精品解析：北京市十一学校顺义分校（顺义区杨镇第一中学）2026-2027学年高三上学期十月教学质量监测数学试题

十一顺义学校10月教与学质量监测 高三数学试卷 2026.10 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 3. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 A. B. C. D. 5. 若函数在处取得最小值，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 6. 已知，均为第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设函数，将的图象沿x轴的正方向平移个单位长度，所得图象与图象关于y轴对称，则满足条件的t的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是数列的前n项的和，且，，则（ ） A. 68 B. 56 C. D. 9. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合： ① ② ③ ④ 其中所有“好集合”的序号是（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在中，，，，则__________． 12. 记等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______． 13. 设在海拔（单位：m）处的大气压强（单位：kPa），与的函数关系可近似表示为，已知在海拔1000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2000 m处的大气压强为________ kPa． 14. 已知命题：若，则．能说明为假命题的一组的值为______ ，_______． 15. 在数列中，，给出下列四个结论： ①若，则一定是递减数列； ②若，则一定是递增数列； ③若，，则对任意，都存在，使得； ④若，，且对任意，都有，则的最大值是． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知等比数列满足． （1）求的通项公式及前项和； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数，． （1）求； （2）求的最小正周期和单调区间． 18. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播.科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度.. 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59% 乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% % % （Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率； （Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值.（只需写出结论） 19. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，从以下条件中选择一个，使存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为9． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：1是函数的极值点； （3）设，求证：． 21. 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）． （1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）； （2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”； （3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十一顺义学校10月教与学质量监测 高三数学试卷 2026.10 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合， 且集合， 所以. 2. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得的通项公式为， 令，可得，即其常数项为. 3. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算化简，再求虚部. 【详解】由题意可知，， 所以的虚部为2. 故选：D 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A,,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, 是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A. 5. 若函数在处取得最小值，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】因为，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为，得出结果. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴最小值点，即. 故选；C 6. 已知，均为第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充要条件的判断方法，结合正弦函数的性质即可判断. 【详解】因，均为第一象限角，若取，显然满足，但，即“”不是“”的充分条件； 再若取，满足，且，均为第一象限角，但，即“”不是“”的必要条件， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 7. 设函数，将的图象沿x轴的正方向平移个单位长度，所得图象与图象关于y轴对称，则满足条件的t的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，将的图象沿x轴的正方向平移个单位长度， 得到， 因为所得图象与图象关于y轴对称，所以， 即对任意恒成立， 则或对任意恒成立， 则， 因为，所以t的最小值为. 8. 已知是数列的前n项的和，且，，则（ ） A. 68 B. 56 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 9. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合： ① ② ③ ④ 其中所有“好集合”的序号是（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由题目给出的新定义利用向量的数量积进行转换为两直线垂直，即验证一个函数图像上是否一定存在两个点使得他们与原点的连线垂直，对于①④只需取特殊点即可排除，②③需要数形结合来判断. 【详解】设，则，，∵，∴，即， 即集合是“好集合”等价于在集合中任意一点，一定存在另一个点使得， 也可以理解为过原点的任意两条相互垂直的直线一定与集合中的曲线相交. ①当时，∵，∴，若，则，则无解，∴，故①不是“好集合”. ②如图所示： 是一个单增函数，且是一个凹函数，∴函数任意一个点，都有一个点使得.故②是“好集合”. ③如图： 由三角函数图像可知，过原点的任何直线都与相交.故③是“好集合”. ④当时，∵，∴，若，则无定义，∴，故④不是“好集合”. 综上所述：②③是“好集合”. 故选：A 【点睛】思路点睛：对题意中的“好集合”利用向量数量积进行分析理解，得到垂直时关键.然后可以借助特殊值排除法，取个不满足的特殊值排除①和④即可得到答案. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 12. 记等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由，得； 因为，所以公差，， 则， 故的最小值为 13. 设在海拔（单位：m）处的大气压强（单位：kPa），与的函数关系可近似表示为，已知在海拔1000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2000 m处的大气压强为________ kPa． 【答案】81 【解析】 【详解】将代入，可得，则与的函数关系可近似表示为，当时，，故填. 14. 已知命题：若，则．能说明为假命题的一组的值为______ ，_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据立方和公式以及基本不等式求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 所以，若，则，所以为假命题. 所以一组的值为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一） 15. 在数列中，，给出下列四个结论： ①若，则一定是递减数列； ②若，则一定是递增数列； ③若，，则对任意，都存在，使得； ④若，，且对任意，都有，则的最大值是． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对①取，进而可得数列为摆动数列，从而可判断错误；对②构造函数，用导数判断函数的单调性及最值，进而可得，故正确；对③令，用导数判断当时的单调性，进而可得数列从第项开始递增且最终趋向正无穷，从而判断正确；对④先通过反证法判断当，不恒成立，不符合题意；再用数学归纳法证明当时， 成立，进而可得结论正确. 【详解】结论①： 若，递推关系为， 取首项，数列为，是摆动数列，不满足递减数列的定义，因此①错误； 结论②：若，递推关系为， 构造函数，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取最小值， 因此对任意实数恒有，即​对所有恒成立，数列一定是严格递增数列，②正确； 结论③： 若，由得，； 当时，令， 当时，函数单调递增，且， 因此，数列从第项开始递增，且相邻两项的差恒大于，数列最终趋向正无穷， 因此对任意，总能找到足够大的使得，③正确； 结论④：假设，由， 得， 所以数列是递增数列，且，所以恒成立. 又，且，所以， 所以，即， 用累加法得：， 因为，所以，所以当足够大（即）时， 必有，这与任意，都有矛盾， 因此假设不成立，所以必有. 下面只需证明当时，恒成立即可. 用数学归纳法证明：当时，恒成立. 当时，成立； 当时，假设，则，即. 由归纳法，对所有，成立，满足条件. 综上：最大为，④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知等比数列满足． （1）求的通项公式及前项和； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）（），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质及可求得.再由可求得公比和首项，进而得数列的通项公式；由等比数列求和公式即可求得前项和； （2）将代入式子可求得数列的通项公式，利用裂项求和法即可得数列的前项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为且 所以，得， 又因为， 所以，得． 所以（）， 所以． （2）因为 所以，则， 所以． 所以数列的前项和, ． 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及等比中项的简单应用，等比数列求和公式的应用，裂项求和法的应用，属于中档题. 17. 已知函数，． （1）求； （2）求的最小正周期和单调区间． 【答案】（1） （2）的最小正周期，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）由，代入函数解析式，解得； （2）代入（1）中的结果，通过和差角公式和二倍角公式以及辅助角公式求得函数解析式，由三角函数的性质求得周期和单调区间. 【小问1详解】 因为，即， 所以，所以，因为， 所以 【小问2详解】 所以， ， 所以的最小正周期， 令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为. 18. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播.科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度.. 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59% 乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% % % （Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率； （Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值.（只需写出结论） 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（Ⅰ）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用表示事件抽取的月份为第月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率． （Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和期望． （Ⅲ），设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，由此能求出的最大值，最小值． 【详解】（Ⅰ）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月， 该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播． 用表示事件抽取的月份为第月， 则，，，，，，，，，，，共12个基本事件， ，，，，，共6个基本事件， 所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率； （Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中， 甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月， 故所有可能的取值为0，1，2． ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 ； （Ⅲ），设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为， 则的最大值为，最小值为． 19. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，从以下条件中选择一个，使存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为9． 【答案】（1） （2）条件①不满足题意，舍去；条件②：；条件③：. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合和差角和诱导公式化简，即可得： （2）选条件①：由余弦定理建立方程，由判别式判断方程无解，即三角形不存在，舍去； 选条件②：由同角三角函数求得，由诱导公式与和差角公式求得，再由正弦定理求得，通过比较得到为唯一，然后由三角形面积公式求得三角形面积； 选条件③，由余弦定理解得，即可求得三角形面积 【小问1详解】 因为， 所以，即， 在中， 所以，因为，所以， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 选条件①：由余弦定理可得， 即，因为， 这样的三角形不存在，舍去. 选条件②：，所以， 所以， 由正弦定理可得，即，解得， 因为，所以，存在且唯一确定， 所以. 选条件③：则，所以，由余弦定理可得， 即，因为，所以，则， 所以为正三角形，此时. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：1是函数的极值点； （3）设，求证：． 【答案】（1） （2）证明：对于， 易得，当时，因，则， 当时，，则， 即函数在上单调递减，在上单调递增，故1是函数的极小值点； （3）证明：依题意，，则， 设，，则， 故函数在上单调递增.又， 则存在，使得，即（*） 当时，，即，则函数在上单调递减； 当时，，即，则函数在上单调递增. 故， 因，则，而函数在上单调递增，故， 从而可得，故有. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）根据导函数的表达式，分和两种情况讨论函数的单调性，即得结论； （3）通过求导推得函数的最小值为，利用零点存在定理确定，结合对勾函数的单调性即可得证. 【小问1详解】 由求导得， 因，则曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）． （1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）； （2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”； （3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A． 【答案】（1）； （2）令．不妨设． 充分性：设是公差为的等差数列． 则 且．所以共有2n-1个不同的值．即d（S（A））=2n-1． 必要性：若d（S（A））=2n-1． 因为． 所以S（A）中有2n-1个不同的元素： 任意（1≤i，j≤n） 的值都与上述某一项相等． 又，且． 所以，所以是等差数列，且公差不为0． （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义直接进行计算即可 （2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论． 【详解】（1）若集合A={0，1，2}，则S（A）=T（A）={0，1，2，3，4}． （2）略 （3）首先证明：1∈A．假设1∉A，A中的元素均大于1，从而1∉S（A）， 因此1∉T（A），1∉S（T（A）），故1∉T（T（A）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A））矛盾，因此1∈A． 设A的元素个数为n，S（A）的元素个数至多为C+n，从而T（A）的元素个数至多为C+n+n=． 若n=2，则T（A）元素个数至多为5，从而T（T（A））的元素个数至多为=20， 而T（T（A））中元素至少为26，因此n≥3． 假设A有三个元素，设，且， 则1，2，，， 从而1，2，3，4∈T（T（A））．若，T（T（A））中比4大的最小数为，则5∉T（T（A）），与题意矛盾，故≤5． 集合T（T（A））．中最大数为，由于26∈T（T（A）），故≥26，从而≥7， （i）若A={1，a2，7}，且≤5．此时1，2，，+1，7，8，2，7+，14∈T（A），则有8+14=22，2×14=28∈T（T（A）），在22与28之间可能的数为14+2，21+． 此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意． （ii）若A={1，，8}，且≤5．此时1，2，，+1，8，9，2，8+，16∈T（A），则有16+9=25∈T（T（A））， 若26∈T（T（A）），则16+2=26或16+（8+）=26， 解得=5或=2． 当A={1，2，8}时，15，21，23∉T（T（A））．不满足题意． 当A={1，5，8}时， T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意． 故元素个数最少的集合A为{1，5，8} 【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $