专题03 根的判别式与根与系数 期中复习讲义2026—2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学上册 · 根的判别式与根与系数 · 配套解析 专题03 根的判别式与根与系数｜配套解析 2026—2027学年 · 人教版 · 九年级数学上册 · 一元二次方程专题 题型与变式编号对应讲义。先独立完成，再核对每一步的依据；其他合理解法同样成立。 题型01 不解方程判断实数根 例题｜答案：没有实数根。 a=2，b=−4，c=5，且a≠0。 。 Δ<0，所以方程没有实数根。 变式1｜答案：有两个相等的实数根。 。 二次项系数为1，因此方程有两个相等的实数根。 变式2｜答案：有两个不相等的实数根。 。 因此方程有两个不相等的实数根。 题型02 由实数根情况确定参数 例题｜答案：m<4。 二次项系数为1，始终不为0。 Δ=16−4m；两根不相等要求16−4m>0。 解得m<4。 变式1｜答案：k≤1。 Δ=4−4k，存在实数根要求Δ≥0。 因此k≤1，等号对应两个相等的实数根。 变式2｜答案：p=9。 Δ=36−4p=0。 解得p=9，且二次项系数为1，符合条件。 题型解析｜3—4 题型03 已知一个根求系数 例题｜答案：m=0，另一个根为−1。 代入x=2，得4−2(m+1)+m−2=0。 整理得−m=0，所以m=0。 原方程为，两根和为1，因此另一个根为1−2=−1。 变式1｜答案：m=4，另一个根为−3。 代入−1，得1−m+3=0，所以m=4。 两根和为−4，因此另一个根为−4−(−1)=−3。 变式2｜答案：k=7，另一个根为。 代入3，得18−3k+3=0，所以k=7。 两根积为，故另一个根为。 题型04 二次项系数含参先检查 例题｜答案：m≤2且m≠1。 题目要求一元二次方程，所以m−1≠0，即m≠1。 Δ=4−4(m−1)=8−4m≥0，得m≤2。 合并得到m≤2且m≠1。 变式1｜答案：k<2且k≠−2。 先要求k+2≠0，即k≠−2。 Δ=16−4(k+2)=8−4k>0，得k<2；合并条件即可。 变式2｜答案：p=4。 先要求p≠3；由Δ=4−4(p−3)=16−4p=0，得p=4。 4≠3，代回仍为一元二次方程，故取p=4。 题型解析｜5—6 题型05 判别式与整数参数筛选 例题｜答案：k=1，两根均为1。 Δ=4−4k≥0，得到k≤1。 又k是正整数，因此只能取k=1。 方程成为，所以两根均为1。 变式1｜答案：m=1、2、3。 Δ=16−4m>0，所以m<4。 结合m为正整数，得到1、2、3。 变式2｜答案：10个。 Δ=36−4n≥0，得n≤9。 结合n≥0且为整数，n可取0至9，共10个。 题型06 判别式判断几何条件能否成立 例题｜答案：能存在，边长为4厘米和6厘米。 设一边长为x厘米，另一边为10−x厘米，要求0<x<10。 由x(10−x)=24，得；Δ=100−96=4>0。 方程两根为4、6，均在(0,10)内，因此可以存在。 变式1｜答案：不能存在。 两邻边和为6、积为10，边长应满足。 Δ=36−40=−4<0，不存在实数边长，因此不能存在。 变式2｜答案：存在，是边长4厘米的正方形。 边长满足，Δ=64−64=0。 两根均为4，边长为正且满足周长与面积条件，所以是正方形。 题型解析｜7—8 题型07 直接求两根的和与积 例题｜答案：，。 Δ=25+24=49>0，且a=3≠0。 由根与系数关系，两根和为。 两根积为。 变式1｜答案：，。 Δ=49−24=25>0。 由根与系数关系，，。 变式2｜答案：a+b=6，ab=9。 Δ=0，方程有两个相等的实数根。 根与系数关系对重根仍成立，故a+b=6，ab=9。 题型08 用根和根积求对称式 例题｜答案：19。 Δ=25−12=13>0，根和S=5，根积P=3。 。 代入得25−6=19。 变式1｜答案：。 Δ=20>0；a+b=−2，ab=−4≠0，故倒数有意义。 。 变式2｜答案：。 Δ=25>0；，uv=−1。 。 题型解析｜9—10 题型09 由根之间的关系求参数 例题｜答案：。 设根和S=m+2，根积P=2m；由S=2P，得m+2=4m。 解得。 此时，二次项系数为1，符合条件。 变式1｜答案：k=6。 由根和关系得k=6。 此时Δ=36−16=20>0，所以符合两实根条件。 变式2｜答案：t=−2。 根和为−3，根积为t，故9−2t=13，解得t=−2。 此时Δ=9−4×(−2)=17>0，符合条件。 题型10 利用根与系数构造方程 例题｜答案：。 设两根和S=3，积P=−4。 由构造公式得，即。 该方程的Δ=25>0，确有两个实数根。 变式1｜答案：。 两根和为4，积为。 所以所求方程为。 变式2｜答案：。 Δ=17>0，a+b=3，ab=−2≠0。 新根和为，积为，得。 同乘2，得到。 题型解析｜11—12 题型11 判别式与根的符号综合（选做） 例题｜答案：k>2。 两根不同要求，得k<−1或k>2。 两根均正还要求2k>0且k+2>0，故k>0。 取公共部分，得到k>2。 变式1｜答案：−2<m≤−1。 实数根要求Δ=4(m−2)(m+1)≥0，即m≤−1或m≥2。 负根要求2m<0且m+2>0，故−2<m<0。 取公共部分，得−2<m≤−1。 变式2｜答案：t<2。 异号要求根积t−2<0，即t<2。 始终大于0，因此所有t<2均符合条件。 题型12 根与系数结合整数约束（选做） 例题｜答案：m=5或7。 正整数两根的积为6，可取无序因数对(1,6)、(2,3)。 对应两根和分别为7、5，因此m=7或5。 这两组根均能代回，且方程二次项系数为1，故均符合。 变式1｜答案：k=−5、−1、1、5。 两根积为−6，无序整数因数对为(−6,1)、(−3,2)、(−2,3)、(−1,6)。 对应和依次为−5、−1、1、5，故这就是k的全部取值。 变式2｜答案：s=6或7。 ，结合s>0得s≥6。 再结合s≤7且为整数，得到s=6或7。 限时分层演练｜选择、填空解析 第1题｜答案：C Δ=16−20=−4<0，所以没有实数根。 第2题｜答案：B 二次项系数不为0，所以m−2≠0，即m≠2。 第3题｜答案：A Δ=25−8=17>0；根和为。 第4题｜答案：D Δ=37>0，a+b=3，ab=−7≠0。 倒数和。 第5题｜答案：B 由Δ=36−4k=0，得k=9。 第6题｜答案：C 方程为，即。 第7题｜答案：p≤16。 Δ=64−4p≥0，解得p≤16。 第8题｜答案：1。 要求k≠−1。由Δ=16−8(k+1)=8−8k=0，得k=1，符合首项非零条件。 第9题｜答案：21。 Δ=17>0，a+b=−5，ab=2。 平方和为25−4=21。 第10题｜答案：q=3，另一个根为3。 代入1，得1−4+q=0，所以q=3。 两根和为4，另一个根是4−1=3。 第11题｜答案：6或9。 积为8的正整数无序因数对为(1,8)、(2,4)。 根和分别为9、6，故m=6或9。 第12题｜答案：13。 Δ=13>0，u+v=−3，uv=−1。 。 限时演练详解｜第13—14题 第13题（8分） 不解方程，判断是否有实数根，并写出依据。 参考解答｜答案：没有实数根。 a=3≠0，b=−4，c=2。 。 因此方程没有实数根。 第14题（8分） 关于x的一元二次方程有实数根，求m的范围。 参考解答｜答案：m≤1且。 二次项系数不为0，故2m−1≠0，即。 Δ=4−4(2m−1)=8−8m。 由Δ≥0得m≤1；结合首项非零，得m≤1且。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 限时演练详解｜第15—16题 第15题（8分） 设的两实根为a、b，不求两根，计算：①；②。 参考解答｜答案：①39；②。 Δ=49−20=29>0，a+b=7，ab=5≠0。 ①。 ②。 第16题（8分） 的两个实数根之和等于两根之积的2倍，求k并检验实数根条件。 参考解答｜答案：k=−3，符合条件。 两根和为k−1，积为k+1。由题意，k−1=2(k+1)。 解得k=−3。此时方程为。 Δ=16+8=24>0，且二次项系数为1，因此候选值符合条件。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 限时演练详解｜第17—18题 第17题（8分） 设的两实根为r、s，构造以2r、2s为根、二次项系数为1的方程，写出过程。 参考解答｜答案：。 原方程Δ=4+12=16>0，r+s=−2，rs=−3。 新根和为2(r+s)=−4，新根积为4rs=−12。 所以所求方程为，即。 第18题（8分） 某设计要求长方形周长为18米、面积为22平方米。用判别式说明该设计是否可行。 参考解答｜答案：不可行。 若存在，设一边长为x米，则另一边为9−x米，且0<x<9。 由x(9−x)=22，得。 Δ=81−88=−7<0，没有实数边长，故设计不可行。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 限时演练详解｜第19—20题 第19题（8分） （选做提升）关于x的方程有两个不相等的正实数根，求t的范围。 参考解答｜答案：。 两根和为2t，根积为t+3。两根均正要求t>0且t>−3，合并为t>0。 两根不同要求。 由，得或。 结合t>0，得到。 第20题（8分） （选做提升）若的两个根均为正整数，求m的全部取值，并写出对应的两根。 参考解答｜答案：m=7、8、13；对应根分别为3与4、2与6、1与12。 两根积为12，可取无序正整数因数对(1,12)、(2,6)、(3,4)。 对应根和依次为13、8、7，且m等于根和。 因此m=7、8、13，对应两根分别为3与4、2与6、1与12。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学上册 · 根的判别式与根与系数 · 讲义 专题03 根的判别式与根与系数 2026—2027学年 · 人教版 · 九年级数学上册 · 一元二次方程专题 期中复习讲义 6个知识模块 · 12类题型 · 56道讲练题 内容导航 明 · 复习重点 识别题目结构，核对适用条件，解释并检验结论。 记 · 必备知识 一般形式与适用前提；根的判别式；由根的情况求参数；根与系数的关系；常见对称式与分式条件；构造方程与根的符号。 破 · 重难题型 题型01 不解方程判断实数根 题型02 由实数根情况确定参数 题型03 已知一个根求系数 题型04 二次项系数含参先检查 题型05 判别式与整数参数筛选 题型06 判别式判断几何条件能否成立 题型07 直接求两根的和与积 题型08 用根和根积求对称式 题型09 由根之间的关系求参数 题型10 利用根与系数构造方程 题型11 判别式与根的符号综合（选做） 题型12 根与系数结合整数约束（选做） 过 · 分层验收 20题 · 45分钟 · 100分，基础巩固与综合提升配套。 学习目标 1. 能先化为一般形式，识别二次项系数、一次项系数和常数项，正确计算根的判别式。 2. 能根据实数根的情况求参数范围，并先检查二次项系数不为0。 3. 能在条件成立时利用根与系数的关系求对称式、参数，并检查分母不为0。 4. 能把判别式、根的符号和实际意义结合起来，写出完整的条件与结论。 选做拓展按本校教学进度与学生情况选用。 知识点总结｜1—2 知识点1 一般形式与适用前提 1. 一元二次方程的一般形式为，其中a、b、c为常数，且a≠0。 2. 先移项、整理，再连同符号读取a、b、c；含参数时先写出a≠0的限制。 3. 以下判别式和根与系数公式都以方程确实为一元二次方程为前提。 规则示意 中，a=2，b=−3，c=1。 易错警示 不能漏掉二次项系数不为0这一前提。 知识点2 根的判别式 1. 对且a≠0，记。 2. Δ>0时有两个不相等的实数根；Δ=0时有两个相等的实数根；Δ<0时没有实数根。 3. “有两个实数根”允许两根相等；若要求不同，必须写Δ>0。 规则示意 的Δ=0，因此有两个相等的实数根。 易错警示 判别式判断的是实数根的情况，不能把Δ<0解释成方程完全没有任何类型的根。 我的自查 □ 能复述关键规则 □ 能识别适用条件 □ 能写出规范过程 需要提醒自己的地方：________________________________________________ 知识点总结｜3—4 知识点3 由根的情况求参数 1. 把题意准确转化为Δ>0、Δ=0或Δ≥0，再与a≠0联立筛选。 2. 参数求得后代回系数，排除会使方程降为一次的取值。 3. 已知具体根时，先代入原方程求参数，再检查原方程及其他条件。 规则示意 要求m≠1；有实数根还要求4−4(m−1)≥0。 易错警示 先谈根的情况、最后忘记排除降次值，会多出不合要求的参数。 知识点4 根与系数的关系 1. 若一元二次方程的两个实数根为、，则，。 2. 使用上述实数根关系时，应保证a≠0且Δ≥0。 3. 两根同为正数需根和>0、根积>0；同为负数需根和<0、根积>0，且都要保证实数根存在。 规则示意 的两根和为5、积为6。 易错警示 根和、根积必须带符号；仅有正的根和与根积，不能跳过实数根存在的检查。 我的自查 □ 能复述关键规则 □ 能识别适用条件 □ 能写出规范过程 需要提醒自己的地方：________________________________________________ 知识点总结｜5—6 知识点5 常见对称式与分式条件 1. 。 2. 。 3. 当时，。 4. 能用根和与根积表示的式子，通常不必先求出每一个根。 规则示意 设、，则平方和为；倒数和为，但须P≠0。 易错警示 约分、求倒数之前要检查分母，不能只检查判别式。 知识点6 构造方程与根的符号 1. 若两数的和为S、积为P，则它们是关于t的方程的根。 2. 构造的新根若为原根的倍数、相反数或倒数，应重新计算新根的和与积。 3. 两根异号时，根积<0；对实系数二次方程，这也保证Δ>0。 4. 整数根题可先列出符合根积的整数因数对，再筛选根和及符号。 规则示意 原两根为r、s，新两根为2r、2s时，新根和是2(r+s)，积是4rs。 易错警示 把根变成2倍时，根积要变成4倍，不能也只乘2。 我的自查 □ 能复述关键规则 □ 能识别适用条件 □ 能写出规范过程 需要提醒自己的地方：________________________________________________ 题型01 不解方程判断实数根 方法提炼 1. 把方程整理为一般形式，连同符号确定a、b、c。 2. 计算Δ并根据其符号判断实数根情况。 典例精讲 不解方程，判断的实数根情况。 a=2，b=−4，c=5，且a≠0。 。 Δ<0，所以方程没有实数根。 结论：没有实数根。 举一反三 · 独立练习 变式1 不解方程，判断的实数根情况。 变式2 不解方程，判断的实数根情况。 易错提醒 计算4ac时要保留c的负号；不能漏掉括号。 题型02 由实数根情况确定参数 方法提炼 1. 把“不同”“相等”“存在实数根”分别转化成对应的判别式条件。 2. 解出参数条件后，复核二次项系数及题目附加限制。 典例精讲 若有两个不相等的实数根，求m的范围。 二次项系数为1，始终不为0。 Δ=16−4m；两根不相等要求16−4m>0。 解得m<4。 结论：m<4。 举一反三 · 独立练习 变式1 若有实数根，求k的范围。 变式2 若有两个相等的实数根，求p。 易错提醒 有实数根包括重根情形，不能一律用严格大于号。 题型03 已知一个根求系数 方法提炼 1. 将已知根代入原方程，得到关于参数的等式。 2. 求出参数后代回，再用根与系数关系核对另一个根。 典例精讲 已知2是的一个根，求m及另一个根。 代入x=2，得4−2(m+1)+m−2=0。 整理得−m=0，所以m=0。 原方程为，两根和为1，因此另一个根为1−2=−1。 结论：m=0，另一个根为−1。 举一反三 · 独立练习 变式1 已知−1是的一个根，求m及另一个根。 变式2 已知3是的一个根，求k及另一个根。 易错提醒 代入负根要加括号；求另一根时使用的是原方程的系数。 题型04 二次项系数含参先检查 方法提炼 1. 先列二次项系数不为0的条件。 2. 再列判别式条件，最后取两者的公共部分。 典例精讲 关于x的一元二次方程有实数根，求m的范围。 题目要求一元二次方程，所以m−1≠0，即m≠1。 Δ=4−4(m−1)=8−4m≥0，得m≤2。 合并得到m≤2且m≠1。 结论：m≤2且m≠1。 举一反三 · 独立练习 变式1 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的范围。 变式2 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求p。 易错提醒 使二次项系数为0的参数即使满足计算出的不等式，也必须排除。 题型05 判别式与整数参数筛选 方法提炼 1. 先求参数的实数范围。 2. 再与正整数、非负整数等条件结合，逐个列出符合要求的值。 典例精讲 正整数k使有实数根，求k及此时的根。 Δ=4−4k≥0，得到k≤1。 又k是正整数，因此只能取k=1。 方程成为，所以两根均为1。 结论：k=1，两根均为1。 举一反三 · 独立练习 变式1 正整数m使有两个不相等的实数根，列出m的所有取值。 变式2 非负整数n使有实数根，符合要求的n共有多少个？ 易错提醒 非负整数包括0；严格不等式端点与可取的整数要分清。 题型06 判别式判断几何条件能否成立 方法提炼 1. 根据边长和与积写出以边长为根的一元二次方程。 2. 既要判定实数根存在，也要检查边长为正及给定几何条件。 典例精讲 某长方形的周长为20厘米、面积为24平方厘米。能否存在这样的长方形？用判别式说明，并求边长。 设一边长为x厘米，另一边为10−x厘米，要求0<x<10。 由x(10−x)=24，得；Δ=100−96=4>0。 方程两根为4、6，均在(0,10)内，因此可以存在。 结论：能存在，边长为4厘米和6厘米。 举一反三 · 独立练习 变式1 能否有周长为12厘米、面积为10平方厘米的长方形？用判别式说明。 变式2 周长为16厘米、面积为16平方厘米的长方形是否存在？若存在，说明它的形状。 易错提醒 判别式非负只保证实数解，实际边长仍需为正。 题型07 直接求两根的和与积 方法提炼 1. 先判断方程有实数根。 2. 利用根和与根积，注意a不是1时的分母。 典例精讲 设的两实根为、，求两根的和与积。 Δ=25+24=49>0，且a=3≠0。 由根与系数关系，两根和为。 两根积为。 结论：，。 举一反三 · 独立练习 变式1 设的两实根为u、v，求u+v及uv。 变式2 设的两实根为a、b，求a+b及ab。 易错提醒 不能把根和误记成；重根也可以使用根与系数关系。 题型08 用根和根积求对称式 方法提炼 1. 把所求式改写为根和与根积组成的式子。 2. 涉及倒数时先检查根积不为0，再代入。 典例精讲 的两实根为、，不求根，计算。 Δ=25−12=13>0，根和S=5，根积P=3。 。 代入得25−6=19。 结论：19。 举一反三 · 独立练习 变式1 的两实根为a、b，求。 变式2 的两实根为u、v，求。 易错提醒 平方和是根和的平方减去2倍根积，不能漏掉交叉项。 题型09 由根之间的关系求参数 方法提炼 1. 把题给的根关系改写为S与P的关系。 2. 求出参数后，检查判别式、首项系数和附加条件。 典例精讲 的两实根之和等于两根之积的2倍，求m。 设根和S=m+2，根积P=2m；由S=2P，得m+2=4m。 解得。 此时，二次项系数为1，符合条件。 结论：。 举一反三 · 独立练习 变式1 的两实根之和为6，求k。 变式2 的两实根为a、b，若，求t。 易错提醒 由根关系求出的参数只是候选值，必须检查实数根是否存在。 题型10 利用根与系数构造方程 方法提炼 1. 算出新两根的和S与积P。 2. 写成，必要时同乘常数化去分母。 典例精讲 以两数为根的一元二次方程，其二次项系数为1。已知这两数的和为3、积为−4，求此方程。 设两根和S=3，积P=−4。 由构造公式得，即。 该方程的Δ=25>0，确有两个实数根。 结论：。 举一反三 · 独立练习 变式1 求以、为两根，且二次项系数为1的方程。 变式2 设的两实根为a、b，求以、为根且系数为整数的一个一元二次方程。 易错提醒 新方程的一次项系数是新根和的相反数；构造倒数根需原根均不为0。 题型11 判别式与根的符号综合（选做） 方法提炼 1. 先保证实数根存在，再根据根和、根积判断符号。 2. “两个不同的正根”需同时满足Δ>0、S>0、P>0。 典例精讲 关于x的方程有两个不相等的正实数根，求k的范围。 两根不同要求，得k<−1或k>2。 两根均正还要求2k>0且k+2>0，故k>0。 取公共部分，得到k>2。 结论：k>2。 举一反三 · 独立练习 变式1 方程有两个负实数根，允许相等，求m的范围。 变式2 方程的两个实数根异号，求t的范围。 易错提醒 根和为正并不保证两个根都为正；还需根积为正和实数根条件。 题型12 根与系数结合整数约束（选做） 方法提炼 1. 根为整数时，先按根积列出所有整数因数对。 2. 再按符号、根和、参数范围筛选，避免遗漏交换次序产生的相同组合。 典例精讲 若的两个根均为正整数，求m的所有可能值。 正整数两根的积为6，可取无序因数对(1,6)、(2,3)。 对应两根和分别为7、5，因此m=7或5。 这两组根均能代回，且方程二次项系数为1，故均符合。 结论：m=5或7。 举一反三 · 独立练习 变式1 若的两个根均为整数，求k的所有可能值。 变式2 正整数s满足s≤7，且有实数根。求s的所有可能值。 易错提醒 整数参数不等于整数根；题目没有要求根为整数时，不能额外加条件。 限时分层演练｜基础巩固 姓名：____________ 班级：____________ 得分：____________ 建议用时45分钟，满分100分。解答题写出关键过程，并核对题设条件。 一、选择题（共18分） 1.（3分）方程的实数根情况是（ ）。 A. 两个不同的实数根 B. 两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 2.（3分）若是关于x的一元二次方程，则（ ）。 A. m=2 B. m≠2 C. m>2 D. m<2 3.（3分）的两实根之和为（ ）。 A. B. C. D. 5 4.（3分）的两实根为a、b，则等于（ ）。 A. B. C. D. 5.（3分）若有两个相等的实数根，则k为（ ）。 A. 3 B. 9 C. −9 D. 6 6.（3分）以两数为根的一元二次方程，两根和为−4、积为−5，则可取方程（ ）。 A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 7.（3分）若有实数根，则p的范围为________。 8.（3分）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k=________。 9.（3分）的两实根为a、b，则________。 10.（3分）已知1是的一个根，则q=________，另一个根为________。 11.（3分）若的两根均为正整数，则m可能为________。 12.（3分）的两实根为u、v，则________。 限时分层演练｜综合提升（1） 13.（8分）不解方程，判断是否有实数根，并写出依据。 14.（8分）关于x的一元二次方程有实数根，求m的范围。 15.（8分）设的两实根为a、b，不求两根，计算：①；②。 16.（8分）的两个实数根之和等于两根之积的2倍，求k并检验实数根条件。 限时分层演练｜综合提升（2） 17.（8分）设的两实根为r、s，构造以2r、2s为根、二次项系数为1的方程，写出过程。 18.（8分）某设计要求长方形周长为18米、面积为22平方米。用判别式说明该设计是否可行。 19.（8分）（选做提升）关于x的方程有两个不相等的正实数根，求t的范围。 20.（8分）（选做提升）若的两个根均为正整数，求m的全部取值，并写出对应的两根。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $