2027届高三物理一轮复习讲义：专项四 万有引力与航天

高考物理一轮复习专项突破训练讲义 专项四　万有引力与航天 一、专项导航 1.高考定位 项目 内容 考查形式 单项选择题 1 题（几乎年年出现），偶有多选题 分值权重 4~10 分，属“必得分”板块 命题角度 卫星参量比较、变轨、双星、天体质量与密度估算、同步卫星 学科地位 圆周运动唯一的“真实应用场景”，结论高度模式化，性价比极高 学习目标　一是能写出“万有引力提供向心力”的四种形式并比较各参量；二是能用黄金代换把 GM 换成 gR²；三是能判断变轨过程中速度、加速度、机械能的变化。 二、真题感知 1.真题精析 例 1（高考真题·卫星参量比较）（2025·天津·高考真题）2025年5月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、B两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径，则卫星A比B（　　） A．线速度小、角速度小 B．线速度小、运行周期小 C．加速度大、角速度大 D．加速度大、运行周期大 【变式训练】（2025·湖北·高考真题）甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是（   ） A．甲运动的周期比乙的小 B．甲运动的线速度比乙的小 C．甲运动的角速度比乙的小 D．甲运动的向心加速度比乙的小 点评　三个式子只需记住一个来源：万有引力等于向心力。真正要记的是结论——轨道半径越大，v 越小、ω 越小、T 越大、a 越小，即“高轨低速长周期”。这条结论可解决 80% 的卫星选择题。 例 2（高考真题·变轨问题）（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【变式训练】（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 点评　本题集中了两个易错点：变轨要加速，变轨后速度反而变小。原因是“加速”发生在变轨瞬间（同一位置），而“速度变小”是稳定到高轨后的结果，两者不在同一位置、不能直接比较。这是本专项最经典的“陷阱”，务必分清“瞬时”与“稳定”。 2. 命题规律小结 其一，年年必考一题，多在单选第 4~6 题，属稳定得分点。 其二，参量比较题占多数，用“高轨低速长周期”即可秒判。 其三，变轨、对接、航天器返回是新情境热点，本质仍是“供需关系”判断。 其四，双星、多星偶有出现，关键在“周期相同、各自做圆周运动、引力由二者距离决定”。 三、考点透视 1. 知识网络 主线：万有引力定律 → 两条使用路径 → 四类模型。 · 路径一：万有引力提供向心力（卫星、行星环绕）——用于求 v、ω、T、a · 路径二：万有引力等于重力（星球表面）——用于黄金代换 GM = gR² · 四类模型：卫星参量比较、变轨与追及、双星、质量与密度估算 物理量 表达式 与 r 的关系 线速度 v r 越大 v 越小 角速度 ω r 越大 ω 越小 周期 T 2π r 越大 T 越大 向心加速度 a r 越大 a 越小 2.核心考点清单 序号 考点 要求 常见考法 1 万有引力定律 Ⅱ 公式应用、与重力的关系 2 黄金代换 GM = gR² Ⅱ 不知 M 时求 v、T 3 卫星参量比较 Ⅱ 不同轨道卫星的 v、T、a 比较 4 变轨与对接 Ⅱ 加速还是减速、机械能变化 5 双星模型 Ⅱ 周期、轨道半径与质量的关系 6 天体质量与密度估算 Ⅱ 由 T、r 求 M；由近地卫星求 ρ 7 同步卫星与近地卫星 Ⅰ 周期、高度、轨道平面 3.六个高频易错点辨析 易错一：把“万有引力”与“重力”当成两个力。正解：重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供随地球自转的向心力。在赤道上 mg = GMm/R² − mω²R；在两极 mg = GMm/R²。中学计算中通常忽略自转，取 mg ≈ GMm/R²。 易错二：认为“卫星越高，速度越大”。正解：恰恰相反，越高越慢（v = ）。越高的轨道需要越小的环绕速度，但发射时需要的能量越大——发射难与运行慢是两回事。 易错三：认为“变轨加速后速度一直变大”。正解：加速只发生在变轨瞬间；稳定到高轨后速度反而小于原轨道速度。整个过程机械能增大。 易错四：认为同步卫星可以定点在北京上空。正解：同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，只能定点在赤道上空，高度约 36000 km，周期 24 h。 易错五：双星模型中用“引力提供各自向心力”时半径取错。正解：双星各自做圆周运动，轨道半径不等于两星间距，而是 r₁ + r₂ = L，且 m₁r₁ = m₂r₂（质心不动）。 易错六：用“表面重力加速度”求高轨卫星的 a。正解：g = GM/R² 只适用于星球表面。高轨处 a = GM/r²，随高度增大而减小。 四、方法点拨 题型一　黄金代换的使用 适用场景：题目给出星球表面的重力加速度 g 和星球半径 R，而未给质量 M。 由 GMm/R² = mg 得 GM = gR²，可将所有式子中的 GM 替换。 例 3（2026·海南·高考真题）2026年4月，长征八号运载火箭在海南文昌成功发射，以“一箭十八星”方式将卫星送入预定轨道。若某卫星绕地球做圆周运动的轨道半径为，地球半径为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转影响，则该卫星的（     ） A．线速度大小为 B．加速度大小为 C．周期为 D．角速度大小为 题型二　卫星参量比较 方法：写出待比较量与 r 的关系式 → 判断单调性 → 比较。 例 4据报道，我国商业公司研发的全球首颗商业地球同步轨道数据中继卫星“苍宇一号”计划于2026年底前发射，届时该卫星在距地面高约处，相对地面静止。已知中国空间站在距地面高约的轨道上运行。可预计“苍宇一号”在轨稳定运行时（　　） A．加速度大于空间站的加速度 B．线速度大于空间站的线速度 C．角速度大于空间站的角速度 D．周期大于空间站的周期 【变式训练】两种卫星绕地球运行的轨道如图，设地球半径为，地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为，加速度大小为；近地卫星的轨道半径近似为，运行速度大小为，加速度大小为；地球静止卫星的轨道半径为，运行速度大小为，加速度大小为。下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 点评　一句话记全：高轨低速、长周期、小加速度。注意“小加速度”指重力加速度（向心加速度），不是速度变化率在切向的分量——圆轨道上切向加速度为零。 题型三　变轨与追及 判断口诀：加速离心升高轨，减速向心降低轨。 供需关系：万有引力 F 供，所需向心力 mv²/r 需。F > 需则向心（轨道降低），F < 需则离心（轨道升高）。 例 5嫦娥七号探测器预计于2027年发射，在月球南极着陆进行勘查任务。若探测器被月球捕获进入椭圆轨道2，经过近月A点时变轨进入绕月球表面运动的近月圆形轨道1，模拟运行过程如图所示。下列说法正确的是（     ） A．探测器从地球发射的速度大于第二宇宙速度 B．探测器在轨道2上从B向A运动过程中速度越来越大 C．探测器在轨道2经过A点进入轨道1需要点火加速才能完成变轨 D．利用引力常量G和探测器在轨道1的周期T，可以估算出月球平均密度 点评　“同轨道加速追不上”是本类题的核心结论：加速导致升轨，升轨导致周期变长，反而更慢。这个反直觉的链条，正是命题人喜欢考的地方。 题型四　双星模型 特征：两星绕连线上某点做圆周运动，周期相同，角速度相同，向心力由相互引力提供。 两个方程： · 引力：F = Gm₁m₂/r²（r 为两星间距） · 半径关系：m₁r₁ = m₂r₂，r₁ + r₂ = r 由此得 。 例 6中国天眼发现脉冲星J1856—0039所在的双中子星系统，其简化结构如图所示。可视为质点的双星P、Q绕连线上的点做周期相同的匀速圆周运动。P、Q质量分别为、，两球心距离为，万有引力常量为，则（　　 ） A．Q的运动半径为 B．Q的运动周期为 C．P、Q分别与点的连线在相等时间内扫过的面积之比为 D．若Q释放物质被P全部吸收，球心距离保持不变，则Q做圆周运动的周期变大 【变式训练】双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示是某双星系统的示意图，O为圆心。两恒星P、Q的球心分别为、，两星球的半径远小于两星球球心之间的距离。已知P的轨道半径大于Q的轨道半径，设P质量为、Q质量为，P、Q间的距离为L，P、Q运动周期为T。下列说法正确的是（     ） A．P的质量大于Q的质量 B．P的轨道半径为 C．P、Q的向心加速度之比为1∶1 D．L一定，若P、Q的总质量越大，绕行周期会越小 点评　双星的两个“陷阱”：其一，半径不等于 L；其二，周期公式中质量和是 m₁ + m₂，不是单个质量。记住“双星同周期，半径反比于质量，周期由总质量决定”即可。 题型五　天体质量与密度的估算 两条路径： · 有环绕天体：由 GMm/r² = m(4π²/T²)r 得 M = 4π²r³/(GT²) · 只有近地卫星（r ≈ R）：ρ = M/(4πR³/3) = 3π/(GT²) 例 7（2026·湖南·高考真题）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为，运动周期为，地球半径为，万有引力常数为，下列说法正确的是（　　） A．卫星的线速度大小为 B．地球的质量为 C．地球的平均密度为 D．地球表面重力加速度大小为 点评　这个结论只与周期有关，与行星半径、质量都无关——测出近地卫星周期，就能算出星球密度，这是天体物理中最漂亮的结果之一。若卫星不在近地轨道，则需要同时知道 r 和 R，密度公式变为 ρ = 3πr³/(GT²R³)。 五、巩固训练 一、单选题 1．2025年4月，中国国家航天局发布《天问三号火星取样返回任务国际合作机遇公告》。假设天问三号探测器在环绕火星的椭圆轨道上运行，只考虑火星对天问三号探测器的引力。关于天问三号探测器从近火点向远火点运行的过程中，下列说法正确的是（　　） A．天问三号探测器所受火星的万有引力逐渐增大 B．天问三号探测器的运行速度逐渐增大 C．火星位于该椭圆轨道的中心 D．天问三号探测器与火星的连线在相等时间内扫过的面积相等 2．已知地球半径为 R，地球表面处的重力加速度为 g（不考虑地球自转），则距地面高度为 R 处的重力加速度大小为（     ） A． B． C．2g D． 3．A、B两天体组成双星系统，它们以连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，周期均为，A、B间的距离为，万有引力常量为，A、B的总质量为（　　） A． B． C． D． 4．我国“天眼”FAST望远镜在巡视宇宙中性氢时，发现某脉冲星（视为匀质球体）的一颗伴星绕其做匀速圆周运动。通过长时间观测，测得伴星的公转周期为T，其轨道半径为该脉冲星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该脉冲星的平均密度为（     ） A． B． C． D． 5．我国“祝融号”火星车在火星表面开展科学探测。火星车携带的实验装置以初速度竖直上抛一小球，测得小球从抛出到落回原处所用时间为。已知火星半径约为地球半径的，地球表面重力加速度为，平均密度为，忽略地球、火星自转和空气阻力，则火星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 6．我国自主建设运行的北斗全球卫星导航系统空间段由多颗卫星组成。若轨道半径不同的两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，线速度大小分别为、，周期分别为、，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．我国嫦娥七号任务旨在对月球南极区域开展环境与资源勘查。假设某探月轨道器在圆轨道Ⅰ上绕月球做圆周运动，如图所示，轨道器经过P点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，再在轨道Ⅱ的近月点Q点变轨至圆轨道Ⅲ，转而绕月球表面做圆周运动。已知月球半径为R，月球表面重力加速度为g，轨道Ⅰ的半径为7R，不计月球自转的影响和轨道器在P、Q点变轨所用的时间。下列说法正确的是（     ） A．轨道器在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为 B．轨道器在轨道Ⅱ上运行时经过Q、P点的速率的比值大于 C．轨道器在轨道Ⅰ上运行时的周期为 D．轨道器在轨道Ⅱ上从P点运动至Q点的最短时间为 8．（2026·全国卷·高考真题）2026年4月，神舟二十一号乘组的航天员在中国空间站进行了出舱活动，可认为航天员出舱后与空间站一同绕地球做圆周运动。下列说法正确的是（     ） A．出舱的航天员处于失重状态 B．出舱的航天员不处于失重状态 C．在舱内的航天员处于失重状态 D．在舱内的航天员不处于失重状态 9．（2026·福建·高考真题）1970年，我国第一颗人造卫星“东方红一号”成功进入绕地椭圆轨道，轨道半长轴约为。在稀薄大气阻力影响下，卫星运行轨道半长轴缓慢减小，2026年其值约为。如图，1970年和2026年的轨道分别记为轨道Ⅰ和Ⅱ，且视作稳定运行轨道。忽略卫星质量变化，则卫星（     ） A．在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的大 B．在轨道Ⅰ、Ⅱ上的机械能变化量等于在两轨道远地点的动能变化量 C．在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行周期之比约为 D．在轨道Ⅰ、Ⅱ上远地点的加速度大小之比约为 10．（2026·重庆·高考真题）中国空间站已成为我国规模最大、功能最全的综合性近地空间研究平台。若空间站绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道半径为r，地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（     ） A．地球的质量为 B．空间站绕地球运行的向心加速度大小大于g C．空间站绕地球运行的周期为 D．空间站绕地球运行的线速度大小为 11.（2025·海南·高考真题）2025年4月24日，载人飞船神舟二十号在酒泉卫星发射中心点火发射，在进入预定轨道后成功与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是（　　） A．火箭在加速升空的过程中处于失重状态 B．航天员在空间站所受地球的引力小于其在地面上受到的地球引力 C．空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度大于地球自转角速度 D．空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高考物理一轮复习专项突破训练讲义 专项四　万有引力与航天 一、专项导航 1.高考定位 项目 内容 考查形式 单项选择题 1 题（几乎年年出现），偶有多选题 分值权重 4~10 分，属“必得分”板块 命题角度 卫星参量比较、变轨、双星、天体质量与密度估算、同步卫星 学科地位 圆周运动唯一的“真实应用场景”，结论高度模式化，性价比极高 学习目标　一是能写出“万有引力提供向心力”的四种形式并比较各参量；二是能用黄金代换把 GM 换成 gR²；三是能判断变轨过程中速度、加速度、机械能的变化。 二、真题感知 1.真题精析 例 1（高考真题·卫星参量比较）（2025·天津·高考真题）2025年5月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、B两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径，则卫星A比B（　　） A．线速度小、角速度小 B．线速度小、运行周期小 C．加速度大、角速度大 D．加速度大、运行周期大 【答案】A 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有 解得，，， 由于轨道半径 可得，，， 故选A。 【变式训练】（2025·湖北·高考真题）甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是（   ） A．甲运动的周期比乙的小 B．甲运动的线速度比乙的小 C．甲运动的角速度比乙的小 D．甲运动的向心加速度比乙的小 【答案】A 【详解】根据卫星做圆周运动的向心力等于万有引力可知 可得，，， 因，可知卫星甲、乙运动的周期 线速度关系 角速度关系 向心加速度关系 故选A。 点评　三个式子只需记住一个来源：万有引力等于向心力。真正要记的是结论——轨道半径越大，v 越小、ω 越小、T 越大、a 越小，即“高轨低速长周期”。这条结论可解决 80% 的卫星选择题。 例 2（高考真题·变轨问题）（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【详解】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 故选A。 【变式训练】（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 【答案】B 【详解】A．冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得 整理得 A错误； B．根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确； C．近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误； D．两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 故选B。 点评　本题集中了两个易错点：变轨要加速，变轨后速度反而变小。原因是“加速”发生在变轨瞬间（同一位置），而“速度变小”是稳定到高轨后的结果，两者不在同一位置、不能直接比较。这是本专项最经典的“陷阱”，务必分清“瞬时”与“稳定”。 2. 命题规律小结 其一，年年必考一题，多在单选第 4~6 题，属稳定得分点。 其二，参量比较题占多数，用“高轨低速长周期”即可秒判。 其三，变轨、对接、航天器返回是新情境热点，本质仍是“供需关系”判断。 其四，双星、多星偶有出现，关键在“周期相同、各自做圆周运动、引力由二者距离决定”。 三、考点透视 1. 知识网络 主线：万有引力定律 → 两条使用路径 → 四类模型。 · 路径一：万有引力提供向心力（卫星、行星环绕）——用于求 v、ω、T、a · 路径二：万有引力等于重力（星球表面）——用于黄金代换 GM = gR² · 四类模型：卫星参量比较、变轨与追及、双星、质量与密度估算 物理量 表达式 与 r 的关系 线速度 v r 越大 v 越小 角速度 ω r 越大 ω 越小 周期 T 2π r 越大 T 越大 向心加速度 a r 越大 a 越小 2.核心考点清单 序号 考点 要求 常见考法 1 万有引力定律 Ⅱ 公式应用、与重力的关系 2 黄金代换 GM = gR² Ⅱ 不知 M 时求 v、T 3 卫星参量比较 Ⅱ 不同轨道卫星的 v、T、a 比较 4 变轨与对接 Ⅱ 加速还是减速、机械能变化 5 双星模型 Ⅱ 周期、轨道半径与质量的关系 6 天体质量与密度估算 Ⅱ 由 T、r 求 M；由近地卫星求 ρ 7 同步卫星与近地卫星 Ⅰ 周期、高度、轨道平面 3.六个高频易错点辨析 易错一：把“万有引力”与“重力”当成两个力。正解：重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供随地球自转的向心力。在赤道上 mg = GMm/R² − mω²R；在两极 mg = GMm/R²。中学计算中通常忽略自转，取 mg ≈ GMm/R²。 易错二：认为“卫星越高，速度越大”。正解：恰恰相反，越高越慢（v = ）。越高的轨道需要越小的环绕速度，但发射时需要的能量越大——发射难与运行慢是两回事。 易错三：认为“变轨加速后速度一直变大”。正解：加速只发生在变轨瞬间；稳定到高轨后速度反而小于原轨道速度。整个过程机械能增大。 易错四：认为同步卫星可以定点在北京上空。正解：同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，只能定点在赤道上空，高度约 36000 km，周期 24 h。 易错五：双星模型中用“引力提供各自向心力”时半径取错。正解：双星各自做圆周运动，轨道半径不等于两星间距，而是 r₁ + r₂ = L，且 m₁r₁ = m₂r₂（质心不动）。 易错六：用“表面重力加速度”求高轨卫星的 a。正解：g = GM/R² 只适用于星球表面。高轨处 a = GM/r²，随高度增大而减小。 四、方法点拨 题型一　黄金代换的使用 适用场景：题目给出星球表面的重力加速度 g 和星球半径 R，而未给质量 M。 由 GMm/R² = mg 得 GM = gR²，可将所有式子中的 GM 替换。 例 3（2026·海南·高考真题）2026年4月，长征八号运载火箭在海南文昌成功发射，以“一箭十八星”方式将卫星送入预定轨道。若某卫星绕地球做圆周运动的轨道半径为，地球半径为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转影响，则该卫星的（     ） A．线速度大小为 B．加速度大小为 C．周期为 D．角速度大小为 【答案】B 【详解】A．根据题意，对于地球表面的物体，由万有引力等于重力有 可得 由万有引力提供向心力有 联立解得，故A错误； B．由万有引力提供向心力有 解得 代入 可得，故B正确； C．由万有引力提供向心力有 解得 代入 可得，故C错误； D．由万有引力提供向心力有 解得 代入 可得，故D错误。 故选B。 题型二　卫星参量比较 方法：写出待比较量与 r 的关系式 → 判断单调性 → 比较。 例 4据报道，我国商业公司研发的全球首颗商业地球同步轨道数据中继卫星“苍宇一号”计划于2026年底前发射，届时该卫星在距地面高约处，相对地面静止。已知中国空间站在距地面高约的轨道上运行。可预计“苍宇一号”在轨稳定运行时（　　） A．加速度大于空间站的加速度 B．线速度大于空间站的线速度 C．角速度大于空间站的角速度 D．周期大于空间站的周期 【答案】D 【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，即 解得，因此越大加速度越小，因此“苍宇一号”加速度小于空间站的加速度，故A错误； B．由 解得，因此越大速度越小，因此“苍宇一号”线速度小于空间站的线速度，故B错误； C．由 解得，因此越大角速度越小，因此“苍宇一号”角速度小于空间站的角速度，故C错误； D．由 解得，因此越大周期越大，因此“苍宇一号”周期大于空间站的周期，故D正确。 故选D。 【变式训练】两种卫星绕地球运行的轨道如图，设地球半径为，地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为，加速度大小为；近地卫星的轨道半径近似为，运行速度大小为，加速度大小为；地球静止卫星的轨道半径为，运行速度大小为，加速度大小为。下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A．设地球质量为，地球自转角速度为。赤道上物体随地球转动，速度为。近地卫星由万有引力提供向心力，有 所以 地球静止卫星与地球自转同步，万有引力提供向心力，即 所以 联立得 由于地球静止卫星在地球外部运行，，故A错误； BD．对轨道半径为、质量为的圆轨道卫星，万有引力提供向心力，即 所以 又由向心加速度公式，结合前式得 取和，代入前式得 由加速度关系得，故BD正确； C．赤道上物体与地球静止卫星具有相同的角速度，它们的向心加速度分别为和 所以，故C错误。 故选BD。 点评　一句话记全：高轨低速、长周期、小加速度。注意“小加速度”指重力加速度（向心加速度），不是速度变化率在切向的分量——圆轨道上切向加速度为零。 题型三　变轨与追及 判断口诀：加速离心升高轨，减速向心降低轨。 供需关系：万有引力 F 供，所需向心力 mv²/r 需。F > 需则向心（轨道降低），F < 需则离心（轨道升高）。 例 5嫦娥七号探测器预计于2027年发射，在月球南极着陆进行勘查任务。若探测器被月球捕获进入椭圆轨道2，经过近月A点时变轨进入绕月球表面运动的近月圆形轨道1，模拟运行过程如图所示。下列说法正确的是（     ） A．探测器从地球发射的速度大于第二宇宙速度 B．探测器在轨道2上从B向A运动过程中速度越来越大 C．探测器在轨道2经过A点进入轨道1需要点火加速才能完成变轨 D．利用引力常量G和探测器在轨道1的周期T，可以估算出月球平均密度 【答案】BD 【详解】A．探测器可先进入地球椭圆转移轨道，远地点到达月球轨道附近，并未摆脱地球引力束缚，因此从地球发射的速度可以小于第二宇宙速度，故A错误； B．探测器在轨道2上从向运动时，到月球中心的距离逐渐减小。只有月球引力做功，机械能守恒，万有引力势能减小，动能增大，所以速度越来越大，故B正确； C．点是轨道2的近月点，轨道1和轨道2在点相切。探测器由外侧椭圆轨道进入较低的圆轨道时，应在点沿速度反向点火，使速度减小，故C错误； D．设月球质量为、半径为，探测器质量为，轨道1半径为，因其为近月圆轨道，有。对轨道1上的探测器，万有引力提供向心力，联立万有引力定律与周期关系，整理得 所以 月球平均密度为 代入及前式得 因此可由和估算月球平均密度，故D正确。 故选BD。 点评　“同轨道加速追不上”是本类题的核心结论：加速导致升轨，升轨导致周期变长，反而更慢。这个反直觉的链条，正是命题人喜欢考的地方。 题型四　双星模型 特征：两星绕连线上某点做圆周运动，周期相同，角速度相同，向心力由相互引力提供。 两个方程： · 引力：F = Gm₁m₂/r²（r 为两星间距） · 半径关系：m₁r₁ = m₂r₂，r₁ + r₂ = r 由此得 。 例 6中国天眼发现脉冲星J1856—0039所在的双中子星系统，其简化结构如图所示。可视为质点的双星P、Q绕连线上的点做周期相同的匀速圆周运动。P、Q质量分别为、，两球心距离为，万有引力常量为，则（　　 ） A．Q的运动半径为 B．Q的运动周期为 C．P、Q分别与点的连线在相等时间内扫过的面积之比为 D．若Q释放物质被P全部吸收，球心距离保持不变，则Q做圆周运动的周期变大 【答案】AC 【详解】A．万有引力提供向心力，对于有，对于有 联立以上两式可得 则的运动半径为，故A正确； B．对于有 则的运动周期为，故B错误； C．根据扇形面积公式可得，连线扫过的面积之比为，故C正确； D．释放物质被全部吸收，则它们的总质量不变（即不变），球心距离保持不变，由的周期公式可知，做圆周运动的周期不变，故D错误。 故选AC。 【变式训练】双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示是某双星系统的示意图，O为圆心。两恒星P、Q的球心分别为、，两星球的半径远小于两星球球心之间的距离。已知P的轨道半径大于Q的轨道半径，设P质量为、Q质量为，P、Q间的距离为L，P、Q运动周期为T。下列说法正确的是（     ） A．P的质量大于Q的质量 B．P的轨道半径为 C．P、Q的向心加速度之比为1∶1 D．L一定，若P、Q的总质量越大，绕行周期会越小 【答案】D 【详解】A．两星球之间的万有引力提供向心力，万有引力相同，则有 的轨道半径大于的轨道半径，则，故A错误； B．由以上分析可得 化简可得的轨道半径为，故B错误； C．的向心加速度之比为，故C错误； D．对于，根据万有引力公式可得 同理，对于可得 两式相加并化简可得 当一定时，若的总质量（）越大，绕行周期会越小,故D正确； 故选D。 点评　双星的两个“陷阱”：其一，半径不等于 L；其二，周期公式中质量和是 m₁ + m₂，不是单个质量。记住“双星同周期，半径反比于质量，周期由总质量决定”即可。 题型五　天体质量与密度的估算 两条路径： · 有环绕天体：由 GMm/r² = m(4π²/T²)r 得 M = 4π²r³/(GT²) · 只有近地卫星（r ≈ R）：ρ = M/(4πR³/3) = 3π/(GT²) 例 7（2026·湖南·高考真题）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设恒星半径为R，由题意得行星轨道半径r = nR 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得恒星质量 恒星为均匀球体，体积，平均密度，将r = nR代入得 故选C。 【变式训练】卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为，运动周期为，地球半径为，万有引力常数为，下列说法正确的是（　　） A．卫星的线速度大小为 B．地球的质量为 C．地球的平均密度为 D．地球表面重力加速度大小为 【答案】BD 【知识点】计算中心天体的质量、万有引力与重力的关系、计算卫星的各个物理量、计算中心天体的密度 【详解】A．卫星轨道半径是r，线速度，不是，故A错误； B．万有引力提供向心力 解得，故B正确； C．地球体积，密度，故C错误； D．地球表面，物体重力近似等于万有引力 得，代入，得，故D正确。 故选BD。 点评　这个结论只与周期有关，与行星半径、质量都无关——测出近地卫星周期，就能算出星球密度，这是天体物理中最漂亮的结果之一。若卫星不在近地轨道，则需要同时知道 r 和 R，密度公式变为 ρ = 3πr³/(GT²R³)。 五、巩固训练 一、单选题 1．2025年4月，中国国家航天局发布《天问三号火星取样返回任务国际合作机遇公告》。假设天问三号探测器在环绕火星的椭圆轨道上运行，只考虑火星对天问三号探测器的引力。关于天问三号探测器从近火点向远火点运行的过程中，下列说法正确的是（　　） A．天问三号探测器所受火星的万有引力逐渐增大 B．天问三号探测器的运行速度逐渐增大 C．火星位于该椭圆轨道的中心 D．天问三号探测器与火星的连线在相等时间内扫过的面积相等 【答案】D 【详解】A．从近火点到远火点，根据，天问三号探测器与火星的距离r逐渐增大，天问三号探测器受到火星的万有引力F逐渐减小，故A错误； BD．由开普勒第二定律可知，天问三号探测器与火星的连线在相等时间内扫过相等的面积，因此天问三号探测器在近火点附近的速度大于在远火点附近的速度，从近火点到远火点速度逐渐减小，故B错误，D正确； C．火星应位于该椭圆轨道的一个焦点上，而不是中心，故C错误。 故选D。 2．已知地球半径为 R，地球表面处的重力加速度为 g（不考虑地球自转），则距地面高度为 R 处的重力加速度大小为（     ） A． B． C．2g D． 【答案】D 【详解】距地面高度为R处，物体到地心的距离为2R。由万有引力提供给向心力 在地球表面处的物体有 联立可得距地面高度为 R 处的重力加速度大小为 故选D。 3．A、B两天体组成双星系统，它们以连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，周期均为，A、B间的距离为，万有引力常量为，A、B的总质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设天体A质量为，轨道半径为；天体B质量为，轨道半径为。双星系统满足，二者角速度相同，相互的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力。 由万有引力提供向心力，对A：； 对B： 总质量 联立解得 故选D。 4．我国“天眼”FAST望远镜在巡视宇宙中性氢时，发现某脉冲星（视为匀质球体）的一颗伴星绕其做匀速圆周运动。通过长时间观测，测得伴星的公转周期为T，其轨道半径为该脉冲星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该脉冲星的平均密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设脉冲星半径为，则伴星轨道半径，设脉冲星质量为，伴星质量为。伴星绕脉冲星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 约去，解得脉冲星质量 匀质球体脉冲星的体积，平均密度，将、代入后约去公共项，得 故选B。 5．我国“祝融号”火星车在火星表面开展科学探测。火星车携带的实验装置以初速度竖直上抛一小球，测得小球从抛出到落回原处所用时间为。已知火星半径约为地球半径的，地球表面重力加速度为，平均密度为，忽略地球、火星自转和空气阻力，则火星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】求火星表面重力加速度：小球竖直上抛落回原点时位移为0，由运动学公式 解得 忽略星球自转时，表面物体重力等于万有引力，即 解得星球质量 星球平均密度，球体体积 联立得，即 对地球和火星分别代入上式作比 已知，将代入，解得 约去后，解得 故选D。 6．我国自主建设运行的北斗全球卫星导航系统空间段由多颗卫星组成。若轨道半径不同的两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，线速度大小分别为、，周期分别为、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球质量为M，两颗卫星的质量分别为、，轨道半径分别为、，对两颗卫星由牛顿第二定律分别有， 联立解得 周期 解得 故选C。 二、多选题 7．我国嫦娥七号任务旨在对月球南极区域开展环境与资源勘查。假设某探月轨道器在圆轨道Ⅰ上绕月球做圆周运动，如图所示，轨道器经过P点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，再在轨道Ⅱ的近月点Q点变轨至圆轨道Ⅲ，转而绕月球表面做圆周运动。已知月球半径为R，月球表面重力加速度为g，轨道Ⅰ的半径为7R，不计月球自转的影响和轨道器在P、Q点变轨所用的时间。下列说法正确的是（     ） A．轨道器在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为 B．轨道器在轨道Ⅱ上运行时经过Q、P点的速率的比值大于 C．轨道器在轨道Ⅰ上运行时的周期为 D．轨道器在轨道Ⅱ上从P点运动至Q点的最短时间为 【答案】BD 【知识点】开普勒第三定律、计算卫星的各个物理量、开普勒第二定律 【详解】A．轨道器在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为。根据万有引力提供向心力有 在月球表面有 联立解得轨道器在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为，故A错误； B．轨道器在椭圆轨道Ⅱ上运行时，Q点为近月点（半径），P点为远月点（半径）。根据开普勒第二定律可知，在Q、P两点有 解得速率之比 所以轨道器在轨道Ⅱ上运行时经过Q、P点的速率的比值大于，故B正确； C．轨道器在轨道Ⅰ上运行的轨道半径为。根据万有引力提供向心力有 又 联立解得，故C错误； D．轨道器在轨道Ⅱ上运行的半长轴为 根据开普勒第三定律有 其中轨道Ⅲ的周期 联立解得轨道Ⅱ的周期 轨道器在轨道Ⅱ上从P点运动至Q点的最短时间为半个周期，即，故D正确。 故选BD。 8．（2026·全国卷·高考真题）2026年4月，神舟二十一号乘组的航天员在中国空间站进行了出舱活动，可认为航天员出舱后与空间站一同绕地球做圆周运动。下列说法正确的是（     ） A．出舱的航天员处于失重状态 B．出舱的航天员不处于失重状态 C．在舱内的航天员处于失重状态 D．在舱内的航天员不处于失重状态 【答案】AC 【详解】AB．出舱的航天员，绕地球做匀速圆周运动，受到地球的万有引力提供所需的向心力，加速度为重力加速度，处于完全失重状态，故A正确，B错误； CD．在舱内的航天员万有引力全部提供向心力，处于完全失重状态，故C正确，D错误。 故选AC。 9．（2026·福建·高考真题）1970年，我国第一颗人造卫星“东方红一号”成功进入绕地椭圆轨道，轨道半长轴约为。在稀薄大气阻力影响下，卫星运行轨道半长轴缓慢减小，2026年其值约为。如图，1970年和2026年的轨道分别记为轨道Ⅰ和Ⅱ，且视作稳定运行轨道。忽略卫星质量变化，则卫星（     ） A．在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的大 B．在轨道Ⅰ、Ⅱ上的机械能变化量等于在两轨道远地点的动能变化量 C．在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行周期之比约为 D．在轨道Ⅰ、Ⅱ上远地点的加速度大小之比约为 【答案】AC 【详解】A．卫星受稀薄大气阻力作用，运动过程中阻力持续做负功，卫星机械能不断减小，轨道Ⅰ的半长轴更大、是更早的轨道，因此卫星在轨道Ⅰ上的机械能比轨道Ⅱ上的大，故A正确； B．卫星的机械能是动能与引力势能的总和，两轨道的机械能变化量等于远地点的动能变化量和引力势能变化量之和，故B错误； C．根据开普勒第三定律，代入半长轴、 可得周期比，故C正确； D． 卫星的加速度，加速度与卫星到地心的距离的平方成反比，考虑到地球到椭圆中心的距离，轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的远地点到地心的距离比不等于，因此加速度之比不等于，故D错误。 故选AC。 10．（2026·重庆·高考真题）中国空间站已成为我国规模最大、功能最全的综合性近地空间研究平台。若空间站绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道半径为r，地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（     ） A．地球的质量为 B．空间站绕地球运行的向心加速度大小大于g C．空间站绕地球运行的周期为 D．空间站绕地球运行的线速度大小为 【答案】CD 【详解】A．忽略地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于万有引力有 解得地球的质量为，故A错误； B．由万有引力提供向心力有 解得 代入地球质量可得 由于，则有，故B错误； C．由万有引力提供向心力有 解得 代入地球质量可得，故C正确； D．由万有引力提供向心力有 解得 代入地球质量可得，故D正确； 故选CD。 11.（2025·海南·高考真题）2025年4月24日，载人飞船神舟二十号在酒泉卫星发射中心点火发射，在进入预定轨道后成功与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是（　　） A．火箭在加速升空的过程中处于失重状态 B．航天员在空间站所受地球的引力小于其在地面上受到的地球引力 C．空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度大于地球自转角速度 D．空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度 【答案】BC 【详解】A．火箭加速升空过程，加速度方向竖直向上，则处于超重状态，故A错误； B．根据，宇航员与地球的质量不变，宇航员在空间站离地心更远，则受到的万有引力小于在地表受到万有引力，故B正确； C．根据可得，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转角速度，故C正确； D．根据可得，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度大于地球同步卫星的加速度，故D错误。 故选B 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $