解题大招44 求ω取值范围的秒杀技——卡根法（7大题型）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“卡根法”为核心，系统整合三角函数图像性质与二级结论，构建“性质-结论-题型”三维解题体系，培养逻辑推理与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|4个核心知识点|周期、单调性等二级结论|从基础图像变换到性质拓展，形成“φ/ω/A影响-性质对比-结论推导”链条| |题型|7题型+20+跟踪训练|定值/单调性/对称性等7类卡根策略，子集法/周期性法等技巧|题型覆盖高考高频考法，典例精选真题，实现“方法-题型-考点”精准对应|

解题大招44 求取值范围的秒杀技 ——卡根法 知识点01 正弦函数与的图象性质关系 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以通过下列两种方式得到：(1) (2) 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别。类比可以得到：，的图像 定理：则平移单位为（注意平移方向） 知识点02 正弦函数与的图象性质关系 周期 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点03 余弦数与的图象性质关系 周期 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点04 与周期有关的二级结论（非常重要） 由于函数,(的最小正周期T与ω满足，所以求ω的取值范围显然与函数的周期有关，故熟记以下与周期有关的二级结论，有时能速解相应的求ω的取值范围的问题(以下. (1)若函数或若在区间上单调，则. (2)若函数或的图象有两条对称轴， 则. (3)若函数或的图象的其中两个对称中心分别为，则. (4)若函数或的图象的其中一条对称轴为直线,一个对称中心为点，则. (5)函数的图象的两条渐近线间的距离为，两个对称中心间的距离为，一条渐近线与一个对称中心间的水平距离为. 题型01 为定值卡根 1.这类题型所求的不是的取值范围，而是求的值，即为定值，求解策略如下： 找出给定区间[a,b]的宽度|b-a|与函数周期nT的关系，建立关于的方程，解方程即得所求. 2.熟记以下二级结论，它们往往是列出关于方程的重要关系式： (1)正弦型、余弦型函数图象的任意两条对称轴（或两个对称中心）之间的间距为；最大值与最小值的水平间距为． (2)正弦型、余弦型函数图象的任意对称轴与对称中心之间的间距为；以上情况当时取得最小值． (3)正切型函数图象的两条渐近线间的距离为，两个对称中心间的距离为，一条渐近线与一个对称中心间的水平距离为. 【典例1】（2019•新课标II）若，是函数两个相邻的极值点，则（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】，是函数两个相邻的极值点， 故， ，故选． 【解后反思】极值点实质是正弦型函数的最值点,故可转化为周期来卡根，求得的值. 【跟踪训练】 1.（2026高三·全国·专题练习）记函数的最小正周期为T，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 可得， 又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且， 所以，即，可得， 解得，由，可得，，即， 所以． 2．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】函数 ，代入点，得：. 解得 或 . 若，则，解得，即, 若，则，解得，即, 极值点出现在处,当时，, 当，时，，此区间内无，满足无极值点条件, 当，时，，此区间内存在，有极值点, 其他选项验证均不满足条件. 综上，. 3．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（  ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，，解得 因为，所以，， 又因为，所以函数关于对称， 所以，解得， 又，所以，. 题型02 结合单调性卡根 1．通常在固定的一两个周期内，给予单调性的限定或者值域的限定，对或者会有一个区间限定，此类型题就是要卡住两个临界点，通常可以找出的范围，再推导至当中. 常见的卡根数学语言转化如下： (1) 在区间或区间[a,b]内单调且，; (2)在区间内单调且，; (3) 在区间内单调且，; 2.已知单调性求参数 的范围的具体策略有以下三种： (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解. (2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. (3)周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解. 【典例2-1】(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π 【答案】C 【详解】解法一(子集法）：(因为f(x)＝cosx－sinx＝，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤，因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以所以0<a≤，从而得a的最大值为。故选A. 解法二（反子集法+导数法）：因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象可知有解得0<a≤，所以a的最大值是，故选A. 【典例2-2】（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的取值范围，根据余弦函数的单调性列出不等式即可求解. 【详解】令，因为，且，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减， 则，解得，所以的取值范围为. 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，从而求出答案 【详解】对都有，故， 即，， 故，，解得，， 在上单调，，故，解得， 故，解得， 因为，所以， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故. 2．（25-26高三上·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过整体代换法，令给定区间内产生的相位范围成为余弦函数基本单调递增区间的子集，联立求解不等式组得出的取值范围. 【详解】设，， 由题意得， 即，， ，， 联立得，其中且，解得， 所以，. 3．（25-26高三上·河南南阳·期中）若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据给定条件可得在上单调，再按的正负情况分类，利用正切函数单调区间列式求解. 【详解】由对任意，都有函数在上单调， 得函数在上单调， 当时，是常数函数，不单调，不符合题意； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 所以的取值范围为. 题型03 结合对称性卡根 根据对称性卡根的原理如下： (1)若函数或的图象有两条对称轴， 则. (2)若函数或的图象的其中两个对称中心分别为，则. (3)若函数或的图象的其中一条对称轴为直线,一个对称中心为点，则. (4)函数的图象的两条渐近线间的距离为，两个对称中心间的距离为，一条渐近线与一个对称中心间的水平距离为. 【典例3】（2016•新课标高考Ⅰ）已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，上单调，则的最大值为（ ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】 B 【详解】为的零点，为图象的对称轴，，即，即，，即为正奇数， 法一：在，上单调，则，即，解得；当时，，，，，此时由于对称轴，当时，，在，不单调，不满足题意；当时，，，，，此时在，单调，满足题意；故的最大值为9，故选． 法二：作图卡根，由于，故（图1），（图2），故，由于，的最大值为，故选． 图1 图2 【解后反思】关于卡根法，通常先进行的形式控制，即来卡住形式，再利用三点控制，任意相邻区间卡住半周期，通常是一边大于半周期，另一边小于半周期，如果发现卡住的空间太大，再考虑整个周期的卡根，这样大大简化了计算． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·北京·期末）设函数（），若对于任意的，都有，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简函数解析式，结合周期可得为正整数，利用对称轴可得答案. 【详解】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 2．（25-26高三上·江苏南京·期末）已知点是函数的对称中心，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先将函数化简为辅助角形式，利用正弦函数对称中心的相位性质代入求解ω的表达式，匹配选项即可. 【详解】利用辅助角公式将函数变形：, 则是的对称中心，说明当时，相位满足：, 整理等式：, 当时，. 3．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数的图象的一个最高点和最低点的坐标分别为，，则的值可能为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由条件结合正弦型函数性质可得，再结合关系可得结论. 【详解】由题可知，其中为函数的最小正周期， 故，故，时，，故的值可能为6. 题型04 结合图象平移卡根 1.常见考法：平移后重合、对称、对称轴重合等，核心是“平移量与周期成倍数关系”。 2.通用流程 (1)定：用整体代换求的区间； (2)列关系：结合单调性、对称性等性质，建立的不等式； (3)解：解不等式并结合、整数赋值； (4)验端点：排除不符合题意的边界值. 【典例4】（2025·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角函数图象平移规则得到平移后的函数解析式，再结合图象关于轴对称的相位特征列方程，求解的最小值． 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为， 因为的图象关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值． 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】平移后，， 所以. 所以，因为，所以最小值为. 所以. 故选：B 2．（25-26高三上·江西·期末）将的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上没有对称中心，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过图象变换得到的解析式，再根据的范围结合正弦函数的图象即可求解． 【详解】将的图象先向右平移个单位长度，得到的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象， 由，得， 因为的对称中心满足， 所以不含任何， 所以，解得， 因为，所以令，得，令，得， 所以的取值范围是． 3．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换求出，进而求出其单调递增区间，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，， 由，得，又函数在上单调递增， 而函数的单调递增区间为， 因此，则， 解得，而，所以. 故选：B 题型05 结合函数最值或值域卡根 1．任意正弦型或余弦型函数最大值与最小值的水平间距为． 2．若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解. 【典例5-1】函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A． B．， C． D． 【答案】A 【详解】如图，根据余弦函数的值域为时，，，，又，故右边区间卡根位于范围内，即，，故选． 【反思】定义域从零开始的函数往往都是开始的周期，故直接用五点法进行相应位置卡根，我们可以参考下一题也是如此． 【典例5-2】（25-26高三上·海南海口·期末）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的范围，根据题意得到不等式，求出答案 【详解】时，， 因为在上有最大值没有最小值， 所以，解得 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的最值性质，结合正弦型函数的周期性进行求解即可. 【详解】当时，因为，所以， 因为函数在区间内没有最小值， 所以有或， 由， 当时，，而，所以， 当，时，因为，所以不等式组的解集为空集； 由， 当时，， 当，时，因为，所以不等式组的解集为空集， 综上所述：的取值范围为. 2．（25-26高三上·广东广州·期末）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再求出取最值时自变量的值，将问题转化为存在两个连续整数使得，即可求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以，则， 令，得， 因为在上有且只有两个最值点， 所以存在两个连续整数使得，即， 则，得， 故的取值范围是. 3．（25-26高三上·北京·期末）已知函数，其中是常数. ①若，则的最大值是___________； ②若且的最大值是，则的一个取值为___________. 【答案】 （答案不唯一) 【分析】①利用二倍角公式将函数转化为关于的二次函数，结合正弦函数值域和二次函数性质求最大值；②展开两角和的正弦公式合并后，利用的最值性质列方程求解 【详解】①当时，， 令，因为，所以，函数转化为二次函数， 该二次函数开口向下，对称轴为， 故当时取得最大值： . ②当时， ， 由题知的最大值为，所以 化简： ， 解得，即，取得为其中一个符合要求的取值. 题型06 结合函数零点或方程的根卡根 1．注意理解并记忆以下二级结论： (1)函数在区间内没有零点且，； 同理，在区间内没有零点且， (2)函数在区间内没有零点且，（图2）； 同理，在区间内没有零点且，. 2．三角函数两个相邻零点之间的水平间隔为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围. 【典例6-1】(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由题意可得ω＞0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，知＜πω＋≤3π，得＜ω≤，即实数ω的取值范围为.故选C. 【典例6-2】(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　. 【答案】[2，3) 【详解】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cos t的图象(如图)可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3，即ω的取值范围为[2，3). 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知进行换元，令，再结合余弦函数图象求解即可. 【详解】因为，且， 令，则， 即在上有三个零点， 由余弦函数图象知，即， 解得. 2．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求的最小值. 【详解】因为，所以， 要使最小，需满足区间包含且仅包含这一个正弦函数的零点，即满足，解得，所以. 3．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】首先根据辅助角公式，确定函数的最值，再结合条件确定函数的最小正周期，即可求解. 【详解】，函数的最大值为，最小值为， 若，则都为最大值点，或都为最小值点， 所以是函数的最小正周期，所以，得. 题型07 综合运用多条性质卡根 结合零点、对称轴、单调性等等综合性质求 的取值范围 1.标准化简：通过三角恒等变换，将解析式整理成一角一函数的形式； 2.结合性质列式：如零点处对应函数值为0，单调性要求整体角度落在标准三角函数的对应单调区间内,正弦、余弦型函数图象对称轴过图象的最高或最低点，等等. 3.定参验证：结合给定x的区间边界、整数k的取值约束解不等式，最后验证端点值是否满足题目条件. 【典例7】（25-26高三上·湖北宜昌·阶段检测）已知函数，，直线为图象的一条对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数的最小正周期为，根据正弦型函数的对称性可得出，可求出的表达式，然后结合正弦型函数的单调性得出，可求出的可能取值，然后对的取值由大到小进行分类讨论，确定的取值，根据以及的取值范围可得出的值，可得出函数的解析式，再结合正弦型函数的单调性检验即可. 【详解】因为，由题意可知，点为函数的一个对称中心， 设函数的最小正周期为， 又因为直线为图象的一条对称轴，则， 即，解得， 又因为在上单调，则，可得，解得， 所以，解得， 又因为，故， 当时，，此时， 所以， 因为，所以，则，可得， 此时， 当时，， 此时函数在上不单调，不符合题意； 当时，，此时， 所以， 因为，所以，则，可得， 此时， 当时，，此时函数在上单调递减，符合题意. 综上所述，的最大值为. 【跟踪训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值． 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为的零点，为的对称轴，且在单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且.结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即，所以，即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，， 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，， 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】由零点与对称轴的位置关系推出为正奇数， 再根据单调区间长度得，逐一排除使区间内出现对称轴的情况即可求解. 【详解】由题意得， 两式相减得， 整理得，所以为正奇数， ，解得，所以， 已知为对称轴，且余弦函数对称轴之间的距离为， 所以对称轴，若在区间上是单调函数， 则不存在整数使位于区间， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时， 区间内没有对称轴，满足单调性，故. 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知函数满足对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由函数满足对任意实数恒成立，所以是函数的一个周期， 设的最小正周期为，则，且， 所以，且，又，所以的最小值为2. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度y（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的最小正周期为， 又该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s， 则，解得. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的图象和性质，先求出的图象向左平移个单位长度的解析式，再由所得图象关于y轴对称即可求得. 【详解】由函数的最小正周期为π，得，所以， 将的图象向左平移个单位长度，得 ， 由于图象关于y轴对称，那么 , ,故的一个值是. 4．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出内层函数的取值范围，结合余弦函数的单调递增区间列不等式进行求解. 【详解】因为，， 令，则， 余弦函数的单调递增区间为， 因为在上单调递增， 因此区间需为某一单调递增区间的子集， 取时的递增区间为适配区间， 所以，解得，即的取值范围是. 5．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由正切函数的单调递增区间为，求得函数的单调递增区间为；再根据函数在上单调，得，从而得到不等式组，确定的取值，结合的条件，确定的最大值. 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 6．（2026·河北邯郸·二模）已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知性质得，再由区间单调性有，即可得. 【详解】由题设，则，即， 当，则， 由，则，且， 又函数在上单调递增， 所以，可得，故的最大值为. 7．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】通过换元转化为正弦函数的区间值域问题，采用选项代入验证法，直接检验各选项对应的区间内正弦函数的取值范围，快速筛选出符合条件的值. 【详解】设，由且，得， 此时的值域为等价于. 将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A错误； 当时，，的最大值为（时），最小值为（时）， 故，符合条件，故B正确； 当时，，的最大值为，，不满足值域条件，故C错误； 当时，，的最大值，则，不符合值域条件，故D错误.. 8．（25-26高三上·内蒙古·期中）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，然后对最小正周期进行分析即可求解. 【详解】，因为，所以是的最小正周期的整数倍， 即，其中，解得：，即：为正偶数； 在上存在零点，即：存在，使得：成立， 所以，其中，当，，要使区间内存在， 只需，解得：，又因为为正偶数，所以最小值为4. 9．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】通过辅助角公式化简函数解析式，由函数对称轴建立方程求得，然后由在上无最值求得范围，从而求得答案. 【详解】， 由题意可知是方程的一个解， 即，∴， 当时，， 由题意可知，所以， ∴当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，舍去， 所以或 10.（2017•天津）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】的最小正周期大于，得，又，，得，， 则，即．对比图像可知当时取得最大值，故时，当 ， ．故选． 11．（2026·湖北武汉·三模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则满足条件的的取值个数为（    ） A．3个 B．5个 C．7个 D．无穷多个 【答案】B 【分析】首先求出，然后化简后代入不等式，令可得，必为整数，对任意整数，有恒等式求解即可. 【详解】因为不等式对任意恒成立，令，此时右边， 故恒成立。 取得，结合，得， 代入得： ， 原不等式化为对任意恒成立， 令，代入得，因此，故必为整数（）. 对任意整数，有恒等式： 若：，满足不等式， 符合条件的整数为：，共5个； 若：存在使得， （例如，取，可得，不满足），舍去. 综上，满足条件的的取值个数为5个. 12．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知函数且，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上仅有两个零点和两个最值点，则实数的取值可以为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先平移得出，利用换元法求出函数的零点为，最值点为，结合“仅有两个零点和两个最值”构造不等式求出的范围，进而判断选项． 【详解】的图象向右平移得到， 令， 当时，， 记右端点，则在上仅有2个零点，2个最值点， 最值点，，在范围内依次为， 零点，，在范围内依次为， 要同时满足“仅有2个零点，2个最值点”， 则2个最值点仅包含，即， 2个零点包含，即， 故，，故，解得， ，故C正确． 13．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数（，），若满足条件：，，且在上单调，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦函数图象的性质即可求解. 【详解】已知函数（，）， 因为，所以的图象关于点中心对称， 则有， 又因为，所以的图象关于直线对称， 则有， 因此，化简得， 则是一个奇数， 又因为在上单调，所以，解得， 根据选项，的可能取值为， ①当时，则有，解得，由于，所以， 此时，则，解得， 当时，，函数在不单调，因此不符合题意， ②当时，则有，解得，由于，所以， 此时，则，解得， 当时，，函数在单调递增，因此符合题意， 因此，则的最大值为，故D正确. 二、多选题 14．（2026·甘肃·模拟预测）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 B．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为 C．若函数在上单调递增，则的取值范围是 D．若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A，结合余弦函数的性质可得，进而结合余弦型函数的周期公式求解判断即可；对于B，先根据函数的平移求得函数解析式，再根据余弦函数的奇偶性判断即可；对于C，根据余弦函数的单调性列不等式组求解判断即可；对于D，结合余弦函数的图象、极值点、零点的定义求解判断即可. 【详解】对于A，因为函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为， 所以，则，即，故A错误； 对于B，将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 因为所得函数图象关于原点对称，所以， 则，又，则时，取得最小值，故B正确； 对于C，当，时，， 因为函数在上单调递增， 所以，，则，， 又，则，，即的取值范围是，故C错误； 对于D，当，时，， 因为函数在上恰有两个极值点和三个零点， 所以，则， 即的取值范围是，故D正确. 15．（24-25高三上·陕西·期中）已知，函数，下列选项正确的有（   ） A．若，则的最小正周期 B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 C．若在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】由余弦函数周期的公式判定A；利用三角函数的图象变换判定B；由余弦函数及单调性，列出不等式组，求得的范围判定C；由零点情况，列出不等式组，求得的范围判定D． 【详解】对于A，，的最小正周期，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，当时，，由在区间上单调递增， 得，解得， 又，当且仅当时，此不等式有解，即，C正确； 若对于D，当时，，由在上只有一个零点， 得，解得，D错误. 故选：AC 16．（2025年全国高考名校名师联席命制数学押题卷（四））已知函数在区间上单调，其中为大于1的正整数，若是的一个零点，，则（    ） A． B． C． D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数在区间上单调，可得，即可求出的值，再根据是的一个零点，检验即可得出，即可判断ABC；再根据平移变换的原则结合三角函数的奇偶性即可判断D. 【详解】函数在区间上单调， 所以最小正周期，所以，即， 因为为大于1的正整数，所以， 因为是的一个零点， 所以，，即，， 当时，，， 因为，所以， 所以，，符合题意； 当时，，， 因为，所以， 故，不符题意，故AB正确，C错误； 将的图象向右平移个单位长度， 此时图象对应的函数为， 又，且的定义域为， 所以为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 17．（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 18．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 【答案】/ 【详解】对任意，成立，则的图象关于对称， 所以，则， 所以，而，故最小为. 19．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 【答案】2 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 20．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由二次函数单调性可知对称轴在的右侧，可解. 【详解】， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 若函数在上单调递减， 则，即，又 ， 所以. 21．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知函数（）在区间上恰有两个零点和两个最大值点，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用二倍角与辅助角公式将函数化为正弦型，换元后根据零点与最大值点分别对应正弦取与，按给定区间内恰有两次出现建立端点的限制不等式，取交集得参数范围. 【详解】利用二倍角公式和辅助角公式化简得 ， 当，时，令，则. 题目要求恰有两个零点，恰有两个最大值点. 零点满足，即，的解为， 要恰有2个解，需，解得. 最大值点满足，的解为， 要恰有2个解，需，解得. 两个范围的交集为，即的取值范围是. 22．（辽宁五校联考2025-2026学年高三上学期期末数学试卷）已知，，设，若对每个实数，的元素不超过2个，且存在使有2个元素，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据条件求出，再由的元素不超过2个，且存在使有2个元素求出的取值范围. 【详解】由，， 可得对任意恒成立，因此， 即 ， 故， 因为的元素不超过2个，且存在使有2个元素， 所以. 所以的取值范围是. 23．（2026高三下·重庆·竞赛）已知函数的图象与直线在区间上恰有3个交点，从左往右依次为，，，且，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：令， 设，． 在轴上，解依次为，，，，… 由于恰有 个交点，这三个解必须在范围内，则第四个解必须在范围外， 因此. 由题可知，即， 所以， 解得． 于是， 故． 将代入，得， 所以，因此． 24．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，且、对任意的实数恒成立，且在上单调，则的最大值为________． 【答案】1 【分析】由函数的图象关于直线和点对称可得：，即，代入、、检验即可求解. 【详解】因为两个等式：，对任意的实数恒成立， 所以的图象关于直线和点对称，所以. 因为,所以. 因为在上单调，所以，即，所以. 当时，，因为对任意的实数恒成立， 所以，整理得， 即. 又因为，所以，即. 经验证，在上不单调； 当时，同理得，又因为，所以，即. 经验证，在上不单调； 当时，同理可得，又因为，所以，即. 经验证，在上单调. 综上所述，的最大值为1. 25．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，其中.若，且在区间上单调，则______. 【答案】 【分析】根据，得到或，根据在区间上单调及余弦型函数性质得到，进一步判断求解即可. 【详解】由，得， 则 . 所以或， 解得或. 令，，则，， 单调递减区间为， 同理可得，单调递增区间为. 因为在区间上单调， 所以或. 又， 当时，或， 当时，或， 故，所以，解得. 情况1：，当时，，符合条件；当时，，不符合条件； 情况2：，当时，，不符合条件， 综上，. 验证：当时，， ，，满足； 当时，，又在上单调递减，所以也满足题意. 因此，. 26．（2026·河南濮阳·二模）已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 【答案】3 【分析】先根据条件利用余弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在上单调，可得，检验可得它的最大值． 【详解】 函数，为的零点，为图象的对称轴，，且， 相减可得， 即，，即为奇数． 在单调，， ，故奇数的最大值为． 当时，， ，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，， ，， 此时在上不单调，不满足题意． 当时，， ，， 此时在上单调递减，满足题意； 故的最大值为. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招44 求取值范围的秒杀技 ——卡根法 知识点01 正弦函数与的图象性质关系 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以通过下列两种方式得到：(1) (2) 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别。类比可以得到：，的图像 定理：则平移单位为（注意平移方向） 知识点02 正弦函数与的图象性质关系 周期 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点03 余弦数与的图象性质关系 周期 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点04 与周期有关的二级结论（非常重要） 由于函数,(的最小正周期T与ω满足，所以求ω的取值范围显然与函数的周期有关，故熟记以下与周期有关的二级结论，有时能速解相应的求ω的取值范围的问题(以下. (1)若函数或若在区间上单调，则. (2)若函数或的图象有两条对称轴， 则. (3)若函数或的图象的其中两个对称中心分别为，则. (4)若函数或的图象的其中一条对称轴为直线,一个对称中心为点，则. (5)函数的图象的两条渐近线间的距离为，两个对称中心间的距离为，一条渐近线与一个对称中心间的水平距离为. 题型01 为定值卡根 1.这类题型所求的不是的取值范围，而是求的值，即为定值，求解策略如下： 找出给定区间[a,b]的宽度|b-a|与函数周期nT的关系，建立关于的方程，解方程即得所求. 2.熟记以下二级结论，它们往往是列出关于方程的重要关系式： (1)正弦型、余弦型函数图象的任意两条对称轴（或两个对称中心）之间的间距为；最大值与最小值的水平间距为． (2)正弦型、余弦型函数图象的任意对称轴与对称中心之间的间距为；以上情况当时取得最小值． (3)正切型函数图象的两条渐近线间的距离为，两个对称中心间的距离为，一条渐近线与一个对称中心间的水平距离为. 【典例1】（2019•新课标II）若，是函数两个相邻的极值点，则（ ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪训练】 1.（2026高三·全国·专题练习）记函数的最小正周期为T，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 2．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（  ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 题型02 结合单调性卡根 1．通常在固定的一两个周期内，给予单调性的限定或者值域的限定，对或者会有一个区间限定，此类型题就是要卡住两个临界点，通常可以找出的范围，再推导至当中. 常见的卡根数学语言转化如下： (1) 在区间或区间[a,b]内单调且，; (2)在区间内单调且，; (3) 在区间内单调且，; 2.已知单调性求参数 的范围的具体策略有以下三种： (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解. (2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. (3)周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解. 【典例2-1】(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π 【典例2-2】（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南南阳·期中）若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 题型03 结合对称性卡根 根据对称性卡根的原理如下： (1)若函数或的图象有两条对称轴， 则. (2)若函数或的图象的其中两个对称中心分别为，则. (3)若函数或的图象的其中一条对称轴为直线,一个对称中心为点，则. (4)函数的图象的两条渐近线间的距离为，两个对称中心间的距离为，一条渐近线与一个对称中心间的水平距离为. 【典例3】（2016•新课标高考Ⅰ）已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，上单调，则的最大值为（ ） A．11 B．9 C．7 D．5 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·北京·期末）设函数（），若对于任意的，都有，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏南京·期末）已知点是函数的对称中心，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数的图象的一个最高点和最低点的坐标分别为，，则的值可能为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型04 结合图象平移卡根 1.常见考法：平移后重合、对称、对称轴重合等，核心是“平移量与周期成倍数关系”。 2.通用流程 (1)定：用整体代换求的区间； (2)列关系：结合单调性、对称性等性质，建立的不等式； (3)解：解不等式并结合、整数赋值； (4)验端点：排除不符合题意的边界值. 【典例4】（2025·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江西·期末）将的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上没有对称中心，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 题型05 结合函数最值或值域卡根 1．任意正弦型或余弦型函数最大值与最小值的水平间距为． 2．若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解. 【典例5-1】函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A． B．， C． D． 【典例5-2】（25-26高三上·海南海口·期末）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东广州·期末）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·期末）已知函数，其中是常数. ①若，则的最大值是___________； ②若且的最大值是，则的一个取值为___________. 题型06 结合函数零点或方程的根卡根 1．注意理解并记忆以下二级结论： (1)函数在区间内没有零点且，； 同理，在区间内没有零点且， (2)函数在区间内没有零点且，（图2）； 同理，在区间内没有零点且，. 2．三角函数两个相邻零点之间的水平间隔为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围. 【典例6-1】(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【典例6-2】(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型07 综合运用多条性质卡根 结合零点、对称轴、单调性等等综合性质求 的取值范围 1.标准化简：通过三角恒等变换，将解析式整理成一角一函数的形式； 2.结合性质列式：如零点处对应函数值为0，单调性要求整体角度落在标准三角函数的对应单调区间内,正弦、余弦型函数图象对称轴过图象的最高或最低点，等等. 3.定参验证：结合给定x的区间边界、整数k的取值约束解不等式，最后验证端点值是否满足题目条件. 【典例7】（25-26高三上·湖北宜昌·阶段检测）已知函数，，直线为图象的一条对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为的零点，为的对称轴，且在单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知函数满足对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 2．（25-26高三·全国·一轮复习）2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度y（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 6．（2026·河北邯郸·二模）已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 8．（25-26高三上·内蒙古·期中）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 10.（2017•天津）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则（ ） A．， B．， C．， D．， 11．（2026·湖北武汉·三模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则满足条件的的取值个数为（    ） A．3个 B．5个 C．7个 D．无穷多个 12．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知函数且，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上仅有两个零点和两个最值点，则实数的取值可以为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数（，），若满足条件：，，且在上单调，则的最大值为 A． B． C． D． 二、多选题 14．（2026·甘肃·模拟预测）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 B．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为 C．若函数在上单调递增，则的取值范围是 D．若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是 15．（24-25高三上·陕西·期中）已知，函数，下列选项正确的有（   ） A．若，则的最小正周期 B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 C．若在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是 16．（2025年全国高考名校名师联席命制数学押题卷（四））已知函数在区间上单调，其中为大于1的正整数，若是的一个零点，，则（    ） A． B． C． D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数 三、填空题 17．（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 18．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 19．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 20．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为__________. 21．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知函数（）在区间上恰有两个零点和两个最大值点，则的取值范围是___________. 22．（辽宁五校联考2025-2026学年高三上学期期末数学试卷）已知，，设，若对每个实数，的元素不超过2个，且存在使有2个元素，则的取值范围是________. 23．（2026高三下·重庆·竞赛）已知函数的图象与直线在区间上恰有3个交点，从左往右依次为，，，且，则的取值范围为________． 24．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，且、对任意的实数恒成立，且在上单调，则的最大值为________． 25．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，其中.若，且在区间上单调，则______. 26．（2026·河南濮阳·二模）已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $