2027届高三物理一轮复习讲义：专项三 曲线运动 平抛运动与圆周运动

高考物理一轮复习专项突破训练讲义 专项三　曲线运动：平抛运动与圆周运动 一、专项导航 1.高考定位 项目 内容 考查形式 选择题 1 题，或计算题中的一段过程（平抛作为多过程的衔接） 分值权重 6~12 分，是带电粒子在电场、磁场中偏转的直接前身 命题角度 平抛的分解与斜面约束、圆周运动的临界、水平面内圆周的临界摩擦 学科地位 “运动的合成与分解”是曲线运动唯一的思想方法，也是全部二维运动的通用工具 学习目标　一是能把任意曲线运动拆成两个直线运动；二是能熟练处理平抛的“时间由高度定、水平由初速定”；三是能准确指出向心力的施力物体，并用“供需关系”判断临界。 二、真题感知 1. 真题精析 例 1（2026·江苏·高考真题）如图所示，运动员从点击打排球，排球以、、的速度水平飞出，分别落在对方端线上的、、三点，若不计空气阻力，则（　　） A． B． C． D． 例 2（2026·广东·高考真题）如图所示，在光滑的水平地面上，P、Q、M、N四个质量相等的小球通过两根不可伸长的轻绳相连，P、Q间的绳长为，M、N间的绳长为，两绳相交于各自的中点，四球以相同角速度ω绕固定的点做匀速圆周运动，已知，P、Q的向心加速度大小均为，M、N的向心加速度大小均为，四球均可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的有（     ） A． B． C．P的线速度大小为 D．轻绳对四球的拉力大小相等 例 3.．（2026·江苏·高考真题）如图所示，质量为的汽车驶上圆弧半径为的拱形桥，通过桥的最高点时汽车速度大小为，牵引力为，所受阻力为。g取。求在桥面最高点处，汽车 (1)向心加速度大小； (2)所受合力的大小。 2.命题规律小结 其一，平抛几乎年年出现，且多以“斜面”“台阶”“球网”等约束形式出现，考查分解思想。 其二，圆周运动的临界是选择题常客，竖直平面内的绳模型、杆模型，水平面内的转盘与圆锥摆。 其三，关联速度（绳、杆）考查频次下降但仍是易错点，本质是“沿绳方向速度相等”。 其四，平抛与圆周常组合成大题：先平抛进入圆轨道，再在竖直圆内运动，考“最高点不脱离”。 三、考点透视 1.知识网络 主线：曲线运动的条件 → 运动的合成与分解 → 平抛（匀变速曲线）→ 圆周运动（变加速曲线）。 运动 受力特征 处理方法 关键结论 曲线运动 合力与速度不共线 分解为两个直线运动 合力指向轨迹凹侧 平抛 只受重力 水平匀速 + 竖直自由落体 t 由 h 定，x = v₀t 匀速圆周 合力大小恒定、指向圆心 向心力方程 F = mv²/r = mω²r 变速圆周 合力沿半径分量提供向心力 沿半径列向心力方程 竖直圆最高点、最低点 三大向心力公式：F = mv²/r = mω²r = m(4π²/T²)r，另有 v = ωr、ω = 2π/T。 2. 核心考点清单 序号 考点 要求 常见考法 1 曲线运动的条件与轨迹判断 Ⅱ 合力方向与轨迹弯曲方向 2 运动的合成与分解 Ⅱ 小船渡河、关联速度 3 平抛运动的规律 Ⅱ 时间、射程、落地速度、速度偏角 4 斜面与界面约束的平抛 Ⅱ 落在斜面上、垂直打入斜面 5 圆周运动的向心力来源 Ⅱ 圆锥摆、转盘、转弯、竖直圆 6 竖直平面圆周的临界 Ⅱ 绳模型（最高点 v ≥ ）、杆模型（v ≥ 0） 7 水平面内圆周的临界 Ⅱ 静摩擦达最大、绳被拉直 3.六个高频易错点辨析 易错一：认为“曲线运动一定是变加速运动”。正解：平抛是曲线运动但加速度恒为 g，属匀变速曲线运动；匀速圆周才是变加速（加速度方向不断变化）。 易错二：把“速度偏角”与“位移偏角”混为一谈。正解：平抛中 tanα（速度偏角）= 2tanβ（位移偏角），且两者方向不同。落在斜面上看位移角，垂直撞击看速度角。 易错三：认为向心力是“一个新的力”。正解：向心力是效果力，由重力、弹力、摩擦力、电场力等实际力提供，受力分析中绝不能多画一个“向心力”。 易错四：竖直圆最高点一律用 v = 。正解：绳模型（只能拉）最高点最小速度 ；杆模型（可支持）最高点最小速度为 0。判断依据是“能否提供向上的支持力”。 易错五：认为“匀速圆周运动合力为零”。正解：匀速圆周速度大小不变但方向不断变化，合力不为零，且始终指向圆心。 易错六：关联速度中把“船的速度”当成“沿绳的速度”。正解：应把物体的实际速度分解到沿绳和垂直绳两个方向，沿绳方向的分量相等，即 v绳 = v物 cosθ。 四、方法点拨 题型一　运动的合成与分解：关联速度 步骤：确定物体的实际运动方向（合速度）→ 把合速度分解为沿绳（杆）和垂直绳（杆）两个分量 → 沿绳分量相等 → 列式求解。 例 4惠州荃湾港区码头常用货车吊运货物，如图所示，水平地面上货车匀速向左运动，通过不可伸长的轻绳和定滑轮提升重物，下列说法正确的是（     ） A．物体处于失重状态 B．物体向上做匀速直线运动 C．物体上升速度小于货车的行驶速度 D．货车水平方向只受牵引力和摩擦力，二力平衡 【变式训练】如图所示，A球在固定斜面上，B球在水平面上，两球用轻杆连接，由静止释放两球，A球沿斜面向下运动，某时刻杆与斜面的夹角为α，杆与水平面夹角为θ，则这时A、B两球的速度大小之比为（     ） A． B． C． D． 题型二　平抛运动的两类约束 通用步骤：分解 → 找约束（落在某面、垂直某面、经过某点）→ 用约束建立方程 → 解时间 → 求其余量。 例 5.如图所示，斜面与水平方向的夹角为，在点正上方与等高处以水平初速度抛出一小球，小球以垂直斜面的速度落到点，已知重力加速度大小为，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．小球运动的位移与竖直方向的夹角为 B．小球运动的时间为 C．小球落到点的速度为 D．与的长度之比为 【变式训练】如图所示，一物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足；设想分别把一物体以水平方向初速和抛出，均落至斜面，根据以上信息可以判断物体从抛出到落至斜面所用时间、水平位移比值（     ） A． B． C． D． 题型三　水平面内的圆周运动 关键：向心力由静摩擦力、绳的拉力、重力的分力等提供，先找施力物体，再列方程。 例 6.四个完全相同的小球、、、均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球、在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向的夹角相等（连接D球的绳较长），则下列说法不正确的是（　　） A．小球A、B线速度大小相等 B．小球A、B周期相等 C．小球C、D各自受到绳的拉力大小相等 D．小球D线速度比C的大 例 7.如图甲所示，水平圆盘可绕着竖直轴转动，长度为10 cm的细线一端与转轴连接，另一端连接质量为1 kg的物体。已知细线能承受的最大拉力为8 N，初始时，细线刚好伸直且与圆盘平行，物体与圆盘的动摩擦因数为0.25，重力加速度大小取10 m/s2。现让圆盘的角速度ω按图乙变化，则（     ） A．ω=5 rad/s时，细线拉力不等于0 B．ω=2 rad/s，物体受到的摩擦力大小为0.4 N C．ω=10 rad/s时，细线承受的拉力最大 D．细线断裂前摩擦力的方向始终指向圆心 题型四　竖直平面内的圆周运动 模型 最高点受力 最高点最小速度 判据 绳模型（绳、内轨道、水流星） 重力 + 绳的拉力（只能向下） v min = 拉力不能为负 杆模型（杆、双轨道、管道） 重力 + 杆的弹力（可向上可向下） v min = 0 支持力可抵消重力 例 8.如图1所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图2所示。下列说法中不正确的是（     ） A．根据图线可以得出小球的质量 B．根据图线可以得出重力加速度 C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更小 D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 【变式训练】如图所示，长为1m的轻质细杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为1kg的小球（视为质点）。小球在竖直平面内绕转轴O做圆周运动，通过最高点的速度大小为。忽略空气阻力，重力加速度大小，下列说法正确的是（     ） A．小球通过最高点时，对轻杆的作用力方向竖直向下，大小为6N B．小球通过最高点时，速度越大，对轻杆的作用力越大 C．若将轻杆换成等长的轻绳，小球从最高点以水平抛出，则抛出瞬间轻绳拉力为0 D．若将轻杆换成等长的轻绳，小球从最高点以水平抛出，则经，轻绳再次拉直。 点评　若把绳换成轻杆，最高点最小速度变为 0，此时杆对球的支持力等于重力。判断模型的关键是“能不能提供向上的支持力”，这一句话可解全部竖直圆问题。最低点则无论绳杆，都有 T − mg = mv²/L。 题型五　平抛与圆周的组合 处理原则：分段处理，衔接点的速度是“桥梁”——前一段的末速度就是后一段的初速度，大小和方向都要传递。 例 9.如图所示，一个质量为的小球（可视为质点）以某一初速度从点水平抛出，恰好从竖直放置的圆管的点沿切线方向进入管道，经从圆管的最高点飞出，恰好又落到点。已知圆管的半径为R，A与在同一水平线上，弧对应的圆心角，不计空气阻力，管道内径不计，重力加速度为。求： (1)小球在点对管道的压力大小； (2)小球第一次到达点时受管道的压力大小。 【变式训练】如图所示，竖直放置的光滑半圆轨道ABC右侧有一堵竖直的墙面，一质量的小球（视为质点）从最低点A以一定的初速度进入圆轨道，小球恰好能经过轨道最高点C，打到竖直墙面上的P点．已知轨道的半径，其A点与墙之间的距离，重力加速度g取，不计空气阻力．求： (1)小球通过C点时的速度大小； (2)小球打在P点时的速度大小和方向； (3)若小球经C点时对轨道的压力为15 N，打在墙面上的Q点（未画出），则P、Q点间的距离。 五、巩固练习 一、单选题 1．（2026·重庆·高考真题）2026年我国自主设计和制造的摩托车在世界大赛中多次夺冠，实现了历史性突破。如图所示，某次比赛中，骑手和车（整体视为质点）以一定速度经过拱形赛道最高点时，骑手和车（     ） A．向心加速度为零 B．速度越大向心力越小 C．所受支持力大于重力 D．所受重力与支持力的合力提供向心力 2．一质点在平面直角坐标系中运动，时，质点位于轴上某点，它沿方向运动的图像如图甲所示，它沿方向运动的图像如图乙所示。质点在时的速度大小为（     ） A． B．9m/s C．10m/s D．14m/s 3．（2026·江西·高考真题）某地需设计一额定功率为的水平轴风力发电机。在风速为、空气的密度为、发电机叶片的旋转平面与风向垂直，以及叶片转动形成圆面内的风能有转化为电能的条件下，发电机以额定功率工作。若叶片转速为，则该圆面的直径和叶片尖端的速度分别约为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．如图所示，在某次壁球训练时，运动员在同一位置以不同的角度斜向上发球，最后球都能恰好垂直击打在竖直墙面的不同高度。忽略空气阻力，关于球在这两次从飞出到恰好击打墙壁的运动过程，下列说法正确的是（     ） A．飞出时的初速度竖直分量不相等 B．在空中的时间相等 C．击打墙壁的速度相等 D．飞出时的初速度大小一定不相等 5．如图所示，表面光滑的圆锥体底面水平固定，长为的轻质细线一端固定在圆锥的顶点，另一端连接质量为的小球，细线与竖直方向的夹角为。小球随圆锥绕着轴线做圆周运动，角速度缓慢增大。重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小球静止时，圆锥面对小球的支持力为 B．小球刚要离开圆锥面时，小球的角速度为 C．小球刚要离开圆锥面时，细线对小球的拉力为 D．小球在圆锥面上做圆周运动时细线的拉力跟成正比 6．如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，轻质橡皮筋一端固定于转轴点，另一端与质量为的小物块（可视为质点）水平连接。初始时圆盘静止，橡皮筋的长度为，拉力大小为。现使圆盘从静止开始缓慢加速转动，其角速度用表示，下列说法正确的是（　　） A．随着增大，物块受到的摩擦力一直减小 B．若，则物块受到的摩擦力为零 C．若，则物块受到的摩擦力大小为 D．若，则物块一定相对圆盘向外滑动 7．（2026·广东·高考真题）如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·高考真题）如图1，网球运动员将球沿水平方向击出，球运动轨迹所在平面与球网面的夹角为，球恰好擦过球网上沿的点，图2为球运动轨迹在球网所在平面的投影，轨迹投影在点的切线与球网上沿的夹角为。已知击出时球的速度大小为，，重力加速度大小取，不计阻力，则击球点到球网面的距离为（     ） A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m 二、多选题 9．垂钓能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从位置被拉到位置，线与杆的结点保持不动。点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（     ） A．若该爱好者匀速收线，则鱼做加速运动 B．若该爱好者匀速收线，则鱼做减速运动 C．若该爱好者加速收线，则鱼做匀速运动 D．若该爱好者加速收线，则鱼做加速运动 10．如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，将一小球以大小为的速度从M点水平抛出，小球落在斜面上的N点，已知小球经过P点（未画出）时离斜面最远，下列说法正确的是（     ） A．P点速度的竖直分量为 B．小球从M到P与从P到N过程中速度改变量相同 C．P点是MN的中垂线与抛物线的交点 D．若小球初速度增大为原来的2倍，落到斜面上时的速度也变为原来的2倍 11．某同学将弹珠（可视为质点）放入玻璃杯中，将杯口朝下并快速摇晃玻璃杯，使弹珠沿杯壁内侧在水平面内做匀速圆周运动而不掉下来，如图所示。已知杯子内壁在弹珠运动区域可视为圆锥面，其母线与竖直方向的夹角保持不变，不计空气阻力和摩擦。下列说法正确的是（     ） A．圆轨道高度越高，弹珠速率越大 B．圆轨道高度越高，弹珠角速度越大 C．圆轨道高度越高，弹珠所受弹力越大 D．弹珠做圆周运动时，杯子对弹珠的作用力不做功 12．辽宁某海边码头，工人利用跨过定滑轮的轻质细绳拖拽斜面上的货物箱。质量m=20 kg的货物箱置于倾角θ1=53°的倾斜卸货坡道上，细绳与坡道表面平行；水平行驶的牵引车以恒定速率v=4 m/s水平向右运动。已知货物与坡道间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。某时刻牵引车与滑轮之间的细绳与水平方向的夹角θ2=37°，货物箱沿坡道向上运动，下列说法正确的是（ ） A．此时货物箱沿坡道向上的速度大小为2.4 m/s B．货物箱沿坡道向上做减速运动 C．此时细绳的拉力一定大于190 N D．若牵引车向右行驶，为使货物箱的速度保持不变，则牵引车的速度应不断减小 三、解答题 13．（2026·全国卷·高考真题）某同学从湖边山顶以的速度向湖中水平抛出一石块，经过4s石块落到水面，再经过石块撞击水面的声音传回到抛出点。若不计空气阻力，重力加速度大小取，求 (1)石块抛出点距湖面的高度； (2)石块落水点与抛出点之间的距离； (3)声速的大小。 14．如图所示，位于竖直平面内的质量为1.6kg、半径为0.5m的光滑环形细圆管固定在支架上，质量m1=1kg的小球A、m2=2kg的小球B的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径），某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为v1=1m/s，此时支架对圆管的弹力大小为32N，取重力加速度g=10m/s²，求此时B球的速度大小v2。 15．如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.8m，A端切线水平。水平轨道BC与半径r=0.5m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角。一质量为M=1kg的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，取g=10m/s2，，。 (1)若小球恰好能从A点飞出，水平轨道BC足够长，求小球落地点与B点的水平距离； (2)若小球从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，求①小球在A点对圆弧轨道的压力大小；②小球在C点受到的支持力的大小。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高考物理一轮复习专项突破训练讲义 专项三　曲线运动：平抛运动与圆周运动 一、专项导航 1.高考定位 项目 内容 考查形式 选择题 1 题，或计算题中的一段过程（平抛作为多过程的衔接） 分值权重 6~12 分，是带电粒子在电场、磁场中偏转的直接前身 命题角度 平抛的分解与斜面约束、圆周运动的临界、水平面内圆周的临界摩擦 学科地位 “运动的合成与分解”是曲线运动唯一的思想方法，也是全部二维运动的通用工具 学习目标　一是能把任意曲线运动拆成两个直线运动；二是能熟练处理平抛的“时间由高度定、水平由初速定”；三是能准确指出向心力的施力物体，并用“供需关系”判断临界。 二、真题感知 1. 真题精析 例 1（2026·江苏·高考真题）如图所示，运动员从点击打排球，排球以、、的速度水平飞出，分别落在对方端线上的、、三点，若不计空气阻力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】竖直方向上，根据自由落体运动公式，可得飞行时间 因为排球从同一高度抛出，且落在同一水平面上，所以三次飞行的时间相等。水平方向上，根据匀速直线运动公式，可得初速度 由图可知，排球的水平位移关系为，且已知飞行时间t相等，所以初速度满足 故选B。 例 2（2026·广东·高考真题）如图所示，在光滑的水平地面上，P、Q、M、N四个质量相等的小球通过两根不可伸长的轻绳相连，P、Q间的绳长为，M、N间的绳长为，两绳相交于各自的中点，四球以相同角速度ω绕固定的点做匀速圆周运动，已知，P、Q的向心加速度大小均为，M、N的向心加速度大小均为，四球均可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的有（     ） A． B． C．P的线速度大小为 D．轻绳对四球的拉力大小相等 【答案】AB 【详解】A．根据题意可知P、Q做圆周运动的半径 对P、Q根据可得，故A正确； B．因为四个球角速度相同，对球M、N有 所以，故B正确； C．对于P有，故C错误； D．绳子拉力提供向心力，根据可知由于四球质量相等，角速度相等，但半径不同，故拉力大小不相等，故D错误。 故选AB。 例 3.．（2026·江苏·高考真题）如图所示，质量为的汽车驶上圆弧半径为的拱形桥，通过桥的最高点时汽车速度大小为，牵引力为，所受阻力为。g取。求在桥面最高点处，汽车 (1)向心加速度大小； (2)所受合力的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，由向心加速度公式可得 （2）汽车在最高点时，水平方向上有 竖直方向有 则汽车在最高点受到的合力大小为 2.命题规律小结 其一，平抛几乎年年出现，且多以“斜面”“台阶”“球网”等约束形式出现，考查分解思想。 其二，圆周运动的临界是选择题常客，竖直平面内的绳模型、杆模型，水平面内的转盘与圆锥摆。 其三，关联速度（绳、杆）考查频次下降但仍是易错点，本质是“沿绳方向速度相等”。 其四，平抛与圆周常组合成大题：先平抛进入圆轨道，再在竖直圆内运动，考“最高点不脱离”。 三、考点透视 1.知识网络 主线：曲线运动的条件 → 运动的合成与分解 → 平抛（匀变速曲线）→ 圆周运动（变加速曲线）。 运动 受力特征 处理方法 关键结论 曲线运动 合力与速度不共线 分解为两个直线运动 合力指向轨迹凹侧 平抛 只受重力 水平匀速 + 竖直自由落体 t 由 h 定，x = v₀t 匀速圆周 合力大小恒定、指向圆心 向心力方程 F = mv²/r = mω²r 变速圆周 合力沿半径分量提供向心力 沿半径列向心力方程 竖直圆最高点、最低点 三大向心力公式：F = mv²/r = mω²r = m(4π²/T²)r，另有 v = ωr、ω = 2π/T。 2. 核心考点清单 序号 考点 要求 常见考法 1 曲线运动的条件与轨迹判断 Ⅱ 合力方向与轨迹弯曲方向 2 运动的合成与分解 Ⅱ 小船渡河、关联速度 3 平抛运动的规律 Ⅱ 时间、射程、落地速度、速度偏角 4 斜面与界面约束的平抛 Ⅱ 落在斜面上、垂直打入斜面 5 圆周运动的向心力来源 Ⅱ 圆锥摆、转盘、转弯、竖直圆 6 竖直平面圆周的临界 Ⅱ 绳模型（最高点 v ≥ ）、杆模型（v ≥ 0） 7 水平面内圆周的临界 Ⅱ 静摩擦达最大、绳被拉直 3.六个高频易错点辨析 易错一：认为“曲线运动一定是变加速运动”。正解：平抛是曲线运动但加速度恒为 g，属匀变速曲线运动；匀速圆周才是变加速（加速度方向不断变化）。 易错二：把“速度偏角”与“位移偏角”混为一谈。正解：平抛中 tanα（速度偏角）= 2tanβ（位移偏角），且两者方向不同。落在斜面上看位移角，垂直撞击看速度角。 易错三：认为向心力是“一个新的力”。正解：向心力是效果力，由重力、弹力、摩擦力、电场力等实际力提供，受力分析中绝不能多画一个“向心力”。 易错四：竖直圆最高点一律用 v = 。正解：绳模型（只能拉）最高点最小速度 ；杆模型（可支持）最高点最小速度为 0。判断依据是“能否提供向上的支持力”。 易错五：认为“匀速圆周运动合力为零”。正解：匀速圆周速度大小不变但方向不断变化，合力不为零，且始终指向圆心。 易错六：关联速度中把“船的速度”当成“沿绳的速度”。正解：应把物体的实际速度分解到沿绳和垂直绳两个方向，沿绳方向的分量相等，即 v绳 = v物 cosθ。 四、方法点拨 题型一　运动的合成与分解：关联速度 步骤：确定物体的实际运动方向（合速度）→ 把合速度分解为沿绳（杆）和垂直绳（杆）两个分量 → 沿绳分量相等 → 列式求解。 例 4惠州荃湾港区码头常用货车吊运货物，如图所示，水平地面上货车匀速向左运动，通过不可伸长的轻绳和定滑轮提升重物，下列说法正确的是（     ） A．物体处于失重状态 B．物体向上做匀速直线运动 C．物体上升速度小于货车的行驶速度 D．货车水平方向只受牵引力和摩擦力，二力平衡 【答案】C 【详解】AB．将货车的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解，沿绳子方向的分速度等于重物上升的速度，则有 货车向左匀速运动过程中，减小，增大，则增大，重物做加速上升运动，加速度方向向上，处于超重状态，故AB错误； C．由可知，由于为锐角，，所以，即物体上升速度小于货车的行驶速度，故C正确； D．货车匀速运动，水平方向受力平衡。货车在水平方向受到向左的牵引力、向右的摩擦力以及绳子拉力向右的水平分力，共三个力作用，故D错误。 故选C。 【变式训练】如图所示，A球在固定斜面上，B球在水平面上，两球用轻杆连接，由静止释放两球，A球沿斜面向下运动，某时刻杆与斜面的夹角为α，杆与水平面夹角为θ，则这时A、B两球的速度大小之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】轻杆不可伸长，故A、B两球速度沿杆方向的分量大小必须相等。由图可知，A球速度沿斜面向下，与杆的夹角为，其沿杆方向的分量为，B球速度沿水平方向，与杆的夹角为，其沿杆方向的分量为。由沿杆分量相等得 解得 故选A。 题型二　平抛运动的两类约束 通用步骤：分解 → 找约束（落在某面、垂直某面、经过某点）→ 用约束建立方程 → 解时间 → 求其余量。 例 5.如图所示，斜面与水平方向的夹角为，在点正上方与等高处以水平初速度抛出一小球，小球以垂直斜面的速度落到点，已知重力加速度大小为，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．小球运动的位移与竖直方向的夹角为 B．小球运动的时间为 C．小球落到点的速度为 D．与的长度之比为 【答案】B 【详解】A．设抛出点为，取水平向右、竖直向下为正方向，飞行时间为，水平位移、竖直位移分别为和，落地速度的对应分量为和。小球水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，有，，和 落地速度垂直斜面，故它与竖直方向的夹角为，速度及位移的分解关系如图所示 由落地速度的方向得 设全程位移与竖直方向的夹角为，由位移分量得 两角均为锐角，因此，故A错误； BC．由前述速度分量关系，飞行时间为 落地速率记为，由水平分速度与合速度的关系有 解得，故B正确，C错误； D．由抛出点与等高及题图的直角三角形关系，有， 结合前述位移分量比，得，故D错误。 故选B。 【变式训练】如图所示，一物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足；设想分别把一物体以水平方向初速和抛出，均落至斜面，根据以上信息可以判断物体从抛出到落至斜面所用时间、水平位移比值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB．以水平方向初速度抛出的物体，经过时间后落在斜面上，则物体水平方向的位移为 竖直方向的位移为 斜面倾角为，则有，即 同理，以水平方向初速度抛出的物体，落在斜面上时经过的时间为 由此可得时间之比为，故A错误，B正确； CD．水平位移之比为，故CD错误； 故选B。 题型三　水平面内的圆周运动 关键：向心力由静摩擦力、绳的拉力、重力的分力等提供，先找施力物体，再列方程。 例 6.四个完全相同的小球、、、均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球、在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向的夹角相等（连接D球的绳较长），则下列说法不正确的是（　　） A．小球A、B线速度大小相等 B．小球A、B周期相等 C．小球C、D各自受到绳的拉力大小相等 D．小球D线速度比C的大 【答案】A 【详解】AB．以任一小球为研究对象，设其质量为，绳长为，绳与竖直方向的夹角为，绳的拉力大小为，轨道半径为，角速度为，悬点到轨道平面的竖直距离为。小球只受重力和绳的拉力，其合力水平指向圆心。受力及几何关系如下图，蓝色箭头表示合力 取竖直向上、水平指向圆心为正方向。由竖直方向平衡和水平方向的牛顿第二定律分别得和 两式相除得 由几何关系有和 结合前式得 图甲中，两球的相等，因此角速度相等；连接球的绳较长，由上述几何关系可知球的轨道半径较大。由可知球的线速度更大；由周期与角速度的关系可知两球周期相等，故A错误，B正确； CD．图乙中，两绳与竖直方向的夹角相等，两球质量相等。由前述竖直方向的平衡方程得 因此两球受到的拉力大小相等。由几何关系得 由于连接球的绳较长，其轨道半径更大。将代入前述两受力方程的比值关系，得 两球的相等，因此半径较大的球线速度更大，故CD正确。 故选A。 例 7.如图甲所示，水平圆盘可绕着竖直轴转动，长度为10 cm的细线一端与转轴连接，另一端连接质量为1 kg的物体。已知细线能承受的最大拉力为8 N，初始时，细线刚好伸直且与圆盘平行，物体与圆盘的动摩擦因数为0.25，重力加速度大小取10 m/s2。现让圆盘的角速度ω按图乙变化，则（     ） A．ω=5 rad/s时，细线拉力不等于0 B．ω=2 rad/s，物体受到的摩擦力大小为0.4 N C．ω=10 rad/s时，细线承受的拉力最大 D．细线断裂前摩擦力的方向始终指向圆心 【答案】B 【详解】A．当静摩擦力达到最大值时，若角速度继续增大，细线才会产生拉力。由 代入数据得 则ω=5rad/s恰好是静摩擦力单独提供向心力的临界值，此时向心力完全由最大静摩擦力提供，细线拉力为0，故A错误； B．ω=2rad/s<5rad/s，此时向心力完全由静摩擦力提供，则此时物体受到的摩擦力大小为，故B正确； C． 当静摩擦力已达最大值后，角速度继续增大，向心力由最大静摩擦力与细线拉力的合力提供，当拉力达到最大值时 代入数据得 ω=10rad/s<ω1​，此时细线拉力还未达到最大值，故C错误； D．由于圆盘角速度随时间均匀增大，物体存在沿圆周切线方向的切向加速度（由摩擦力的切向分量提供），因此摩擦力是指向圆心的向心分量和沿切线方向的切向分量的合矢量，并非始终指向圆心，故D错误。 故选B。 题型四　竖直平面内的圆周运动 模型 最高点受力 最高点最小速度 判据 绳模型（绳、内轨道、水流星） 重力 + 绳的拉力（只能向下） v min = 拉力不能为负 杆模型（杆、双轨道、管道） 重力 + 杆的弹力（可向上可向下） v min = 0 支持力可抵消重力 例 8.如图1所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图2所示。下列说法中不正确的是（     ） A．根据图线可以得出小球的质量 B．根据图线可以得出重力加速度 C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更小 D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 【答案】D 【详解】A．小球在最高点受重力和绳子拉力作用，根据牛顿第二定律有 整理得与的函数关系式为 由函数关系式可知，结合图2可知斜率 故小球的质量，故A正确； B．当时， 代入函数关系式得 联立 解得重力加速度，故B正确； C．图线的斜率 若绳长不变，用质量更小的球做实验，则斜率变小，故C正确； D．图线与横轴交点的位置对应 此时满足 即 若用更长的绳做实验，即增大，则交点的横坐标增大，交点位置向右移动，故D错误。 本题选不正确的，故选D。 【变式训练】如图所示，长为1m的轻质细杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为1kg的小球（视为质点）。小球在竖直平面内绕转轴O做圆周运动，通过最高点的速度大小为。忽略空气阻力，重力加速度大小，下列说法正确的是（     ） A．小球通过最高点时，对轻杆的作用力方向竖直向下，大小为6N B．小球通过最高点时，速度越大，对轻杆的作用力越大 C．若将轻杆换成等长的轻绳，小球从最高点以水平抛出，则抛出瞬间轻绳拉力为0 D．若将轻杆换成等长的轻绳，小球从最高点以水平抛出，则经，轻绳再次拉直。 【答案】ACD 【详解】AB．在最高点时当小球重力恰好提供向心力时，即轻杆对小球的作用力为零时，由牛顿第二定律有 解得 当通过最高点的速度大小为 则轻杆对小球的作用力方向竖直向上，由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律可知，小球通过最高点时，对轻杆的作用力方向竖直向下，大小为 由上述分析可知，当小球在最高点的速度小于时，速度越大，对轻杆的作用力越小，当小球在最高点的速度大于时，速度越大，对轻杆的作用力越大，故A正确，B错误； CD．若将轻杆换成等长的轻绳，小球从最高点以水平抛出，绳子会处于松弛状态，则抛出瞬间轻绳拉力为0，小球将做平抛运动（向心运动），直至绳再次拉直，水平方向上有，竖直方向上有，轨迹如图所示 由几何关系有 联立代入数据解得，故CD正确。 故选ACD。 点评　若把绳换成轻杆，最高点最小速度变为 0，此时杆对球的支持力等于重力。判断模型的关键是“能不能提供向上的支持力”，这一句话可解全部竖直圆问题。最低点则无论绳杆，都有 T − mg = mv²/L。 题型五　平抛与圆周的组合 处理原则：分段处理，衔接点的速度是“桥梁”——前一段的末速度就是后一段的初速度，大小和方向都要传递。 例 9.如图所示，一个质量为的小球（可视为质点）以某一初速度从点水平抛出，恰好从竖直放置的圆管的点沿切线方向进入管道，经从圆管的最高点飞出，恰好又落到点。已知圆管的半径为R，A与在同一水平线上，弧对应的圆心角，不计空气阻力，管道内径不计，重力加速度为。求： (1)小球在点对管道的压力大小； (2)小球第一次到达点时受管道的压力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球做平抛运动规律，从有， 联立解得 取向下为正，在点有 解得 由牛顿第三定律得 （2）从A到B过程，A与D等高，由 解得 第一次到达点时，由速度夹角关系有 解得 在点由圆周运动有 解得 【变式训练】如图所示，竖直放置的光滑半圆轨道ABC右侧有一堵竖直的墙面，一质量的小球（视为质点）从最低点A以一定的初速度进入圆轨道，小球恰好能经过轨道最高点C，打到竖直墙面上的P点．已知轨道的半径，其A点与墙之间的距离，重力加速度g取，不计空气阻力．求： (1)小球通过C点时的速度大小； (2)小球打在P点时的速度大小和方向； (3)若小球经C点时对轨道的压力为15 N，打在墙面上的Q点（未画出），则P、Q点间的距离。 【答案】(1)4m/s (2)，速度方向与竖直方向成斜向下 (3)0.6m 【详解】（1）小球恰能经过最高点有 解得 （2）小球离开点后做平抛运动，水平方向有 解得 竖直方向有 则小球落到点的速度大小 由 可知速度方向与竖直方向成斜向下。 （3）若小球在点时对轨道的压力 由牛顿第二定律有 由平抛运动规律有 解得， 点与点的高度差 点与点的高度差 解得、间的距离 五、巩固练习 一、单选题 1．（2026·重庆·高考真题）2026年我国自主设计和制造的摩托车在世界大赛中多次夺冠，实现了历史性突破。如图所示，某次比赛中，骑手和车（整体视为质点）以一定速度经过拱形赛道最高点时，骑手和车（     ） A．向心加速度为零 B．速度越大向心力越小 C．所受支持力大于重力 D．所受重力与支持力的合力提供向心力 【答案】D 【详解】A．质点在拱形赛道最高点，速度存在沿轨迹切线方向的分量，存在指向圆心（竖直向下）的向心加速度，向心加速度不为零，A错误； B．圆周运动向心力公式为，在质量、轨道半径不变时，速度越大，向心力越大，B错误； CD．在最高点，向心力方向竖直向下指向圆周运动的圆心，对整体受力分析：竖直向下的重力、竖直向上的赛道支持力，二者的合力提供竖直向下的向心力，满足 可得 因此支持力小于重力，C错误，D正确。 故选 D。 2．一质点在平面直角坐标系中运动，时，质点位于轴上某点，它沿方向运动的图像如图甲所示，它沿方向运动的图像如图乙所示。质点在时的速度大小为（     ） A． B．9m/s C．10m/s D．14m/s 【答案】A 【详解】由图像可知，物体沿x轴方向的分运动为匀速直线运动，且 由图像可知质点在时沿方向的分速度大小为 则质点在时的速度大小为 故选A。 3．（2026·江西·高考真题）某地需设计一额定功率为的水平轴风力发电机。在风速为、空气的密度为、发电机叶片的旋转平面与风向垂直，以及叶片转动形成圆面内的风能有转化为电能的条件下，发电机以额定功率工作。若叶片转速为，则该圆面的直径和叶片尖端的速度分别约为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】取t时间内垂直吹过叶片旋转圆面的空气为研究对象，这部分空气的体积为 其中S是叶片旋转圆面积，v为风速，对应空气质量 这部分空气的总动能为 结合20%的风能转化为电能，额定功率P满足 圆面积公式 代入数据解得圆面的直径 叶片转速 叶片尖端做圆周运动的线速度满足 代入数据可得 故选D。 4．如图所示，在某次壁球训练时，运动员在同一位置以不同的角度斜向上发球，最后球都能恰好垂直击打在竖直墙面的不同高度。忽略空气阻力，关于球在这两次从飞出到恰好击打墙壁的运动过程，下列说法正确的是（     ） A．飞出时的初速度竖直分量不相等 B．在空中的时间相等 C．击打墙壁的速度相等 D．飞出时的初速度大小一定不相等 【答案】A 【详解】A．将壁球的运动反向处理，即为平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据 可知，高度较小的，对应原运动飞出时的竖直分速度较小，故A正确； B．根据 可知，运动过程中高度较小的，运动时间较短，因此球在这两次从飞出到撞击墙壁前的过程中，在空中的时间不相等，故B错误； C．在水平方向有 运动过程中高度较小的，运动时间较短，水平分速度较大，即壁球撞击墙壁的速度较大，故C错误； D．根据速度的合成 可知，高度较小的，水平速度大，竖直速度小，故抛出时的初速度大小不能确定，有可能相等，故D错误。 故选A。 5．如图所示，表面光滑的圆锥体底面水平固定，长为的轻质细线一端固定在圆锥的顶点，另一端连接质量为的小球，细线与竖直方向的夹角为。小球随圆锥绕着轴线做圆周运动，角速度缓慢增大。重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小球静止时，圆锥面对小球的支持力为 B．小球刚要离开圆锥面时，小球的角速度为 C．小球刚要离开圆锥面时，细线对小球的拉力为 D．小球在圆锥面上做圆周运动时细线的拉力跟成正比 【答案】B 【详解】A．对小球静止时受力分析，受力平衡有圆锥面对小球的支持力为，故A错误； D．小球离开斜面前，根据正交分解，在竖直方向上有 水平方向有 联立解得 可知细线的拉力跟不成正比，故D错误； BC．小球刚要离开圆锥面时，竖直方向受力平衡有 水平方向有 联立解得，，故B正确，C错误。 故选B。 6．如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，轻质橡皮筋一端固定于转轴点，另一端与质量为的小物块（可视为质点）水平连接。初始时圆盘静止，橡皮筋的长度为，拉力大小为。现使圆盘从静止开始缓慢加速转动，其角速度用表示，下列说法正确的是（　　） A．随着增大，物块受到的摩擦力一直减小 B．若，则物块受到的摩擦力为零 C．若，则物块受到的摩擦力大小为 D．若，则物块一定相对圆盘向外滑动 【答案】B 【详解】圆盘缓慢加速过程中，只要物块相对圆盘静止，橡皮筋的长度就保持、拉力保持，物块做圆周运动的半径。 设静摩擦力沿半径指向圆心为正，由向心力公式得 故 A．由上式可知，较小时为负值，摩擦力沿半径向外；随增大，的绝对值先减小、到时为零、之后又增大，故A错误； B．当时，，即物块受到的摩擦力为零，故B正确； C．当时，，故C错误； D．当时，但物块与圆盘间的最大静摩擦力未知，故超过时物块未必相对圆盘向外滑动，故D错误； 故选B。 7．（2026·广东·高考真题）如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知飞行器安全到达着陆线，速度最小时会刚好通过月面坑边到达着陆线，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得； 飞行器安全到达着陆线，速度最大时会到达着陆线最右端的坑边缘，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得 所以飞行器安全到达着陆线需满足 故选B。 8．（2026·河南·高考真题）如图1，网球运动员将球沿水平方向击出，球运动轨迹所在平面与球网面的夹角为，球恰好擦过球网上沿的点，图2为球运动轨迹在球网所在平面的投影，轨迹投影在点的切线与球网上沿的夹角为。已知击出时球的速度大小为，，重力加速度大小取，不计阻力，则击球点到球网面的距离为（     ） A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m 【答案】A 【详解】网球被水平击出后做平抛运动，初速度大小为​，轨迹平面与球网面夹角为，将初速度分解，垂直于球网面的速度 平行于球网面的速度 网球在竖直方向做自由落体运动，设从击球点到点的运动时间为，网球在点的竖直速度 点的切线与球网上沿夹角为，切线斜率满足 代入，，得 网球在垂直于球网方向匀速运动，位移 代入和的表达式，得 解得 因此击球点到球网面的距离为4 m。 故选A。 二、多选题 9．垂钓能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从位置被拉到位置，线与杆的结点保持不动。点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（     ） A．若该爱好者匀速收线，则鱼做加速运动 B．若该爱好者匀速收线，则鱼做减速运动 C．若该爱好者加速收线，则鱼做匀速运动 D．若该爱好者加速收线，则鱼做加速运动 【答案】AD 【详解】AB．设鱼的水平速度为，绳与水平水面的夹角为，沿绳方向的收线速度为​，则 可得鱼的速度 收线过程中鱼从A到B，绳与水平方向的夹角逐渐增大，逐渐减小；若匀速收线则为定值，因此​会随减小而不断增大，鱼做加速运动，故A正确，B错误； CD．若加速收线，本身在不断增大，同时收线过程中仍在减小，两个因素共同作用都会让持续增大，因此鱼也做加速运动，故C错误，D正确。 故选AD。 10．如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，将一小球以大小为的速度从M点水平抛出，小球落在斜面上的N点，已知小球经过P点（未画出）时离斜面最远，下列说法正确的是（     ） A．P点速度的竖直分量为 B．小球从M到P与从P到N过程中速度改变量相同 C．P点是MN的中垂线与抛物线的交点 D．若小球初速度增大为原来的2倍，落到斜面上时的速度也变为原来的2倍 【答案】BD 【详解】A．小球离斜面最远时速度方向与斜面平行，即 故P点速度的竖直分量为，故A错误； B．落点在斜面上，满足 得落地时间 到P点的时间为 两段过程的速度改变量均为、方向竖直向下，因两段时间相等，故速度改变量相同，故B正确； C．以为原点、水平与竖直方向为坐标轴，有、 即P与中点水平坐标相同而竖直位移只有中点的一半，P到、的距离不相等，P不在的中垂线上，故C错误； D．初速度增大为时，落地时间 落地时水平分量、竖直分量 均为原来的2倍，故合速度也变为原来的2倍，故D正确。 故选BD。 11．某同学将弹珠（可视为质点）放入玻璃杯中，将杯口朝下并快速摇晃玻璃杯，使弹珠沿杯壁内侧在水平面内做匀速圆周运动而不掉下来，如图所示。已知杯子内壁在弹珠运动区域可视为圆锥面，其母线与竖直方向的夹角保持不变，不计空气阻力和摩擦。下列说法正确的是（     ） A．圆轨道高度越高，弹珠速率越大 B．圆轨道高度越高，弹珠角速度越大 C．圆轨道高度越高，弹珠所受弹力越大 D．弹珠做圆周运动时，杯子对弹珠的作用力不做功 【答案】AD 【详解】AC．设圆轨道半径为、母线与竖直方向的夹角为，弹珠受重力和杯壁的弹力；竖直方向受力平衡，由 得 水平方向弹力提供向心力， 联立得 由图可知圆锥面下窄上宽，轨道越高、半径越大， 由知速率越大，弹珠所受弹力只与有关、与轨道高度无关，A正确，C错误； B．由 得 越大角速度越小，即轨道越高角速度越小，B错误； D．弹珠做匀速圆周运动，速度沿切线方向，而杯子对弹珠的作用力（弹力）沿法线方向、与速度垂直，故该力不做功，D正确。 故选AD。 12．辽宁某海边码头，工人利用跨过定滑轮的轻质细绳拖拽斜面上的货物箱。质量m=20 kg的货物箱置于倾角θ1=53°的倾斜卸货坡道上，细绳与坡道表面平行；水平行驶的牵引车以恒定速率v=4 m/s水平向右运动。已知货物与坡道间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。某时刻牵引车与滑轮之间的细绳与水平方向的夹角θ2=37°，货物箱沿坡道向上运动，下列说法正确的是（ ） A．此时货物箱沿坡道向上的速度大小为2.4 m/s B．货物箱沿坡道向上做减速运动 C．此时细绳的拉力一定大于190 N D．若牵引车向右行驶，为使货物箱的速度保持不变，则牵引车的速度应不断减小 【答案】CD 【详解】A．将牵引车的水平速度沿绳、垂直绳方向分解，沿绳方向的分速度等于货物的速度 解得，故A错误； B．牵引车以恒定速率向右运动时，随牵引车右移逐渐减小，由可知货物的速度随减小而逐渐增大，说明货物沿坡道向上做加速运动，故B错误； C． 重力沿坡道的分力 滑动摩擦力 总向下阻力为 由B可知，货物沿坡道向上做加速运动，加速度沿坡道向上，由牛顿第二定律 可得拉力，故C正确； D．若要货物速度保持恒定，由 可得 牵引车右移时不断减小，不断增大，因此必须不断减小才能维持货物速度不变，故D正确。 故选CD。 三、解答题 13．（2026·全国卷·高考真题）某同学从湖边山顶以的速度向湖中水平抛出一石块，经过4s石块落到水面，再经过石块撞击水面的声音传回到抛出点。若不计空气阻力，重力加速度大小取，求 (1)石块抛出点距湖面的高度； (2)石块落水点与抛出点之间的距离； (3)声速的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设石块从抛出到落水所需时间为，抛出点距湖面的高度为，由运动学公式有 代入题给数据得 （2）设石块落水点到抛出点的距离为，石块的水平位移为，根据运动学公式和几何关系有 联立数据可得 （3）设声速的大小为，石块落水声传到石块抛出点所需的时间为，则 联立解得 14．如图所示，位于竖直平面内的质量为1.6kg、半径为0.5m的光滑环形细圆管固定在支架上，质量m1=1kg的小球A、m2=2kg的小球B的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径），某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为v1=1m/s，此时支架对圆管的弹力大小为32N，取重力加速度g=10m/s²，求此时B球的速度大小v2。 【答案】2m/s或 【详解】对A受力分析可知 解得 对圆管受力分析可知，若支架对圆管的弹力竖直向上，则满足 解得 对小球B受力分析可知 解得 若支架对圆管的弹力竖直向下，则满足 解得 对小球B受力分析可知 解得 此时B球的速度大小v2可能为2m/s或 15．如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.8m，A端切线水平。水平轨道BC与半径r=0.5m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角。一质量为M=1kg的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，取g=10m/s2，，。 (1)若小球恰好能从A点飞出，水平轨道BC足够长，求小球落地点与B点的水平距离； (2)若小球从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，求①小球在A点对圆弧轨道的压力大小；②小球在C点受到的支持力的大小。 【答案】(1)1.6m (2)①12.5N；②106N 【详解】（1）小球恰好能从A点飞出，对在A点的小球受力分析，只受重力，重力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 小球从A点飞出后做平抛运动，A点到水平轨道的高度为，在竖直方向上有 得 落地点与B点的水平距离 （2）①将小球在C处的速度分解，C点与水平轨道等高，小球从A到C下落的高度为，在竖直方向上有 得 在水平方向上 解得 对小球在A处受力分析，圆弧轨道对小球的弹力竖直向下，由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律知，小球在A点对圆弧轨道的压力大小为 ②小球在C处速度 支持力沿半径指向圆心O，重力沿半径方向的分量为 由牛顿第二定律得 解得 第 1 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