精品解析：吉林省吉林油田高级中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

吉林油田高级中学2025-2026学年上学期期中考试卷 高二数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 3. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 4. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 C. 一条抛物线上 D. 一个圆上 5. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ） A. 四点共面 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 五点共面 6. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量为 C. 与夹角的正弦值为 D. 平面的一个法向量为 8. 设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点和，直线，相交于点，则（ ） A. 若直线，的斜率之积是2，则点的轨迹是双曲线（除，两点） B. 若直线，的斜率之商是2，则点的轨迹是椭圆（除，两点） C. 若直线，的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（） D. 若直线，的斜率之差是2，则点的轨迹方程是 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 11. 已知正方体的棱长为2，E，F，G分别是，，的中点，点P为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在点P，使得平面EFG D. 当P为BC的中点时，点P到直线的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与圆相切，则实数m的值为________． 13. 抛物线上一点P到直线的距离最短时，点P的坐标为________． 14. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点. （1）若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 17. 已知直线：与抛物线：恒有两个交点． （1）求的取值范围； （2）当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度． 18. 如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，. （1）证明：； （2）若，动点在矩形内（含边界），且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，过椭圆中心作斜率为的一条弦，将坐标平面沿轴折成一个直二面角. （1）求折起后的连线与轴所成夹角的大小； （2）若此椭圆的离心率为，且过点，求： （ⅰ）椭圆的标准方程； （ⅱ）设点，过点作平面的垂线，且，问：椭圆上是否存在点，使得三角形的面积与三角形的面积之比为最小？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田高级中学2025-2026学年上学期期中考试卷 高二数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂求出直线的斜率，然后求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率，因为直线与直线垂直，所以，即， 设直线的倾斜角，则，所以直线的倾斜角. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 3. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 4. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 C. 一条抛物线上 D. 一个圆上 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆圆心与半径后，结合外切定义与双曲线的定义可得答案． 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 5. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ） A. 四点共面 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 五点共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 6. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 7. 已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量为 C. 与夹角的正弦值为 D. 平面的一个法向量为 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标关系，夹角公式及法向量的特点可以判断选项. 【详解】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C 8. 设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解. 【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直， 如图所示，则， 由点到直线的距离公式可得，又，所以． 设，则，得，从而， 由，解得， 由，得，解得． 从而可得，所以离心率． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点和，直线，相交于点，则（ ） A. 若直线，的斜率之积是2，则点的轨迹是双曲线（除，两点） B. 若直线，的斜率之商是2，则点的轨迹是椭圆（除，两点） C. 若直线，的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（） D. 若直线，的斜率之差是2，则点的轨迹方程是 【答案】AC 【解析】 【分析】设出点坐标，表示出直线，的斜率后逐项计算可得点轨迹方程，即可得解. 【详解】设，由题意可得直线，的斜率都存在，故， 有，； 对A：，化简得， 故点的轨迹是双曲线（除，两点），故A正确； 对B：，化简得，且有， 故点的轨迹是（），故B错误； 对C：，化简得， 又，故点的轨迹方程是（），故C正确； 对D：，化简得（）， 又，故点的轨迹方程是（），故D错误. 故选：AC. 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 11. 已知正方体的棱长为2，E，F，G分别是，，的中点，点P为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在点P，使得平面EFG D. 当P为BC的中点时，点P到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，先根据中点求出是边长为的等边三角形，再利用面积公式求解； 选项B，先判断出当点与点重合时，三棱锥体积最大，再利用题目条件求出最大体积； 选项C，先证明平面平面，所以当在的边上除外运动时，平面； 选项D，当P为BC的中点时，求出，，，利用余弦定理得到，则，在求出点P到直线的距离即可. 【详解】如图，对于A，由题意，得是边长为的等边三角形，其面积为，故A正确； 由题意，知，平面，平面，所以平面． 同理，可证平面，且，在平面内，所以平面平面． 根据正方体的性质，得平面，即平面． 易知当点与点重合时，三棱锥体积最大， 由A的分析，易知三棱锥的高， 此时点到平面的距离，则，故B错误； 由B的分析，知当在的边上除外运动时，平面，故C正确； 若为的中点，则，，， 所以，则， 所以点到直线的距离为，故D正确． 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与圆相切，则实数m的值为________． 【答案】或3 【解析】 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得． 【详解】由圆心为，半径为1， 即， 则，解得或． 故答案为：或3. 13. 抛物线上一点P到直线的距离最短时，点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，进而根据点到直线的距离并结合二次函数最值求解即可． 【详解】根据题意设， 所以点到直线的距离为：， 当且仅当时等号成立，此时． 所以点到直线的距离最短时点坐标为． 故答案为：． 14. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由得，进而得，即，最后利用二次函数即可求解. 【详解】由题意有 由有， 所以， 所以， 所以， 当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点. （1）若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得. （2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得. 【小问1详解】 由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率， 又经过点，则方程为：，即：， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 依题意，当直线过原点时，而直线又过点， 则直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为， 所以直线的方程为或. 16. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 17. 已知直线：与抛物线：恒有两个交点． （1）求的取值范围； （2）当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）将直线方程和抛物线方程联立消元后，根据判别式大于零得到不等式恒成立，运用数形结合法即得. (2)根据的值确定抛物线方程，两方程联立后再运用焦点弦公式即得. 【小问1详解】 将直线与抛物线方程联立，得， 又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以其判别式对恒成立， 故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为. 【小问2详解】 由题，当时，：，由过焦点得；，所以抛物线：． 将直线与抛物线方程联立，并令，，得，， 由韦达定理得，又因经过抛物线焦点，故． 18. 如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，. （1）证明：； （2）若，动点在矩形内（含边界），且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，且交线为，， 平面，所以平面, 因为平面，所以， 因为， 所以，可知， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）①② 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可完成证明； （2）①如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求长度；由①可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为平面，， 以为坐标原点，直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以，即， 整理可得：， 可知动点M的轨迹是以为圆心，半径为1的半圆， 所以动点M的轨迹的长度， ②由①可设：， 可得， 设平面的法向量， 则，则，取，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 19. 在平面直角坐标系中，过椭圆中心作斜率为的一条弦，将坐标平面沿轴折成一个直二面角. （1）求折起后的连线与轴所成夹角的大小； （2）若此椭圆的离心率为，且过点，求： （ⅰ）椭圆的标准方程； （ⅱ）设点，过点作平面的垂线，且，问：椭圆上是否存在点，使得三角形的面积与三角形的面积之比为最小？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，转化为空间向量夹角即可； （2）（i）利用待定系数法设，根据和关系即可得到椭圆方程； （ii）作作，垂足为，利用三角形面积公式转化为求的最小值，即转化为求出的最大值，再结合点到直线的距离公式和基本不等式即可求出其最大值. 【小问1详解】 在折后的平面内作轴，因为坐标平面沿轴折成一个直二面角， 则折后平面底面，又因为平面底面，且平面， 则底面，则建立如图所示空间直角坐标系， 则由题意知，折后，，则， 轴的方向向量，则， 则，则连线与轴所成夹角的大小为， 所以是等腰直角三角形，即与轴所成夹角为. 【小问2详解】 （ⅰ）由离心率， 不妨设，则，得：，， 所以椭圆的坐标方程为：. （ⅱ）在底面内过点作，垂足为，连， 则由坐标平面，即平面，因为平面，则， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面,所以，即. ， 则题意就是要使二面角的平面角最小， 即当最大时，最小. 假设这样的点存在，令，则： 当时，则， 当时，， 当且仅当是取到等号. 此时，的方程是，代入椭圆方程， 即联立，解得或（舍去） 则点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是将面积比转化为求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $