精品解析：湖南长沙市雅礼中学2026-2027学年高三上学期月考（三）数学试题

高三数学三 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】， 则复数在复平面内对应的点为， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则成立； 反之，成立，不一定成立，如满足，而不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知直线：，：，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的系数关系求解即可. 【详解】因为，所以，整理得，解得. 当时，：，：，不重合. 所以. 4. 若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项计算前4项判断即可. 【详解】对于A，，，，，A可能. 对于B，，，，，B可能. 对于C，，，，，C可能. 对于D，，， ，故D不可能. 5. 若函数的定义域为［1，8］，则函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义域为，根据函数有意义，列出相应的不等式组，即可求解，得到答案. 【详解】由题意的定义域为，若函数有意义，则，得． 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解问题，其中解答中熟记函数定义域的定义，根据解析式有意义，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得， 即， 故. 7. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式，因为，两边除以，得出. 设，求导：. 由条件，又，所以， 在R上单调递增. 已知，， 因为单调递增，所以时，， 故不等式解集为. 8. 如图，焦点在轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用椭圆的基本性质结合圆的相切知识进行求解，得到椭圆的离心率 【详解】由椭圆定义可得，即，因为，所以，即，又，故，也即，由于，故椭圆的离心率为，应选答案D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C. 经验回归方程为时，变量与变量成正相关 D. 已知随机事件，，若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断A选项；利用回归分析相关知识可判断B选项；利用经验回归方程与变量的相关性定义可判断C选项；利用概率的乘法公式计算可判断D选项. 【详解】对A：，故A正确； 对B：残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故B错误； 对C：由，故变量与变量成负相关，故C错误； 对D：，故D正确. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象可由图象向左平移个单位得到 C. 函数的单调递增区间为 D. 若在上恰有3个最值点和4个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项对利用平方差公式、二倍角公式化简函数解析式对比判断正误；B选项利用三角函数图像平移规则，先统一函数名称再验证平移结果；C选项求出解析式，换元结合余弦函数单调区间求解；D选项写出表达式，换元得到的取值范围，根据区间内最值点、零点个数列出不等式，联立求解范围． 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，向左平移个单位得到： ， 且，B正确； 对于C，， 令，余弦函数的单调递增区间为， 解得，和选项表述一致，C正确； 对于D，， 令，则， 恰有3个最值点：正弦函数最值点对应，要求第3个最值点落在区间内、第4个最值点不落在区间内，即； 恰有4个零点：正弦函数零点对应，要求第4个零点落在区间内、第5个零点不落在区间内，即； 联立两个不等式解得，D正确． 11. 已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部“阶完美集”的个数，下列说法正确的是（ ） A. B. 将“阶完美集”中的元素全部加，得到的新集合是“阶完美集” C. 若为“阶完美集”，且，满足条件的集合的个数为 D. 满足递推关系 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，， 根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个， 所以此时可以是、、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，， 中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，， 中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义， 所以中个元素的子集不满足. 同理，中含个元素的子集也不满足. 综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A错误； 若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变， 但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况， 总个数为. 又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合）， 因此满足条件的集合的个数均为，故C正确； 若，因为，所以实际上， 又因为满足定义，所以完全符合“阶完美集”的定义， 反之，任何一个“阶完美集”都必然不含，且也是“阶完美集”，因此,不含的“阶完美集”个数恰好为个； 若，可令，其中，此时. 我们需要分类讨论是否为空集： 情况1：，此时，，满足条件，这是一个符合条件的集合； 情况2：，此时，由是完美集可知：. 我们来对集合进行“平移”变换： 令，此时注意：因为，减去1后最大为； 且因为，可知，所以的最小值 同时， 由上面的不等式，可得， 这意味着是一个“阶完美集”.并且，每一个“阶完美集” 加上1， 再与合并，都能唯一对应一个包含的“阶完美集”. 所以，这种情况下符合条件的集合个数恰好等于个，即，故D正确. 第Ⅱ卷 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 名同学排成一排照相若甲､乙相邻且丙、丁不相邻，则不同的排法有________种. 【答案】 【解析】 【分析】将甲、乙捆绑后和第名同学排好，再让丙、丁插空进来即可求解. 【详解】首先，甲、乙捆绑有种情况，然后和第名同学排好有种情况，再让丙、丁插空进来有种情况， 因此不同的排法有种. 13. 已知，，若直线是曲线与曲线的公切线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义及公切线定义计算即可得. 【详解】设点是直线与曲线相切的切点， 由， ，解得， 又，则切点坐标为， 即有，解得； 设点是直线与曲线相切的切点， 由， ，解得， 则， 即有，解得； 故. 14. 在三棱锥中，，，，且，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、，由、均为等腰直角三角形，可得出点为三棱锥的外接球球心，设球的半径为，，推导出平面，可得出三棱锥的体积为，再由余弦定理得出，结合可求得的值，进而利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】取的中点，连接、，如下图所示： ，，且，， 所以，、均为等腰直角三角形，且， 所以，，所以，为三棱锥的外接球直径， 设，可得，设， ，为的中点，则，同理可得， 平面，平面， 所以， ，， 在中，由余弦定理可得，即，可得， 由，可得，化简可得， 即， ，解得， 因此，三棱锥外接球的体积为. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中,,.在等比数列中,,公比. （1）求数列和的通项公式; （2）若,求数列的前n项和. 【答案】（1）,（2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义和等比数列定义,即可求得答案; （2）利用数列求和的错位相减法,即可求得答案. 【详解】（1）等差数列中,, 解得: 等比数列中,,公比. （2）由（1）和 ① 可得② 由①②得: 【点睛】本题主要考查了求等差数列和等比数列通项公式,及其求数列和,解题关键是掌握数列基础知识和数列求和的错位相减法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 16. 如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，． （1）求直线与直线所成角的余弦值． （2）若在线段上存在一点D，且= t，当时，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由勾股定理逆定理得到，再根据直棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值； （2）依题意可得，，求出、的坐标，依题意可得，则，即可得到方程，解得即可； 【小问1详解】 解：在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，． 所以，所以， 又平面， 以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为； 【小问2详解】 解：依题意，， 因为，， 所以 因为， 则， 解得， 所以． 17. 甲、乙两选手进行的每一场体育竞技比赛，都采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为. （1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； （2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围. 【答案】（1） X 2 3 P （2） 【解析】 【分析】（1）先写出离散型随机变量的分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）先求出，再根据已知不等式列式求解. 【小问1详解】 若，，则比赛为3局2胜制，每局比赛甲获胜的概率为， X的可能取值为2,3， ，， 的分布列如下： X 2 3 P . 【小问2详解】 ， ， 因为，所以， 即，解得， 所以. 18. 如图，已知抛物线的焦点为，其准线方程为，直线：与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，，交于点．过抛物线上一点（在下方）作切线，分别交，于点，． （1）求抛物线的方程； （2）当时，求面积的最大值； （3）（ⅰ）求点，的坐标（用，表示）； （ⅱ）证明：，，，四点共圆． （注：以下方法可以证明四点共圆：对角互补，外角等于内对角，同弦所对圆周角相等，共斜边的直角三角形，到同一点距离相等，相交弦定理逆定理等） 【答案】（1） （2） （3）（ⅰ）， （ⅰⅰ）根据（ⅰ），设与交于点，得， 所以，，，， 所以， 所以，根据相交弦定理逆定理得，，，四点共圆 【解析】 【分析】（1）利用抛物线准线公式直接求出，写出抛物线标准方程； （2）先求两条定切线方程，利用切线垂直得到直角三角形，把面积表示为的函数再求最大值； （3)(i) 求出 、处切线，联立切线与点切线，解出、坐标；(ii) 找到与的交点，用相交弦逆定理证四点共圆. 【小问1详解】 因为准线方程为，所以， 所以，所以抛物线的方程为 【小问2详解】 当时，由题知，，， 对于抛物线，即，， 所以，过抛物线上一点的切线的斜率为，即直线的斜率为， 过，分别作抛物线的切线，的斜率分别为，， 所以直线的方程为：，，的方程分别为，， 联立，解得， 联立，解得， 所以，， 因为，所以，互相垂直，即直线，互相垂直， 所以，当且仅当时等号成立， 所以面积的最大值为 【小问3详解】 （ⅰ）联立直线：与抛物线，得，解得， 故，， 对抛物线求导得， 过点的切线的斜率，方程为：，即． 过点的切线的斜率，方程为：，即． 联立与可得交点． 又点，则，过的切线的斜率为，方程为：， 联立与，得，解得， 代入得， 所以． 同理，联立与，得，解得， 代入得， 所以 （ⅱ）略 19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数. （1）当时 （i）判断的奇偶性，并求在的极值； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； （2）当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 【答案】（1）（i）偶函数，极小值为，无极大值； （ii）由（i）得，令，则， 对满足方程的有，所以， 设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， （为奇数） 0 + （为偶数） + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根， 且满足，， 所以， 因为，，， 则，由，可得， 故得证. （2）由题意得， 当时，， 设对应的切点为，， 对应的切点为，， 由于，所以，， 由余弦函数的周期性，只要考虑的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形， 则， ， 其中，得到， 又，， 即，， 当时，，， 令（）， 则，， 在上单调递减，又，所以， 所以，此时，则， 故得证. 【解析】 【分析】（1）（i）由奇偶性的定义，结合求导确定函数单调性即可求解；（ii）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即可. （2）利用导数几何意义得，，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下构造函数利用导数确定单调性，从而得出缩小的范围，再由不等式的性质证明结论即可. 【小问1详解】 （i）当时，， 因为，故是偶函数， 由，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在的极小值为，无极大值. （ii）略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学三 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线：，：，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0 4. 若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域为［1，8］，则函数的定义域为 A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，焦点在轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C. 经验回归方程为时，变量与变量成正相关 D. 已知随机事件，，若，，则 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象可由图象向左平移个单位得到 C. 函数的单调递增区间为 D. 若在上恰有3个最值点和4个零点，则 11. 已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部“阶完美集”的个数，下列说法正确的是（ ） A. B. 将“阶完美集”中的元素全部加，得到的新集合是“阶完美集” C. 若为“阶完美集”，且，满足条件的集合的个数为 D. 满足递推关系 第Ⅱ卷 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 名同学排成一排照相若甲､乙相邻且丙、丁不相邻，则不同的排法有________种. 13. 已知，，若直线是曲线与曲线的公切线，则________． 14. 在三棱锥中，，，，且，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为________. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中,,.在等比数列中,,公比. （1）求数列和的通项公式; （2）若,求数列的前n项和. 16. 如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，． （1）求直线与直线所成角的余弦值． （2）若在线段上存在一点D，且= t，当时，求t的值． 17. 甲、乙两选手进行的每一场体育竞技比赛，都采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为. （1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； （2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围. 18. 如图，已知抛物线的焦点为，其准线方程为，直线：与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，，交于点．过抛物线上一点（在下方）作切线，分别交，于点，． （1）求抛物线的方程； （2）当时，求面积的最大值； （3）（ⅰ）求点，的坐标（用，表示）； （ⅱ）证明：，，，四点共圆． （注：以下方法可以证明四点共圆：对角互补，外角等于内对角，同弦所对圆周角相等，共斜边的直角三角形，到同一点距离相等，相交弦定理逆定理等） 19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数. （1）当时 （i）判断的奇偶性，并求在的极值； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； （2）当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $