期中（第26章～27章）阶段复习填空题考点汇总训练（九大类型）-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第26章～27章）阶段复习填空题考点汇总训练 （九大类型） 目录 考点一二次函数的概念 1 考点二二次函数的图象与性质 1 考点三确定二次函数的表达式 2 考点四二次函数与一元二次方程 2 考点五二次函数的简单应用 3 考点六成比例的线段 4 考点七相似三角形 4 考点八相似多边形 5 考点九位似多边形 5 考点一二次函数的概念 1．销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 2．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 3．若关于的函数是二次函数，则的值为__________． 考点二二次函数的图象与性质 4．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，并且关于x的方程无实数解．那么符合条件的所有整数a的和是________． 5．在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 6．已知二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”“”或“”） 考点三确定二次函数的表达式 7．已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 8．若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 9．在平面直角坐标系中，过原点的抛物线与轴交于另一点（点与点不重合），顶点为．当为等腰直角三角形时，的值为______________． 考点四二次函数与一元二次方程 10．如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，其中点A坐标为与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为___________． 11．已知抛物线与抛物线形状相同、开口大小相同，但是开口方向相反．如果点在抛物线上，那么实数的值为__________． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 考点五二次函数的简单应用 13．如图，某小区有一块绿地为等腰直角三角形，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点，，分别在边，，上．若，则当的长为________时，矩形的面积最大． 14．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 15．市民广场有一个直径的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物的顶端处汇合，水柱离中心处达最高，如图以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则装饰物的高度应设计为________． 考点六成比例的线段 16．已知非零实数、、满足，则的值是______． 17．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，即．如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离为_____________分米． 18．如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________． 考点七相似三角形 19．如图，在中，点为边上一点，连接，点为中点，连接，已知，，若，则的长为___________． 20．如图所示，已知和，，，，，当______时，． 21．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ． 考点八相似多边形 22．两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 23．已知五边形五边形，若，，则的值为________． 24．如图，四边形与四边形相似，且A、B、C、D分别与、、、对应，则的度数是__________． 考点九位似多边形 25．已知与是位似图形，且与的相似比是．若的面积是，则的面积是________． 26．直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是__________． 27．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第26章～27章）阶段复习填空题考点汇总训练 （九大类型） 目录 考点一二次函数的概念 1 考点二二次函数的图象与性质 3 考点三确定二次函数的表达式 4 考点四二次函数与一元二次方程 6 考点五二次函数的简单应用 9 考点六成比例的线段 11 考点七相似三角形 12 考点八相似多边形 16 考点九位似多边形 17 考点一二次函数的概念 1．销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每台利润乘以销售量，分别表示出降价后每台的利润和每天的销售量，相乘整理即可得到函数解析式． 【详解】解：∵每台护眼灯进价为元，原销售单价为元，单价下降元， ∴每台的利润为， ∵原本每天可卖出台，每降价元每天多卖出台， ∴降价元后每天的销售量为台， ∵总利润每台利润销售量， ∴， 展开整理得， ∵利润非负，为非负数， ∴， ∴， 即与之间的函数解析式为． 2．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数，代入新运算等式求出特征值关于的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到的取值范围，即可得出的最小值． 【详解】解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 3．若关于的函数是二次函数，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据二次函数定义可知未知数最高次数为2，二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴， ∴． 考点二二次函数的图象与性质 4．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，并且关于x的方程无实数解．那么符合条件的所有整数a的和是________． 【答案】20 【分析】结合二次函数的增减性确定对称轴的位置得到a的初步范围，再根据方程无实数解的条件排除一次方程有解的情况，得到a的另一范围，取交集后找出所有整数a计算求和． 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧y随x的增大而减小． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得． ∵关于x的方程无实数解， ∴当时，方程为，存在实数解，不符合要求． 当时，方程为一元二次方程，无实数解需满足判别式， 即， 解得． ∴ 综合两个条件，a的取值范围为． ∵ a为整数， ∴ 符合条件的a为2，3，4，5，6． ∴ 所有整数a的和为． 5．在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】该二次函数开口向上，对称轴为直线，根据给定的时的递增要求，确定对称轴与直线的位置关系，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 6．已知二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】首先确定函数图象的对称轴，其次利用对称性，将时的函数值转化为时的函数值，结合图象进行判断． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相同， 由函数图象可知当时，， ∴当时，， ∴． 考点三确定二次函数的表达式 7．已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 【答案】0 【分析】已知二次函数的常数项与顶点坐标，通过待定系数法求出函数解析式，结合抛物线开口方向、对称轴与给定x的取值范围的位置关系，确定给定x的取值范围内的最大值m和最小值n，进而计算的值． 【详解】解：∵二次函数（为常数，）的顶点坐标为 ∴列方程组． 解得． ∴二次函数的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 则在范围内，自变量的值到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． ∵，， ∴当时，函数取得最小值． 代入计算得． ∵开口向下的抛物线顶点为最高点，且顶点横坐标在范围内， ∴当时，函数取得最大值． ∴． 8．若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 【答案】 或 【分析】抛物线形状相同意味着二次项系数的绝对值相等，结合已知顶点坐标，代入顶点式即可求出参数，得到抛物线表达式． 【详解】解：∵ 抛物线的形状和抛物线相同， ∴ ，即或， ∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴ ，， 解得，， 将、、代入原式，可得抛物线表达式为或． 9．在平面直角坐标系中，过原点的抛物线与轴交于另一点（点与点不重合），顶点为．当为等腰直角三角形时，的值为______________． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点式得到顶点坐标，利用抛物线对称性得到与顶点坐标的关系，结合等腰直角三角形的性质得到，再利用抛物线过原点的条件代入即可求出的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线过原点，与轴交于另一点，且与不重合， ∴，关于对称轴对称， 可得点坐标为，， ∵是等腰直角三角形，直角顶点只能为， ∴斜边上的高等于斜边的一半，斜边上的高为，可得，即， ∵抛物线过原点， 将代入抛物线解析式得，，即， 将代入上式得， ∵， 若则顶点在原点，与重合，不符合题意， ∴等式两边同时除以得． 考点四二次函数与一元二次方程 10．如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，其中点A坐标为与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为___________． 【答案】 【分析】利用抛物线的轴对称性可知 ，从而将 的最小值问题转化为 的最小值问题，根据两点之间线段最短，连接 与对称轴的交点即为所求点 ，求出直线 的解析式即可求解． 【详解】解：令，得， ，令，得， 整理得， 解得，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，最小，即最小． 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 11．已知抛物线与抛物线形状相同、开口大小相同，但是开口方向相反．如果点在抛物线上，那么实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据两个抛物线的形状、开口方向与二次项系数的关系确定的值，再代入点的坐标求解． 【详解】解：抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的符号决定， ∵与形状相同、开口大小相同，开口方向相反， ∴， 即， 将代入，得， 化简得解得． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 考点五二次函数的简单应用 13．如图，某小区有一块绿地为等腰直角三角形，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点，，分别在边，，上．若，则当的长为________时，矩形的面积最大． 【答案】 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可用表示出，再利用矩形的面积公式可得关于的二次函数关系式，问题随之得解． 【详解】解：∵等腰直角，矩形， ∴结合图形有，，，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 即当时，． 14．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 【答案】/ 【分析】先用待定系数法求出二次函数的表达式为，当时，解方程求出即可． 【详解】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， ∵抛物线过，代入，， 解得， ∴这个二次函数的表达式为：， 当时，， 解得：（不合题意舍去），， ∴铅球落地点到出手点的时间为秒． 15．市民广场有一个直径的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物的顶端处汇合，水柱离中心处达最高，如图以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则装饰物的高度应设计为________． 【答案】 【分析】根据题意，水柱轨迹为抛物线，利用顶点坐标 设出二次函数顶点式，再根据喷水池半径确定抛物线经过点，代入求出解析式后，令 即可求出装饰物高度． 【详解】解：设右侧水柱所在抛物线的解析式为， 水柱离中心处达最高 抛物线顶点坐标为， 设， 喷水池直径，喷水头在周边， 喷水头坐标为，即抛物线经过点， 将代入得，，解得， 抛物线解析式为， 装饰物在喷水池中心， 当时， 装饰物的高度应设计为． 考点六成比例的线段 16．已知非零实数、、满足，则的值是______． 【答案】/ 【详解】解：设，其中， ∴ ，，， ∴． 17．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，即．如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离为_____________分米． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点，配方法解一元二次方程知识．根据，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意有：，，， ∴， 整理得：， 解得：（负值舍去）． 18．如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵直线， ， ∵，，， ， ． 考点七相似三角形 19．如图，在中，点为边上一点，连接，点为中点，连接，已知，，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，先证明得到，不妨设，利用，求得，进而求出，接着利用面积求得，接着证明，求得，再证明，求得，最后求得答案． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 不妨设， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去负值）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图所示，已知和，，，，，当______时，． 【答案】// 【详解】解：若， 则， ， 解得：． 21．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ． 【答案】 【分析】过作于，交于，根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 考点八相似多边形 22．两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求得相似比，再根据相似多边形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴相似比为， ∴周长比为， ∵较大的多边形的周长为， ∴较小的多边形的周长为． 23．已知五边形五边形，若，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，利用已知对应边求出相似比，即可得到所求对应边的比值． 【详解】解：∵ 五边形五边形， ∴ 对应边成比例，可得， 将，代入得：． 24．如图，四边形与四边形相似，且A、B、C、D分别与、、、对应，则的度数是__________． 【答案】 【详解】解：由已知，， ∴． 考点九位似多边形 25．已知与是位似图形，且与的相似比是．若的面积是，则的面积是________． 【答案】12 【分析】根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∵与的相似比是1：2， ∴的面积：的面积=1：4， ∵的面积是3， ∴的面积是12， 26．直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，位似的性质．根据以原点为位似中心的位似变换性质，直接缩放点A坐标得到坐标，从而得到对应复数，即可求解． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，位似比为，即相似比为， ∴点A的对应点的坐标为即或即， 根据题意得：对应的复数为或． 故答案为：或． 27．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 【答案】 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形， ， ∴ 又∵两个图形在位似中心异侧， ∴与的位似比为. 学科网（北京）股份有限公司 $