精品解析：河北邯郸市邯山区扬帆学校2026-2027年学年上学期十月学 情自测八年级数学试卷

远航学校扬帆初中2026-2027学年第一学期初二首考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找图形的对称轴，判断对折后两部分是否完全重合，进行解答，即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项：，能组成三角形． B选项：，不能组成三角形． C选项：，不能组成三角形． D选项：，不能组成三角形． 3. 如图，这两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：图中的两个三角形全等， ， 故选：B． 4. 如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 5. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再根据角的和差即可求出的度数． 【详解】解：， ， ∵， ． 故选：A． 6. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 7. 若中，，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用， 先设，再根据三角形内角和定理得，求出即可得出答案． 【详解】解：设，根据题意，得 ， 解得， ∴． 故选：C． 8. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，， ∴， ∴， 则画出的依据是， 9. 如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长、交于点，易证明，则、，进而求出和，根据三角形三边关系得到，据此求出和的关系． 【详解】解：延长、交于点， 由图甲可知，、，由图乙可知，、， 、， 在和中， ， ， 、 、， ， 、， ， ． 10. 平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设这个凸四边形为，连接，设，在中，根据三角形三边关系得，从而得出，，在中，根据三角形三边关系得，即可得出，从而解答即可． 【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，设， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 11. 面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质；延长交于点D，可证明，则，从而可转化得到，即可解答． 【详解】解：延长交于点D， ∵ 是的平分线， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴（）． 故选B． 12. 如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，根据中线的定义可判断①；证明，可判断②③；证明，根据平行线的性质得出，可判断④；根据得出，结合，可判断⑤． 【详解】解：是中线， ，故①正确； ，， ，， ，， ， 又，， ， ，，故②③正确； ，， ， ，故④错误； ， ， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有① ② ③ ⑤，共4个， 故选C． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 如图是由一副三角板拼凑得到的，图中______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质．先求得，再由三角形的外角性质“三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得． 故答案为：． 14. 如图，点P在的平分线上，于点，点Q是射线上的一个动点，线段长度的最小值为______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据垂线段最短可知当时最短，再根据角平分线的性质可得，从而求解． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∵， ∴的最小值为1． 15. 如图，在中，分别是的中点，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中线平分面积的性质，先得出，再求即可． 【详解】解：是的中点， ， 又， 则 是的中点， ， 则． 16. 如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动____________秒时，和全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①点在上时，如图， ， ， 运动秒； ②点在上时，如图， ， ， ， 的运动路程为： ， ， 运动秒； 运动或秒； 故答案为：或． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达两地．两地到路段的距离相等吗？为什么？ 解决问题： （1）如图，依题意可知：______，______，______，垂足为E，______垂足为F． （2）求证： 【答案】（1）；；； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出已知条件； （2）利用证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【小问1详解】 解：依题意可知：，，，垂足为E，垂足为F； 【小问2详解】 略 19. 如图，，，，，． （1）求的长． （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；三角形的内角和等于是解决问题的关键． （1）由全等三角形的性质得，然后根据可得出答案； （2）由全等三角形的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可求出的度数． 【小问1详解】 解：，， ， 又， ； 【小问2详解】 ，，， ，， ． 20. 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； （2）当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式求出底边长度，结合中线定义得到为的一半算出线段长即可； （2）利用三角形内角和为，角平分线定义，直角三角形两锐角互余结合等量关系求解即可． 【小问1详解】 解：为边上的高，，的面积为， ， ， 为边上的中线， 点为的中点， ； 【小问2详解】 解：，，为边上的高， ，， 为的角平分线， ， ． 21. 如图，在中平分，，于点E，点F在上，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴； （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在和中， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即． 22. 如图，分别平分，相交于点P，过点P作，，，垂足分别为、． （1）求证：点在的平分线上； （2）若，，，，则的面积为______． 【答案】（1）证明：∵分别平分， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得，再根据角平分线的判定定理证明即可； （2）连接，利用割补法计算的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，， ， ． 23. 已知在和中，，，，与相交于点 ． （1）如图1，当时，求证： ①； ②． （2）如图2，当时，求出的度数． （3）如图3，直接写出的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：① ，即， 又，， ②设、交于点， ， ， ，， ， ，即 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①利用角的和差关系可得，利用即可证明；②设、交于点，由全等三角形的性质可得，根据直角三角形两锐角互余及等量代换可得，即可得，即； （2）设、交于点，根据角的和差关系可得，利用可证明，可得，根据三角形内角和定理可得； （3）由（2）可得，根据平角定义可得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设、交于点， ， ，即， 又，， ， ， ， 【小问3详解】 由（2）得：， ∴. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、、等，注意：时，角必须是两边的夹角，和不能判定两个三角形全等熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键 24. 【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 【答案】 解：（1）直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ∴，， ∵， ∴． （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可求解； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 远航学校扬帆初中2026-2027学年第一学期初二首考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 7. 若中，，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 11. 面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 如图是由一副三角板拼凑得到的，图中______°． 14. 如图，点P在的平分线上，于点，点Q是射线上的一个动点，线段长度的最小值为______ 15. 如图，在中，分别是的中点，则______ 16. 如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动____________秒时，和全等． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）求证：． 18. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达两地．两地到路段的距离相等吗？为什么？ 解决问题： （1）如图，依题意可知：______，______，______，垂足为E，______垂足为F． （2）求证： 19. 如图，，，，，． （1）求的长． （2）求的度数． 20. 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； （2）当为的角平分线时，若，，求的度数． 21. 如图，在中平分，，于点E，点F在上，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 22. 如图，分别平分，相交于点P，过点P作，，，垂足分别为、． （1）求证：点在的平分线上； （2）若，，，，则的面积为______． 23. 已知在和中，，，，与相交于点 ． （1）如图1，当时，求证： ①； ②． （2）如图2，当时，求出的度数． （3）如图3，直接写出的度数为 （用含的式子表示）． 24. 【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $