精品解析：新疆乌鲁木齐市沙依巴克区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年新疆乌鲁木齐市沙依巴克区九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共9小题，每题3分，满分27分．每题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将所选代号的字母填写在答题卷中相应的表格内） 1. 若关于x的一元二次方程为，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，5 B. 3，1 C. ， D. 3， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c．据此求解即可． 【详解】解：关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是3，， 故选：D． 2. 下面的图形是以数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 斐波那契螺旋线 D. 阿基米德曲线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 3. 一元二次方程的解为（ ） A. ， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，将方程的常数项移到右边，再利用直接开平方法计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故选：A． 4. 平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ） A. （3，-2） B. （2，3） C. （-2，3） D. （2，-3） 【答案】C 【解析】 【详解】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）． 故选：C． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用根的判别式进行判断即可，正确记忆判别式的公式是解题的关键． 【详解】解：， ∴原方程无实数根， 故选：C． 6. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质和正方形的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可求的度数． 【详解】解：∵正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴，，， ∴，且， ∴， 故选：B． 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＜1时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1， C（2，）关于直线x=1的对称点是（0，）， ∵-3＜-2＜0＜1， ∴＜＜， 故选：C． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 8. 科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，设全组共有x名学生，则x满足的方程是（　　） A. B. x（x+1）＝132 C. D. x（x﹣1）＝132 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，“握手问题”，每个人都和其他人都互赠一次，即设有 个人与 个人之间的关系，由此即可求出答案． 【详解】解：设全组有 名同学，则每名同学所赠的标本为： 件， ∴ 名同学共赠： 件， ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的运用，熟练掌握一元二次方程解题，和理解题意是解题的关键． 9. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故①不符合题意； ②由图象可知：，， ， ， ，故②正确，符合题意； ③当时，， ∴，故③符合题意； ④当时，，故④不符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分，将答案直接写在答卷中相应各题的横线上） 10. 方程的一个根是，则另一个根是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法求一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴另一个根是． 故答案为：． 11. 二次函数的顶点坐标是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质．直接利用顶点式解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是：． 故答案为：． 12. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B＝70°，则∠EDC＝________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据平角的性质即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质可得， ∴ ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的有关性质是解题的关键． 13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了_________． 【答案】3秒## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的最值与刹车距离的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】， 当时，是最大时间， 故答案为：． 14. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，再把绕点A逆时针旋转得到，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，坐标与图形，得出是等腰直角三角形，是解题的关键． 过点轴于点，根据旋转的性质得出是等腰直角三角形，根据勾股定理求得进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点D． ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， 是等边三角形． ∵把绕点A逆时针旋转得到， ． ． ∴是等腰直角三角形． ∵点， ∴． ． 在中，，即，解得（负值已舍去）． ． ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，15题-20题每题8分，21题10分，共58分） 15. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）方程无解 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）因式分解法解一元二次方程即可； （2）配方法解一元二次方程即可； （3）因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即， ∵， ∴原方程无解； 【小问3详解】 解：， 因式分解得：． ∴或， 解得：，． 16. 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的． （2）写出三个顶点的坐标． （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），，； （3）6． 【解析】 【分析】本题考查的是画中心对称图形，坐标与图形，求解网格三角形的面积； （1）分别作出点A、B、C关于原点O的对称点，再顺次连接可得； （2）根据所作图形即可得； （3）利用割补法求解三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，，，； 【小问3详解】 解：的面积． 17. 某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元，若每次下降的百分率相同，求这种药品下降的百分率． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设这两次的百分率是，根据题意列方程得 解得，(不符合题意，舍去 答：这种药品下降的百分率是． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）已知是方程的一个根，求出的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）或， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出或，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：或， 当或时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 19. 如图，抛物线交x轴于两点（点A在B左边），交y轴于点C；设直线解析式为：． （1）求两点的坐标； （2）求直线的函数关系式； （3）请直接写出时的自变量x取值范围． 【答案】（1） （2）直线的函数关系式 （3）当时，或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与不等式的关系，掌握相关知识的灵活运用是解题的关键． （1）求出当时，自变量的值即可得到答案； （2）先求出点C坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：在中，当时， 解得或， ； 【小问2详解】 当时，， ， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式； 【小问3详解】 由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围为或， ∴当时，或． 20. 如图，四边形ABCD是正方形，△ADF绕着点A顺时旋转90°得到△ABE，若AF＝4，AB＝7． （1）求DE的长度； （2）指出BE与DF的关系如何？并说明由． 【答案】（1）3；（2）BE＝DF，BE⊥DF． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得AE＝AF，AD＝AB，然后根据DE＝AD﹣AE计算即可得解； （2）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ADF，然后求出∠ABE+∠F＝90°，判断出BE⊥DF． 【详解】解：（1）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE， ∴AE＝AF＝4，AD＝AB＝7， ∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3； （2）BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF．理由如下： ∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE， ∴△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF， ∵∠ADF+∠F＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE+∠F＝90°， ∴BE⊥DF， ∴BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF． 【点睛】考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 21. 如图所示抛物线过点，点，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； （3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标. 【答案】（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3） 【解析】 【分析】（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解； （2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解； （3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解． 【详解】（1）∵OB=OC，∴点B（3，0）， 则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a， 故-3a=3，解得：a=-1， 故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①； 对称轴为：直线 （2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数， 故CD+AE最小时，周长最小， 取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D， 取点A′（-1，1），则A′D=AE， 故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小， 四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+； （3）如图，设直线CP交x轴于点E， 直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分， 又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE， 则BE：AE，=3：5或5：3， 则AE=或， 即：点E的坐标为（，0）或（，0）， 将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3， 解得：k=-6或-2， 故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…② 联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年新疆乌鲁木齐市沙依巴克区九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共9小题，每题3分，满分27分．每题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将所选代号的字母填写在答题卷中相应的表格内） 1. 若关于x的一元二次方程为，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，5 B. 3，1 C. ， D. 3， 2. 下面的图形是以数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 斐波那契螺旋线 D. 阿基米德曲线 3. 一元二次方程的解为（ ） A. ， B. C. D. 4. 平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ） A. （3，-2） B. （2，3） C. （-2，3） D. （2，-3） 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 6. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，设全组共有x名学生，则x满足的方程是（　　） A. B. x（x+1）＝132 C. D. x（x﹣1）＝132 9. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分，将答案直接写在答卷中相应各题的横线上） 10. 方程的一个根是，则另一个根是 ___． 11. 二次函数的顶点坐标是 ___． 12. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B＝70°，则∠EDC＝________°． 13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了_________． 14. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，再把绕点A逆时针旋转得到，则点的坐标是________． 三、解答题（本大题共7小题，15题-20题每题8分，21题10分，共58分） 15. 解方程： （1）； （2）； （3）． 16. 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的． （2）写出三个顶点的坐标． （3）求的面积． 17. 某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元，若每次下降的百分率相同，求这种药品下降的百分率． 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）已知是方程的一个根，求出的值及方程的另一个根． 19. 如图，抛物线交x轴于两点（点A在B左边），交y轴于点C；设直线解析式为：． （1）求两点的坐标； （2）求直线的函数关系式； （3）请直接写出时的自变量x取值范围． 20. 如图，四边形ABCD是正方形，△ADF绕着点A顺时旋转90°得到△ABE，若AF＝4，AB＝7． （1）求DE的长度； （2）指出BE与DF的关系如何？并说明由． 21. 如图所示抛物线过点，点，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； （3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $