精品解析：河北省遵化市第三中学2025-2026学年八年级上学期数学第二次学业水平评估试卷

2025-2026学年八年级上学期第二次学业水平评估 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各数中，无理数的是（　　） A. B. C. D. 3.1415 2. 若有意义，则实数x的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 且 3. 下列命题正确的是（　　） A. 两边及一角对应相等的两个三角形全等 B. 将32000精确到千位，记为 C. 16的平方根是4 D. 到三角形三个顶点距离相等的点在这个三角形三边的垂直平分线上 4. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 矩形相邻两边长分别为，，则它的周长和面积分别是（ ） A. ，4 B. 2，4 C. 4，3 D. 6，4 7. 是的角平分线，若，，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则的度数是（ ） A. B. C. 20° D. 9. 如图，若则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. DA平分 D. 10. 如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 根据下列三个尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. 图1 B. 图1与图2 C. 图2与图3 D. 图1与图3 12. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的格点C有（　　） A. 3个 B. 5个 C. 6个 D. 8个 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. _____． 14. 若分式方程有增根，则的值为___________． 15. 将数15.96用四舍五入法取近似数，若精确到十分位，则得到的近似数是_________________． 16. 如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知a，b，m都是实数，若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 18. 计算： （1）； （2）； 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知：如图，平分，于E，于F，且．求证：． 21. 观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： （1）______； （2）当为正整数时，______； （3）计算的值． 22. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 23. 在中，，以为边在同侧作等边，连接． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，作，在上截取，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 24. （1）如图1，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，．图中有_______个等腰三角形，猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有_____________个等腰三角形；猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于．则与，间的数量关系是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期第二次学业水平评估 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各数中，无理数的是（　　） A. B. C. D. 3.1415 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：是无理数，其余的是有理数． 故选A． 2. 若有意义，则实数x的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式定义，二次根式定义．根据根据分母不为0，二次根式内的式子为非负可求得． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：且， 故选：D． 3. 下列命题正确的是（　　） A. 两边及一角对应相等的两个三角形全等 B. 将32000精确到千位，记为 C. 16的平方根是4 D. 到三角形三个顶点距离相等的点在这个三角形三边的垂直平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题的正误判断，根据全等三角形判定，即可判断A项，根据科学记数法概念，即可判断B项，根据平方根的概念即可判断C项，根据垂直平分线性质即可判断D． 【详解】解：A、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，所以A错误，不符合题意． B、将32000精确到千位，记为，所以B错误，不符合题意． C、16的平方根是，所以 C错误，不符合题意． D、到三角形三个顶点距离相等的点在这个三角形三边的垂直平分线上，正确，符合题意． 故选：D． 4. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义逐项判断即可得到答案，正确掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】直接得出的取值范围进而得出答案． 【详解】∵， ∴. 故选C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 6. 矩形相邻两边长分别为，，则它的周长和面积分别是（ ） A. ，4 B. 2，4 C. 4，3 D. 6，4 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的周长和面积公式计算即可． 【详解】因为矩形相邻两边长分别为，， 所以它的周长是： 面积分别是：， 故选：D． 【点睛】此题考查二次根式的计算，关键是矩形的周长和面积公式应用． 7. 是的角平分线，若，，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∴点到距离为3， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8. 如图，在中，，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则的度数是（ ） A. B. C. 20° D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得AD=DC，∠ACB=50°，则有∠A=∠ACD=40°，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴∠ACB=50°， ∵AC的垂直平分线MN， ∴AD=DC， ∴△ADC是等腰三角形， ∴∠A=∠ACD=40°， ∴∠DCB=10°， 故选A． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理、直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理、直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 如图，若则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. DA平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可． 【详解】解：A．∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意； B．如图，∵△ABC≌△ADE， ∴∠C＝∠E， ∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°， ∴∠CAE＝∠CDE， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意； C．∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∴∠B＝∠BDA， ∴∠BDA＝∠ADE， ∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意； D．∵△ABC≌△ADE， ∴BC＝DE，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 10. 如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，先根据垂直平分线的性质得到，然后根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是4， 故选：B． 11. 根据下列三个尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. 图1 B. 图1与图2 C. 图2与图3 D. 图1与图3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质可对图3进行判断，掌握角平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，平分，符合题意； 由图2可得，点是的中点，所以是中线，不一定平分，不符合题意； 在图3中， 由作图可得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴平分，符合题意； ∴综上所述，能判断射线平分的是图1与图3． 故选：D． 12. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的格点C有（　　） A. 3个 B. 5个 C. 6个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定即可确定． 【详解】解：如图所示： 满足条件的点C有6个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和二次根式的加减运算，掌握运算法则即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：原分式方程去分母，得， ∵原分式方程有增根， ∴，解得， 将代入中，得， 解得， 故答案为：3． 15. 将数15.96用四舍五入法取近似数，若精确到十分位，则得到的近似数是_________________． 【答案】16.0 【解析】 【分析】本题考查了近似数，经过四舍五入得到的数为近似数，精确到十分位，需看百分位数字，百分位是6，大于等于5，向十分位进一，十分位9进一后为10，向个位进一，个位5变成6，十分位为0，故结果为16.0，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将数15.96精确到十分位，十分位上的数字是9，百分位上的数字是6， 由于，向十分位进一，十分位， 因此向个位进一，个位，十分位写0， 所以得到的近似数是16.0， 故答案为：16.0． 16. 如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【答案】##五 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质、平行四边形的判定与性质，由题意可得，，从而可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得点就是平行四边形的对称中心，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是平行四边形的对称中心， ∴（1）点和点；点和点是关于点的对称点，说法正确； （2）直线必经过点，说法正确； （3）四边形是中心对称图形，说法正确； （4）四边形和四边形的面积相等，说法正确； （5）和成中心对称，说法正确； 综上所述，正确的个数为个， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知a，b，m都是实数，若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】（1），； （2）解：不是， 理由:∵， ∴. ∴. ∴. ∴ = = =3. ∴与不是关于1的“平衡数”. 【解析】 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算4和关于1的“平衡数”； （2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断. 【详解】解：（1）2-4=-2，所以4与-2是关于1的“平衡数”， ，所以与是关于1的“平衡数” 故依次填：，； （2）略 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算.掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“平衡数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并. 18. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先算乘方、开方、绝对值，再算加减； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及到实数的加减运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 20. 已知：如图，平分，于E，于F，且．求证：． 【答案】 证明：∵平分，于E ，于F， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和直角三角形全等的判定，根据角平分线的性质得出，再由证明即可得出结论． 【详解】略 21. 观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： （1）______； （2）当为正整数时，______； （3）计算的值． 【答案】（1） （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解． 本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律． 【小问1详解】 ． 故答案为： 【小问2详解】 ． 故答案为： 【小问3详解】 ． 22. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元． （2）销售单价至少为11元． 【解析】 【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可； （2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得． 【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则： 解得： 经检验：是分式方程的解 答：第一批饮料进货单价为8元． （2）设销售单价为元，则： ， 化简得：， 解得：， 答：销售单价至少为11元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键． 23. 在中，，以为边在同侧作等边，连接． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，作，在上截取，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，证明得出，即可得解； （2）由等边三角形的性质可得，，再证明，从而可得，即可得解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 24. （1）如图1，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，．图中有_______个等腰三角形，猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有_____________个等腰三角形；猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于．则与，间的数量关系是___________． 【答案】（1）2，；（2）5，；（3）2， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，由此即可得解； （2）由等边对等角可得，则为等腰三角形，再结合平行线的性质可得，由等角对等边可得，即可得出为等腰三角形，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，从而得出和是等腰三角形，再证明，得出为等腰三角形，即可得解； （3）由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，从而得出和是等腰三角形，即可得解 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴和是等腰三角形， ∴， 故有个等腰三角形，； （2）∵， ∴，为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 故有5个等腰三角形，； （3）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形， ∴， 故有个等腰三角形，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $