2026-2027学年高一上学期数学期中复习练习卷（四）幂函数、指数与指数函数

2026-2027学年高一第一学期数学期中复习练习卷（四） 幂函数、指数与指数函数 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由幂函数的定义得出结果即可. 【解答过程】由题知，解得，且，解得. 故选：D. 2.已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【详解】因为，所以 . 故选：D. 3.若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 4．已知实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，变形利用基本不等式建立关系求解即得. 【详解】实数，有， 则， 整理得，解得，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：D 5．设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的定义可知为偶函数，再判断出在上单调递增，由结合的单调性，即可得出答案. 【详解】因为的定义域为， 所以， 所以为偶函数，所以 当时，，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 故选：D. 6．已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将问题转化为分段函数的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到的不等关系，再由题意可分析出的取值范围. 【详解】对于上任意不相同的，都有， 即对于上任意不相同的，都有， 所以是上的增函数，且， 所以，所以， 故由题意可知，存在使得， 所以，且最小值无限逼近， 所以， 故选：A. 7．已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从作为题目切入点，分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详解】解得，此时无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 8．已知，为正实数，，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可利用指数函数单调性分别讨论：，，情况，从而求出，再结合基本不等式“1”的应用可得，即可由基本不等式求解． 【详解】由题意可得，又因为， 当时，可得，即； 当时，显然成立； 当时，可得，即； 综上可得：，即， 因为，为正数， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 的单调增区间为 【答案】ABD 【分析】利用待定系数法求出的解析式，根据幂函数的性质即可判断. 详解】设，则，解得，所以，所以的定义域为，值域为，是非奇非偶函数；的单调增区间为.故选：ABD. 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A：根据可完成计算，注意正负； B：根据可完成计算； C：根据可完成计算； D：先计算出的值，再根据可完成计算. 【详解】A：因为，所以， 显然，所以，故正确； B：因为，故正确； C：因为，故正确； D：因为，所以，所以，所以，故错误； 故选：ABC. 11．下列命题中正确的是（   ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．函数在上的值域为 C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D．函数，则不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】A选项，利用复合函数的单调性求的取值范围；B选项，利用函数定义域结合解析式求值域；C选项，解含绝对值的方程；D选项，构造函数，利用为奇函数，且在上单调递增，解不等式. 【详解】对于A，函数在区间上是增函数， 由函数是R 上的减函数，有函数在上单调递减， 时符合题意，A选项错误； 对于B，， 时，，有，得， 所以函数在上的值域为，B选项正确； 对于C，若关于的方程的两根分别为，，且， 则有，，所以，C选项正确； 对于D，设，， ， ，即， 设， ， 由于，故，，故， 则，故为奇函数，且在上单调递增， 则， 即， 故，解得，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 【答案】2 【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值. 【详解】由为幂函数，则，解得，或， 当时，，其图象关于轴对称，当时，，其图象关于对称， 因此. 13．若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意分同增或同减，结合指数函数的性质运算求解. 【详解】因为，则， 由题意得与在区间上同增或同减. 若两函数同增，则在区间上恒成立， 可得，解得； 若两函数同减，则在区间上恒成立， 可得，无解； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 14．设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或，的解集为，即可根据求解． 【详解】因为，则，在内单调递增， 则在内单调递增， 又因为在区间上的最大值为， 可得或， 由题意可知：或， 则或， 整理得或， 即关于的不等式或的解集为， 可知， 整理得，则， 故， 故答案为：． 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. （1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【详解】（1）因为，所以， 所以 ； （2） ； （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以， 所以.则. 16.已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据幂函数以及奇偶性等知识求得. （2）根据函数的单调性以及对分类讨论来求得的取值范围. 【解答过程】（1）由函数为幂函数， 则，解得； 由()在上单调递减， 得，解得，而，故或， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意. 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故. （2）由（1）得，则，即. 故或或， 解得或或，. 故实数的取值范围为. 17．已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可. （2）换元解方程，再解指数方程即可. （3）探讨函数的单调性，结合已知构造方程，再利用一元二次方程实根分布求出范围. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）令，则方程化为，即， 解得或，由（1）知， 当时，，即，解得，； 当时，，即，无解， 所以原方程的解为. （3）由（1）知，函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增， 函数在上单调递增，依题意，，即， 令，因此是方程，即的两个不等的正根， 于是，解得， 所以的取值范围是. 18．已知函数. (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. （2）由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，. 19．给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”． (1)判断是否为区间上的“函数”； (2)若是区间上的“函数”，求的取值范围； (3)若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”． 【答案】(1)不是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求函数在区间的值域，根据区间与值域的关系判断可得； （2）利用换元法将复合函数的值域转化为二次函数的值域，再根据定义得到包含关系或交集为空集，由此建立不等式求解的范围； （3）根据与的大小分类讨论，分别找出满足定义条件的区间即可. 【详解】（1）给定区间， 若对任意的，恒有函数，即； 若对任意的，恒有函数，即. 函数，. 则在上单调递减. 又，， 则在的值域为. 由， 可知对任意的，不恒成立； 又， 可知对任意的，也不恒成立. 所以不是区间上的“函数”. （2）令，由，则， 则， 则函数在上单调递增， 又， 即在上的值域为. 因为是区间上的“函数”， 所以，或， 若，则，解得； 若，则，或，解得或. 综上所述，的取值范围为. （3）由在上单调递减， 设任意，，则， 所以，即， 故在上也单调递减. 设任意区间，，由. 则. ①若，则, 故是区间上的“函数”； ②若， 则存在，使，且， 由函数图象连续不断，且单调递减， 则存在，使， 又，则，又， 所以当时，， 则， 故是区间上的“函数”； ③若， 则， 故是区间上的“函数”； ④若， 则存在，使，且， 由函数图象连续不断，且单调递减， 则存在，使， 又，则，又， 所以当时，， 则， 故是区间上的“函数”； ⑤若，则, 故是区间上的“函数”. 综上所述，存在区间，使得是区间上的“函数”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一第一学期数学期中复习练习卷（四） 幂函数、指数与指数函数 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 2.已知，则的值(    ) A． B． C． D． 3.若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 4．已知实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，为正实数，，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 的单调增区间为 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．下列命题中正确的是（   ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．函数在上的值域为 C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D．函数，则不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 13．若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是 . 14．设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. （1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 16.已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 17．已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 18．已知函数. (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 19．给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”． (1)判断是否为区间上的“函数”； (2)若是区间上的“函数”，求的取值范围； (3)若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”． 学科网（北京）股份有限公司 $