湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学三参考答案 题号 y 4 6 7 9 10 11 答案 D B A A ACD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 n+kI 12. 2(答案不唯，满足2十m,ke乙即可) 13.25 14.cn=5m2+6m+1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A, P(A)= Cc+Cc49 Cio 60 …2分 (2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.… …3分 P(X-0)-CC-1P(x-i)-cici- C。6 2 Px-餐-品x=到-答0 C。 30 …11分（每个2分) X的分布列为 X 0 1 2 3 1 3 1 6 2 10 30 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 …13分 16.【解析】1)取BD的中点o,连接AO,CO,EO 因为AB=AD,BO=OD,所以AO⊥BD, 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AOC平面ABD, 所以A0⊥平面BCD,又BEC平面BCD,所以A0⊥BE.…2分 BD_DE=2 在△BCD中，BD=2BC,DE=2EC,所以BCEC 由角平分线定理，得∠CBE=∠DBE, …3分 又BC=BO=2,所以BE⊥CO, …4分 又因为AO∩C0=O,A0c平面AC0,C0C平面AC0,所以BE⊥平面AC0,…5分 又ACC平面AC0,所以AC L BE.…6分 (2)在△BCD中，BD=2BC=4,∠CBD=60,由余弦定理得CD=25, 所以BC2+CD2=BD2,即∠BCD=90°， 所以∠EBD=∠EDB=30°，BE=DE,所以EO⊥BD, …7分 结合(1)知，OE,OD,OA两两垂直，以O为原点，分别以向量OE,OD,OA的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O灯z(如图)，… …8分 设40=1(>0)， B65=- D y4a.sa2y29a0 …9分 …10分 2y+z=0 x=-V3y ii.BA=0 2W3 2 设=(，水2)是平面ABE的-个法向量，则万：BE=0, 即3r+2y=0 整理得 …11分 因为0E1平面ABD,所以m=(.0,0)是平面ABD的一个法向量.-12分 又因为二面角E-BA-D的余弦值为5， cos(m,训= V3+1+ 45 所以 ,解得=2或f=-2（舍去)，13分 又AO⊥平面BCD,所以AO是兰棱锥A-BCD的高， …14分 0. x2xx2x23=43 故 3 45 所以三棱锥A-BCD的体积为3. …15分 1.【解折】（①D根据题意：令x=1,可得/）+f(0=0,所以/0=-Q+h=0, 所以b=a.…4分 (2)由(1)可知 f(x)=Inx-ax+a x,且x>0, )=a--=-a2+x-a 所以 2 …5分 令8()=-ar+x-0,费使f(~)存在两个极值点为，名，则须有y=8()有两个不相等的正数根， a>0 a<0 1 >0 1 >0 2a 2a △=1-4a2>0 △=1-4a2>0 所以&(0)=-a<0,或g(0)=-a≥0 0<a< 1 <a< 解得 2或无解，所以实数α的取值范围为 2,(也可分离参数)…8分 a2 2=21na+2 a2a3.2 ,2a3 In -ln2 由题意知 “22a …9分 Ae)-2咖22.e h()=223-3c+4红-4 x x2 2 2x2 .…l1分 -3x+4x-4=-3x-4(1-x<0,即r()<0 四0，之 所以 小>-2h2+4 -1n2=63-3h2 16 14分 63 > -3lne>0 16 0<a< 2时， …15分 18.【解析】(1)由于AD/BC,ABIICD,AB⊥BC,所以AD,CD的斜率分别为1,1. 而D为坐标原点，故由对称性知矩形ABCD为正方形. 根据矩形ABCD有三个顶点A,B,C在「上，可知点B必为长轴端点， aa a 22) A- 2’-2 2 =1 由直线BC的斜率为1，得 代入厂的方程： 又a>1,解得a=V5 …3分 (2)《1)方法一：由于B(,%）,直线BC的斜率为1， 进而可设1-5，%+)，C(化+，，+) s-s+0+s=1 a2 ++0+=1 a 于是 …5分 s2-2x+s2+2yo3=0 a 2+2x+2+2y1=0 作差可得( a' 2(x。-a26) 2(x+a2) S= 1=- 由st≠0，可得°1+a2 1+a2 ，…7分 根据OA+OC=OB+OD(设0为坐标原点)， 0D=(x,+t-s,%+t+s)= a2-3.1-3a2 可得 a2-31-3a2 即D的坐标为a2+i:a+1% ，…9分 方法二：用直线方程与椭圆方程联立的方法求解. 由于直线BC的斜率为1，且AB⊥BC,故可设直线BC:y=x+m,直线AB:y=-x+n. 由于点B在两条直线上，故m=%一0，刀=%十. …4分 y=x+m 2 联立直线BC与椭國「的方程后+r=】 得(a+lr+2amx+a2(m2-1）=0 2a'm 设C(:),由韦达定理得 a2+1 y=-x+n x2 同理，联立直线AB与稀圆「的方程。+少=1 得（(a2+1)r-2a2nx+a2(n2-1）=0 2a'n 设4，小，由韦达定星得+一十1. …6分 由于四边形ABCD为矩形，故OD=OA+OC-OB 设D(xy) a2-3 则 2-400-3x=2+10 x+年-=G++s+)3x=2a)-3然Q+ a2+1 又因为片=-X+n.为=x3+m 所以y=y+为-%=-x++m+n-%=-(:+x)+(:+)+6 =2an+m）+%=+⅓-130 a2+1 2+%=- a2+1 a2+1% a2-3.1-3a2 故点D的坐标为a2+1,a+1 …9分 a2-3._1-3a2 (i)设D(,）,由1)符=产+.J a2+1% 当a=V5时，D在定直线x=0上 …11分 x2 3 a(a2-3） 1-3a2 当a≠B时.给+8白 a2+1 a2+1 …2分 考虑 的情说，这等价于(a-3)=-3a, 解得0=7+4W3>1,故此时a=2+V5, 对应D在圆+y=（1+V3上的情形.. …15分 除了前面两种特殊情况之外，当a>1且0≠V3且a≠2+V3时， D在椭圆 …17分 综上所述：当1=V5时，D的轨迹是直线x=0的一部分 当0=2+5时.D的锁造是国+少-+自部分 a(a2-3 1-3a2 当a∈，U(V,2+)U(2+B,+o)时，D的轨迹是箱园 a2+1 a2+1 的一部分. 评分参考：求出x与y满足的方程，给1分；讨论直线、椭圆、圆的情况分别给2,2,3分. Q【1--2a65-a。 6n n(2n-1 S= 当n≥2时，利用0，=八，-S及六1 -an-1 6(n-1) a.=+D)(2n+Do(2n-D an-1 a。n2 可得 6n 6(n-0,整理得a1(n- …2分 a,=8x0x…x4×4=n2 a02a4-,当n=1时，4=l符合上式.故0，=n,neN.4分 (2)由1)知0，=n,故hH-b=n. (1)由于，}是递增数列，所以b1-b1>0 而1-b1=(61-b.)+(6。-b),其中lb1-h=2n,lbn-bn=2n-1 所以必有b1-6。=2n.0 同理，由，}是递减数列，可得b2一b1=-(2n+）.② …7分 梅0②两式相加，得乃2-6n=-1 所以，}是公差为1的等差数列 又因为6=1,6-b=1,所以b=0或5=2 若=0，则6.=0-(n-l)=1-n,bn1=bn+2n=1+n n+ ,n为奇数 2 b= 结合=1，得 2n为偶数 若4=2，则6，=2-(m-l)=3-n,6m1=b,+2m=3+n 1,n=1 b= 2,n≥3且n为奇数 n+ 6-n 结合=1，得 2n为偶数 +上n为奇数 b= 2- 综上，若=0，则 ,n为偶数 2 1,n=1 bn= n+ ，n≥3且n为奇数 若%=2，则 ,n为偶数 2 ……10分（如果少一种情况，扣2分) （i)由h1-b=n,可得1-九.≤n .≤h+k=1+mm-) 因此 k=1 2 若m≤64，则 .≤1+63X64=2017<2026 2 故m之65.12分 当m=65时，由2-b=t址bs=1+>k-21=2081-21 k= ,其中t为非负整数 由于2081-21为奇数，而2026为偶数，故s≠2026 …14分 因此m≥66」 -60,k=60 1-b= 当m=66时，令 k,1≤k≤65且k≠60 。=1+2k-2x60=1+65x66-120=2026 则 k 2 …16分 故存在满足题意的数列也.}，使得b6=2026 综上，所求最小正整数m=66. …17分 高 三 数 学 三 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题，，则命题p的否定为 A．， B．， C．， D．， 2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在梯形中，，，．将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A． B． C． D． 4．已知在等腰中，，，点D在线段上，且，则的值为 A． B． C． D． 5．在正项等比数列中，，则的最小值为 A．4 B．8 C．12 D．16 6．若，其中是实数，则的最大值为 A．5 B．10 C．15 D．20 7．在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线垂直，则 A． B． C． D． 8．已知，若关于x的方程无解，则正整数a的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有 A．若线性回归方程为，则样本数据的残差为-0.2 B．已知随机变量，满足，若，，则， C．已知随机事件A，B，且，，若，则事件A，B相互独立 D．已知随机变量，且函数为偶函数，则 10．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是侧面内（含边界）的一动点，且满足平面，则下列说法正确的是 A．点P的轨迹是一条长为的线段 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．过点P作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则下列结论正确的是 A． B． C．周长的取值范围为 D．若O是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数的最大值为，则常数的一个取值为__________． 13．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点D，点A是抛物线C上一点，于M，若为线段的垂直平分线，，则以点A为圆心，长为半径的圆在y轴上截得的弦长为__________． 14．设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：10，1与1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，从而．若，则的通项公式为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列． 16．（本小题满分15分） 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点E在棱上，． （1）求证：； （2）若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积． 17．（本小题满分15分） 已知函数（a，），且对任意，都有． （1）用含a的表达式表示b； （2）若存在两个极值点，，且，求实数a的取值范围，并证明：． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆，矩形有三个顶点A，B，C在上，直线的斜率为1． （1）若D与坐标原点重合，求a的值； （2）设点B的坐标为． （ⅰ）试用a，，来表示点D的坐标； （ⅱ）当点B在上运动时，判断点D的运动轨迹是何种曲线的一部分，并说明理由． 19．（本小题满分17分） 设数列的前n项和为，已知，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，． （ⅰ）若是递增数列，是递减数列，求的通项公式； （ⅱ）求最小的正整数m，使得存在一个数列，满足． 学科网（北京）股份有限公司 $