精品解析：新疆乌鲁木齐市第三中学（友好三中）2026-2027学年上学期九年级期中考试数学试题

2026-2027学年九年级第一次阶段性测试数学试卷 考生须知：1．本试题卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共4页． 2．满分150分，考试时间120分钟． 3．考生不得使用计算器，必须在答题卷上答题，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得． 【详解】解：A、中含有两个未知数，则此项不是一元二次方程，不符合题意； B、不是一元二次方程，不符合题意； C、，时不是一元二次方程，不符合题意； D、，即方是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 反比例函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积等于比例系数，据此计算各选项判断即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴图象上的点满足； 选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，符合题意； 选项D：，不符合题意． 3. 下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ） A. 某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B. 长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C. 压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D. 三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意； B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意； C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意； D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意； 故选：D 4. 一元二次方程有两个不相等的实数根．那么应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】需同时考虑二次项系数非零与判别式大于0两个条件. 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上，且. 5. 下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当  时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B不符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C均不符合题意，D符合题意． 7. 2026“同心杯”新疆足球超级联赛（简称“疆超”）掀起足球热，“疆超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，该联赛分南北两个赛区，其中北赛区有个队伍参加比赛，该赛区共比赛21场，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：个队伍进行单循环比赛，每队需与其余个队伍各赛1场，总计数为场． ∵每场比赛被两个队伍各计算1次，存在重复． ∴实际总场数为， ∵总比赛场数为21场． ∴可列方程． 8. 、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义可得，即得，根据一元二次方程根和系数的关系得，进而得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴． 9. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值是（ ） A. 2或 B. 2或或或 C. 2或或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键，注意分类讨论． 联系已知条件，根据对称轴的位置，需分情况讨论求解，可分，和这三种情况，分别进行讨论，求出相应的m的值，问题就可得解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①时，时二次函数有最大值， 此时， 解得，与矛盾，故m值不存在； ②当时，时，二次函数有最大值，此时， 解得， (舍去)； ③当时，时二次函数有最大值， 此时， 解得， 综上所述，的值为2或， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 11. 把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式的自变量项和常数项做对应调整，即可得到平移后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规则． ∵ 原抛物线解析式为，需先向左平移2个单位， ∴ 按照左加的规则，将解析式中的替换为，得到第一次平移后的解析式． ∵ 再将第一次平移得到的抛物线向上平移3个单位， ∴ 按照上加的规则，在解析式整体后加3，得到． 化简后得到最终平移后的解析式为． 12. 如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则， 故答案为：6 ． 13. 已知反比例函数，（为常数，）若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，则的取值范围是___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，当函数图象每一分支上随增大而增大时，比例系数小于0，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数，（为常数，）的图象每一分支上，随的增大而增大时， ∴， 解得． 14. 位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设函数的解析式为，由函数图象可得，初始水面宽且抛物线关于轴对称，可得初始水面与抛物线的两个交点的横坐标为和，由函数图象可得，抛物线经过和，根据待定系数法，求出抛物线解析式；根据水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即，求出，即可求解． 【详解】解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， ∴抛物线的解析式为：， 由函数图象和题意可得，抛物线经过和， ∴ 解得：， ∴函数解析式为：； ∵水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即， ∴， 解得：； ∴此时水面宽度为：． 15. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：①；②；③；④若且，则；⑤关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是：___________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】由顶点坐标得出对称轴及a、b关系，由点A坐标得出a、c关系，结合与 y 轴交点范围确定a，b，c的符号及取值范围，进而判断①②③；通过移项因式分解求解可判断④；利用二次函数最值的性质可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴抛物线对称轴为直线，  ∴，即， ∵抛物线与轴交于点， ∴，即，解得， ∵抛物线与y轴的交点在，之间， ∴， ∴，解得：， ∴； ①∵，，， ∴，故①正确； ②∵抛物线与 x轴有两个交点， ∴，故②错误； ③ ∵，， ∴，故③错误； ④ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故④正确； ⑤ ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴函数最小值为， ∵， ∴函数与直线没有交点，即关于的方程没有实数根，即⑤错误． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：，． 17. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：由题意得， ． ∵ ， ∴ ， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，配方后判断其恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入方程求出k的值，再解原方程求出另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的一个根为， ∴把代入原方程得， ∴， ∴原方程为， 解得或； ∴的值为，方程的另一个根为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出直线与x轴交点的坐标，利用求出结果； （3）即一次函数在反比例函数的上方，根据图象直接得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴反比例函数解析式为， 将点坐标代入，得， ∴点， 将点A、B的坐标代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：观察图象得：不等式的解集为或． 19. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点，，均在这个函数的图象上，直接用“”连接，，的大小关系． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）已知二次函数顶点坐标，设顶点式，代入已知点坐标求解系数a，即可得到解析式； （2）根据二次函数开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离，判断函数值大小． 【小问1详解】 解：设这个二次函数的解析式为， ∵该二次函数与轴交于点， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得这个二次函数的解析式为，二次项系数为， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，均在这个函数的图象上，且， ∴． 20. 某市推进家电以旧换新．已知年该市家电以旧换新的成交额是万元，年的成交额增加到万元，且两年的年平均增长率相同． （1）求这个年平均增长率； （2）如果年仍按这个增长率增长，那么年的成交额预计是多少万元？ 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（）设这个年平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （）用年的成交额乘（增长率）即可． 【小问1详解】 解：设这个年平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：这个年平均增长率为； 【小问2详解】 解：（万元）， 答：年的成交额预计是万元． 21. 为弘扬新疆地方文化，让更多游客了解新疆，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款新疆小羊吉祥物的成本价是每件30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）为让利于游客，该款小羊吉祥物每件应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？ （2）文旅公司将每件新疆小羊吉祥物的售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）请你直接写出售价在什么范围时每天的利润不低于630元？ 【答案】（1）每件应该降价3元． （2）售价定为38元时，每天获得的利润最大，最大利润是640元． （3）售价不低于37元且不高于39元时，每天的利润不低于630元． 【解析】 【分析】（1）根据总利润的等量关系列一元二次方程，再结合让利条件选取合适的解即可； （2）构建利润关于降价金额的二次函数，用配方法求最大值即可； （3）根据利润要求列不等式，再结合二次函数性质确定售价范围即可． 【小问1详解】 解：设每件小羊吉祥物降价x元，每天的销售利润为W元． 单件售价为元，单件利润为元，日销售量为件， 由题意得： ，整理得，解得：，． ∵要让利于游客，需降价幅度尽可能大， ∴． 答：每件应该降价3元． 【小问2详解】 解：每天的销售利润为W元： ． ∵ ， ∴ 当时，W取得最大值，最大值为640元，此时售价为（元）． 答：售价定为38元时，每天获得的利润最大，最大利润是640元． 【小问3详解】 解：令，即 整理得， ∵抛物线的开口向上，与x轴交点的横坐标为1和3， ∴函数图像所对应的自变量x的取值范围为， ∵单件售价为元， ∴单件售价大于等于37元且小于等于39元． 答：售价不低于37元且不高于39元时，每天的利润不低于630元． 22. 综合与实践：数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系； 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，设点的坐标为，探究与的函数关系． （1）【归纳猜想】在轴上多次改变点的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 1 2 3 4 5 … 线段长 1.25 2 3.25 5 7.25 … 如果，，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象；观察画出的图像，猜想它是我们学过的哪种曲线？ （2）【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点的坐标满足的函数关系： ①猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围； ②在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 【答案】（1） （2）① 函数解析式为：，的取值范围是全体实数． ② 证明：连接： ∵是线段的垂直平分线， ∴。 ∵点坐标为，是过的轴的垂线， ∴点坐标为， ∵是竖直线段， ∴长度就是的纵坐标； ∵点坐标为， ∴． ∵， ∴ ， 两边同时平方消去根号：  ， 展开并整理： ， 消去同类项后变形得：  ， 对任意实数都能找到对应的点和点， ∴取全体实数． 【解析】 【分析】（1）先根据表格给出的和的对应值，在坐标系中描出对应点，再用平滑曲线连接，结合学过的函数图象特征判断曲线类型． （2）①根据描点得到的曲线类型，设出对应的函数解析式，代入表格中的几组数据求解参数，得到关于的函数解析式和自变量取值范围．②，因为是的垂直平分线，所以；又因为​垂直于轴，点在轴上、点在上，所以可表示出点的坐标，再结合两点间距离公式，分别表示出和的长度，令二者相等后整理即可验证结论． 【小问1详解】 解：以表中每对a，b的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线把各点连接起来，得到的图象是抛物线，属于二次函数的图象． 我们可以通过表格数据验证：当时，时，时，符合二次函数的数值变化规律， ∴猜想该曲线是抛物线． 【小问2详解】 ①设函数解析式为，， 把代入， 得， 解得， ∴函数解析式为：， 的取值范围是全体实数． ②略 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出抛物线的对称轴为直线，结合二次函数的性质可得点、关于对称轴对称，故对称轴上任意点满足，的周长，由为定值，只需要最小即可，由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点，求出直线的解析式为，代入，计算即可得出结果； （3）由（2）可得直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，，根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴点、关于对称轴对称， 故对称轴上任意点满足， ∴的周长， ∵为定值， ∴只需要最小即可， 由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积最大，此时，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一次阶段性测试数学试卷 考生须知：1．本试题卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共4页． 2．满分150分，考试时间120分钟． 3．考生不得使用计算器，必须在答题卷上答题，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 反比例函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ） A. 某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B. 长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C. 压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D. 三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 4. 一元二次方程有两个不相等的实数根．那么应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 2026“同心杯”新疆足球超级联赛（简称“疆超”）掀起足球热，“疆超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，该联赛分南北两个赛区，其中北赛区有个队伍参加比赛，该赛区共比赛21场，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值是（ ） A. 2或 B. 2或或或 C. 2或或 D. 2或 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知方程的两个根是和，则_________． 11. 把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 12. 如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为______． 13. 已知反比例函数，（为常数，）若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，则的取值范围是___________； 14. 位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 15. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：①；②；③；④若且，则；⑤关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是：___________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程： 17. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 19. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点，，均在这个函数的图象上，直接用“”连接，，的大小关系． 20. 某市推进家电以旧换新．已知年该市家电以旧换新的成交额是万元，年的成交额增加到万元，且两年的年平均增长率相同． （1）求这个年平均增长率； （2）如果年仍按这个增长率增长，那么年的成交额预计是多少万元？ 21. 为弘扬新疆地方文化，让更多游客了解新疆，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款新疆小羊吉祥物的成本价是每件30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）为让利于游客，该款小羊吉祥物每件应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？ （2）文旅公司将每件新疆小羊吉祥物的售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）请你直接写出售价在什么范围时每天的利润不低于630元？ 22. 综合与实践：数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系； 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，设点的坐标为，探究与的函数关系． （1）【归纳猜想】在轴上多次改变点的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 1 2 3 4 5 … 线段长 1.25 2 3.25 5 7.25 … 如果，，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象；观察画出的图像，猜想它是我们学过的哪种曲线？ （2）【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点的坐标满足的函数关系： ①猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围； ②在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $