江苏省扬州市2026-2027学年高一上学期期中数学考试全真模拟练习卷

参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D D C A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）因为， 所以， 所以， 所以. 16．（15分） 【详解】（1）当时，，，故， 因为，所以. （2）因为，所以， 则有不等式组，解得， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以或， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以，其中，即， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 结合得， 综上所述，的取值范围为. 17．（15分） 【详解】（1）因为当生产这款新型电池8万台并全部销售完时，年利润为1816万元， 所以，解得， 当该厂家一年内共生产这款新型电池20万台并全部销售完时，年利润为3000万元， 所以，解得， 当时，； 当时，， 综上：． （2）当时，单调递增， 所以； 当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号，所以此时的最大值为3720， 综上所述，年产量为50万台时，获得的利润最大，最大利润为3720万元 18．（17分） 【详解】（1）（i）当时，． 任取，则 ． 因为，所以，，从而， 所以，即， 故在上单调递减． （ii）， 令，则，且． 所以可化为． 当时，单调递增，； 当时，单调递减，． 所以的值域为，即的值域为． （2）对任意，存在使，等价于． 因为，所以在上单调递减，所以． 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时； 当时，在上单调递减，此时. 当时，，，，所以不成立， 故只能是的情况，所以，得， 又，所以. 故的最大值为． 19．（17分） 【详解】(1)是在上的“函数”. 理由：已知，，任取且， 有，， 因为，则， 所以，即， 所以是在上的“函数”. (2)已知，，因为函数是在上的“函数”， 所以对任意的，，都有， 而，又，所以， 当分别取两端点时等号成立，所以， 即，结论得证. （3）因为函数是在上的“函数”，所以对， 有， 即， 对左侧进行分子有理化得：， 所以原不等式变为：， 因为，两边约去，得， 整理得， 因为根式要有意义，即， 所以，所以， 所以只需即可，即. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度扬州市高一上学期期中考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，其中、为常数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．为了增强学生体质，培养学生顽强拼搏的意志品质，某学校举行田径运动会，某班60名学生中有三分之一的学生参加了比赛，其中参加田赛的有14人，参加径赛的有18人，则该班田赛和径赛都参加的学生人数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 5．已知，且，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在使用数形结合帮助我们解决图象问题时，一个重要的方法是将不等式与特殊值相结合，帮助我们分析图象的趋势.例如：要分析函数的图象，易知时，，且随着增大，函数值减小，而，，这样我们就能大致作出它的函数图象.类似的，试判断的图象大致为（   ） A．B．C．D． 7．已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 8．定义，若函数，且在区间上的值域为，记，则的最大值为（　　） A．1.9 B．2.38 C．1.62 D．0.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列叙述正确的是（    ） A．函数和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 D．若函数满足，则的解析式为 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（     ） A．不等式的解集为 B．若，恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，若满足，则实数的值为______． 13．已知命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围是__________. 14．已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求值： (1)； (2)； (3)已知，求式子的值. 16．已知非空集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．在当今这个科技迅猛发展的时代，新能源产业正以前所未有的速度改变着我们的生活.作为新能源领域的重要组成部分，电池技术的进步直接关系到电动汽车的续航里程、充电效率以及整体安全性，是推动新能源汽车行业发展的关键力量.假设某电池生产厂家生产一款新型电池的年固定成本为200万元，每生产1万台还需另投入16万元. 设该厂家一年内共生产该款新型电池x万台并全部销售完，每万台的销售收入为万元，且 ，当该厂家一年内共生产这款新型电池8万台并全部销售完时，年利润为1816万元； 当该厂家一年内共生产这款新型电池20万台并全部销售完时，年利润为3000万元. (1)写出年利润（万元） 关于年产量（万台） 的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该厂家在这款新型电池的生产中所获得的利润最大? 并求出最大利润. 18．已知函数，． (1)当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． (2)当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 19．已知函数与的定义域均为，若对任意的，，都有，则称函数是函数在上的“函数”. (1)若，，判断是不是在上的“函数”，并说明理由. (2)若，，函数是在上的“函数”，证明：对任意的，，都有. (3)若，，，函数是在上的“函数”，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度扬州市高一上学期期中考试 数 学 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域求出集合，再求交集即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 2．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，由不等式性质，得，与 矛盾，故充分性不成立； 由，得，即 与 同号. 则 且，即或； 且，即 . 故必要性也不成立. 综上，“”是 “” 的既不充分也不必要条件. 3．已知函数，其中、为常数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，其中、为常数， 则， 所以， 所以，故. 4．为了增强学生体质，培养学生顽强拼搏的意志品质，某学校举行田径运动会，某班60名学生中有三分之一的学生参加了比赛，其中参加田赛的有14人，参加径赛的有18人，则该班田赛和径赛都参加的学生人数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据容斥原理列出方程即可求解. 【详解】设参加田赛的人数为事件，参加径赛的人数为事件， 因为某班60名学生中有三分之一的学生参加了比赛，所以， ，， 因为， 所以， ， 故选：D 5．已知，且，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】首先利用对数运算求得，再利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由得， 所以，所以， 即．因为， 所以 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 6．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在使用数形结合帮助我们解决图象问题时，一个重要的方法是将不等式与特殊值相结合，帮助我们分析图象的趋势.例如：要分析函数的图象，易知时，，且随着增大，函数值减小，而，，这样我们就能大致作出它的函数图象.类似的，试判断的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据正负进行排除即可. 【详解】， 当时，，排除CD， 当时，，排除B， 故选：A. 7．已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】命题p可利用参变分离法将原问题转化为，结合基本不等式即可求得a的范围，命题q直接利用判别式即可求得a的范围，取交集即可得答案. 【详解】∵命题为真命题， ， 又，当且仅当，即时，等号成立， ， ∵命题，为真命题， 或， ∵命题p，q都是真命题， 或． 故选：C 8．定义，若函数，且在区间上的值域为，记，则的最大值为（　　） A．1.9 B．2.38 C．1.62 D．0.9 【答案】A 【分析】画出的图象，根据在区间上的值域以及求得正确答案. 【详解】， 画出和的图象如下： 令，解得或. 由于， 所以的图象如下图所示： 令，解得或（舍去）， 令，解得， 依题意，在区间上的值域为， 结合图象可知， 若，存在负值，不符合题意. 若，则，. 若，则，. 若，则. 综上所述，的最大值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确. 故选：ABD. 10．下列叙述正确的是（    ） A．函数和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 D．若函数满足，则的解析式为 【答案】ABD 【分析】分析两个函数的定义域和对应法则可判断A；利用单调性法求函数的值域可判断B，利用一元二次不等式在上恒成立的条件可判断C；利用方程组法求函数解析式可判断D. 【详解】选项A：两个函数的定义域均为，且对任意，恒有， 二者对应法则完全一致，因此表示同一个函数，A正确； 选项B：先求定义域：需满足，得，即函数的定义域为， 和​都是上的单调递减函数，因此在上单调递减， ，， 因此函数值域为，B正确； 选项C：定义域为，等价于二次式对所有实数恒成立， 该二次函数开口向上，只需判别式，解得，即，C错误； 选项D：将原式中的替换为，得， 联立两个方程消去得，化简得，D正确. 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（     ） A．不等式的解集为 B．若，恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 【答案】BD 【分析】对于A选项，根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；对于B选项，求出的取值，结合不等式恒成立求出的取值范围，判断选项B；对于C选项，解二次不等式结合高斯函数的定义和性质判断选项C；对于D选项，首先根据不等式的解集确定的可以取值，然后逐一代入不等式中求解参数的取值范围并判断选项. 【详解】对于A选项，满足不等式的整数为，，， 时，对应；时，对应；时，对应， 满足不等式的区间为，故A选项错误； 对于B选项，当时，的取值为，，，， 令，不等式对恒成立， 当时，代入得，解得：； 当时，代入得，解得：； 当时，代入得，解得：； 当时，代入得，解得：； 综上可得：，故B选项正确； 对于C选项，由，解得：， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C选项错误； 对于D选项，不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，由，即，可得：，即， 当时，需满足，解得：， 当时，需满足，解得：， 综上可得：，故D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，若满足，则实数的值为______． 【答案】 【分析】根据集合交集的概念求解即可. 【详解】因为，所以，所以，解得， 当时，，，此时，不符合题意， 当时，，，此时，符合题意， 故答案为： 13．已知命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先将命题为假命题转化为其否定为真命题，进而可得. 【详解】由题意可知，，为真命题， 设函数，易知在上单调递减， 故原命题等价于，即， 故答案为：. 14．已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是________. 【答案】6 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，结合函数单调性得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】设， 因为，所以在上单调递增， 当时；当时，. 由的图象开口向上，， 可知方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点； 由题意知， 则当时，；当时，， 所以是方程的根，则，即，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求值： (1)； (2)； (3)已知，求式子的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可； （2）根据对数的运算性质计算即可； （3）将平方，求出，再将平方求出，即可得解. 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）因为， 所以， 所以， 所以. 16．已知非空集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入参数求集合后计算并集； （2）将转化为列不等式求解； （3）将充分不必要条件转化为是的真子集，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，，故， 因为，所以. （2）因为，所以， 则有不等式组，解得， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以或， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以，其中，即， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 结合得， 综上所述，的取值范围为. 17．在当今这个科技迅猛发展的时代，新能源产业正以前所未有的速度改变着我们的生活.作为新能源领域的重要组成部分，电池技术的进步直接关系到电动汽车的续航里程、充电效率以及整体安全性，是推动新能源汽车行业发展的关键力量.假设某电池生产厂家生产一款新型电池的年固定成本为200万元，每生产1万台还需另投入16万元. 设该厂家一年内共生产该款新型电池x万台并全部销售完，每万台的销售收入为万元，且 ，当该厂家一年内共生产这款新型电池8万台并全部销售完时，年利润为1816万元； 当该厂家一年内共生产这款新型电池20万台并全部销售完时，年利润为3000万元. (1)写出年利润（万元） 关于年产量（万台） 的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该厂家在这款新型电池的生产中所获得的利润最大? 并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为50万台时，获得的利润最大，最大利润为3720万元 【分析】（1）根据题意先求出，，再结合题设分，两种情况求解即可； （2）结合二次函数的性质及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为当生产这款新型电池8万台并全部销售完时，年利润为1816万元， 所以，解得， 当该厂家一年内共生产这款新型电池20万台并全部销售完时，年利润为3000万元， 所以，解得， 当时，； 当时，， 综上：． （2）当时，单调递增， 所以； 当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号，所以此时的最大值为3720， 综上所述，年产量为50万台时，获得的利润最大，最大利润为3720万元. 18．已知函数，． (1)当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． (2)当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1)（i）当时，． 任取，则 ． 因为，所以，，从而， 所以，即， 故在上单调递减． （ii）； (2) 【分析】（1）（i）根据单调性的定义及作差法证明即可. （ii）换元，将原函数化为二次函数求解即可. （2）待求问题等价于，结合一次函数的单调性求出，根据对勾函数及基本不等式对分情况求出，列不等式求解即可． 【详解】（1）（1）（i）略 （ii）， 令，则，且． 所以可化为． 当时，单调递增，； 当时，单调递减，． 所以的值域为，即的值域为． （2）对任意，存在使，等价于． 因为，所以在上单调递减，所以． 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时； 当时，在上单调递减，此时. 当时，，，，所以不成立， 故只能是的情况，所以，得， 又，所以. 故的最大值为． 19．已知函数与的定义域均为，若对任意的，，都有，则称函数是函数在上的“函数”. (1)若，，判断是不是在上的“函数”，并说明理由. (2)若，，函数是在上的“函数”，证明：对任意的，，都有. (3)若，，，函数是在上的“函数”，求的取值范围. 【答案】(1)是在上的“函数”. 理由：已知，，任取且， 有，， 因为，则， 所以，即， 所以是在上的“函数”. (2)已知，，因为函数是在上的“函数”， 所以对任意的，，都有， 而，又，所以， 当分别取两端点时等号成立，所以， 即，结论得证. (3) 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）根据“函数”的定义，结合定义域内自变量差值的最大值，放缩即可完成证明； （3）通过分子有理化化简根式，将不等式转化为恒成立问题，再分析式子的下界，即可得到参数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为函数是在上的“函数”，所以对， 有， 即， 对左侧进行分子有理化得：， 所以原不等式变为：， 因为，两边约去，得， 整理得， 因为根式要有意义，即， 所以，所以， 所以只需即可，即. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $