2026-2027学年高一上学期数学期中复习练习卷（三）函数的定义与性质

2026-2027学年高一第一学期数学期中复习练习卷（三） 函数的定义与性质 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】借助定义域的性质计算即可. 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为.故选：D. 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】对选项中的两函数从定义域、值域、对应关系进行逐一分析可得结论. 【详解】对于A，易知两函数定义均为，值域为，对应关系均为，因此两函数为同一函数，即A正确； 对于B，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此B错误； 对于C，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此C错误； 对于D，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此D错误.故选：A 3. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题意得到是偶函数，且得到的符号变化情况即可得解. 【详解】由图可知，是上的偶函数，因， 且的定义域是，关于原点对称，所以也是偶函数，排除A，B； 由图，设函数的图象与轴交于两点， 则当或时，，时，， 而，则当时，与的符号相同，且当时，， 故当或时，，时，，故排除D，C符合.故选：C. 4. 设下列函数的定义域都为，则下列函数不满足对、且，有恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】首先由条件判断在上不是减函数，根据函数解析式，结合函数的性质，即可判断选项. 【详解】若满足条件，时，，函数在上单调递减， 若不满足条件，说明函数在不是减函数， A. ，和在上都是减函数，所以函数在上是减函数，故A错误； B. ，在上是减函数，故B错误； C.在上单调递减，在上单调递增，故C正确； D. 在上是减函数，故D错误.故选：C 5．已知函数 . 记，则 的最大值与 的最小值的差为 （    ） A．-4 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解 的最大值与 的最小值即可. 【详解】由题意，， 故当或时，，当时，， 故当或时，， 当时，. 又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下， 且，. 综上有当时，为增函数， 当时，为减函数， 当时为减函数， 故最大值为； 当时，为减函数， 当时，为减函数， 当时为增函数， 故最小值为. 故 的最大值与 的最小值的差为. 故选：B 6. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得，则或．故选：B． 7．所谓图形完全覆盖曲线是指中的每一个点都落在的内部或边界，现用一个有两个顶点在轴上的矩形区域完全覆盖函数，的图像，则这个矩形对角线长的最小值为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由由对称性，只考虑，当对角线长较大时，会存在两个位置的矩形符合题意；当对角线长较小时，会存在只有一个位置的临界位置即为所求，设矩形轴上方的点为，轴上两点分别为（在左侧）设，联立方程得，判别式等于0，求出，进而求出，而令①中，再由根与系数的关系求解，判断选项. 【详解】由对称性：只考虑，当对角线长较大时，会存在两个位置的矩形符合题意；当对角线长较小时，会存在只有一个位置的临界位置即为所求，此时矩形的四条边均与的图像相切.设矩形轴上方的点为，轴上两点分别为（在左侧）. 设，， ，即：，即：， 由得：. 而令①中 且得，， 过作轴，设， 则，， 故， 所以. 故选：D. 8．高斯函数是用德国著名的数学家高斯的名字命名的，即设，用表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，有下列四个结论：①；②在上单调递增；③的最小值为0；④没有最大值，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①② 【答案】B 【分析】根据所给定义计算出，，即可判断①②，分段分别化简函数解析式，再确定相应的函数值的取值范围，画出函数图象（部分），即可判断③④. 【详解】因为， 所以，，所以，故①正确； 因为，所以在上不可能单调递增，故②错误； 当时，所以， 当时，所以，所以，所以； 当时，所以，所以，所以； 当时，所以，所以，所以； ，所以当时； 所以的图象（部分）如下所示： 由图可知有最小值且最小值为，无最大值，故③、④正确. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是定义在上的非常值函数，的图象关于原点对称，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】BCD 【分析】得到可以判断AB，算出，结合周期性可判断C，D. 【详解】对于AB，，即，又因为 ，故A错，B正确； 的图象关于原点对称，所以，由C正确； 因为，所以， .故选：BCD. 10．德国数学家狄里克雷在1837年给出了这样一个函数，这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的值与之对应就行了，不管这个法则是用解析式还是图像、表格等形式给出的．这个函数常称为狄里克雷函数．关于狄里克雷函数的性质，下面的表述中正确的是（    ） A．或1 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 【答案】BC 【分析】根据为无理数，可对A判断；根据定义可对B判断；根据函数的对称性可判定CD. 【详解】对于A项：因为为无理数，所以，故A项错误； 对于B项：由题意知的值域为：，故B项正确； 对于C项：若为有理数，则为有理数，则，若为无理数， 则为无理数，则，即的图象关于直线对称，故C正确； 对于D项：当时，， 此时，所以的图象不关于直线对称，故D项错误. 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】令代入题设条件可判断A；令并结合奇偶性定义可判断C；令，利用单调性定义及奇函数性质判断B；利用奇函数、单调性解不等式求参数范围判断D. 【详解】令，则，A对； 令，则，即，所以为奇函数，C对； 由时，则时，令，则，故，所以，即为上的减函数，B错； 令，且为奇函数，而，即， 所以，结合B易知在上也为减函数， 所以，可得，D对.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是 ________． 【答案】 【分析】根据奇函数可求时，，进而分情况解不等式即可. 【详解】因为是奇函数，所以时，，所以不等式化为，当时，，当时，，当时，也符合，故的解集是 13. 已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则___________. 【答案】 【分析】根据题意，由已知奇偶性质得到对称性，借助已知条件与求出待定系数，再利用对称性转化为，代入解析式求解即得． 【详解】根据题意，由为奇函数，得， 令得，即；令，得， 由为偶函数，得,令，得， 由，所以，由，解得， 故时，， 由，当时，可得. 14．对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，直接，再由二次函数的最值求解. 【详解】， 因为，所以， 则， 故函数与的“偏差”为. 故答案为： 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. 已知定义在上的函数图象关于原点对称. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式. 【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3） 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，即， 又关于原点对称，故，故，即，此时有， 故关于原点对称，故，，即的解析式为； 【小问2详解】 在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； 【小问3详解】 由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 16. 已知二次函数满足，，且在上的最小值为2. （1）求的解析式； （2）若在上的最小值为2，试求实数的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）依题意利用待定系数法解方程即可得出函数解析式； （2）根据二次函数性质分类讨论求得函数在区间上的单调性，可得最小值的表达式，从而求得实数的取值范围. （3）易知，将不等式恒成立转化为，再利用函数单调性计算可得. 【小问1详解】 由可知关于对称，且在上的最小值为； 故可设，由可得，； 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）可知， 设在上的最小值为 ①当时，， 此时在区间上单调递减，可得，令，解得：； ②当时，， 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得，满足条件； ③当时， 此时在区间上单调递增，，令，解得： 综上，实数的取值范围为 【小问3详解】 由题知，当时，； 即对任意，使恒成立， 令，当时， 即对于，使得恒成立， 也即对于，使得恒成立，可得， 令，所以， 因为在区间上单调递增，所以当时，； 因此可得，即实数的取值范围为 17. 经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（的下列数据： v 40 60 90 100 120 5.2 6 8.325 10 15.6 百公里耗油量（单位：） 13 9.25 为了描述汽车每小时耗油量（单位：）与速度的关系，现有以下三种模型供选择：. （1）请填写表格空白处数据，并通过分析数据选出你认为最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式； （2）从甲地到乙地如果全程走高速公路，已知高速公路共有三个车道，分别是最右侧车道（慢车道）､中间车道（行车道）和最左侧车道（超车道），车速范围分别是（单位：）.假设这辆汽车依次在这三个车道匀速行驶且不变道，求它分别以什么速度行驶才能使百公里耗油量最少. 【答案】（1）答案见解析，；（2）分别以速度行驶，百公里耗油量最少 【分析】（1）根据分析可得出第三种模型最符合实际，代入三组值即可求出解析式； （2）可得，根据二次函数性质可求出最值. 【小问1详解】 填表如下： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 156 百公里油耗量 13 10 9.25 10 13 由题可得符合的函数模型需满足在时都可取，三种模型都满足， 若，该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合， 若，若选择第二种模型，则，也不符； 若， 经观察，第三种函数模型最符合实际，代入， 则，解得， ，所以； 【小问2详解】 ， 当时，取得最小值为9，单调递减；单调递增； 结合二次函数单调性，这辆汽车依次在这三个车道匀速行驶且不变道，分别以速度行驶，百公里耗油量最少. 18．已知实数，函数，. (1)试判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数. (3)当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值. 【答案】(1)偶函数 (2)证明见解析，函数在上是增函数 (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性； （2）任取、且，作差，变形，判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；同理结合函数单调性的定义可判断出函数在上的单调性； （3）化简函数在上的解析式，并分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在上的最小值和最大值. 【详解】（1）因为实数，函数，， 则，其中， ，则函数为偶函数. （2）因为，任取、且，则，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 函数在上也为增函数，理由如下： 因为，任取、且，则，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数. （3）当时，，， 则， 因为，当时，，即， 当时，，即， 故当时，， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 所以，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为. 19. 对定义域分别为和的函数和，若满足对任意，恰好存在个不同的实数，使得，则称为的“重覆盖函数”. （1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由； （2）若是的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）若，已知是的“重覆盖函数”（其中，请直接写出正实数的取值范围（用表示）. 【答案】（1）是，；（2）；（3） 【分析】（1）理解“重覆盖函数”的定义，将为的“重覆盖函数”转化为“对任意，直线与函数的图象都恰有个交点”. 作出函数的图象，结合直线与图象交点情况可得； （2）先求出的值域，再借助在上单调递增，可将题意转化为对任意，直线与函数的图象均有一个交点，然后结合图象变化分类讨论求解可得； （3）先利用导函数求得值域为，再结合题意分析出()的图象可由的图象向右平移个单位得到，数形结合分析直线与图象的交点个数变化，则可得出范围. 【小问1详解】 由题意，为的“重覆盖函数”，则对任意（即的值域）， 都恰好存在个不同的实数，使得. 即对任意，直线与函数的图象都恰有个交点. 由，则，由在定义域上的值域为， 如图，作出的图象， 可知对任意，直线均与的图象恰有一个交点， 即对任意，都存在唯一实数（即），使得.故由定义可知， 是的“重覆盖函数”，故. 【小问2详解】 由，其值域. ， 当时，在上单调递增，且值域为， 则需对任意，直线与均有且只有一个交点； 故由题意，要使是的“2重覆盖函数”， 则只需对任意， 直线与函数的图象均有且只有一个交点， ①当时，单调递减，且值域为，故对任意， 函数的图象与直线均有且只有一个交点，此时满足题意； 设. ②当时，二次函数的图象开口向下，有最大值， 故任意时，当时，， 即直线与函数图象无交点，此时不满足题意； ③当时， 函数图象开口向上，对称轴，且，， 令，得；令，得；令得. 当时，则且， 当时，， 结合图形可知，必存在， 使得直线与函数的图象有两个交点，此时不满足题意； 当时，，且， 当时，，结合图形同理可知，必存在， 使得直线与函数的图象有两个交点，不满足题意； 当时，，且，则在上单调递减， 结合图形可知，必存在，使得直线与函数的图象无交点， 此时不满足题意； 当时，，此时，且在上单调递减， 当时，直线与函数的图象无交点，不满足题意； 当时，，且，则在上单调递减， 结合图形可知，对任意， 必存在直线与函数的图象均有一个交点，满足题意； 综上所述，若是的“2重覆盖函数”， 则的取值范围为. 【小问3详解】 由，当时，， 当时，，因为， 当且仅当时等号成立，则此时， 当时，，因为， 当且仅当时等号成立，则此时，因此的值域为. 由， 当时，；当时，， 即()的图象可由的图象向右平移个单位得到， 由题意，若是的“重覆盖函数”（其中， 则对任意，要使直线与的图象均有个交点， 作函数的图象与直线，结合交点个数变化可得， 当且仅当时，直线与的图象均有个交点. 综上所述，若是的“重覆盖函数”， 则正实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一第一学期数学期中复习练习卷（三） 函数的定义与性质 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设下列函数的定义域都为，则下列函数不满足对、且，有恒成立的是（ ） A. B. C. D. 5．已知函数 . 记，则 的最大值与 的最小值的差为 （    ） A．-4 B．4 C． D． 6. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．所谓图形完全覆盖曲线是指中的每一个点都落在的内部或边界，现用一个有两个顶点在轴上的矩形区域完全覆盖函数，的图像，则这个矩形对角线长的最小值为：（     ）. A． B． C． D． 8．高斯函数是用德国著名的数学家高斯的名字命名的，即设，用表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，有下列四个结论：①；②在上单调递增；③的最小值为0；④没有最大值，其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①② 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是定义在上的非常值函数，的图象关于原点对称，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 10．德国数学家狄里克雷在1837年给出了这样一个函数，这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的值与之对应就行了，不管这个法则是用解析式还是图像、表格等形式给出的．这个函数常称为狄里克雷函数．关于狄里克雷函数的性质，下面的表述中正确的是（    ） A．或1 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 11. 已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是 ________． 13. 已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则___________. 14．对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为 . 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. 已知定义在上的函数图象关于原点对称. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式. 16. 已知二次函数满足，，且在上的最小值为2. （1）求的解析式； （2）若在上的最小值为2，试求实数的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 17. 经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（的下列数据： v 40 60 90 100 120 5.2 6 8.325 10 15.6 百公里耗油量（单位：） 13 9.25 为了描述汽车每小时耗油量（单位：）与速度的关系，现有以下三种模型供选择：. （1）请填写表格空白处数据，并通过分析数据选出你认为最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式； （2）从甲地到乙地如果全程走高速公路，已知高速公路共有三个车道，分别是最右侧车道（慢车道）､中间车道（行车道）和最左侧车道（超车道），车速范围分别是（单位：）.假设这辆汽车依次在这三个车道匀速行驶且不变道，求它分别以什么速度行驶才能使百公里耗油量最少. 18．已知实数，函数，. (1)试判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数. (3)当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值. 19. 对定义域分别为和的函数和，若满足对任意，恰好存在个不同的实数，使得，则称为的“重覆盖函数”. （1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由； （2）若是的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）若，已知是的“重覆盖函数”（其中，请直接写出正实数的取值范围（用表示）. 学科网（北京）股份有限公司 $