精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2026-2027学年高一上学期十月学情检测数学试卷

高一上学期十月学情调研 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班級、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效：保持答卷清洁、完整. 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以各评讲）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ） A. {1，2，3，4} B. {2，3} C. {2，3，4} D. {1，3，4} 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，若对于任意不相等的实数，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 8. 已知函数，关于的方程有1个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的既不充分也不必要条件 D. “且”是“”的充要条件 10. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 最小值为 D. 的最小值为 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上的最大值是7 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则___________． 13. 已知定义在上的函数满足，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是________． 14. 已知函数，若正数，，满足，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求： （2）若，且，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数． （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 17. 某校计划用围栏圈出一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的面积为平方米的矩形劳动基地（如图所示）．工程队给出的报价如下：前面围栏的报价为每米元，左、右面围栏的报价为每米元，地面以及顶棚报价共计元．设劳动基地的左、右面围栏的长度均为米． （1）当左面围栏的长度为多少米时，工程队的报价最低？并求出此时的最低报价． （2）为推进劳动教育，教育局设立“劳动基地建设奖”：对学校劳动基地的工程报价给予奖励，奖励比例为工程队报价的倍，设抵扣奖励后学校实际支付给工程队的费用为，求的值域． 18. 已知函数 （1）若，求实数的值； （2）若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若当时，，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知实数集上的函数，定义集合.表示有限集合所包含元素的个数． （1）若集合且集合时，求； （2）若集合，集合，且，求满足条件的集合的个数； （3）对于有限集合，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期十月学情调研 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班級、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效：保持答卷清洁、完整. 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以各评讲）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ） A. {1，2，3，4} B. {2，3} C. {2，3，4} D. {1，3，4} 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义直接进行运算即可求出答案． 【详解】解：∵，，∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查集合的并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解决本题的关键，属于基础题． 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为：，. 3. 下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为,故A错误, 对于B，，与的定义域相同，对应关系也相同，故B符合， 对于C，，与的对应关系不相同，故C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域不相同，故D错误， 故选：B 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】举特殊值计算可判断ABD，根据不等式性质可判断C. 【详解】对于A，若，满足，此时，即，故A错误； 对于B，若，满足，此时，即，故B错误； 对于C，若，则或，故成立，故C正确； 对于D，若，，不满足，故D错误. 5. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求解函数解析式即可. 【详解】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D 6. 函数，若对于任意不相等的实数，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性和分段点函数值大小关系列出不等式即可求解. 【详解】由，可得：在上是单调递减的， 所以①当时，，即：， ②当时，抛物线的对称轴，且 ， 解得：， 综上所述，实数的取值范围是： 7. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 8. 已知函数，关于的方程有1个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过去绝对值将函数转化为分段函数，分析各分段函数的单调性，画出函数图象，结合图象即可求解. 【详解】函数的定义域为，分情况去绝对值讨论： ①当且时，， 时，单调递减，值域为； 时，单调递减，值域为. ②当且时，， 时，单调递减，值域为； 时，单调递减，值域为. ③ 时，， 画出函数图象如下： 由图可知 当或时，方程有2个解； 当时，方程仅存在1个解， 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的既不充分也不必要条件 D. “且”是“”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】利用充分必要条件的知识点解答. 【详解】A选项，当，，所以充分性成立，当时，或，所以必要性不成立，所以A选项正确； B选项，当时，成立，所以充分性成立；当时，或，所以必要性不成立，所以B选项错误； C选项，当时，，所以充分性不成立；当时，满足，但，所以必要性不成立，所以C选项正确； D选项，当且时，成立，所以充分性成立； 当，取，，不满足且，所以必要性不成立，所以D选项错误. 10. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，由基本不等式"和定积最大"，将与联系，为定值，转化为求的最值； 选项B，由消元得，将展开为关于的二次函数，由开口方向与对称轴求最大值； 选项C，观察到为定值，采用"1的代换"，将乘以展开后用基本不等式求最小值； 选项D，由消元得，将展开为关于的二次函数，由开口方向与对称轴求最小值. 【详解】选项A，由基本不等式， 当且仅当时取等号，最大值为，而非最小值，故A错误. 选项B，由得，代入得 最大值为，故B正确. 选项C，由得， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，解得，，满足，，故最小值为，C正确. 选项D，由得，代入得， 最小值为，故D正确. 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上的最大值是7 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法，求出的值，判断A；利用单调性的定义判断出函数在上单调递减，即可判断B；根据B可得当时，，利用赋值法求出的值，即可判断C；根据题意及已得结论，将原不等式转化为，求解后即可判断D. 【详解】对于A，令，得， 解得，故A正确； 对于B，任取，且， 则，， 所以， 所以， 即， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，由B可知函数在上单调递减， 所以函数在上也单调递减， 所以当时，， 令， 则有， 即， 解得， 令， 则有， 所以在上的最大值是7，故C正确； 对于D，令，则有， 所以， 不等式， 即为不等式， 即， 又因为函数在上单调递减， 所以， 即， 解得， 所以原不等式的解集为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 13. 已知定义在上的函数满足，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数为偶函数，再根据偶函数的性质转化不等式，最后利用函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以函数是定义在上的偶函数， 所以不等式等价于， 当时，单调递增， 所以，即，解得， 所以关于的不等式的解集是. 14. 已知函数，若正数，，满足，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断是上的单调递增奇函数，由推出，再将所求式变形后利用基本不等式求最小值. 【详解】函数， 定义域为， ，故是奇函数. 当时，为单调递增函数；当时，为单调递增函数， 且在处连续，故是上的单调递增函数. 由得，结合的单调性得， 即，其中，由得， 则 ，  当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求： （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 集合：由，解得或， 故，. 当时，， 故， 【小问2详解】 由，可知， 即， 于是需满足，解得且，即， 又已知，故实数的取值范围是. 16. 已知二次函数． （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）先求出开口向上二次函数的对称轴，利用区间在对称轴右侧函数才递增的性质列不等式，求出正数a的范围； （2）先因式分解得到不等式对应方程的两个根，再比较两根大小，分三种情况讨论写出不等式解集． 【小问1详解】 二次函数开口向上，对称轴为， 则其单调递增区间为， 已知在区间上单调递增，则，解得， 故的取值范围为． 【小问2详解】 不等式，， 则不等式等价于，对应方程两根为： 当，即时，不等式为，解得，解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为． 综上：当时，解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 17. 某校计划用围栏圈出一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的面积为平方米的矩形劳动基地（如图所示）．工程队给出的报价如下：前面围栏的报价为每米元，左、右面围栏的报价为每米元，地面以及顶棚报价共计元．设劳动基地的左、右面围栏的长度均为米． （1）当左面围栏的长度为多少米时，工程队的报价最低？并求出此时的最低报价． （2）为推进劳动教育，教育局设立“劳动基地建设奖”：对学校劳动基地的工程报价给予奖励，奖励比例为工程队报价的倍，设抵扣奖励后学校实际支付给工程队的费用为，求的值域． 【答案】（1）当左面围栏的长度为米时，工程队的报价最低，最低报价为元； （2）的值域为． 【解析】 【分析】（1）先根据面积条件写出报价函数，再利用基本不等式求该函数在给定区间上的最小值与取等条件； （2）先按奖励规则写出实际支付费用并化简，再结合一次函数和反比例函数的单调性判断单调性，代入区间端点即可求出值域． 【小问1详解】 已知矩形面积为平方米，左右围栏长度为，则前面围栏长度为米， 则， 由基本不等式，，当且仅当， 即时等号成立，故最低报价为，此时左面围栏长度为米． 【小问2详解】 由题意，奖励金额为，故学校实际支付费用为： ， 因为和在上均单调递增，故在上单调递增， 故； ， 故的值域为． 18. 已知函数 （1）若，求实数的值； （2）若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若当时，，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合函数的解析式，分类讨论代入求解即可； （2）由题意知时的值域是时的值域的子集，进而分类讨论求解即可； （3）由题意可得，利用换元法可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，由，得，解得（舍去）或； 当时，由，得，无实数解. 故. 【小问2详解】 由题意知时的值域是时的值域的子集. 先求值域：当时， 对称轴，最小值为，值域. 再求值域：时，开口向上，对称轴. 当时，在处取最小值，值域， 要求，结合得； 当时，在上单调递减，值域， 要求，结合得. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由题意，时. 对任意，恒成立， 代入的表达式得. 因时，不等式可化为. 令，则， 代入得右边为. 当时，，令，则，右边为. 由对勾函数性质，在时取最小值， 且，在定义域内，故右边的最小值为. 因此的取值范围是. 19. 已知实数集上的函数，定义集合.表示有限集合所包含元素的个数． （1）若集合且集合时，求； （2）若集合，集合，且，求满足条件的集合的个数； （3）对于有限集合，，，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：对任意，说明恰好属于中的一个， 若恰好属于：如果不属于，则属于； 如果属于，则不属于，属于； 若恰好属于：如果不属于，则属于； 如果属于，则不属于，属于； 因此任意都属于， 即， 根据有限集合的容斥原理，对于任意两个集合, 都有， 所以，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出集合，即可得答案； （2）设为中不属于的元素个数，为不属于但属于的元素个数，由题意可得，分、及三种情况求解即可； （3）对任意，说明恰好属于中的一个，分恰好属于和恰好属于两种情况，讨论得出，再根据集合的容斥定理即可得证. 【小问1详解】 因为， 则有或， 即当且时，有； 当且时，有； 所以当时，则； 当时，则； 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，， 故不属于集合的元素有， 设为中不属于的元素个数，为不属于但属于的元素个数， 因为，所以， 当时，即中所有元素都属于， 则，共3个； 当时，即中取1个元素排除(剩余2个元素属于)， 从中取一个元素放入中， 此时，，，，， ，，，，共9个； 当时，即从集合中取1个元素放入到集合中(剩余2个元素不属于)， 此时，，，共3个， 综上集合共有个； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $