解题大招55 十三个大招搞定数列的通项公式（含不动点法、特征根方程法）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

解题大招55 十三个大招搞定数列的通项公式 （含不动点法、特征根方程法） 知识点01 数列的通项公式 1．数列通项公式的概念 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式． (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一． (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． 知识点02 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了数列的首项（有时是前几项）的递推公式，就能求出这个数列的每一项. 知识点03 和项转化公式 1．Sn的定义 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．an与Sn的关系 an＝ 知识点04 求通项公式的常见方法 1.观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2.公式法 （1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． （2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3.累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 4.累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 5.构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法 要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解 类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 类型二：形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列. 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型. 6.取倒数法：an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ 要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解 7.特征根法与不动点法 （1）定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． （2）在数列中，已知，且时，（是常数）， ①当时，数列为等差数列； ②当时，数列为常数数列； ③当时，数列为等比数列； ④当时，称是数列的一阶特征方程， 其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：； （3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． ①若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； ②若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) 题型01 观察法求通项公式 这类问题往往给出数列的前几项，通过观察得出数列项与项数的关系，从而直接得到通项公式. 【典例1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 2．（2026高三·全国·专题练习）若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 题型02 累加法求通项公式 累加法适用于邻项差结构． 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 【典例2-1】（25-26高三上·辽宁·阶段练习）记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高三上·福建三明·月考）若数列满足，数列的前项和为，则 . 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 4．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 5．已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 题型03 累乘法求通项公式 累乘法适用于邻项商结构 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 【典例3-1】（25-26高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【跟踪训练】 1．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 题型04 由Sn与an的关系求通项公式 1、关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2、已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多. 【典例4-1】（26-27高二上·甘肃·阶段检测）已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 【典例4-2】(26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知数列的前项和为，若，则（     ） A．32 B．64 C．128 D．256 【跟踪训练】 1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知数列的前项和为．若，，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（多选）（25-26高二下·辽宁·阶段检测）已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知为数列的前项和，若，则______． 5．（2026·山西大同·一模）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型05 由前n项积Tn求通项公式 对于数列，前项积记为；；② ①②：. 【典例5-1】（25-26高三上·安徽合肥·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【典例5-2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）记为数列的前项积，且，则___________； 2.（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 3．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则______. 4．设数列的前项积是，且，. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和 题型06 构造法求通项公式：型 形如，引入参数，构造新的等比数列； 【典例6-1】（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（24-25高三下·四川广安·月考）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)证明：，且. 【跟踪训练】 1.（25-26高三下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 3．（25-26高三上·江苏常州·月考）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数n的值. 题型07 构造法求通项公式：型 形如，两边同除以，构造新的数列． 【典例6】已知在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________. 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 4．已知数列满足,且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列的前项和． 题型08 构造法求通项公式：型 当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求出 【典例8-1】（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项 ． 【典例8-2】(24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则其前项和______． 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段检测）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式________；________. 2．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知，当时，，则的通项公式为___________ 3．（专项练—数列2）已知在数列中，，，则通项______． 题型09 取倒数法求通项公式 an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ 要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解. 【典例9】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 题型10 对数变换法求通项公式：型 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 【典例10】（25-26高三上·江苏淮安·期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ 　　） A．24 B．27 C．36 D．40 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·浙江湖州·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．1002 B．1023 C．1024 D．1005 2．（安徽省马鞍山市2025届高三第二次教学质量监测数学试题）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型11 相邻三项构造求通项公式 对于形如的二阶递推式，常通过构造转化为的形式，再构造等比数列转化求解. 【典例11】已知数列满足：，，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知数列中，，，，求（ ） A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和为，且，，则__________． 题型12 不动点法求通项公式 定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． (1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列． (2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·. 【典例12-1】在数列{an}中，a1＝1, an＋1＝an＋1，则数列{an}的通项公式为an= 【典例12-2】已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，求该数列的通项公式． 【跟踪训练】 1.（2026·山东济宁高三期中考试题）已知数列满足，，则的值为（） A. 1 B. C. D. 2 2.（2026·江苏苏州高三期考题）数列满足，，则等于（） A. B. C. D. 3.已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，求数列{an}的通项公式． 4．已知数列{an}满足a1＝2，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 题型13 特征根法求通项公式 形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得). 【典例13-1】（2026·江西南昌模拟）已知数列满足，，，则通项公式______ 【典例13-2】已知数列满足，求数列的通项． 【跟踪训练】 1. 已知数列 满足 ，，且 （），则 （　　） A. B. C. D. 2. 已知数列 满足 ，，且 （），则 （　　） A. B. C. D. 3．已知数列满足，求数列的通项． 1．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 4．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 5．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，，则通项公式（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7.（2026·江苏苏州高三期考题）数列满足，，则等于（） A. B. C. D. 8.（2026·浙江温州高三质检题）已知二阶线性递推数列的特征方程为，，，则（） A. B. C. D. 9.（多选题）（2026·山东临沂高三联考）已知数列满足，，则下列结论正确的有（） A. 数列的不动点为2和3 B. 数列是等比数列 C. D. 10．（多选）（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 11．(多选)（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，则（    ） A．存在唯一的实数，使得为常数列 B．当时，为递减数列 C．当时，的取值范围为 D．当时，前项和为，则 12．(多选)（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．，，构成等差数列 D．数列前2026项和为 13．（23-24高二上·北京·期末）已知数列满足，，则_________，的最小值为_________． 14．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 15. 已知数列 满足 ，，且 （），则 ______. 16．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 17．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式． 18．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 19．（2026·湖南永州·二模）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 20．（2026·重庆·一模）已知等比数列满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求的最大值． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招55 十三个大招搞定数列的通项公式 （含不动点法、特征根方程法） 知识点01 数列的通项公式 1．数列通项公式的概念 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式． (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一． (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． 知识点02 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了数列的首项（有时是前几项）的递推公式，就能求出这个数列的每一项. 知识点03 和项转化公式 1．Sn的定义 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．an与Sn的关系 an＝ 知识点04 求通项公式的常见方法 1.观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2.公式法 （1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． （2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3.累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 4.累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 5.构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法 要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解 类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 类型二：形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以p为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以p为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列. 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型. 6.取倒数法：an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ 要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解 7.特征根法与不动点法 （1）定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． （2）在数列中，已知，且时，（是常数）， ①当时，数列为等差数列； ②当时，数列为常数数列； ③当时，数列为等比数列； ④当时，称是数列的一阶特征方程， 其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：； （3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． ①若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； ②若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) 题型01 观察法求通项公式 这类问题往往给出数列的前几项，通过观察得出数列项与项数的关系，从而直接得到通项公式. 【典例1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，取前六项得2，0，2，0，2，0，不满足条件，故A错误； 对于B，，取前六项得，不满足条件，故B错误； 对于C，，取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件，故C正确； 对于D，，取前六项得0，2，2，8，12，22，不满足条件，故D错误． 故选：C 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 【答案】B 【详解】归纳可得数列的通项为， 令，即，故为偶数且， 解得． 2．（2026高三·全国·专题练习）若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项计算前4项判断即可. 【详解】对于A，，，，，A可能. 对于B，，，，，B可能. 对于C，，，，，C可能. 对于D，，， ，故D不可能. 题型02 累加法求通项公式 累加法适用于邻项差结构． 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 【典例2-1】（25-26高三上·辽宁·阶段练习）记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 所以当时，， 累加得当时，， 又当时，也满足，所以， 所以. 故选：C 【典例2-2】（24-25高三上·福建三明·月考）若数列满足，数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】由，则, 当时，上式相加得，又， 所以，又符合上式， 可知，所以， 所以. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列满足，， 所以， 所以， 则， 所以，故选：A. 2．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】通过累加法求得，进而可求解. 【详解】，，， 即，，则有，， 又时，成立， 所以，， 又，，，整理得， 解得或（舍）， 则. 3．（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题干已知的递推公式，结合累加法，即可求出的值. 【详解】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 4．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 【答案】B 【详解】由，， 得． 5．已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式. （2）利用累加法求出通项公式，再利用等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）数列的前项和为， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）数列中，，由，得， 当时， ，满足上式， 所以数列的通项公式为， ，所以. 题型03 累乘法求通项公式 累乘法适用于邻项商结构 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 【典例3-1】（25-26高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【详解】由得， ， .故选：D 【跟踪训练】 1．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 2．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，即， 所以，则当时，， 因为，所以， 所以， 则数列的前10项和． 3．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求. 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 题型04 由Sn与an的关系求通项公式 1、关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2、已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多. 【典例4-1】（26-27高二上·甘肃·阶段检测）已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由即可求解. 【详解】. 【典例4-2】(26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知数列的前项和为，若，则（     ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】C 【分析】利用数列前n项和与通项的关系推导数列为等比数列，求出通项后计算的值. 【详解】当时，，解得； 当且时，由可得， 两式作差得， 化简得，即， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，通项公式为， 故. 【跟踪训练】 1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求出的值；令，由 得，两式作差推导出数列为常数列，求出数列的通项公式，即可得解. 【详解】对任意的，，且， 当时，则有， 即，解得或（舍）； 当时，由 ①， 可得②， ①②得 ， 整理可得 ， 由题意知，所以， 又因为，可得，也满足等式， 故当时，等式也成立， 故对任意的，，故数列为常数列， 故对任意的，则， 所以，故. 2.（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知数列的前项和为．若，，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】利用数列前项和的定义与给定递推关系，可通过迭代计算或推导通项公式求得． 【详解】方法1：迭代计算 已知，故， 当时，代入递推式，得，此时， 当时，代入递推式得，此时， 当时，代入递推式得； 方法2：推导通项公式 因为， 所以当时，有， 两式作差得，，即， 验证时，符合上式， 因此是首项为、公比为的等比数列，通项为，， 故． 3．（多选）（25-26高二下·辽宁·阶段检测）已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定的递推公式，利用及构造法求出，进而判断AB；利用裂项相消法求和及放缩法推理判断CD. 【详解】数列中，，当时，， 整理得，即，则， 当时，数列是常数列，因此，， 当时，，解得，满足上式， 当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式为， A，，A正确； B，，B错误； C，当时，， 因此，C正确； D，，， 则，即， 因此，D正确. 4．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知为数列的前项和，若，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以. 5．（2026·山西大同·一模）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据等比数列和等差数列前项和公式进行分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得， 所以数列的前项和 . 题型05 由前n项积Tn求通项公式 对于数列，前项积记为；；② ①②：. 【典例5-1】（25-26高三上·安徽合肥·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值，即求. 【详解】∵数列的前项积， 当时，， 当时，，， 时也适合上式， ∴， ∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且， 故的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为2. 故选：C. 【典例5-2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，进而得，即是公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得，进而得，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以是公差2的等差数列， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）记为数列的前项积，且，则___________； 【答案】 【分析】先根据累加法求出的通项公式，再根据与的关系求出的通项公式，最后计算. 【详解】，，将上述式子累加可得， 又，. 时，. 不符合通项公式，. . 2.（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 【答案】/ 【分析】根据和等差数列定义，结合题设条件可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果. 【详解】当时，，； 当且时，，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 3．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则______. 【答案】 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为， 当时，可得，解得； 当时，可得，整理可得， 可知数列是首项为3，公差为2的等差数列， 则，即， 所以. 故答案为：. 4．设数列的前项积是，且，. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和 【分析】（1）由，得到，根据等差数列的定义，即可求解； （2）由等差数列的通项公式求得，得到，结合裂项相消求和，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由，可得，所以数列是首项为，公差的等差数列. （2）由（1）得，所以， 所以， 又因为符合上式，所以， 所以， 所以. 题型06 构造法求通项公式：型 形如，引入参数，构造新的等比数列； 【典例6-1】（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 【典例6-2】（24-25高三下·四川广安·月考）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)证明：，且. 【分析】（1）变形给定等式，利用构造法，结合等比数列求出通项公式. （2）由（1）结合数列单调性得，，再按分段，利用分组求和法及等比数列前项和求解. （3）对通项变形放缩并裂项，再利用裂项求和法推理得证. 【详解】（1）在数列中，，，则， 即，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 即，则为单调递减数列，而， ，即当时，；当时，， 记的前项和为，则， 当时，； 当时，， 所以数列的前项和. （3）当且时，， 当时，；当时， ， 所以，且. 【跟踪训练】 1.（25-26高三下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，∴. 故选：A. 2．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】B 【分析】通过构造等比数列求出的通项公式，再由分组求和即可求得. 【详解】由题意得，两边同时加得，又， 则，即是以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则. 3．（25-26高三上·江苏常州·月考）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数n的值. 【分析】（1）通过对递推式配凑构造出等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，再由题意得到新数列的通项公式，利用分组求和可求得其前项和，代入验证即可求得正整数的最小值. 【详解】（1）由，得, 即数列是以为首项，2为公比的等比数列， 故所以; （2）由题意得, 从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项， 按原来顺序组成新数列，可知, 则,可通过分组求和，即一个等比数列求和和一个常数列求和， 故, 故问题转化为求解满足的最小正整数， 由可知时，;时，, 故使得不等式成立的最小正整数的值为10. 题型07 构造法求通项公式：型 形如，两边同除以，构造新的数列． 【典例6】已知在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，整理得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，解得．故选：A 【跟踪训练】 1．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________. 【答案】． 【详解】∵，所以，即， ∴是等差数列，而， 所以， 所以． 故答案为：． 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 3．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 4．已知数列满足,且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列的前项和． 【分析】（1）依次代入即可求解； （2）运用构造法，两边同除即可得证； （3）运用错位相减法解决“等差数列等比数列”的数列求和模型. 【详解】（1）∵,且, ∴, . （2）由, 得. 又,故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）可知：,,故； , , 两式相减，得 , , , ; 故. 题型08 构造法求通项公式：型 当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求出 【典例8-1】（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项 ． 【答案】 【详解】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 【典例8-2】(24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则其前项和______． 【答案】 【分析】利用构造法可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为， 假设存在实数，使得， 即，则，解得， 即，且， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 可得，即， 所以． 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段检测）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式________；________. 【答案】 574 【分析】整理可得，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，即可得的通项公式，再利用分组求和结合等差、等比数列求和公式求解. 【详解】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 2．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知，当时，，则的通项公式为___________ 【答案】 【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 3．（专项练—数列2）已知在数列中，，，则通项______． 【答案】 【分析】利用待定系数法构造新数列，得到，从而利用等比数列性质求出答案. 【详解】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 故答案为： 题型09 取倒数法求通项公式 an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ 要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解. 【典例9】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 【跟踪训练】 1．（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由递推关系可得数列是首项为、公差为的等差数列，进而可得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，推得为递增数列，为递减数列，即可判断A，C两项；利用作差法得到，再根据数列单调性判断B项；根据累加与放缩法得到判断D项. 【详解】数列满足，，，则. 令，则，故可得，且， 故为递增数列，且，因，则数列为递减数列. 对于A，因为递减数列，故，故A错误； 对于B，因为，所以. 因为递增数列，当时，，故，即， 则，故，即B错误； 对于C，成立，故C正确； 对于D，由（仅取等号，均大于2）， 累加得， 当时，，即，故D错误. 题型10 对数变换法求通项公式：型 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 【典例10】（25-26高三上·江苏淮安·期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ 　　） A．24 B．27 C．36 D．40 【答案】B 【分析】依题意得，得，再由对数运算性质求解即可. 【详解】数列是正项等比数列，， 由，得，得， . 故选：B. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·浙江湖州·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．1002 B．1023 C．1024 D．1005 【答案】B 【分析】根据规律得到，，，，，由等比数列求和公式和对数运算法则计算出答案. 【详解】因为，，故，， 依次可得，，，，，， 故 故选：B 2．（安徽省马鞍山市2025届高三第二次教学质量监测数学试题）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由递推公式逐个求得，再由对数运算即可求解. 【详解】，由， 可得：， ， ， 所以， 故选：C 题型11 相邻三项构造求通项公式 对于形如的二阶递推式，常通过构造转化为的形式，再构造等比数列转化求解. 【典例11】已知数列满足：，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 由得，即， 所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4， 所以．故选：C． 【跟踪训练】 1．已知数列中，，，，求（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则， ∴，解得或， 当，时，， ∴是以首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴，. 当，时,， ∴是以首项为，公比为的等比数列，∴， 设，解得， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴，故选：A. 2．已知数列的前n项和为，且，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，所以，解得， 又因为，于是， 因此数列是以为首项、2为公比的等比数列， 故，于是， 因此数列是以1为首项、1为公差的等差数列， 故，故, 故答案为： 题型12 不动点法求通项公式 定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． (1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列． (2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·. 【典例12-1】在数列{an}中，a1＝1, an＋1＝an＋1，则数列{an}的通项公式为an= 【答案】2－n－1 【详解】设f(x)＝x＋1， 令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2， ∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不动点， ∴an＋1－2＝(an－2)， ∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列， ∴an－2＝－1×n－1， ∴an＝2－n－1 . 【典例12-2】已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，求该数列的通项公式． 【详解】由方程x＝，得数列{an}的不动点为1和2， ＝＝＝·，所以是首项为＝2，公比为的等比数列，所以＝2·n－1， 解得an＝＋2＝，n∈N*. 【跟踪训练】 1.（2026·山东济宁高三期中考试题）已知数列满足，，则的值为（） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【详解】求不动点，令，解得.构造，数列是首项为的等比数列，故，即，. 答案：A 2.（2026·江苏苏州高三期考题）数列满足，，则等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】求不动点，令，解得（等根）.构造，数列是首项为，公差为的等差数列，故，. 3.已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，求数列{an}的通项公式． 【详解】设f(x)＝－x－2， 由f(x)＝x，得x＝－. ∴an＋1＋＝－， 又a1＝4， ∴是以为首项，以－为公比的等比数列， ∴an＋＝×n－1， ∴an＝－＋·n－1，n∈N*. 4．已知数列{an}满足a1＝2，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 【详解】解方程x＝， 化简得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1， 令＝c·， 由a1＝2，得a2＝，可得c＝－， ∴数列是以＝为首项，以－为公比的等比数列，∴＝·n－1， ∴an＝. 题型13 特征根法求通项公式 形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得). 【典例13-1】（2026·江西南昌模拟）已知数列满足，，，则通项公式______ 【答案】 【详解】特征方程为，解得。通项为，代入得，解得，修正为。 【典例13-2】已知数列满足，求数列的通项． 【详解】其特征方程为，解得，令， 由，得， ． 【跟踪训练】 1. 已知数列 满足 ，，且 （），则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由 得特征方程 ，即 ，解得 ，，为两个相异实根。 故设 。代入初始条件： 两式相减得 ，即 ，从而 。所以 。 检验：，，，符合。故选 A。 2. 已知数列 满足 ，，且 （），则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 特征方程为 ，即 ，即 ，得二重根 。 重根情形通项为 。代入初始条件： 由第二式得 ，与第一式 相减得 ，。 所以 。 检验：，，，符合。故选 B。 3．已知数列满足，求数列的通项． 【详解】其特征方程为，解得，令， 由，得， ． 1．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 2．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列的前项积，所以， 因为，，所以. 3．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 4．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得. 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 5．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，，则通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以，所以. 6．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累加法，结合等比数列前项和公式分析即可. 【详解】当时，由， 则， ， ， ， ， ， 累加得：， 即， 因为，所以 ， 当时，满足题意，故数列的通项公式为：. 7.（2026·江苏苏州高三期考题）数列满足，，则等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】求不动点，令，解得（等根）。构造，数列是首项为，公差为的等差数列，故，。 8.（2026·浙江温州高三质检题）已知二阶线性递推数列的特征方程为，，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】特征方程解得，通项为，代入得，解得，故。 答案：A 9.（多选题）（2026·山东临沂高三联考）已知数列满足，，则下列结论正确的有（） A. 数列的不动点为2和3 B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【详解】A，不动点方程为 x=，即 ，解得 x=2 或 3，故 A 正确； B，=，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 B 正确； C，由 B 项分析可得 ，整理得 ，故 C 错误； D，由 C 项分析可得 ，故 D 正确. 10．（多选）（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 11．(多选)（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，则（    ） A．存在唯一的实数，使得为常数列 B．当时，为递减数列 C．当时，的取值范围为 D．当时，前项和为，则 【答案】BCD 【详解】对于A.由条件可知，， 若，则，为常数列， 若，则，为常数列，故A错误； 对于B.因为，当时，，所以， 由可知，对所有，都有， 两边取以10为底的对数， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， 因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确； 对于C.，， 因为恒成立， 所以，得，故C正确； 对于D.当时，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， ， 而数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以前项和为， 所以，故D正确. 12．(多选)（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．，，构成等差数列 D．数列前2026项和为 【答案】ABD 【分析】A选项，用递推公式求解； B选项，利用A选项求解； C选项，利用等差数列前项和公式求解； D选项，用裂项相消法求解. 【详解】A选项， ①， 时， ②， 得：，即：（）， 又 ，故 对一切成立，所以，所以A 选项正确； B选项，由A选项解析得：是首项为2，公差为1的等差数列，所以B选项正确； C选项，由等差数列前项和公式得：，得，，，而 ，所以C 选项错误； D选项，，前 2026 项和为 ，所以D 选项正确． 13．（23-24高二上·北京·期末）已知数列满足，，则_________，的最小值为_________． 【答案】 / 【分析】利用累加法及等差数列的前项和公式即可求出，结合对勾函数的性质即可求出的最小值. 【详解】由得： 当时，，，，，， 将上式累加可得， 即， 又，则， 当时，，符合上式， 故； 令 由对勾函数性质可知，，， ，， 因为，所以的最小值为，即的最小值为. 14．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 15. 已知数列 满足 ，，且 （），则 ______. 【答案】 【详解】 特征方程 ，即 ，得二重根 。 设 ，代入初始条件： 即 ，，相减得 ，。 所以 。 检验：，，，符合。 16．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由条件，当时，， 所以累加得 又，所以， 取也成立，所以． （2）由， 相减，得， 所以． 17．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由得：， 当且时，， ， 即， 又，，； ，，解得：， 数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）方法一：由（1）得：， 当且时，，， ， 当时，满足， 综上所述：. 方法二：由（1）得：； ，，， ，令，则数列为常数列， ，. 18．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）因为，所以，所以当时， ， 又，符合上式，所以； （2）由，得，又， 所以数列以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以； （3）因为，所以，又，所以； 因为，所以 ， 又，所以， 则． 19．（2026·湖南永州·二模）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【分析】（1）由题意可得，结合等比数列的定义可得，即可求解； （2）由（1），结合错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 即，得，又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则，所以. （2）由（1）知，， ， 两式相减得， 所以. 20．（2026·重庆·一模）已知等比数列满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求的最大值． 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解； （2）利用等比数列的前项和公式结合二次函数的图像求解. 【详解】（1）是等比数列，，且， ，，； （2），， ， ， 设， 转化为， 对称轴为，，开口向下， 当时，；当时，； ， 比较的所有取值中，离对称轴最近， 当，即时，取最大值， 且最大值. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $