2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中复习卷04

苏科版 八年级数学 期中复习卷04 时间：120分钟 满分：130分 考试范围：（八上）三角形、（八下）因式分解、分式 班级：_____________ 姓名：_______________ 得分：_____________ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形是（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．a2＝1，b2＝2，c2＝3 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 3．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 4．多项式a3﹣16a因式分解的结果是（　　） A．a（a﹣4）2 B．a（a+4）2 C．（a+4）（a﹣4） D．a（a+4）（a﹣4） 5．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC 第5题第7题第8题 6．已知△ABC三边长a，b，c，且满足（a﹣3）2+|b﹣3|+|c﹣5|＝0，则此三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．三边都不相等的三角形 D．等边三角形 7．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 8．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（　　） A．12.5 B．13 C．14 D．15 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．若等腰三角形的一个内角为30°，那么这个等腰三角形的底角为__________ °． 10．若分式有意义，则实数x的取值范围是_________ ． 11．如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC等于80°，则∠OBC＝_______ °． 第11题 第12题 第15题 第16题 12．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的第_____ 块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形? 13．已知xy＝2，x＝3+3y，则代数式2x3y﹣12x2y2+18xy3的值为_______ ． 14．方程的解为x＝_____ ． 15．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝_____ ． 16．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD＝BE，则∠AFD＝ ________ ． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）计算：（1）； （2）． 18．（本题6分）把下列各式分解因式：（1）3n（x﹣2）+（2﹣x）； （2）4y3﹣8y2+4y． 19．（本题6分）解分式方程：（1）； （2）． 20．（本题6分）先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 21．（本题7分）如图，CD是∠ACE的平分线．DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E． （1）求证：AF＝BE； （2）若AC＝7，BC＝3，求CE的长． 22．（本题7分）已知关于x的方程． （1）若a＝4，求该方程的解； （2）若该方程无解，求实数a的值． 23．（本题7分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，DF⊥CE于F，CD＝AE． （1）求证：CF＝EF； （2）若CE⊥AB，求∠BAD的度数． 24．（本题7分）某小区原有新能源汽车48辆，配套充电桩12个，充电桩数量刚好满足车辆充电需求．按照车辆与充电桩的这个配比，今年小区新增新能源汽车20辆，至少需要再增设多少个充电桩，才能满足业主们的充电需求？ 25．（本题10分）（1）模型：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：S△ADB：S△ADC＝AB：AC． （2）类比应用：如图2，AB平分∠DAE，AE＝AD，∠D+∠E＝180°，利用上述结论求证：BE：CD＝AB：AC． 26．（本题10分）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①：__________ ． 图②：_______________ ． （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________ ．（用字母a，b表示） 【应用】 （3）请应用这个公式完成下列各题： ①若（2﹣x）（2+x）（n+x2）＝16﹣x4，则n的值为_____ ． A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）． 【拓展】 （4）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）． 27．（本题10分）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQN．若点P在折线段MQN上，MP＝PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点． 【理解应用】（1）如图2，△PAO中，∠PAO＝90°，OA＝2，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝_____ ； （2）如图3，△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC右侧，且∠ABD＝∠ACD，AH⊥BD，垂足为H．求证：点H是折线段BDC的中点； 【拓展提升】（3）如图4，△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC右侧，且∠ABD＝∠ACD，AB＝AC＝6，AD＝4，求BD•DC的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版 八年级数学 期中复习卷04 时间：120分钟 满分：130分 考试范围：（八上）三角形、（八下）因式分解、分式 班级：_____________ 姓名：_______________ 得分：_____________ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式定义判断：分母中含有字母的式子才是分式，π是常数不含字母。 【解答】解：的分母是常数2，不是分式； 的分母含有字母x，是分式； 中π是常数，因此不是分式； 的分母含有字母，是分式； 的分母含有字母m，是分式； 故在，，，，中，是分式的有3个． 故选：C． 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形是（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．a2＝1，b2＝2，c2＝3 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】用直角定义或勾股定理逆定理逐项判断是否为直角三角形。 【解答】解：A、由条件∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形； B、∵a2＝1，b2＝2，c2＝3，∴a2+b2＝3＝c2，故△ABC是直角三角形； C、由条件可得到a2+c2＝b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形． 故选：D． 3．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 【分析】把x、y都换成原来的3倍，化简后比较分式的值。 【解答】解：把分式中的x和y都变为原来的3倍， 则9， ∴分式的值扩大9倍， 故选：B． 4．多项式a3﹣16a因式分解的结果是（　　） A．a（a﹣4）2 B．a（a+4）2 C．（a+4）（a﹣4） D．a（a+4）（a﹣4） 【分析】先提公因式a，再用平方差公式继续分解。 【解答】解：原式＝a（a2﹣16）＝a（a+4）（a﹣4）， 故选：D． 5．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC 【分析】由AE＝CF得AF＝CE，再用ASA、SAS等判定方法逐项验证。 【解答】解：∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE， A、在△ADF和△CBE中，∠A＝∠C，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， 故A不符合题意； B、在△ADF和△CBE中，AD＝BC，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF与△CBE不一定全等， 故B符合题意； C、在△ADF和△CBE中，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，DF＝BE， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故C不符合题意； D、∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， 在△ADF和△CBE中，∠A＝∠C，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， 故D不符合题意． 故选：B． 6．已知△ABC三边长a，b，c，且满足（a﹣3）2+|b﹣3|+|c﹣5|＝0，则此三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．三边都不相等的三角形 D．等边三角形 【分析】由非负数之和为零得各项均为0，求出三边后再判断三角形形状。 【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣3|+|c﹣5|＝0，|c﹣5|≥0，（a﹣3）2≥0，|b﹣3|≥0， ∴c﹣5＝0，a﹣3＝0，b﹣3＝0， ∴a＝3，b＝3，c＝5， ∴此三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 故选：B． 7．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【分析】证△BAE≌△ACD，再由三角形外角及30°直角边性质逐项判断结论。 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAE＝∠C＝60°． 在△BAE和△ACD中， ， ∴△BAE≌△ACD（SAS）． ∴∠ABE＝∠CAD， ∵∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°， ∴∠APE＝∠BAD+∠ABE＝60°， ∴∠APE＝∠C， 故①的结论是正确，符合题意； ∵BQ⊥AD于Q， ∴∠BQP＝90°． ∵∠BPQ＝∠APE＝60°， ∴∠PBQ＝90°﹣∠BAQ＝90°﹣60°＝30°． ∴BP＝2PQ， 故③的结论是正确，符合题意； ∵AE＝CD， ∴AE+BD＝CD+BD＝BC＝AB， 故④的结论是正确，符合题意； 若AQ＝BQ，BQ⊥AD，则△ABQ为等腰直角三角形，∠ABQ＝45°．但题目中没有此条件， 故②的结论是错误，不符合题意； ∴正确的结论有①③④，故选：D． 8．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（　　） A．12.5 B．13 C．14 D．15 【分析】取AB中点D，由等腰三角形与勾股定理求CD，由OC≤OD+DC且三点共线时最大，结合直角三角形斜边中线求OD。 【解答】解：取AB的中点D，连接CD，如图所示： ∵AC＝BC＝10，AB＝12， ∵点D是AB边中点， ∴BDAB＝6， ∴CD8， 连接OD，OC，有OC≤OD+DC， 当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD， 又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点， ∴ODAB＝6， ∴OD+CD＝6+8＝14， 即点C到点O的最大距离为14， 故选：C． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．若等腰三角形的一个内角为30°，那么这个等腰三角形的底角为　 °． 【分析】分30°为顶角或底角两种情况讨论，求等腰三角形的底角。 【解答】解：①若30°是顶角，则这个等腰三角形的底角为：75°； ②若30°是底角，则这个等腰三角形的顶角为：180°﹣2×30°＝120°； ∴这个等腰三角形的底角为：75°或30°． 故答案为：75或30． 10．若分式有意义，则实数x的取值范围是 　 ． 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，由x+6≠0求x的取值范围。 【解答】解：根据题意可知，分母不等于0，可得x+6≠0， 解得：x≠﹣6． 故答案为：x≠﹣6． 11．如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC等于80°，则∠OBC＝　 　 °． 【分析】连接OA，由垂直平分线性质得OA＝OB＝OC，结合内角和与等腰性质求∠OBC。 【解答】解：如图，连接OA， 在△ABC中，∠BAC＝80°， 则∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°， ∵AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC， ∴∠OBA+∠OCA＝80°，∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°， ∴∠OBC＝∠OCB＝10°， 故答案为：10． 12．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的第　 　 块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？ 【分析】判断哪一块玻璃含有两角及夹边（ASA），能确定唯一三角形。 【解答】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：4． 13．已知xy＝2，x＝3+3y，则代数式2x3y﹣12x2y2+18xy3的值为　 　 ． 【分析】先提取公因式并配成完全平方，再整体代入求值。 【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2， ∵xy＝2，x＝3+3y， ∴x﹣3y＝3， ∴原式＝2×2×32 ＝4×9 ＝36． 故答案为：36． 14．方程的解为x＝　 　 ． 【分析】去分母把分式方程化为整式方程求解，并检验是否为增根。 【解答】解：， 方程两边同乘x（x+6），得7x＝4（x+6）， 解得x＝8， 检验：当x＝8时，x（x+6）≠0， 所以分式方程的解是x＝8， 故答案为：8． 15．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝　 　 【分析】由垂直平分线性质得AD＝CD，再结合BC求BD。 【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵BC＝9，AD＝4， ∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5， 故答案为：5． 16．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD＝BE，则∠AFD＝ 　 　 ． 【分析】证△ABE≌△BCD，得∠BAE＝∠CBD，利用三角形外角求∠AFD。 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABE＝∠C＝60°，AB＝BC， 在△ABE和△BCD中 ， ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBD， ∴∠AFD＝∠ABF+∠BAE＝∠ABF+∠CBD＝∠ABC＝60°， 或答案为：60°． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先因式分解，把除法变乘法再约分；（2）先乘除化简，再按同分母分式相加。 （2）先因式分解，做分式乘法并且约分，得到一个最简分式，之后按照同分母分式加法法则，分母保持不变，分子相加合并，最后化简得到答案． 【解答】解：（1） ＝a． （2） ． 18．（本题6分）把下列各式分解因式： （1）3n（x﹣2）+（2﹣x）； （2）4y3﹣8y2+4y． 【分析】（1）变形后提取公因式；（2）先提公因式再用完全平方公式。 （2）先提取公因式，再利用完全平方公式即可； 【解答】解：（1）3n（x﹣2）+（2﹣x） ＝3n（x﹣2）﹣（x﹣2） ＝（x﹣2）（3n﹣1）； （2）4y3﹣8y2+4y ＝4y（y2﹣2y+1） ＝4y（y﹣1）2． 19．（本题6分）解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）（2）均去分母化为整式方程求解，最后检验排除增根。 （2）去分母，将分式方程转化成整式方程求解，最后必须检验，排除增根． 【解答】解：（1）， 2x＝x+3， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（x+3）＝18≠0， 所以x＝3是原分式方程的解； （2）， 2（1﹣x）﹣3（1+x）＝3， 2﹣2x﹣3﹣3x＝3， ﹣5x＝4， 解得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 20．（本题6分）先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【分析】先按分式混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件确定x的取值，代入求值。 【解答】解：原式＝（）• • ， 由题意得：x﹣2≠0且x﹣1≠0， ∴x≠1和2， 当x＝3时，原式． 21．（本题7分）如图，CD是∠ACE的平分线．DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E． （1）求证：AF＝BE； （2）若AC＝7，BC＝3，求CE的长． 【分析】（1）连接AD、BD，由垂直平分线和角平分线性质证Rt△ADF≌Rt△BDE；（2）由全等及线段关系求CE。 （2）证明Rt△DFC≌Rt△DEC，得CF＝CE，由（1）的结论即可求解． 【解答】解：（1）证明：如图，连接AD、BD， ∵DP垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∵CD是∠ACE的平分线，DF⊥AC，DE⊥BC， ∴DF＝DE，∠AFD＝∠BED＝90°， 在Rt△ADF与Rt△BDE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△BDE（HL）， ∴AF＝BE； （2）解：∵CD是∠ACE的平分线，DF⊥AC，DE⊥BC， ∴DF＝DE，∠CFD＝∠CED＝90°， 在Rt△CDF与Rt△CDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△CDE（HL）， ∴CF＝CE； ∵AF＝BE， ∴CE＝BE﹣BC＝AF﹣3，CF＝AC﹣AF＝7﹣AF， 上两式相加得2CE＝7﹣3， ∴CE＝2． 22．（本题7分）已知关于x的方程． （1）若a＝4，求该方程的解； （2）若该方程无解，求实数a的值． 【分析】（1）去分母整理后解方程，代入a＝4求根并检验；（2）由分母为0（增根）时方程无解求a。 （2）根据方程无解可得，然后求出a的值即可． 【解答】解：（1）． 原方程去分母并整理得：2（x﹣1）+（x+1）＝x+a， 整理得2x＝a+1，即， ∴当a＝4时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）由（1）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得a＝1或﹣3． 23．（本题7分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，DF⊥CE于F，CD＝AE． （1）求证：CF＝EF； （2）若CE⊥AB，求∠BAD的度数． 【分析】（1）连接DE，由直角三角形斜边中线得DE＝AE，结合CD＝AE证CF＝EF；（2）由三角形外角及等腰性质求∠BAD。 （2）由（1）得BE＝DE，可得∠B＝∠BDE，根据三角形外角的性质得∠BDE＝2∠BCE，从而∠B＝2∠BCE，再结合直角三角形两锐角关系可得结论． 【解答】解：（1）证明：连接DE， 在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴， ∵CD＝AE， ∴DE＝DC， 又DF⊥CE， ∴CF＝EF． （2）解：如图， 由（1）知，CF＝BE＝CD， ∴∠B＝∠EDB，∠DEC＝∠DCE， 又∠EDB＝∠DEC+∠DCE＝2∠DCE， ∴∠B＝2∠DCE， ∵CE⊥AB， ∴∠B+∠BCE＝90°， ∴∠BCE＝30°， ∴∠B＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝30°． 24．（本题7分）某小区原有新能源汽车48辆，配套充电桩12个，充电桩数量刚好满足车辆充电需求．按照车辆与充电桩的这个配比，今年小区新增新能源汽车20辆，至少需要再增设多少个充电桩，才能满足业主们的充电需求？ 【分析】设需增设x个充电桩，按车辆数与充电桩数比值不变列比例方程求解。 【解答】解：设至少需要再增设x个充电桩，按照车辆与充电桩的这个配比，今年小区新增新能源汽车20辆，则： 根据题意得，， 解得x＝5， 检验：当x＝5时，分母不为0，符合题意， 答：至少需要再增设5个充电桩，才能满足业主们的充电需求． 25．（本题10分）（1）模型：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：S△ADB：S△ADC＝AB：AC． （2）类比应用：如图2，AB平分∠DAE，AE＝AD，∠D+∠E＝180°，利用上述结论求证：BE：CD＝AB：AC． 【分析】（1）由角平分线性质得DE＝DF，用面积比即底之比证明；（2）构造全等后利用（1）的结论证比例。 （2）延长BE至点F，使EF＝CD，连接AF，利用SAS证明△ADC≌△AEF，得∠DAC＝∠EAF AC＝AF，再利用角平分线的定义证明∠BAE＝∠EAF，由（1）S△ABE：S△AEF＝AB：AF＝AB：AC，从而解决问题． 【解答】解：证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴S△ADB：S△ADC＝（AB•DE）：（AC•DF）＝AB：AC； （2）如图2中，延长BE至点F，使EF＝CD，连接AF， ∵∠D+∠AEB＝180°，∠AEB+∠AEF＝180°， ∴∠D＝∠AEF， 在△ADC和△AEF中， AE＝AD，∠D＝∠AEF，CD＝EF， ∴△ADC≌△AEF（SAS）， ∴∠DAC＝∠EAF AC＝AF， ∵AB平分∠DAE， ∴∠DAB＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠EAF， 由（1）S△ABE：S△AEF＝AB：AF＝AB：AC， 又∵S△ABE：S△AEF＝BE：EF＝BE：CD， ∴BE：CD＝AB：AC． 26．（本题10分）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②：　 　 ． （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 ．（用字母a，b表示） 【应用】 （3）请应用这个公式完成下列各题： ①若（2﹣x）（2+x）（n+x2）＝16﹣x4，则n的值为B ． A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）． 【拓展】 （4）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）． 【分析】（1）用两个正方形面积差和矩形面积表示阴影；（2）由面积相等得平方差公式；（3）（4）多次利用平方差公式计算。 （2）根据图①与图②的面积相等即可得； （3）①利用两次平方差公式求解即可； ②利用两次平方差公式求解即可； （4）将原式改写成（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），再多次利用平方差公式即可得． 【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，则其面积为（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）； （2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）①原式（2﹣x）（2+x）（n+x2）＝（4﹣x2）（n+x2）， ∵（2﹣x）（2+x）（n+x2）＝16﹣x4，（4﹣x2）（4+x2）＝16﹣x4， ∴n＝4； 故选：B； ②原式＝（x2﹣9）（x2+9） ＝（x2）2﹣92 ＝x4﹣81； （4）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1） ＝（28﹣1）（28+1）…（232+1） ＝264﹣1． 27．（本题10分）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQN．若点P在折线段MQN上，MP＝PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点． 【理解应用】（1）如图2，△PAO中，∠PAO＝90°，OA＝2，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝　 　 ； （2）如图3，△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC右侧，且∠ABD＝∠ACD，AH⊥BD，垂足为H．求证：点H是折线段BDC的中点； 【拓展提升】（3）如图4，△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC右侧，且∠ABD＝∠ACD，AB＝AC＝6，AD＝4，求BD•DC的值． 【分析】（1）由30°直角边性质求OP，结合折线段中点定义求PB；（2）构造等腰三角形证HB＝HD+DC；（3）由（2）的结论结合勾股定理求BD·DC。 （2）延长BD于点M，使BH＝HM，连接AM、CM，易得△AMB为等腰三角形，则△AMC为等腰三角形，再根据∠ABC＝∠ACD＝∠AMB，可证△DCM为等腰三角形，得DC＝DM，即可得证； （3）过A作AE⊥BD于点E，可得点E是折线段BDC的中点，则DC＝BE﹣DE，由勾股定理可得BE，DE，由BD＝BE+DE，DC＝BE﹣DE，代入求解即可． 【解答】解：（1）解：在Rt△APO中，OA＝2，∠APO＝30°， ∴OP＝2OA＝4， ∴OP+OA＝6， ∵点B是折线段POA的中点， ∴PB＝BO+OA（OP+OA）＝3， 故答案为：3； （2）证明：如图，延长BD于点M，使BH＝HM，连接AM、CM， ∵AH⊥BD，垂足为H，且BH＝HM， ∴AM＝AB， ∴△AMB为等腰三角形，∠ABM＝∠AMB， ∵AM＝AB＝AC， ∴△AMC为等腰三角形， ∴∠ACM＝∠AMC， 又∵∠ABD＝∠ACD＝∠AMB， ∴∠DCM＝∠DMC， ∴△DCM为等腰三角形， 则DC＝DM， ∴HM＝DM+DH＝DC+DH， ∵HM＝BH， ∴HB＝HD+DC， 即点H是折线段BDC的中点； （3）解：如图，过A作AE⊥BD于点E， 由（2）知点E是折线段BDC的中点， ∴BE＝DE+DC， ∴DC＝BE﹣DE， 在Rt△ABE中，BE， 在Rt△ADE中，DE， ∴DC＝BE﹣DE， BD＝BE+DE， ∴BD•DC＝（）（） ＝36﹣AE2﹣（16﹣AE2） ＝20． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $