2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷

苏科版 九年级数学 期中复习卷 时间：120分钟 满分：130分 考试范围：反比例函数、圆、数据的集中趋势和离散程度 班级：____________ 姓名：_______________ 得分：______________ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知⊙O的半径为4，平面内有一点M．若OM＝5，则点M与⊙O的位置关系是（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 2．如图，已知直线y＝mx与双曲线的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（　　） A．（1，3） B．（3，1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，3） 第2题 第3题 第4题 第5题 3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（　　） A．20° B．40° C．80° D．70° 4．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（　　） A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm 5．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（　　） A．52° B．76° C．26° D．128° 6．若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 7．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．2 C．π D． 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，则点P沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段BM的最小值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．如图，等边△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CBD＝ _______ °． 10．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝62°，则∠BDC＝________ ． 11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD＝_______ °． 12．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为 _______ °． 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 13．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为________________ ． 14．如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC边上，且ID⊥BC，若∠ABC＝42°，∠C＝58°，则∠AID的度数为________ °． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（0，4），点C（3，0），连结BC，⊙M在第一象限，且与BC和两条坐标轴都相切，反比例函数y（k≠0）的图象经过圆心M，则k的值为 _______ ． 16．如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交于BC点D，过点D作DE⊥AB于点E，∠ADC＝2∠ACB．连接BO交DE于点F，延长ED交⊙O于点G，连接AG．若AC＝8，BF＝OD，则DE＝________________ ，EF＝____________________ ． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，OE＝OF．求证：AC＝BD． 18．（本题6分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A（2，a），B（b，﹣1）． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）连接AO，BO，求△AOB的面积． 19．（本题6分）如图，AD、BC是⊙O的弦，且AD＝BC，AC是直径，求证：四边形ABCD是矩形． 20．（本题6分）已知AB是⊙O的弦． （1）如图①，只用无刻度的直尺作弦CD，使CD＝AB； （2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦CD，使CD＝AB，且AB与CD的夹角为60°．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 21．（本题7分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格；9分及9分以上为优秀），绘制了如图统计图表． 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 根据上述信息，解答下列问题； （1）学生成绩统计表中m＝_________ ，a＝_____ ，b＝________ ； （2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 22．（本题7分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P．过点D作⊙O的切线与AB的延长线相交于点E． （1）若∠ABC＝56°，求∠E的度数． （2）若CD＝6，BP＝2，求⊙O的半径． 23．（本题7分）如图，反比例函数y1（x＞0）的图象与一次函数y2＝bx+c的图象在第一象限交于点A（4，3），一次函数y2＝bx+c的图象与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）b＝_____ ，c＝_______ ； （2）满足不等式0＜y2＜y1的x的取值范围是____________________ ； （3）P（m，0）为x轴上一点，若△AOP的面积不小于△AOB的面积，请求出m的取值范围． 24．（本题7分）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即CD＝8m），OC⊥AB， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 25．（本题10分）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段0～24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y（℃）随时间x（时）变化的图象，如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为15℃，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到15℃． （1）求线段AB及双曲线CD段的函数解析式（写出自变量取值范围）； （2）求该大棚在0～24时内，温度不低于24℃的时长， 26．（本题10分）某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差． 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分2 甲 84.6 70 a 171.44 乙 86.3 b 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝_______ ，b＝_______ ； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数m25＝_______ ，上四分位数m75＝_______ ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 27．（本题10分）如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）． （1）的度数为 ________ °； （2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 _____ ； （3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长； （4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版 九年级数学 期中复习卷 时间：120分钟 满分：130分 考试范围：反比例函数、圆、数据的集中趋势和离散程度 班级：____________ 姓名：_______________ 得分：______________ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知⊙O的半径为4，平面内有一点M．若OM＝5，则点M与⊙O的位置关系是（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【分析】点与圆位置关系：比较点到圆心距离d与半径r，d＞r则点在圆外。 【解答】解：∵⊙O的半径为4，OM＝5 ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 2．如图，已知直线y＝mx与双曲线的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（　　） A．（1，3） B．（3，1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，3） 【分析】反比例函数图象和过原点的直线都关于原点中心对称，两交点关于原点对称。 【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（﹣1，3），另一个交点的坐标为（1，﹣3）． 故选：C． 3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（　　） A．20° B．40° C．80° D．70° 【分析】由垂径定理得弧CB＝弧DB，再由圆周角定理∠BOD＝2∠CAB。 【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°． 故选：B． 4．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（　　） A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm 【分析】圆锥底面圆周长等于扇形弧长，由扇形面积求弧长，再求底面半径。 【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r， 则由题意得R＝30，由Rl＝300π得l＝20π； 由2πr＝l得r＝10cm； 故选：B． 5．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（　　） A．52° B．76° C．26° D．128° 【分析】连接OD、OF，由圆周角定理得∠DOF＝2∠DEF，再由四边形ADOF内角和求∠A。 【解答】解：连接OD，OF，则∠ADO＝∠AFO＝90°； 由圆周角定理知，∠DOF＝2∠E＝104°； ∴∠A＝180°﹣∠DOF＝76°．故选：B． 6．若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【分析】由k＜0知图象在二、四象限，各象限内y随x增大而增大，按各点横坐标所在象限比较大小。 【解答】解：∵反比例函数y中k＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵﹣3＜﹣1＜0， ∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限， ∴0＜y1＜y2， ∵3＞0， ∴点C（3，y3）位于第四象限， ∴y3＜0， ∴y2＞y1＞y3． 故选：B． 7．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．2 C．π D． 【分析】过O作OE⊥CD，由切线性质和直角三角形求∠COD，阴影面积＝扇形OCD面积减去△OCD面积。 【解答】解：过O点作OE⊥CD于E， ∵AB为⊙O的切线， ∴∠ABO＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°， ∵⊙O的半径为2， ∴OE＝1，CE＝DE， ∴CD＝2， ∴图中阴影部分的面积为：21π． 故选：A． 8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，则点P沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段BM的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】取AB中点E、CE中点F，由中位线得MF为定值，点M在以F为圆心的圆上运动，求BM的最小值即BF减去半径。 【解答】解：取BA的中点E，连接CE，PE，取CE中点F，连接MF， ∵点M和点F分别为CP和CE的中点， ∴MF是△CPE的中位线．又∵AC＝BC＝2， ∴AB2， ∴PE， 则MFPE， ∴点M在以点F为圆心，为半径的圆上． 连接BF，在Rt△BEF中， ∵EFCE，BEAB， ∴BF， ∴BM的最小值为：． 故选：D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．如图，等边△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CBD＝ 　 　 °． 【分析】由等边三角形求∠ABC，由圆周角定理求∠D，再由直径所对直角求∠CBD。 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°， 根据圆周角定理得：∠D＝∠C＝60°， ∵AD为直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°， 故答案为：30． 10．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝62°，则∠BDC＝　 　 ． 【分析】由圆周角定理，∠BDC等于弧BC所对圆心角∠AOB的一半。 【解答】解：∵，∠AOB＝62°， ∴∠BDCAOB＝31°， 故答案为：31°. 11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD＝　 　 °． 【分析】连接AD，由直径得∠ADB＝90°，先求∠A，再由同弧圆周角相等求∠BCD。 【解答】解：连接AD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝55°， ∴∠A＝90°﹣55°＝35°， ∴∠BCD＝∠A＝35°， 故答案为35°． 12．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为 　 　 °． 【分析】连接OB、OC，用等腰三角形性质求∠AOB、∠COD，再由∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD求弧的度数。 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°， ∴∠AOB＝180°﹣2×65°＝50°，∠COD＝180°﹣2×60°＝60°， ∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝150°﹣50°﹣60°＝40°， ∴的度数为40°． 故答案为40． 13．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为　 　 ． 【分析】由圆周角定理求∠BOC，垂径定理得CE＝DE，且△OCE为等腰直角三角形，用OC求CE。 【解答】解：∵∠A＝22.5°， ∴∠BOC＝2∠A＝45°， ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形， ∴CEOC＝2， ∴CD＝2CE＝4． 故答案为4． 14．如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC边上，且ID⊥BC，若∠ABC＝42°，∠C＝58°，则∠AID的度数为　 　 °． 【分析】由内角和求∠BAC，由内心性质得各角平分线，求∠AIB和∠BID，再由周角求∠AID。 【解答】解：∵∠ABC＝42°，∠C＝58°， ∴∠BAC＝180°﹣42°﹣58°＝80°， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠ABI＝∠DBI∠ABC＝21°，∠BAI∠BAC＝40°， ∴∠AIB＝180°﹣21°﹣40°＝119°， ∵ID⊥BC， ∴∠BID＝90°﹣21°＝69°， ∴∠AID＝360°﹣119°﹣69°＝111°+61°＝172°． 故答案为：172． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（0，4），点C（3，0），连结BC，⊙M在第一象限，且与BC和两条坐标轴都相切，反比例函数y（k≠0）的图象经过圆心M，则k的值为 　 　 ． 【分析】作MP⊥y轴、MQ⊥x轴、MH⊥BC，证四边形POQM为正方形，由切线长定理BP+CQ＝BC＝5，设M（m，m）列方程求m。 【解答】解：作MP⊥y轴于P，MQ⊥x轴于Q，MH⊥AB与H， ∴⊙M在第一象限，且与BC和两条坐标轴都相切， ∴MP＝MH＝MQ，都是⊙M的半径， ∴P、H、Q是切点，四边形POQM是正方形， ∴BP＝BH，CH＝CQ， ∴BP+CQ＝BH+CH＝AB， ∴点B（0，4），点C（3，0）， ∴OB＝4，OC＝3， ∴BC5， 设M（m，m）， ∵四边形POQM是正方形， ∴OP＝OQ＝m， ∴PB＝m﹣4，CQ＝m﹣3， ∴m﹣4+m﹣3＝5， 解得m＝6， ∴M（6，6）， ∵反比例函数y（k≠0）的图象经过圆心M， ∴k＝6×6＝36， 故答案为：36． 16．如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交于BC点D，过点D作DE⊥AB于点E，∠ADC＝2∠ACB．连接BO交DE于点F，延长ED交⊙O于点G，连接AG．若AC＝8，BF＝OD，则DE＝　 　 ，EF＝　 　 ． 【分析】作OH⊥AC，由角相等证△BDE≌△OAH得DE＝AH＝AC/2；再作ON⊥EG，证△BFE≌△OFN，得EF为DE的三分之一。 过点O作ON⊥EG于N，OT⊥AB于T连接OG，先证明△BFE≌△OFN，能够推导出EF是DE的三分之一． 【解答】解：过点O作OH⊥AC于H，连接OC，如图所示， ∵， ∴∠AOB＝2∠ACB， ∵∠ADC＝2∠ACB， ∴∠AOB＝∠ADC， ∴∠BOD＝∠BDO， ∴BD＝BO＝OA， ∵， ∴∠ABD∠AOC， ∵∠AOH∠AOC， ∴∠ABD＝∠AOH， ∵DE⊥AB，OH⊥AC， ∵∠BED＝∠AHO＝90°， ∴△BDE≌△OAH（AAS）， ∴DE＝AH， ∵OH⊥AC， ∴AHAC， ∴DE＝4 过点O作ON⊥EG于N，OT⊥AB于T连接OG，如图所示， ∵AC＝8， ∴DE＝4， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO， ∵∠BAO+∠ADE＝90°，∠ABO+∠BFE＝90°， ∴∠BFE＝∠OFD＝∠ODF， ∴OF＝OD， ∵BF＝OD， ∴OF＝OD＝BF， 又∵∠BEF＝∠ONF＝90°， ∴△BFE≌△OFN（AAS）， ∴BE＝ON，EF＝FN， ∵OF＝OD，ON⊥FD， ∴EF＝FN＝NDDE， 故答案为：4，． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，OE＝OF．求证：AC＝BD． 【分析】连接OC、OD，用HL证Rt△OEC≌Rt△OFD，得∠AOC＝∠BOD，由等圆心角对等弦得AC＝BD。 【解答】解：证明：连接OC，OD， ∵CE⊥AB、DF⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFD＝90°． 在Rt△OEC和Rt△OFD中， ∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL）， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴AC＝BD． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A（2，a），B（b，﹣1）． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）连接AO，BO，求△AOB的面积． 【分析】（1）由一次函数求A坐标，再待定系数法求反比例解析式；（2）求B坐标，由图象直接写解集；（3）用S△AOB＝S△AOC+S△BOC。 （2）先求出点B坐标，则不等式的解集转化为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点横坐标的取值范围； （3）根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得， ∴A（2，3）， 将A（2，3）代入，得， 解得k＝6， ∴反比例函数的表达式为． （2）由条件可得：， 解得b＝﹣6， ∴B（﹣6，﹣1）． 不等式的解集为﹣6＜x＜0或x＞2． （3）如图，设直线AB交y轴于点C， 设直线交y轴于点C，令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2），OC＝2． S△AOB＝S△AOC+S△BOC ＝8， ∴△AOB的面积为8． 19．如图，AD、BC是⊙O的弦，且AD＝BC，AC是直径，求证：四边形ABCD是矩形． 【分析】由直径所对直角得∠D＝∠B＝90°，再用勾股定理及AD＝BC推AB＝CD，证平行四边形加直角即矩形。 【解答】解：证明：∵AC为⊙O的直径， ∴∠D＝∠B＝90°， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， 在Rt△ADC中，CD2+AD2＝AC2， ∴AB2+BC2＝CD2+AD2， ∵AD＝BC， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 20．已知AB是⊙O的弦． （1）如图①，只用无刻度的直尺作弦CD，使CD＝AB； （2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦CD，使CD＝AB，且AB与CD的夹角为60°．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【分析】（1）在同圆中等圆心角对等弦，作与AB所对圆心角相等的弦CD；（2）结合圆周角定理与弦心距作弦，使与AB夹角60°。 （2）根据圆周角定理和弦心距和等弦的关系作图． 【解答】解：（1）CD即为所求； （2）CD即为所求． 21．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格；9分及9分以上为优秀），绘制了如图统计图表． 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 根据上述信息，解答下列问题； （1）学生成绩统计表中m＝　 　 ，a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数． 【分析】（1）m为七年级成绩加权平均数，a为众数，b为八年级中位数；（2）用样本合格率估计总体人数。 （2）样本中八年级学生成绩合格的人数占总样本数的比值乘以总人数即可． 【解答】解：（1）平均数m＝5×20%+6×10%+7×10%+8×30%+9×15%+10×15%＝7.55； 由扇形统计图可知，七年级中8分出现的次数最多，占样本总数的30%， ∴众数a＝8； 将八年级20名学生的成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是7和8， 故中位数． 故答案为： （2）（人）， 答：估计该校八年级学生成绩合格的人数为510人． 22．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P．过点D作⊙O的切线与AB的延长线相交于点E． （1）若∠ABC＝56°，求∠E的度数． （2）若CD＝6，BP＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OD，由垂径定理和圆周角定理求∠EOD，再由切线垂直半径求∠E；（2）由垂径定理求PD，用勾股定理列方程求半径。 （2）根据垂径定理求出PD，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）连接OD， ∵弦AB⊥CD， ∴∠CPB＝90°． ∵∠ABC＝56°， ∴∠PCB＝90°﹣56°＝34°， 由圆周角定理得，∠EOD＝2∠CPB＝68°， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°， ∴∠E＝90°﹣68°＝22°； （2）∵弦AB⊥CD， ∴CP＝DPCD＝3， 设⊙O的半径为r， 在Rt△ODP中，PD2+OP2＝OD2，即32+（r﹣2） 2＝r 2， 解得，r， 所以⊙O的半径为． 23．如图，反比例函数y1（x＞0）的图象与一次函数y2＝bx+c的图象在第一象限交于点A（4，3），一次函数y2＝bx+c的图象与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）满足不等式0＜y2＜y1的x的取值范围是　 　 ； （3）P（m，0）为x轴上一点，若△AOP的面积不小于△AOB的面积，请求出m的取值范围． 【分析】（1）由A点求OA确定B坐标，用待定系数法求b、c；（2）求直线与x轴交点，观察图象写解集；（3）由面积关系列不等式求m范围。 （2）求出直线AB与x轴的交点坐标，观察图象得出答案； （3）根据题意求出△AOB的面积，再将△AOP的面积表示出来，利用不等式求解． 【解答】解：（1）由条件可知， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝5， ∴B（0，﹣5）， 由条件可得， 解得， ∴b＝2，c＝﹣5． 故答案为：2，﹣5； （2）令y＝0，代入y2＝2x﹣5中， 则0＝2x﹣5， 解得， ∴直线y2＝2x﹣5与x轴交于点， ∴根据图象可知，当0＜y2＜y1时，x的取值范围为； 故答案为：； （3）由条件可得， ∵P（m，0）， ∴OP＝|m|， ∴， ∵△AOP的面积不小于△AOB的面积， ∴， ∴或． 24．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即CD＝8m），OC⊥AB， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 【分析】（1）连接OA，设半径r，由垂径定理和勾股定理列方程求r；（2）构造矩形求船顶高度，与7.5米比较判断能否通过。 （2）易得OD＝OC﹣CD＝5米，构造如图所示矩形MEFN，OM连接，推出米，根据勾股定理可得米，求出DH＝OH﹣OD，再与7.5米进行比较即可． 【解答】解：（1）解：连接OA， ∵AB＝24m，OC⊥AB， ∴， 设OA＝OC＝r， ∵CD＝8m， ∴OD＝（r﹣8）m， 在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：AD2+OD2＝OA2， 即122+（r﹣8）2＝r2， 解得：r＝13， 答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米． （2）解：∵r＝13米，CD＝8m， ∴OD＝OC﹣CD＝5（米）， 构造如图所示矩形MEFN，OM连接， 当EF＝MN＝10m时， ∵OC⊥AB， ∴OC⊥MN， ∴（米）， 根据勾股定理可得：（米）， ∴DH＝OH﹣OD＝12﹣5＝7（米）， ∵7＜7.5， ∴此货船不能顺利通过这座桥． 25．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段0～24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y（℃）随时间x（时）变化的图象，如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为15℃，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到15℃． （1）求线段AB及双曲线CD段的函数解析式（写出自变量取值范围）； （2）求该大棚在0～24时内，温度不低于24℃的时长， 【分析】（1）用待定系数法求双曲线CD和线段AB解析式；（2）令y＝24代入两解析式求对应x，差值即时长。 （2）把y＝24分别代入到两个函数解析式中求出对应的x的值即可得到答案． 【解答】解：（1）设双曲线CD段的函数解析式为， 将D（24，15）代入，得m＝24×15＝360， ∴双曲线CD段的函数解析式为， 在中，当y＝30时，， ∴x＝12， ∴CD段的函数解析式为； 设线段AB所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 将A（0，15）和B（5，30）代入，得， 解得， ∴线段AB的函数解析式为y＝3x+15（0≤x≤5）； （2）令， 解得x＝15， ∴CD段温度为24℃的时刻为15时． 令y＝3x+15＝24， 解得x＝3， ∴AB段温度为24℃的时刻为3时， ∴15﹣3＝12（小时）， 答：温度不低于24℃的时长为12小时． 26．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差． 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分2 甲 84.6 70 a 171.44 乙 86.3 b 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数m25＝　 　 ，上四分位数m75＝　 　 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【分析】（1）按定义求中位数和众数；（2）把甲组数据排序，求上下四分位数，再补全箱线图；（3）从平均数与方差角度比较两组成绩。 （2）根据四分位数的求解方法求解上、下四分位数即可；然后求出甲组数据的最大值、最小值，再结合中位数和上、下四分位数即可补全箱线图； （3）可以从平均数和方差的角度分析． 【解答】解：（1）甲组10个数，排序后第五和第六位分别是89和91， ∴中位数，众数是出现次数最多的，乙组排序后92最多， ∴众数b＝92， 故答案为：90，92； 故补全箱线图： （2）前半部分为前5个数（60，70，70，80，89），中位数是第3个为70， 则下四分位数为70，后半部分数据为（91，92，96，98，100）， 中位数是第3个为96，则上四分位数为96， 作甲组箱线图如图所示故答案为：70，96； （3）乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数86.3大于甲组平均数84.6，乙组的方差73.41小于甲组的方差171.44， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 27．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）． （1）的度数为 　 　 °； （2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 　 　 ； （3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长； （4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 【分析】（1）证△ACE为等边三角形，求∠BEC即弧的度数；（2）由垂径定理和中位线得OG＝PD/2，PD为直径时OG最大；（3）由垂径定理和角平分线证AC＝AQ；（4）把△ACP旋转120°至△ADM，证M、D、P共线，得PD+PC＝PM，求比值。 （2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，又G是CP的中点，连接PD，则OG∥PD，OG，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧上的一动点，故当P，E，D三点共线，即PD为直径时，PD最大，此时OG最大； （3）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到，所以∠ACD＝∠CPA，又CQ平分∠DCP，所以∠PCQ＝∠DCQ，可以证明∠ACQ＝∠AQC，所以AC＝AQ，由（1）可得，AC＝AE＝2，所以AQ＝2； （4）由直径AB⊥CD，可以得到AB垂直平分CD，所以AC＝AD，∠CAD＝2∠CAE＝120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，可以证明M，D，P三点共线，所以PC+PD＝PM，可以证明△PAM是顶角为120°的等腰三角形，过A作AG⊥PM于G，由于∠APM＝30°，可以通过勾股定理或者三角函数证明PMPA，所以． 【解答】解：（1）连接AC，CE， ∵A（﹣1，0）、E（1，0）， ∴OA＝OE＝1， ∵OC⊥AE， ∴AC＝CE， ∵AE＝CE， ∴AC＝CE＝AE， ∴∠CAE＝60°， ∴∠BEC＝2∠CAB＝120°， ∴的度数为120°， 故答案为：120； （2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD， 由垂径定理可得，CO＝OD， 连接PD，如图2， 又∵G为PC的中点， ∴OG∥PD，且OG， 当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值， 且DP＝AB＝2AE＝4， ∴OG的最大值为2， 故答案为：2； （3）连接AC，BC， ∵直径AB⊥CD， ∴， ∴∠ACD＝∠CPA， ∵CQ平分∠DCP， ∴∠DCQ＝∠PCQ， ∴∠ACD+∠DCQ＝∠CPA+∠PCQ， ∴∠ACQ＝∠AQC， ∴AQ＝AC， ∵∠CAO＝60°，AO＝1， ∴AC＝2， ∴AQ＝2； （4）由题可得，直径AB⊥CD， ∴AB垂直平分CD， 如图4，连接AC，AD，则AC＝AD， 由（1）得，∠DAC＝120°， 将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM， ∴△ACP≌△ADM， ∴∠ACP＝∠ADM，PC＝DM， ∵四边形ACPD为圆内接四边形， ∴∠ACP+∠ADP＝180°， ∴∠ADM+∠ADP＝180°， ∴M、D、P三点共线， ∴PD+PC＝PD+DM＝PM， 过A作 AG⊥PM于G，则 PM＝2PG， •∠APM＝∠ACD＝30°， 在 Rt△APG 中，∠APM＝30°， 设AG＝x，则AP＝2x， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 为定值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $