第09讲 数列 专项训练（6大题型32题）-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第09讲 数列 专项训练（6大题型32题）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　等差、等比基本量 常考点 第1—6题 6 题型二　等差、等比性质与综合应用 重点 第7—12题 6 题型三　递推与通项 重点 第13—18题 6 题型四　裂项相消求和 重点 第19—22题 4 题型五　错位相减求和 难点 第23—26题 4 题型六　分组并项求和 难点 第27—32题 6 方法索引 · 易错提示 题型 核心方法 易错点 题型一　等差、等比基本量 基本量列方程；中项回代取舍 等比求和漏讨论 题型二　等差、等比性质与综合应用 下标和、最值、恒成立 最值方向判断错 题型三　递推与通项 作差、构造、累加/累乘 漏验 题型四　裂项相消求和 拆项、抵消、留首尾 裂项系数漏乘 题型五　错位相减求和 乘公比、相减、等比求和 末项符号与项数 题型六　分组并项求和 拆组、奇偶配对、插入项 项数与端点 使用说明 • 本专项共 32 题，按 6 个题型编排（各题型依次 6、6、6、4、4、6 题）；每个题型先【知识积累】，再【典例】，后【变式训练】。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议先读上表“方法索引·易错提示”，做题时对照易错点自查；6 个题型与配套复习讲义同名同序，可对照使用。 题型通关 · 靶向提分 题型一　等差、等比基本量（共6小题） 【知识积累】 等差数列：通项 ，前 项和 。基本量是 与 ，已知两个独立条件即可列方程组求通项与前 项和。 奇数项与偶数项：项数为 时，，且 ，。 等比数列：通项 ；前 项和 （）， 时 。等比中项 满足 ，同号时有两个值。 易错：等比数列求和必须先讨论 ；由 求 时用 （），并单独检验 。 【典例】 1．（单选题） （26-27高三·全国·一轮复习） 已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【详解】由题意，， ， 所以， 所以． 【变式训练】 2．（单选题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 已知和的等比中项为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等比中项满足，所以． 3．（单选题） （2026·贵州遵义·模拟预测） 已知为等比数列的前n项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质计算即可. 【详解】因为，为等比数列， 所以当时，， 则，矛盾，舍， 当时，， 因为， 所以， 令， 则， （舍），， 故， 因为， 所以. 4．（多选题） （26-27高三上·云南德宏·开学考试） 已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递增数列 【答案】ABD 【详解】， 所以公差， 所以， 从而，故A和D正确； ，所以，为等差数列，故B正确，C错误. 5．（填空题） （26-27高三上·上海杨浦·阶段检测） 已知数列是不具有单调性的等比数列，，则其前2026项和_____． 【答案】0 【详解】设等比数列的公比为，，，解得， 当时，等比数列为常数列，不符合题意， 当时，等比数列为正负交替，符合题意， . 6．（填空题） （26-27高三上·北京顺义·阶段检测） 在各项均为正数的等比数列中，，已知，则 _________ 【答案】15 【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】由已知可设等比数列的首项为，公比为，则，， 由，有，化简得，解得，. 又，解得. 所以. 题型二　等差、等比性质与综合应用（共6小题） 【知识积累】 下标和性质：等差数列中若 ，则 ；等比数列中若 ，则 。等差中项 。 前 项和的最值： 可看作关于 的二次函数；若“当且仅当 时 最大”，则 、（公差为负），再结合正整数取值确定参数。 恒成立与参数范围：含参数的不等式恒成立，先分离参数，转化为求另一侧式子的最大（小）值；等比数列要先用基本量求出通项，并注意公比为正、各项为正等条件。 新定义与图形背景：新定义题先找变换中的不变量（如乘积、和、差），把复杂操作转化为简单数列；图形题抓住“边数乘 4、边长除以 3、每边新增小三角形”的递推关系，再分别求通项与和。 【典例】 7．（单选题） （26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列和等差数列的性质求出数列的通项公式，再将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 【详解】设正项等比数列的公比为，已知，则， 由成等差数列，根据等差数列中项性质得：， 将代入上式，两边同除以（）得： 即，解得（舍去负根，因数列是正项等比数列）， 因此，不等式对任意恒成立， 代入得：， 分离参数得：，对任意恒成立， 因此只需大于数列的最大值即可，令， 则， 当时，，即， 当时，，则，即， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 【变式训练】 8．（单选题） （26-27高三上·上海长宁·阶段检测） 将数列 中随机剔除两项 、 (其中 ， i、 )，然后在原数列中添加一项 叫做数列 的一次变换，那么数列1、 、 、 、 、 经过2025次变换后数列中还剩下的一项为（    ） A．2025 B．2027 C．2024 D．2026 【答案】D 【分析】令，，易得与一一对应，对于的一次变换，相应对做如下变换：剔除与中剔除两项对应的，并添加，可得对做一次变换相当于将中两项相乘，据此可得答案. 【详解】令，，易得与一一对应，对于的一次变换：随机剔除，并添加， 考虑对做如下变换：剔除与对应的，并添加， 注意到， 则对做一次与变换对应的变换，相当于随机剔除中两项，并在中添加剔除两项的乘积. 又易得：，即对做2025次变换后数列中剩下， 结合，则经过题设描述变换次后剩下2026 【点睛】本题关键为构造与原数列一一对应的数列，并构造相应变换，将复杂的变换过程转化为变化较少的两数相乘. 9．（多选题） （26-27高三上·山东烟台·阶段检测） 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第个图中图形的边数为，第个图中图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，，则下列命题正确的是（　　） A． B． C． D．数列的前项和为 【答案】ABD 【分析】对于A，第个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形，得第个图形，则原来每条边变为4条，即，从而求出即可判断；对于B，从图形中找出面积变化规律即可判断；对于C，由作法知，，而，从而求出即可判断；对于D，由选项AC知，，从而求出数列的前n项和． 【详解】 对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形，得第个图形， 则原来每条边变为4条，即，而，因此，A正确； 对于B，由题意可知，，， ，，B正确； 对于C，由作法知，，而，则，，C错误； 对于D，由选项AC知，， 所以数列的前n项和为 ，D正确． 10．（多选题） （26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测） 设等差数列的前n项和为．当且仅当时，取得最大值．若为公比为q的正项等比数列，记数列的前n项和为，则（   ） A．数列存在最小项，当且仅当 B．数列存在最大项，当且仅当 C．对任意数列，均不存在整数，使得在处取得最大值 D．对任意整数，均存在数列，使得在或处取得最大值 【答案】ACD 【分析】由把的最值转化为差分符号；分别比较等差项的线性变化与等比项在、、时的增长，并针对D构造的常数等比数列． 【详解】对于A，由及，得，故公差，从而，． 设，则． 当时，，又，故可取整数使时， 于是不断下降且不存在最小项； 当时，令，，，由二项式定理， 当时，． 取整数使，则时，从而， 于是从某项起递增，故最小项在前面有限项中取得，A正确； 对于B，取，则仍为公差的等差数列，可取整数使时， 于是从某项起递减，故必有最大项，B错误； 对于C，当时，且，故，于是， 任意整数均不可能使在处取得最大值，C正确； 对于D，任取整数，取并令，则． 当时，； 当时，； 当时，． 于是，故D正确． 11．（填空题） （26-27高三上·云南昆明·阶段检测） 在等差数列中，公差，已知，，构成等比数列，为数列的前项和，，则___________. 【答案】400 【分析】先用等比中项得到，再利用是连续三项之和求出，最后代入前项和公式算出. 【详解】由成等比数列，得 ，即， 整理得，因为，所以，故， 因为，，，， 所以，得， 又，所以，解得 所以. 12．（填空题） （26-27高三上·北京顺义·阶段检测） 记等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______． 【答案】 【详解】由，得； 因为，所以公差，， 则， 故的最小值为 题型三　递推与通项（共6小题） 【知识积累】 递推写项与周期：由 逐项代入；若若干项后回到起始值，则数列具有周期性，可先求一个周期的和再按余数分组。 构造等比：形如 （）可设 ，其中 ；分式递推常对等式两边取倒数或同除 ，化为 的等差、等比关系。 证明等差、等比：证明 为常数（等差）或 为非零常数（等比）；也可证明 为等比数列、 为等差数列，再叠加求通项。 与 ：（），；求出分段式后必须检验 是否满足，能合并则写成统一通项。观察法求通项时，先看分子、分母各自的变化规律，再验证单调性与取值范围。 【典例】 13．（单选题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 已知数列满足，，则（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为数列满足，，所以，，，， 所以 【变式训练】 14．（单选题） （26-27高三上·北京海淀·阶段检测） 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 【答案】C 【详解】由，，可得，所以，等式两边同除，有，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以， 所以， 记，则，所以为递增数列，所以， 所以. 15．（多选题） （26-27高三上·山西·阶段检测） 在数列中，，，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为， 所以，即，解得， 因为，所以， 则是首项为，公比为3的等比数列，故A正确； 因为， 所以，即 ， 所以数列为首项为2，公差为0的等差数列，故B正确； 当时， ， 又符合，所以，故C正确； 已知， 则 ，故D错误． 16．（填空题） （26-27高三上·北京海淀·阶段检测） 无穷递增数列满足，写出数列的一个通项公式_______． 【答案】. 【详解】需满足两个条件：数列递增且. 当增大时，分子分母同步增大，且分子比分母小故随增大而增大； 由于分子小于分母，所以当时，满足. 验证递增性：故为递增数列. 17．（填空题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”. 将数列，进行“美好成长”，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；…，设第 次“美好成长”后得到的数列为 ，记 ，则数列 的通项公式为___________. 【答案】 【分析】先由条件得到递推关系，再用待定系数法构造等比数列求解通项. 【详解】依题意，， ， ， 由得，， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，故， 所以 18．（解答题） （26-27高三上·北京丰台·阶段检测） 已知为数列的前项和，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对前项和关系分别写出与，相减得到数列的递推关系，再结合等差数列条件确定首项． （2）先由的通项求出，再利用等差数列求和公式求． 【详解】（1）当 时，由及，得， 所以，数列 是公比为 的等比数列． 由，，成等差数列，得． 又，所以，从而 ． 故． （2）由（1）得，所以． 于是． 题型四　裂项相消求和（共4小题） 【知识积累】 常用裂项：；；。 先求通项再裂项：由 或递推关系先求出 ，再把 、 一类式子拆成两项之差；拆项后相加，中间项成对抵消，只留首尾若干项。 与非裂项部分合并：若通项是“等比数列 + 裂项”的形式（如 ），分别求和再相加，不要漏掉等比部分。 易错：裂项后的系数（如 ）不能丢；抵消后剩余项要按项数奇偶写清，最后化到最简。 【典例】 19．（多选题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．存在正整数，，（），使，，成等差数列 B．数列的前100项和为100 C．数列的前100项和为4950 D．数列的前100项和为 【答案】AB 【分析】先求出等差数列的通项，前项和， 选项A：由已知可得，举出特例即可； 选项B：利用并项求和法求出数列的前100项和； 选项C：求出数列的通项，再用等差数列前项和公式求解； 选项D：求出数列的通项，再用裂项相消法求出数列的前100项和. 【详解】等差数列中，，，得：，即，， 又，得到：， . 选项A：假设存在正整数，，（），使，，成等差数列， 即，即， 令，则有， 即， 取，则有，即，解得：，所以舍去； 取，则有，即，解得：，所以舍去； 取，则有，即，解得：，此时， 满足，验证：，，，， 即，即，，成等差数列.选项A正确. 选项B：数列的前100项和为， ， 因为，所以.选项B正确. 选项C：数列中，， 故数列是以-1为首项，以1为公差的等差数列. 令，则， 数列的前100项和为.选项C错误. 选项D：数列中， 数列的前100项和为 .选项D错误. 【变式训练】 20．（填空题） （2026·黑龙江大庆·一模） 已知数列的前项和为，若，，则数列的前10项和为__________． 【答案】 【分析】根据题意数列为首项为，公差为的等差数列，则，再利用裂项相消法求数列求和. 【详解】根据题意，，即， 即数列为公差为的等差数列， 由，则， 所以， 则， 所以数列的前10项和为 . 21．（解答题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 等差数列的前项和，等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件及与的关系求出，再利用等比数列的通项公式即可求解； （2）根据（1）的结论得出，再利用分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由，当时，， 当时，， 显然满足上式，则. 设等比数列的公比为， 因为，所以，解得， 所以. （2）由， 则 . 22．（解答题） （26-27高三上·四川内江·阶段检测） 已知数列满足，且 . (1)证明：数列为等比数列；并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) ∴为等比数列    (2) 【详解】（1） ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴， 故. （2），， . 题型五　错位相减求和（共4小题） 【知识积累】 适用形式：通项为“等差 等比”，即 或 型，用错位相减法求和。 操作步骤：写出 ；两边同乘公比 得 ；两式相减，把同次幂对齐，中间部分化为等比数列求和；最后整理并检验 。 含 型：把 看作公比为 的等比数列，同乘 后相减；含 型同理，公比为 。 易错：相减时最后一项的符号、项数容易出错； 时不能直接用公式；结果要用 代入原式验算。 【典例】 23．（解答题） （26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)数列满足，求数列的前99项的和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数列的前项和求出； （2）利用错位相减求得数列的前项和； （3）观察数列的形式，求得，再利用倒序相加求和. 【详解】（1）由 ① 得 ② ①－②得：， 在①式中令得，符合上式，所以对任意的正整数n都有： （2）， 两式相减得： 整理得： （3）， 所以 所以，为定值，则 且，两式相加得，因此 【变式训练】 24．（解答题） （26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测） 已知数列满足，且为首项与公差相等的等差数列． (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出新数列的首项与公差，写出其通项，变形得到的通项公式； （2）对等差乘等比型数列采用错位相减法，两式相减后结合等比数列求和公式求出前n项和． 【详解】（1）由，得数列的首项为， 又的首项与公差相等，故公差为1， 所以，故． （2）由（1）得． 则． 两式相减，得． 25．（解答题） （26-27高三上·四川绵阳·开学考试） 数列的前项和满足，等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知前项和，利用作差，推出是等比数列，代入求出首项，得到；算出，代入条件得到关于等差数列首项、公差的方程组，解出，得. （2）写出，得到等差×等比型数列；写出，两边同乘等比数列公比，两式相减，对中间等比部分求和，化简得到 【详解】（1）由数列满足， 当时，， 两式相减得， ，是等比数列，公比为. 当时，，， 数列的通项公式为. ，， 设公差为，则， ，，数列的通项公式为. （2）由(1)得， 得 ， . 26．（解答题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 设数列的前项和为，，. (1)求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)令，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明：因为，所以， 所以， 因为，所以，所以，且， 所以是首项为2，公比为2的等比数列； 所以，. 当时，； 又时，，所以的通项公式是. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由递推公式结合等比数列的定义可证明为等比数列，再结合作差法可求的通项公式； （2）（i）由错位相减法即可求解； （ii）通过分离参数，结合数列的单调性即可求解. 【详解】（1）见【答案】 （2）（i）由（1）知， 所以①， 所以②， ①-②得： ， 所以. （ii）由题意，对任意的，均有恒成立， 所以， 即恒成立. 设， 所以， 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为， 所以. 故的取值范围是. 题型六　分组并项求和（共6小题） 【知识积累】 分组求和：通项由等差部分与等比部分相加（或相减）组成时，拆成两组分别求和再合并；若等比部分带 ，按 的奇偶分组。 并项求和：形如 的项，把相邻两项配成一组，先算每组的结果，再按项数是否为偶数讨论；周期数列按一个周期的和分组，余项单独相加。 奇偶项与绝对值：奇偶项分段给出的数列，先分别写出奇数项、偶数项的通项；含绝对值的数列先判断各项正负，找到变号的分界点，再分段去绝对值求和。 插入项分组：新数列由两个数列穿插组成时，先数清每一段中两个数列各有多少项，再分别用等差、等比求和公式，最后相加；注意“到 之前”是否包含端点。 【典例】 27．（单选题） （26-27高三上·云南昭通·阶段检测） 已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（     ） A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】A 【分析】通过递推公式求值可以发现，从第7项开始，是周期为3的周期数列，数列值分别为，即可求出答案. 【详解】由，，，得，， ，，，， ，，，， 从第7项开始，是周期为3的周期数列，数列值分别为， 所以，， 所以. 【变式训练】 28．（多选题） （26-27高三上·江苏盐城·阶段检测） 记为数列的前n项和．已知n为奇数时，n为偶数时，则（    ） A．2026是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前n项和小于 【答案】AD 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C错误； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 29．（多选题） （26-27高三上·山东青岛·阶段检测） 已知是首项为1的等差数列，是首项为2的等比数列，满足，，成等差数列，．将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，在与之间插入项中的项，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，新数列中之前（不包括）所有项的和记为，若，符号表示不超过的最大整数，下列说法中正确的是（     ） A．， B． C． D．使得成立的最大正整数 【答案】ABD 【分析】设数列的公差为，数列的公比为，根据条件，求出，即可求出，从而判断出A的正误；结合题设，利用等差、等比数列的前项和公式，求出，再求出，即可判断选项B和C的正误；再将变形得，利用，可得，从而有当时，，即可求解. 【详解】设数列的公差为，数列的公比为，因为，，成等差数列， 所以，又，，则，解得， 所以，故A正确， 记新数列为，由题知数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为，则， 数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则， 所以，则，所以B正确， 又， 所以，又，所以，故C错误， 对于D，因为当时，， 当时，因为， 所以 ， 则当时，，因此当时，， 所以， 得到，解得， 又，，所以，，， 得成立的最大整数的值为，故D正确. 30．（解答题） （26-27高三上·陕西西安·阶段检测） 记为数列的前项和，是首项与公差均为的等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出，再利用与间的关系，即可求解； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为是首项与公差均为1的等差数列， ， 则，当时，， 两式相减得，当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前2026项的和为 . 31．（解答题） （2026·吉林长春·模拟预测） 已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 【答案】(1) (2)440 【分析】（1）求出，由求出，验证即可求得答案； （2）讨论的取值，得到数列通项公式，然后分组求和求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式为 （2）令，则， 所以当时，，当时，， 所以 . 32．（解答题） （26-27高三上·湖南长沙·阶段检测） 已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由，相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件；及是等差数列求解即可； （2）分组后利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；； ， 设等差数列的公差为，则， 所以； （2）由已知， 所以， 由（1）， 因为， ， 所以， 所以. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第09讲 数列 专项训练（6大题型32题）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　等差、等比基本量 常考点 第1—6题 6 题型二　等差、等比性质与综合应用 重点 第7—12题 6 题型三　递推与通项 重点 第13—18题 6 题型四　裂项相消求和 重点 第19—22题 4 题型五　错位相减求和 难点 第23—26题 4 题型六　分组并项求和 难点 第27—32题 6 方法索引 · 易错提示 题型 核心方法 易错点 题型一　等差、等比基本量 基本量列方程；中项回代取舍 等比求和漏讨论 题型二　等差、等比性质与综合应用 下标和、最值、恒成立 最值方向判断错 题型三　递推与通项 作差、构造、累加/累乘 漏验 题型四　裂项相消求和 拆项、抵消、留首尾 裂项系数漏乘 题型五　错位相减求和 乘公比、相减、等比求和 末项符号与项数 题型六　分组并项求和 拆组、奇偶配对、插入项 项数与端点 使用说明 • 本专项共 32 题，按 6 个题型编排（各题型依次 6、6、6、4、4、6 题）；每个题型先【知识积累】，再【典例】，后【变式训练】。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案与详解（部分题附分析）；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议先读上表“方法索引·易错提示”，做题时对照易错点自查；6 个题型与配套复习讲义同名同序，可对照使用。 题型通关 · 靶向提分 题型一　等差、等比基本量（共6小题） 【知识积累】 等差数列：通项 ，前 项和 。基本量是 与 ，已知两个独立条件即可列方程组求通项与前 项和。 奇数项与偶数项：项数为 时，，且 ，。 等比数列：通项 ；前 项和 （）， 时 。等比中项 满足 ，同号时有两个值。 易错：等比数列求和必须先讨论 ；由 求 时用 （），并单独检验 。 【典例】 1．（单选题） （26-27高三·全国·一轮复习） 已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【变式训练】 2．（单选题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 已知和的等比中项为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（单选题） （2026·贵州遵义·模拟预测） 已知为等比数列的前n项和，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选题） （26-27高三上·云南德宏·开学考试） 已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递增数列 5．（填空题） （26-27高三上·上海杨浦·阶段检测） 已知数列是不具有单调性的等比数列，，则其前2026项和_____． 6．（填空题） （26-27高三上·北京顺义·阶段检测） 在各项均为正数的等比数列中，，已知，则 _________ 题型二　等差、等比性质与综合应用（共6小题） 【知识积累】 下标和性质：等差数列中若 ，则 ；等比数列中若 ，则 。等差中项 。 前 项和的最值： 可看作关于 的二次函数；若“当且仅当 时 最大”，则 、（公差为负），再结合正整数取值确定参数。 恒成立与参数范围：含参数的不等式恒成立，先分离参数，转化为求另一侧式子的最大（小）值；等比数列要先用基本量求出通项，并注意公比为正、各项为正等条件。 新定义与图形背景：新定义题先找变换中的不变量（如乘积、和、差），把复杂操作转化为简单数列；图形题抓住“边数乘 4、边长除以 3、每边新增小三角形”的递推关系，再分别求通项与和。 【典例】 7．（单选题） （26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 8．（单选题） （26-27高三上·上海长宁·阶段检测） 将数列 中随机剔除两项 、 (其中 ， i、 )，然后在原数列中添加一项 叫做数列 的一次变换，那么数列1、 、 、 、 、 经过2025次变换后数列中还剩下的一项为（    ） A．2025 B．2027 C．2024 D．2026 9．（多选题） （26-27高三上·山东烟台·阶段检测） 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第个图中图形的边数为，第个图中图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，，则下列命题正确的是（　　） A． B． C． D．数列的前项和为 10．（多选题） （26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测） 设等差数列的前n项和为．当且仅当时，取得最大值．若为公比为q的正项等比数列，记数列的前n项和为，则（   ） A．数列存在最小项，当且仅当 B．数列存在最大项，当且仅当 C．对任意数列，均不存在整数，使得在处取得最大值 D．对任意整数，均存在数列，使得在或处取得最大值 11．（填空题） （26-27高三上·云南昆明·阶段检测） 在等差数列中，公差，已知，，构成等比数列，为数列的前项和，，则___________. 12．（填空题） （26-27高三上·北京顺义·阶段检测） 记等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______． 题型三　递推与通项（共6小题） 【知识积累】 递推写项与周期：由 逐项代入；若若干项后回到起始值，则数列具有周期性，可先求一个周期的和再按余数分组。 构造等比：形如 （）可设 ，其中 ；分式递推常对等式两边取倒数或同除 ，化为 的等差、等比关系。 证明等差、等比：证明 为常数（等差）或 为非零常数（等比）；也可证明 为等比数列、 为等差数列，再叠加求通项。 与 ：（），；求出分段式后必须检验 是否满足，能合并则写成统一通项。观察法求通项时，先看分子、分母各自的变化规律，再验证单调性与取值范围。 【典例】 13．（单选题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 已知数列满足，，则（    ） A．9 B．3 C． D． 【变式训练】 14．（单选题） （26-27高三上·北京海淀·阶段检测） 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 15．（多选题） （26-27高三上·山西·阶段检测） 在数列中，，，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D． 16．（填空题） （26-27高三上·北京海淀·阶段检测） 无穷递增数列满足，写出数列的一个通项公式_______． 17．（填空题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”. 将数列，进行“美好成长”，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；…，设第 次“美好成长”后得到的数列为 ，记 ，则数列 的通项公式为___________. 18．（解答题） （26-27高三上·北京丰台·阶段检测） 已知为数列的前项和，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 题型四　裂项相消求和（共4小题） 【知识积累】 常用裂项：；；。 先求通项再裂项：由 或递推关系先求出 ，再把 、 一类式子拆成两项之差；拆项后相加，中间项成对抵消，只留首尾若干项。 与非裂项部分合并：若通项是“等比数列 + 裂项”的形式（如 ），分别求和再相加，不要漏掉等比部分。 易错：裂项后的系数（如 ）不能丢；抵消后剩余项要按项数奇偶写清，最后化到最简。 【典例】 19．（多选题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．存在正整数，，（），使，，成等差数列 B．数列的前100项和为100 C．数列的前100项和为4950 D．数列的前100项和为 【变式训练】 20．（填空题） （2026·黑龙江大庆·一模） 已知数列的前项和为，若，，则数列的前10项和为__________． 21．（解答题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 等差数列的前项和，等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 22．（解答题） （26-27高三上·四川内江·阶段检测） 已知数列满足，且 . (1)证明：数列为等比数列；并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型五　错位相减求和（共4小题） 【知识积累】 适用形式：通项为“等差 等比”，即 或 型，用错位相减法求和。 操作步骤：写出 ；两边同乘公比 得 ；两式相减，把同次幂对齐，中间部分化为等比数列求和；最后整理并检验 。 含 型：把 看作公比为 的等比数列，同乘 后相减；含 型同理，公比为 。 易错：相减时最后一项的符号、项数容易出错； 时不能直接用公式；结果要用 代入原式验算。 【典例】 23．（解答题） （26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)数列满足，求数列的前99项的和的值． 【变式训练】 24．（解答题） （26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测） 已知数列满足，且为首项与公差相等的等差数列． (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求． 25．（解答题） （26-27高三上·四川绵阳·开学考试） 数列的前项和满足，等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 26．（解答题） （26-27高三上·黑龙江·阶段检测） 设数列的前项和为，，. (1)求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)令，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 题型六　分组并项求和（共6小题） 【知识积累】 分组求和：通项由等差部分与等比部分相加（或相减）组成时，拆成两组分别求和再合并；若等比部分带 ，按 的奇偶分组。 并项求和：形如 的项，把相邻两项配成一组，先算每组的结果，再按项数是否为偶数讨论；周期数列按一个周期的和分组，余项单独相加。 奇偶项与绝对值：奇偶项分段给出的数列，先分别写出奇数项、偶数项的通项；含绝对值的数列先判断各项正负，找到变号的分界点，再分段去绝对值求和。 插入项分组：新数列由两个数列穿插组成时，先数清每一段中两个数列各有多少项，再分别用等差、等比求和公式，最后相加；注意“到 之前”是否包含端点。 【典例】 27．（单选题） （26-27高三上·云南昭通·阶段检测） 已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（     ） A．59 B．60 C．61 D．62 【变式训练】 28．（多选题） （26-27高三上·江苏盐城·阶段检测） 记为数列的前n项和．已知n为奇数时，n为偶数时，则（    ） A．2026是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前n项和小于 29．（多选题） （26-27高三上·山东青岛·阶段检测） 已知是首项为1的等差数列，是首项为2的等比数列，满足，，成等差数列，．将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，在与之间插入项中的项，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，新数列中之前（不包括）所有项的和记为，若，符号表示不超过的最大整数，下列说法中正确的是（     ） A．， B． C． D．使得成立的最大正整数 30．（解答题） （26-27高三上·陕西西安·阶段检测） 记为数列的前项和，是首项与公差均为的等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和 31．（解答题） （2026·吉林长春·模拟预测） 已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 32．（解答题） （26-27高三上·湖南长沙·阶段检测） 已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $