2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷

苏科版 九年级数学 期中复习卷 时间：120分钟 满分：130分 考试范围：反比例函数、圆、数据的集中趋势和离散程度 班级：____________ 姓名：_______________ 得分：______________ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　） A．130 B．158 C．160 D．192 【分析】先将数据从小到大排序，取第3个（中间）数据即中位数。 【解答】解：先将上述数据按照从小到大的顺序排列：130，141，158，179，192， ∴这组数据的中位数是158， 故选：B． 2．如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC＝25°，则∠AOB的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 【分析】由AO∥BC得∠C＝∠OAC，再由圆周角定理∠AOB＝2∠C。 【解答】解：∵AO∥BC， ∴∠C＝∠OAC＝25°， ∴∠AOB＝2∠C＝50°． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．5 【分析】由图象上点的位置估计k的范围：图象介于过（2，2）和过（﹣1，﹣2）的两条双曲线之间，由此确定k的取值范围。 【解答】解：∵当反比例函数的图象过点（2，2）时，k＝2×2＝4，当反比例函数的图象过点（﹣1，﹣2）时，k＝（﹣1）×（﹣2）＝2， ∴根据图象可知k的取值范围为2＜k＜4，故C选项符合题意． 故选：C． 4．如图，⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，D是弧AC的中点，AC与BD相交于点E，若AE＝3CE，则CE的长是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】连接OD交AC于F，由D是弧AC中点得OD垂直平分AC；设CE＝m表示各线段，证△DEF≌△BEC得DF＝BC＝2OF，再结合半径求CE。 【解答】解：连接OD交AC于点F，设CE＝m，则AE＝3CE＝3m， ∴AC＝3m+m＝4m， ∵D是的中点， ∴OD垂直平分AC， ∴∠AFO＝90°，AF＝CFAC＝2m， ∴FE＝2m﹣m＝m， ∴FE＝CECF， ∵AB是⊙O的直径，且AB＝6， ∴∠EFD＝∠C＝90°，OA＝OBAB＝3， 在△DEF和△BEC中， ， ∴△DEF≌△BEC（ASA）， ∴DF＝BC， ∵O是AB的中点，F是AC的中点， ∴DF＝BC＝2OF， ∵OA＝OD＝2OF+OF＝3OF＝3， ∴OF＝1， ∴AF＝CF2， ∴CECF， 故选：B． 5．某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形ABCDEF的性质进行研究．如图所示，测得AB＝1，则四边形GCHF的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】正六边形各边相等、各角120°，过A作AM⊥BF，用直角三角形的边角关系求各线段，从而求四边形GCHF面积。 【解答】解：如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，∠ABF＝∠AFB30°， ∴AMAB，BM＝FMAB， 在Rt△BCG中，BC＝1，∠BCG＝30°， ∴BGBC， ∴FG＝BF﹣BG， ∴四边形GCHF的面积为FG•BC． 故选：A． 6．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【分析】由图象确定反比例函数解析式h＝k/ρ，再逐项代入判断。 【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h， A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意； B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意； C、当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3，正确，符合题意； D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 7．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为9，7，13，12，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（　　） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．{7}和{9，12，13，15} B．{7，9}和{12，13，15} C．{7，9，12}和{13，15} D．{7，9，12，13）和{15} 【分析】先排序，再比较各组内离差平方和，最小者对应正确分组。 【解答】解：从小到大排列为7，9，12，13，15， 6.7＜14.7＜18.8＜22.8， 其中最小值对应第一组2个、第二组3个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组， 即分组为{7，9}和{12，13，15}． 故选：B． 8．如图，矩形ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线DB的延长线交y轴于点E，连接CE．若AB：BC＝3：4，△BCE的面积是9，则k的值是（　　） A．9 B．18 C．27 D．36 【分析】设A（a，b），则k＝ab；由△BCE面积求BC×OE；再由DC∥OE得平行线分线段成比例，推出ab。 【解答】解：由题意，设A（a，b），则BO＝a，CD＝AB＝b， ∵矩形ABCD的顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝ab， ∵△BCE的面积是9， ∴BC×OE＝9，即BC×OE＝18， ∵AB∥CD∥OE， ∴． ∴BC•EO＝DC•OB， ∴18＝b×a，即ab＝18， ∴k＝18， 故选：B． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差是　　 ． 【分析】先求平均数，再按方差公式计算各数据与平均数差的平方的平均数。 【解答】解：2，3，3，4的平均数是（2+3+3+4）÷4＝3； s2[（3﹣2）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2]； 故答案为：． 10．若圆锥的侧面展开扇形的半径为3，圆心角为120°，则该圆锥底面圆的半径为　 　 ． 【分析】由圆锥底面圆周长等于侧面扇形弧长列方程求底面半径。 【解答】解：设圆锥的底面半径长为r， ∴， 解得r＝1， 故答案为：1． 11．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，则CF＝　 　 ． 【分析】先用勾股定理求斜边BC，再由切线长定理（AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE）求CF。 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝5，AC＝12， ∴BC10， ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F， ∴AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE， ∴CF10， 故答案为：10． 12．已知等边△ABC的边长为4，D，E分别是边AB，AC的中点，以D为圆心作，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 【分析】连接DE、DF，证△ADE、△DBF为等边三角形，确定扇形圆心角，阴影面积＝△ABC面积减去扇形及两个等边三角形面积。 【解答】解：连接DE，DF，如图： 由条件可知DE∥BC，，∠B＝∠A＝∠C＝60°，AB＝AC，，， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°，AD＝DB＝AE＝CE＝DE＝2， ∴DF＝DB＝2， ∵∠B＝60°， ∴△DBF是等边三角形， ∴∠BDF＝∠ADE＝60°， ∴∠EDF＝180°﹣∠BDF﹣∠ADE＝60°， ∴阴影部分面积等于△ABC面积减去扇形DEF面积减去△ADE面积减去△DBF面积， 即△ADE面积为，△DBF面积为， △ABC面积为， ∴扇形DEF面积为， ∴阴影部分面积为：； 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的一条边OA在y轴上，OA＝4，AB＝3，将△OAB向右平移，某一时刻，反比例函数的图象恰好经过点A和OB的中点C，则k的值为 　 　 ． 【分析】设向右平移a个单位，表示平移后A、C坐标，两者都在反比例函数上，由纵坐标求k的等量关系。 【解答】解：∵Rt△OAB的一条边OA在y轴上，OA＝4，AB＝3， ∴A（0，4），B（3，4）， ∴OB的中点C（，2）， 设△OAB向右平移a个单位，则平移后的点A（a，4），C（a，2）， ∵反比例函数的图象恰好经过点A（a，4），C（a，2）， ∴k＝4a＝2（a）， 解得a， ∴k＝4a＝6， 故答案为：6． 14．函数与y＝x﹣3图象的一个交点坐标为（a，b），则的值为　 　 ． 【分析】交点坐标满足两函数解析式，得ab＝1、b＝a﹣3，代入目标式。 【解答】解：∵函数与y＝x﹣3图象的一个交点坐标为（a，b）， ∴ab＝1，b＝a﹣3， ∴b﹣a＝﹣3， ∴3， 故答案为：﹣3． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点在双曲线上（k为常数），点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在该双曲线上，过点D作DE∥x轴交OA于点E，则DE＝　 　 ． 【分析】先求OA长和反比例函数解析式，确定B坐标；由平移求D坐标；再由直线OA求E坐标，得DE长。 【解答】解：由条件可知， ∴反比例函数为， 由可知， ∴OB＝OA＝4， ∵将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上， ∴点D的横坐标为4， 把x＝4代入得，y＝2， ∴D（4，2）， 设直线OA为：y＝ax（a≠0），则， 解得a＝1， 故直线OA为：y＝x， ∵DE∥OB，E点的纵坐标为2， ∴E（2，2）， ∴DE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，若菱形OABC的面积为4，则k的值为 　 　 ． 【分析】连接AC交OB于D，由菱形面积得S△AOD＝1，利用反比例函数k的几何意义，结合图象在第二象限确定k。 【解答】解：如图，连接AC，交OB于点D，则AC⊥x轴， 由菱形性质可知S△AODS菱形OABC1， ∴|k|＝2S△AOD＝2， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD．求证：∠B＝∠C． 【分析】方法1：由AB＝CD得等弧，进而得等圆周角；方法2：连接AC、BD，用圆周角定理及弧弦关系推角相等。 方法2：连接AC，BD，根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD，根据圆心角，弧，弦的关系得∠ACB＝∠DBC，即可求解． 【解答】解：证明：方法1：在⊙O中，AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴∠B＝∠C． 方法2：连接AC，BD， 在⊙O中，AB＝CD， ∴， ∴∠ACB＝∠DBC． 又∵， ∴∠ABD＝∠ACD． ∴∠ABD+∠DBC＝∠ACD+∠ACB． 即∠ABC＝∠BCD． 18．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F．若BD＝16cm，AE＝4cm，求⊙O的半径及OF的长． 【分析】连接OB设半径r，由垂径定理和勾股定理列方程求r；再用等面积法S△BCO求OF。 【解答】解：连接OB，设半径为rcm，则OE＝（r﹣4）cm， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝16cm， ∴BE＝DEBD＝8cm， 在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2， ∴（r﹣4）2+82＝r2， ∴r＝10cm； ∴AC＝20cm，EC＝16cm，BE＝DE＝8cm， ∴BC8（cm）， ∵OF⊥BC， ∴S△BCOBC•OFOC•BE， ∴8•OF＝10×8， ∴OF＝2， 即⊙O的半径为10cm，OF的长2cm． 19．如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并延长，交BC于点F． （1）求证：EF＝CF． （2）若AB＝4，求CF． 【分析】（1）连接CD中点O和E，用SSS证△ADO≌△AEO得切线，由切线长定理证EF＝CF；（2）设CF＝x，在Rt△ABF中用勾股定理列方程。 （2）设出未知数，根据正方形的性质用未知数表示出对应边的长度，运用勾股定理进而可以得到答案． 【解答】解：（1）如图，设CD的中点为O，连接AO，OE， 在正方形ABCD中，∠ADO＝90°， 由题可知：OD＝OE，AD＝AE， 又∵AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO（SSS）， ∴∠OEA＝∠ADO＝90°， 又∵OE是半径， ∴AE是⊙O的切线， 又∵BC是⊙O的切线， ∴EF＝CF； （2）在正方形ABCD中，AB＝4， ∴CB＝AE＝AB＝4，∠ABC＝90°， 设CF为x，则EF＝x， ∴AF＝AE+EF＝4+x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2， 即16+（4﹣x）2＝（4+x）2， 解得：x＝1， ∴CF的长为1． 20．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集 　 ； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC． 【分析】（1）用待定系数法求两函数解析式；（2）由图象直接写出不等式解集；（3）以BC为底，高为A、B横坐标绝对值之和。 （2）根据图象得出不等式的解集； （3）以BC为底边，高为A、B两点的横坐标的绝对值的和，代入面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y的图象上， ∴m＝6， ∴反比例函数的解析式为：y， ∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上， ∴n2， ∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在直线y＝kx+b上， ∴ 解得：， ∴一次函数的解析式为：y＝x+1； （2）由图象得：x＜﹣3或0＜x＜2， 故答案为：x＜﹣3或0＜x＜2； （3）以BC为底边，则BC边上的高为：|﹣3|+2＝5， ∴S△ABC2×5＝5． 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB＝4，DC＝2时，求AC的长． 【分析】（1）∠DAB＝90°得BD为直径，证BD⊥DE即切线；（2）由AC∥DE得BD⊥AC，推BC＝AB，再用勾股定理和面积法求AC。 （2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝4，再用勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）证明：如图，连接BD， ∵∠DAB＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DEC+∠CDE＝90°， ∵∠CED＝∠CAB， ∴∠BAC+∠CDE＝90°， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE＝90°， ∴∠BDE＝90°， 即：BD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：设BD与AC交于点F， 由（1）知：BD⊥DE， ∵DE∥AC， ∴BD⊥AC， ∴CB＝AB＝4，， 在Rt△BCD中，， ∵S△BCD， ∴， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数（m≠0）图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，求点D坐标． 【分析】（1）由A（8，2）求m和反比例解析式，由B横坐标求B坐标，再用待定系数法求一次函数；（2）由图象直接得解集；（3）由S△ABD＝24求CD长，确定D坐标。 （2）结合一次函数与反比例函数图象，即可获得答案； （3）首先确定点C坐标，结合S△ABD＝24易得CD＝4，即可获得答案． 【解答】解：（1）由条件可知m＝8×2＝16， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为﹣4， ∴， ∴B（﹣4，﹣4）， 由题目条件可知，， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞8； （3）对于一次函数，令x＝0，可得y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∵点D是y轴上一点，且S△ABD＝24， ∴， ∴CD＝4， ∴D（0，2）或D（0，﹣6）． 23．如图，正比例函数y＝3x与反比例函数的图象交于点A（a，3），点B为x轴上一点，点C为OB中点，过点O作OD∥AB交AC的延长线于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接BD，判定四边形OABD的形状，并说明理由． 【分析】（1）把A代入正比例函数求a，再代入反比例函数求k；（2）证△OCD≌△BCA得AC＝DC，由对角线互相平分证平行四边形。 （2）证明△OCD≌△BCA（AAS），得到AC＝DC，根据“对角线互相平分是四边形是平行四边形”得到四边形OABD是平行四边形． 【解答】解：（1）由条件可得3＝3a，解得a＝1， ∴A（1，3）． ∵A（1，3）在反比例函数的图象上， ∴k＝3， ∴反比例函数的解析式． （2）四边形OABD是平行四边形，理由如下： ∵OD∥AB， ∴∠ODC＝∠BAC，∠COD＝∠CBA， 由条件可得OC＝BC， ∴△OCD≌△BCA（AAS）， ∴AC＝DC， ∴四边形OABD是平行四边形． 24．某银行有A和B两个理财产品经营团队.2025年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下： A：4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B：3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．如表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数．（单位：%） 团队 Q1 Q2 Q3 A 3.195 3.915 4.44 B a 3.89 b 请根据以上信息回答下列问题： （1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图，获得了A团队数据的直观表示．请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价． 【分析】（1）将B组数据排序，a为前6个数据中位数、b为后6个数据中位数；（2）按箱线图规则补图，再结合中位数与波动评价。 （2）作出图形，根据数据分析即可． 【解答】解：（1）将B团队负责经营的12项理财产品的收益率（单位：%）按从小到大排列为：3.18.3.40.3.60.3.67.3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数， ∴a3.635，b4.125． 故答案为：3.635，4.125； （2）补全B团队的箱线图，如图所示： 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求A、B坐标及一次函数解析式；（2）观察图象直接写解集；（3）用S△AOB＝S△AOC+S△BOC求面积，再由面积关系求P坐标。 （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣3）， ∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6， 解得m＝6，n＝2， ∴A（﹣1，6），B（2，﹣3）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3． （2）观察图象，不等式的解集为：x≤﹣1或0＜x≤2． （3）连接OA，OB，由题意C（0，3）， S△AOB＝S△AOC+S△BOC3×13×2， 设P（m，0）， 由题意•|m|•32， 解得m＝±6， ∴P（6，0）或（﹣6，0）． 26．综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知AC＝30cm，BC＝76cm，支点O在AC的中点处，一个100g的砝码． 素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个100g砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当PC＝10cm时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量） 任务1：左侧托盘放入1个100g砝码，设右侧托盘放置yg物体，OP长为xcm，求y关于x的函数表达式； 任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个100g砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡； 任务3：横梁AB长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个100g砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，OA的长度至多是多少cm？ 【分析】任务1：由杠杆原理100×OA＝yx，求y关于x的函数；任务2：由PC求OP求硬币重量，再由y随x增大而减小求最少硬币数；任务3：设OA＝a，列方程100a＝6（106﹣a）。 任务2：依据题意，由任务1，y，又当PC＝10cm时，天平平衡，故x＝OP＝OC+PC＝15+10＝25，从而可得y的值，再结合10枚一元的硬币yg，进而可以判断得解；由y，故y随x的增大而减小，从而当x最大时，y最小，则当x＝OB＝OC+BC＝15+76＝91时，y最小16.48，再结合一个硬币重6g可以计算得解； 任务3：由题意，设OA＝acm时，天平平衡，此时OB＝AB﹣OA＝（30+76﹣a）cm＝（106﹣a）cm，进而可得100a＝6（106﹣a），计算即可得解． 【解答】解：任务1：由题意得，OA＝OCAC＝15cm， ∴100×15＝yx． ∴y． 任务2：由任务1，y， 又当PC＝10cm时，天平平衡， ∴x＝OP＝OC+PC＝15+10＝25． ∴y60． ∴10枚一元的硬币60g． ∴一个一元的硬币6g． ∵y， ∴y随x的增大而减小． ∴当x最大时，y最小， 即当x＝OB＝OC+BC＝15+76＝91时，y最小16.48． 又16.48÷6≈2.75， ∴右侧托盘至少要放置3个1元硬币． 任务3：由题意，设OA＝acm时，天平平衡，此时OB＝AB﹣OA＝（30+76﹣a）cm＝（106﹣a）cm， ∴100a＝6（106﹣a）． ∴a＝6cm． 答：OA的长度为6cm． 27．（1）【课本再现】苏科版教材九年级上册P91页有这样一道习题：“如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D，BE与CF相等吗？为什么？”请证明； （2）【模型探究】如图2，⊙O的半径为R（R为定值），AB、CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，当点E在弦CD上运动时，AE2+DE2+BE2+CE2的值是否改变，若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由； （3）【模型应用】在（2）的条件下，如图3，连接AC、BC．若⊙O的半径为5，，求BC的长． 【分析】（1）由圆周角定理和直径所对直角推∠BAE＝∠CAF，由等角对等弧对等弦证BE＝CF；（2）连直径AF，利用勾股定理把原式转为AC²+CF²；（3）用垂直平分线性质求OP，再由（2）结论求BC。 （2）连接AO并延长与⊙O相交于点F，连接AC，BD，CF，由（1）结论得：CF＝BD，则CF2＝BD2，再利用勾股定理解答即可得出结论； （3）连接AD、AO，连接CO并延长与AD相交于点P，利用线段的垂直平分线的判定与性质得到CP⊥AD，AP＝DP，设OP＝x，则CP＝OC+OP＝5+x，利用勾股定理列出方程求得OP＝4，则AD＝2AP＝6，再利用（2）的结论解答即可得出结论． 【解答】解：（1）BE与CF相等．理由： ∵在⊙O内，∠AEB和∠ACB是所对的两个圆周角， ∴∠AEB＝∠ACB， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠ACB+∠CAF＝90°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴， ∴BE＝CF； （2）AE2+DE2+BE2+CE2的值不会改变，这个定值为4R2.即：AE2+DE2+BE2+CE2＝4R2． 理由：连接AO并延长与⊙O相交于点F，连接AC，BD，CF，如图， 由（1）结论得：CF＝BD， ∴CF2＝BD2， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ACF＝90°， Rt△ACF中，AC2+CF2＝AF2， 在Rt△ACE和Rt△BDE中，AE2+CE2＝AC2，BE2+DE2＝BD2， ∴AE2+DE2+BE2+CE2＝AC2+CF2＝AF2＝（2R）2＝4R2； （3）连接AD、AO，连接CO并延长与AD相交于点P，如图， ∵OA＝OD，AC＝DC， ∴CO为AD的垂直平分线， ∴CP⊥AD，AP＝DP， ∵在Rt△ACP和Rt△AOP中，AC2﹣CP2＝AO2﹣OP2＝AP2， 设OP＝x，则CP＝OC+OP＝5+x， ∴， 解得：x＝4， 即：OP＝4． 在Rt△AOP中， ∴AD＝2AP＝6， 由（2）结论得：AE2+DE2+BE2+CE2＝AD2+BC2＝4×52＝100， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版 九年级数学 期中复习卷 时间：120分钟 满分：130分 考试范围：反比例函数、圆、数据的集中趋势和离散程度 班级：____________ 姓名：_______________ 得分：______________ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　） A．130 B．158 C．160 D．192 2．如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC＝25°，则∠AOB的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 第2题 第3题 第4题 第5题 3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．5 4．如图，⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，D是弧AC的中点，AC与BD相交于点E，若AE＝3CE，则CE的长是（　　） A．1 B． C． D． 5．某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形ABCDEF的性质进行研究．如图所示，测得AB＝1，则四边形GCHF的面积是（　　） A． B． C． D． 6．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 7．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为9，7，13，12，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（　　） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．{7}和{9，12，13，15} B．{7，9}和{12，13，15} C．{7，9，12}和{13，15} D．{7，9，12，13）和{15} 第6题 第8题 8．如图，矩形ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线DB的延长线交y轴于点E，连接CE．若AB：BC＝3：4，△BCE的面积是9，则k的值是（　　） A．9 B．18 C．27 D．36 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差是__________________ ． 10．若圆锥的侧面展开扇形的半径为3，圆心角为120°，则该圆锥底面圆的半径为_____ ． 11．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，则CF＝_______ ． 12．已知等边△ABC的边长为4，D，E分别是边AB，AC的中点，以D为圆心作，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为____________________ ． 第11题 第12题 第13题 第15题 13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的一条边OA在y轴上，OA＝4，AB＝3，将△OAB向右平移，某一时刻，反比例函数的图象恰好经过点A和OB的中点C，则k的值为 _____ ． 14．函数与y＝x﹣3图象的一个交点坐标为（a，b），则的值为_______ ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点在双曲线上（k为常数），点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在该双曲线上，过点D作DE∥x轴交OA于点E，则DE＝_____ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，若菱形OABC的面积为4，则k的值为 _______ ． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD．求证：∠B＝∠C． 18．（本题6分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F．若BD＝16cm，AE＝4cm，求⊙O的半径及OF的长． 19．（本题6分）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并延长，交BC于点F． （1）求证：EF＝CF． （2）若AB＝4，求CF． 20．（本题6分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集 _______________ ； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC． 21．（本题7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB＝4，DC＝2时，求AC的长． 22．（本题7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数（m≠0）图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且S△ABD＝24，求点D坐标． 23．（本题7分）如图，正比例函数y＝3x与反比例函数的图象交于点A（a，3），点B为x轴上一点，点C为OB中点，过点O作OD∥AB交AC的延长线于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接BD，判定四边形OABD的形状，并说明理由． 24．（本题7分）某银行有A和B两个理财产品经营团队.2025年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下： A：4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B：3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．如表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数．（单位：%） 团队 Q1 Q2 Q3 A 3.195 3.915 4.44 B a 3.89 b 请根据以上信息回答下列问题： （1）表中a＝__________ ，b＝__________ ； （2）该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图，获得了A团队数据的直观表示．请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价． 25．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 26．（本题10分）综合与实践：如何称量一个1元硬币的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知AC＝30cm，BC＝76cm，支点O在AC的中点处，一个100g的砝码． 素材2：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个100g砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当PC＝10cm时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量） 任务1：左侧托盘放入1个100g砝码，设右侧托盘放置yg物体，OP长为xcm，求y关于x的函数表达式； 任务2：求一个1元硬币的重量；并判断左侧托盘放入1个100g砝码时，右侧托盘至少要放置几个1元硬币，该天平才能保持平衡； 任务3：横梁AB长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入1个100g砝码，右侧托盘放置一个1元硬币时，天平能保持平衡，OA的长度至多是多少cm？ 27．（本题10分）（1）【课本再现】苏科版教材九年级上册P91页有这样一道习题：“如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D，BE与CF相等吗？为什么？”请证明； （2）【模型探究】如图2，⊙O的半径为R（R为定值），AB、CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，当点E在弦CD上运动时，AE2+DE2+BE2+CE2的值是否改变，若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由； （3）【模型应用】在（2）的条件下，如图3，连接AC、BC．若⊙O的半径为5，，求BC的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $