精品解析：北京市顺义区第二中学2026-2027学年高三上学期10月练习测试数学试卷

顺义二中高三年级10月练习测试 数学试卷 第一部分 选择题 （共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 7. 已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数解析式 B. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 点是图象的一个对称中心 8. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 9. 已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 10. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 （共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若向量，，则______；______． 12. 已知，且为第二象限角，则的值为______． 13. 已知，则该展开式的二项式系数和为______，______． 14. 在中，．______；若，，则的面积______． 15. 某社区内有一扇形草坪如图．，扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米．给出下列四个结论： ①当时，； ②函数在区间上单调递增； ③方程在区间上恰有一个根； ④若函数在处取得最小值，则． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知. （1）化简； （2）若角的终边经过点，求. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求在上的值域； （3）求函数在上的单调递增区间． 18. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线； （2）证明： . 19. 已知函数． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （ⅰ）求，的值． （ⅱ）若在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 21. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． （1）若，写出及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，求证：且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义二中高三年级10月练习测试 数学试卷 第一部分 选择题 （共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到集合，进而根据补集和交集的运算即可求解. 【详解】由或， 则， 因此, 即， 故选：A. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到复数的代数式，再利用复数的除法运算即可. 【详解】由题意，，则. 所以复数的虚部是 故选：A. 3. 下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的判定方法及函数在上单调递增，逐项求解即可判断. 【详解】对于A，，定义域为，，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，定义域为，， 所以为奇函数，又和都为上的增函数， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，函数是奇函数，但在上不是单调函数，故C错误； 对于D，，定义域为， 因为，所以为奇函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故D错误. 故选：B 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为，， 又因为，所以，即， 所以. 故选：B 5. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】. 故选：B. 6. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 7. 已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数解析式 B. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】由图象得到，再根据三角函数的平移变换判断B选项；然后根据三角函数的对称轴与对称中心的坐标判断CD选项即可. 【详解】由函数图象的最高点可知，，解得. 又结合，可得 且，所以， 解得，结合，可得， 所以函数解析式，A正确. 函数的图象向左平移个单位长度, 则图象变为，B正确. 将代入，得， 所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确. 将代入，得 ， 所以点不是图象的一个对称中心，D错误. 8. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由距离从到时，信号衰减值约减少为6dB，可得，解出值，由信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，可得，化简即可求解. 【详解】由题可得当距离从到时，信号衰减值约减少为6dB， 可得：，解得：， 由于信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到 所以，则，解得， 故选：C 9. 已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，且， 则，，， 所以，由， 当或时，，， 所以； 当时，，总有； 当时，，，即. 综上，恒成立，故充分性成立； 若“，总有”，则且， 故必要性成立. 故选：C 10. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 第二部分 非选择题 （共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若向量，，则______；______． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算及夹角公式直接计算可得. 【详解】因，，所以. 又，， 所以，且，所以. 故答案为；. 12. 已知，且为第二象限角，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为为第二象限角，所以. 将所求分式的分子、分母同时除以，得.  将代入上式：原式. 13. 已知，则该展开式的二项式系数和为______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】二项式系数和为， 二项式展开式的通项为，其中. 当时，得到含的项为：，即等式左侧展开式中的系数为. 由题设，右边展开式中的系数为. 因此，解得. 14. 在中，．______；若，，则的面积______． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知等式求出，结合三角形内角的取值范围确定角，再代入三角形面积公式计算面积. 【详解】在中，设其外接圆半径为， 由正弦定理得，， 将上述关系代入，可得， 因为，故， 等式两边约去，得， 又，因此或； 又，且， 所以 . 15. 某社区内有一扇形草坪如图．，扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米．给出下列四个结论： ①当时，； ②函数在区间上单调递增； ③方程在区间上恰有一个根； ④若函数在处取得最小值，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据甲、乙的运动速度和时间得出的表达式，再利用余弦定理求出的表达式，结合导数逐一分析各个结论后可得正确的选项. 【详解】由题意得，. 在中，， 根据余弦定理， 可得. 结论①： 当时，， 故，即，所以①正确； 结论②： 设，则. 当时，， 故，而，， 故，即在上单调递增， 所以在上也单调递增，所以②正确； 结论③： 若，则， 化简可得. 设，则. 当时，，故， 故，故在单调递增，且， 所以在上无零点，即方程在区间上无根，所以③错误； 结论④：因为，其中， 设，， 则， 当，故，故， 故当时， 当，故，故， 故， 故当时， 故在上单调递增，而，， 故存在，使得， 且当时，，当时，， 故在取最小值，即在取最小值，其中， 故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知. （1）化简； （2）若角的终边经过点，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式直接化简即可； （2）由任意角的三角函数的定义可求得，从而可求出的值 【详解】解：（1） . （2）∵角的终边经过点， ∴. ∴. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求在上的值域； （3）求函数在上的单调递增区间． 【答案】（1）最小正周期为； （2）值域为； （3）单调递增区间为和. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式得到，于是最小正周期为； （2）根据三角函数的性质可得值域为； （3）先得到在上的单调增区间，再结合区间，得到在上的单调递增区间为和. 【小问1详解】 由二倍角公式与辅助角公式可得， ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以. 【小问3详解】 在上的单调增区间满足 ， 解得， 所以函数在上的单调递增区间为和. 18. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线； （2）证明： . 【答案】（1） （2）由得：，令，只需证， 所以，令，解得， 由，解得，由，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）先求，进而得切线方程； （2）由得，令，即证，利用导数研究单调性求最小值即可得证. 【小问1详解】 由题意得：，又， 所以切线斜率， 所以切线方程为， 所以； 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （ⅰ）求，的值． （ⅱ）若在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件②：，； 选条件③：，. 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式化简函数解析式，利用代入法进行求解即可； （2）若选条件①：根据函数的单调性进行判断即可；若选条件②：根据函数的单调性判断符合题意，利用正弦型函数的最小正周期公式进行求解（ⅰ）即可，再利用函数的零点求解（ⅱ）即可；若选条件③：根据函数的单调性判断函数的最小值即可判断符合题意，利用正弦型函数的最小正周期公式进行求解（ⅰ）即可，再利用函数的零点求解（ⅱ）即可. 【小问1详解】 ， 若，所以，即， 则，即. 因为，所以令，即； 【小问2详解】 若选条件①： 已知条件为在区间上单调递增，，. 因为，在区间上单调递增， 所以，显然，不能同时成立， 故不存在函数，不能选择该条件； 若选条件②：已知条件为在区间上单调递增，，. 因为，在区间上单调递增， 所以有，显然，同时能成立， （ⅰ）由可知该函数的最小值为， 于是有，解得，即. 又因为， 所以，即，则. 因为，所以令，即. 所以可以选择本条件，此时； （ⅱ），令，即，则. 当时，；当时，；当时，；当时，. 若在区间上有且只有两个零点，则. 即m的取值范围为. 若选条件③：已知条件为在区间上单调递增，，在区间上单调递减. 因为在区间上单调递增，上单调递减. 所以函数. 所以有，显然，在区间上单调递减，同时能成立， （ⅰ）由的最小值为， 于是有，解得，即. 又因为， 所以，即，则. 因为，所以令，即. 所以可以选择本条件，此时. （ⅱ），令，即，则. 当时，；当时，；当时，；当时，. 若在区间上有且只有两个零点，则. 即m的取值范围为. 20. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 【答案】（1） （2）证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【小问1详解】 [方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 【小问2详解】 [方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 21. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． （1）若，写出及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，求证：且． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 因为对于，所以． 所以，即数列是递增数列． 先证明． 假设，设正整数． 由于，故存在正整数使得，所以． 因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 所以． 所以． 又因为数列是递增数列，所以，矛盾． 所以． 再证明． 由题可知． 设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数，使得． 令． 若，则，即，所以． 所以，所以． 若，则， 所以． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 综上，且． 【解析】 【分析】（1）根据题意先分别求出，，，，则易得及的值； （2）由题可知，分析判断时，与题设矛盾，推得；再假设存在使得，经推理得出与是等差数列矛盾，可得，利用等差数列基本量运算即得； （3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立. 【小问1详解】 依题意，，，，， 故得； 【小问2详解】 由题可知，所以，所以． 若，则， 所以，与是等差数列矛盾． 所以． 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 假设存在使得． 设，由得． 由得，与是等差数列矛盾． 所以对任意都有． 所以数列是等差数列，． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题主要考查集合新定义问题，属于难题.对于集合新定义问题的解题策略，首先，要明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行推理和运算，最后得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $