, :直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，ABCD, 又'CDIIC D1,ABIID C1, .四边形DABC1为平行四边形，AD∥BC,EF∥BC,…4分 :BC1C平面BCCB,EF￠平面BCCB1,EF∥平面BCCB.…6分 第1页（共4页) (法二)连接AC1,BC1·:E是BD1的中点， ∴E是AC,的中点， 又F是AB的中点，EF∥BC1, 又：EF丈平面BCC,B,BC1c平面BCCB, .EF∥平面BCCB1· …6分 (Ⅱ)：直棱柱中，CC⊥平面ABCD, 又，AC⊥BC, ·以C为原点，CA,CB,CC所在直线分别为x,y,z轴 建立如图所示空间直角坐标系，…8分 则C(0,0,0),F(1,1,0),B(0,2,0),D1(2,-2,2),E是DB中点，.E(1,0,1), .CE=(1,0,1),CF=(1,1,0),FB=(-1,1,0),FE=(0,-1,1),…10分 设平面EFC的一个法向量为=(x,y,z),则⊥CF，n⊥FE, i.CF=x+y=0,令x=1,则y=-1,8=-1,n=1-1- F屈=-y+z=0, 同理，平面EFB的一个法向量为m=(1,1,1),… …12分 1 设平面EFC与平面EFB夹角为日，则cosB=|cos<n,m> 1n川m3x5=3' 即平面EFC与平面EFB夹角余弦值为 .……15分 3 18.【解析】 (I)证明：由题知，AD⊥A'B,A'D⊥A'C, B∩C=A,AB,ACC平面ABC,D⊥平面ABC,…3分 :BCC平面A'BC,A'D⊥BC.… 5分 高二数学试题答案 (Ⅱ)在线段CD上假设存在点E,使A'D与平面ABE所成角的正弦值为Y6 取BD中点O,DC中点M,连接A'O,OM,则OM∥BC. .BD⊥BC,BD⊥OM,AD=AB,AO⊥BD. 'BC⊥BD,BC⊥A'D,BD∩A'D=D,BD,A'DC平面ABD,BC⊥平面A'BD, 又，A'Oc平面A'BD,.BC⊥AO,,OM∥BC,.AO⊥OM. BD=250-D=5,BD18C,∠BDc=:Bc=25. .以O为原点，OM,OB,OA所在直线分别为x,y,?轴建立如图所示空间直角坐标系， …8分 则A'(0,0,V2),B(0,V2,0),D(0,-V2,0),C(2V2,V2,0). .A'D=(0,-V2,-2),A'B=(0,√2，-V2), 设DE=DC=(2√2,22,0)=(2√2,221,0)，元∈[0,11. AE=A'D+DE=(2√21,2√21-√2，-√2)，… .11分 设平面ABE的一个法向量为n=(,y,z),则L⊥AB,⊥A'E, n.A'B=v2y-2=0, AE=22x+22-2)y-2z=0, 令y=元，则z=1,x=1-1, .n=(1-2,元，)，… .…14分 则1c0s<rD,>外1西。 2W21 VG A'D1川m2×V-2++:3’ =2e0,,DE=)Dc, :线段CD上存在点E，且E是CD中点，使直线D与平面ABE所成角的正弦值为V6 …17分 第2页（共4页) 19.【解析】 （I):Pl,V5),r=oP=+3=2,且tan8=卫=5， 又：点D在第一象限，日={，由三角函数定义得P20s2 sin) x=2cos(否+2)=-1， 331 点P'(-1,√3).… =2sin(+37 )=3, (Ⅱ)证明：：P(x,y),r=|OP|,.x=rcos8,y=rsin8, ..x'=rcos(0+a)=rcosecosa-rsinesin a=xcosa-ysina, y'=rsin(0+a)=rsinecosa+rcosesina=ycosa+xsina, 「x'=xcosa-ysin a y'=xsina+ycosa (2coscost-m)cost-3snt 31 yo =2cost, x。=女-v3sint,sint=1x(h-), 2 2 叉，sin2t+cos2t=1,÷x0 x(h+x02-xo)+4=1,x2-xn+%2=3, 3 4 4 曲线E:x02-0+02=3. :曲线E关于y=x,y=-x对称， :将曲线E顺时针旋转工得到曲线下， 则A(x,y0)旋转后对应点A'(x,y), √2 x= (xo+y0), = (x-y), 则 2 2 y=2 (-x+), %= 2(r+以， 高 代入商线E角x-列2 0x-)+2x+0=3,+3y=6, 2 …1分 曲线F:+少 6+21 =1.…11分 …2分 曲线E中A,B,C,D,M旋转到曲线F后对称点为A1,B1,C1,D1,M1, M D 如图，则△MCD的面积等于△M1C,D1的面积. …3分 A (法一)设M1(x1,),A1(-V6,0),B(0,-V2), C M1在第一象限，.+3=6. B 设△M1CD1，△M1A1B1,四边形A1BC1D1的面积分别为S,S1,S2,则S=S1-S2, 下面先证S,为定值 …7分 暖y写66,4清n 线=豆-.=0得（小 x -学46风a+同6+ =西+③y+V6+5y+V6.(出+③y+6 乃+V2 x+V6乃+V2x1+V6y1+2W3 …9分 :(x1+V5片+V6)2=x+3y听+6+2W3xM+2W6x1+6W2y1=2W3(x1+V2x1+V61+2V3) 5,=25t5it63t2-25, …14分 y1+V2x1+√6h+2W3 设M6a05n,直线4G+5=1,即4风+y+6=0, 点M,到直线4公的距离a=V6cos0+6sin0+V6_|2W5sin(0+孕+V6 2 2 数学试题答案第3页（共4页） 当0+子=5+2xkeZ,即0=于+2keZ,此时d-2y3+6 42 2 S=-3,s3x14Bxd-25=5×6+2x25+6-25=6-5, 2 2 ∴△MCD的最大值为√6-√3.… …17分 备注： ①若将曲线E逆时针旋转工，将得到焦点在y轴的椭圆 4 ②第（Ⅲ）问的方法非常多，还可采用以下思路： SAM CDL SAMCD 补充思路1：S四46 CAD SAM4-S46GD SAMABL-1 SAMCD SAMTABL 2x刘M4×MBx∠4M,B_M4xM,B卧=乃一x月-ya=为-ya,之后 SAMACADI 2X刘4D1 IMCxsin∠4MB,M.DlxW,C-%X片=片-yA 三角换元即可. 补充思路2：S=S40n,4+S△0GM-SAon,G· 补充思路3：S=SAM4G-Sm46仍然如以上方法用1，表示，再三角换元 补充思路45=S4-m46,用1表示，设直线AM:x=-6,则D,0气)，>5， 联立椭圆上+得MC6r-》26,写甜宜线B的方程，可得cC3D t+3’t+3 t+3 S=S6-S4G=6-),通过换元转化为基本不等式求最值 t2+3 高二数学试题答案 第4页（共4页）