精品解析：河北遵化市阳光燕山学校2026-2027学年八年级上学期第一次质量检测 数学 试卷

遵化市阳光燕山学校 2026-2027 学年度初二年级 第一学期第一次质量检测数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每题 2 分，共 28 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子、是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：在，，，，中，其中分式有，，共2个， 故选：B 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的乘方运算，需应用分式乘方的法则：分子、分母分别乘方，并正确处理负号即可. 【详解】解： ， 故选：B． 3. 若分式的值不存在，则需x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式的值不存在即分式无意义可得，进一步求解即可. 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴， 解得：. 故选：B 4. 如图，小周书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 以上都正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 观察图形可知，已知两角以及两角的夹边，由此即可得到答案． 【详解】解：由图知，三角形未被墨迹污染的边剩下一条，角剩下两个，且边为两角夹边， 这两个三角形完全一样的依据是， 故选：C． 5. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 6. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　） A. ＝ B. ＝x﹣y C. ＝ D. ＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：A、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故本选项不符合题意； B、分子、分母约分时出现错误，正确的是原式＝x+y，原变形错误，故本选项不符合题意； C、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故本选项不符合题意； D、该式左到右的变形正确，原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解和运用分式的基本性质，本题属于基础题型，分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变． 7. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 全等三角形的面积相等 C. 若，则 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】互换各命题的条件与结论得到逆命题，再判断真假． 【详解】解：A．逆命题为如果，那么，是假命题． B．逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，是假命题． C．逆命题为若，则，是真命题． D．逆命题为如果，那么，是假命题． 8. 若已知分式，□，化简后的结果为，则□内的运算符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握同分母分式的运算法则是解题关键． 由于两个分式同分母，考虑同分母分式的加减乘除运算，通过计算验证哪个运算符号能使结果为即可． 【详解】解：根据题意得，运算符号为□， 若□为“”，则； 若□为“”，则，符合； 若□为“”，则； 若□为“”，则． ∴□内的运算符号为“”． 故选B． 9. 如图，，是和的平分线，添加下列一个条件后，不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答此题的关键是明确全等三角形的判定方法． 根据题意得到，，证明，结合，再分别对每个选项进行判断即可． 【详解】解：是和的平分线， ∴， ∴，即 又， 当，，故选项A不符合题意； 当，不能判断，故选项B符合题意； 当，，故选项C不符合题意； 当，，故选项D不符合题意； 故选：B． 10. 老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（ ） 老师 甲 乙 丙 丁 A. 甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 【答案】C 【解析】 【分析】判断每位同学的运算是否正确，需以其承接的前一步式子为基准，验证自身运算步骤的正误． 【详解】解：∵ 甲承接原式，变形为， ∴ 甲的运算正确， ∵ 乙承接甲的式子，将变形为，，漏写负号， ∴ 乙的运算错误， ∵ 丙承接乙的式子，将因式分解为，， ∴ 丙的运算错误， ∵ 丁承接丙的式子，约分得， ∴ 丁的运算正确． 11. 如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（ ） A. 作的依据为 B. 弧是以长为半径画的 C. 弧是以A为圆心，为半径画的 D. 弧是以长为半径画的 【答案】A 【解析】 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 12. 数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（ ） A. 同学都答对 B. 同学都答错 C. 只有同学答对 D. 只有同学答对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法． 解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 【详解】解：方程 ，解得： 当时，，方程的解为负数，同学说法正确； 当时，且时，方程的解为正数，同学说法错误， 故选：C． 二、填空题（本大题共 4 个小题，共 12 分） 13. 填空： （1）（a≠0）； （2）． 括号内的式子分别是_________，___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质与因式分解，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质，分子分母同乘求解即可； （2）将分母因式分解后再约分即可． 【详解】解：（1）左边分式的分母为，右边分式分母为， 由于， 因此分子分母同乘，分子， 故括号内应填； （2）左边分式分母可因式分解为， 故， 因此右边分式分母为， 故括号内应填． 故答案为：；． 14. 关于 的分式方程 有增根，则 的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程有增根时，增根为使原方程分母为零的未知数取值，将原方程去分母化为整式方程，代入增根即可计算得到的值． 【详解】解： 分式方程存在增根， ， 解得， 将代入，得， 解得． 15. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．在 中， 是 上的中线，，，则 的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点E，使，用证明，三角形全等对应的边相等，用三角形三边关系进行求解即可， 【详解】解：延长到点E，使，  是  上的中线， ， 在和中，， ， ， 在中，，，，， ， 即， ． 16. 如图，与相交于点C，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．用含t的式子表示________；连接PQ，若线段经过点C时，则_________s． 【答案】 ①. ②. 或8 【解析】 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可表示出的值；利用证明，再根据全等三角形的性质得出，列出两个关于的方程求解即可得出答案． 【详解】在和中 ， 当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动， 线段经过点C 在和中 或， 或 或 故答案为：，或8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据图形找到全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共 8 个题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程的解为 （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】(1)首先方程两边同时乘 ，去分母，再解整式方程即可求得； (2)方程两边同时乘 ，去分母，再解整式方程即可求得． 【小问1详解】 方程两边乘，得. 解得. 检验：当时，. 所以原分式方程的解为. 【小问2详解】 方程两边乘，得. 解得. 检验：当时，. 所以原分式方程无解. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，在去分母时，一是要找准公分母，二是要每一项都要乘以公分母，注意解分式方程要检验． 18. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【解析】 【分析】本题考查了等角的补角相等、三角形外角性质以及全等三角形的判定与性质，小力先用等角的补角相等证明出，再证明，最后根据全等的性质得到；小旺根据三角形外角性质得到且，，证明，最后根据全等的性质得到． 【详解】证：小力的证法： （已知）， 且， （等角的补角相等）， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 小旺的证法： ，（已知）， 且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． 19. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解． 【详解】解： ∵ ∴当时，原式 20. 为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵，开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植梨树多少棵？ 【答案】原计划每天种植250棵梨树 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天种植梨树棵，则实际每天种植梨树棵，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天种植棵梨树， 根据题意，得， 解得， 经检验，为原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种植250棵梨树． 21. 老师布置了今天的作业：用两种方法计算． 下面是嘉淇同学作业中的部分运算过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 …… （1）以上化简步骤中，第_________步开始出现错误； （2）用第二种方法化简分式． 【答案】（1）二 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同分母分式加减进行计算即可求解； （2）根据分式的运算法则进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：二 【小问2详解】 解：原式= ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 22. “浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下：每包彩纸比每捆竹条贵 4 元，480 元能买到的彩纸包数是 200 元能买到的竹条捆数的 2 倍． 信息2 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作 个小龙舟或制作 个大龙舟，并且制作 32 个小龙舟的天数和制作 16 个大龙舟的天数一样． （1）①嘉嘉设 ，依题意，得方程 ．淇淇设彩纸每包元，依题意，得方程 ． ②彩纸每包________元，竹条每捆________元． （2）求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． 【答案】（1）①200元能买到的竹条捆数为；；②， （2）嘉琪每天可以制作小龙舟个 【解析】 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解． 【小问1详解】 解：①嘉嘉设200元能买到的竹条捆数为；依题意，得方程 ． 设彩纸每包元， 依题意，得方程， ②解方程：， 得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 23. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则 是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；② ；③ ；④ （2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：____________ （3）应用：先化简，并回答：取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（1）①③④ （2） （3）化简结果为；． 【解析】 【分析】（1）根据和谐分式定义，拆分各分式判断是否符合形式； （2）将分子配方为含分母的完全平方式，再拆分； （3）先通分化简分式，再结合整数条件分析x的取值． 【小问1详解】 解：①， ∴是“和谐分式”； ②，无整式部分， ∴不是“和谐分式”； ③， ∴是“和谐分式”； ④， ∴是“和谐分式”； 综上所述，①③④是“和谐分式”； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴的值为整数， 又∵x为整数， ∴或， ∴或或或， 又∵分式要有意义， ∴且且且， ∴且且且， ∴． 24. （1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵化市阳光燕山学校 2026-2027 学年度初二年级 第一学期第一次质量检测数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每题 2 分，共 28 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 3. 若分式的值不存在，则需x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 2 4. 如图，小周书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 以上都正确 5. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 6. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　） A. ＝ B. ＝x﹣y C. ＝ D. ＝ 7. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 全等三角形的面积相等 C. 若，则 D. 如果，那么 8. 若已知分式，□，化简后的结果为，则□内的运算符号为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，是和的平分线，添加下列一个条件后，不能得到的是（ ） A. B. C. D. 10. 老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（ ） 老师 甲 乙 丙 丁 A. 甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 11. 如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（ ） A. 作的依据为 B. 弧是以长为半径画的 C. 弧是以A为圆心，为半径画的 D. 弧是以长为半径画的 12. 数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（ ） A. 同学都答对 B. 同学都答错 C. 只有同学答对 D. 只有同学答对 二、填空题（本大题共 4 个小题，共 12 分） 13. 填空： （1）（a≠0）； （2）． 括号内的式子分别是_________，___________． 14. 关于 的分式方程 有增根，则 的值为____________． 15. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．在 中， 是 上的中线，，，则 的取值范围是____________． 16. 如图，与相交于点C，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．用含t的式子表示________；连接PQ，若线段经过点C时，则_________s． 三、解答题（本大题共 8 个题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解分式方程： （1）； （2）． 18. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 19. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 20. 为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵，开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植梨树多少棵？ 21. 老师布置了今天的作业：用两种方法计算． 下面是嘉淇同学作业中的部分运算过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 …… （1）以上化简步骤中，第_________步开始出现错误； （2）用第二种方法化简分式． 22. “浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下：每包彩纸比每捆竹条贵 4 元，480 元能买到的彩纸包数是 200 元能买到的竹条捆数的 2 倍． 信息2 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作 个小龙舟或制作 个大龙舟，并且制作 32 个小龙舟的天数和制作 16 个大龙舟的天数一样． （1）①嘉嘉设 ，依题意，得方程 ．淇淇设彩纸每包元，依题意，得方程 ． ②彩纸每包________元，竹条每捆________元． （2）求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． 23. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则 是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；② ；③ ；④ （2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：____________ （3）应用：先化简，并回答：取什么整数时，该式的值为整数？ 24. （1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $