第25章《一元二次方程》期中复习讲义——考点 4：根与系数的关系 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 4：根与系数的关系 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 4：定理内容 · 对称式求值 · 非对称式降次 · 由两根关系求参数 · 逆向构造与综合应用 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 4 专项（根与系数的关系），共 24 道，全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷（中考、模拟、期中、期末、月考等）的网络原题；每题题干均已逐题标注出处与时间，题面、答案与详解均已逐题独立核对。 全卷按题型分层编排：选择题 8 道、填空题 12 道、解答题 4 道；例题组（3 选＋2 填＋1 解）、变式组（4 选＋4 填＋2 解）、拔高组（1 选＋6 填＋1 解），每组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 4。 根与系数的关系属人教版九上第 25 章的选学内容（编排于 25.2 节之后），正式使用请按本地考纲取舍；在考纲范围内，它是期中卷选择填空的提分利器——两根之和、两根之积不解方程即可整体代入，对称式求值与非对称式降次是两条主干方法。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲两条主干各一遍；变式学生限时独立完成；拔高组大数降次、构造与证明、判别式联用与几何背景，供学有余力的学生冲击压轴；本系列后续按考点 5 逐个推出，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），四条主线：一定理内容——两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数、两根之积等于常数项与二次项系数之比；二对称式求值——平方和、倒数和、乘积展开式先整理再整体代入；三非对称式与求参数——单根代入降次、由两根关系反求参数并检验；四逆向构造与综合应用——以两根构造新方程、与判别式及几何背景联用。 PART 01 考点 4 知识主线：根与系数的关系 考点范围：一元二次方程根与系数的关系——两根之和与两根之积的求法，对称式与非对称式的求值，由两根关系反求参数，以两根构造新方程，以及根与系数的关系与判别式、几何背景的综合应用。本考点是选学内容中考查频率最高的一块，期中卷选择填空的提分利器。 主线一、定理的内容——两根之和与两根之积 ◆ 内容：设一元二次方程 ＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为 x₁，x₂，则 x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝——系数之比，两根之和带负号、两根之积不带负号。 ◆ 两个前提：①先化成一般形式再读系数——去括号、移项、合并后带符号确认 a、b、c；②两根存在才有关系——含参数时先由 Δ≥0 保证根存在，再谈两根之和与之积。 主线二、求对称式的值——先整理，再整体代入 ◆ 常见对称式：平方和 ＋＝－2x₁x₂；倒数和 ＋＝；两根之差的平方 ＝－4x₁x₂——整理成只含两根之和与两根之积的式子后整体代入。 ◆ 提公因式与展开：x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)；(x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1；(x₁＋k)(x₂＋k)＝x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋——先变形后代入，切勿先解方程求根。 主线三、求非对称式的值与由两根关系求参数 ◆ 两类技巧：①非对称式（如 ＋7a＋b）——把其中一根代入原方程降次，再把式子拆成两根之和、两根之积的组合；②由 x₁＋kx₂ 型条件求参数——先用两根之和表示出两根，再由两根之积建立参数方程，求出后必须检验 Δ≥0。 主线四、逆向构造新方程与综合应用——还原与检验 ◆ 逆向构造：以两根 x₁，x₂ 为根的一元二次方程可写为 －(x₁＋x₂)x＋x₁x₂＝0——知两根之和与之积即可不解方程直接还原；◆ 综合应用：几何背景（平行四边形周长等于两邻边之和的 2 倍）先翻译成两根之和；含参数时先由 Δ≥0 保证根存在，再建立两根关系式——解后回代检验是共同收尾。 根与系数的关系考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 定理内容 x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝ 直接求两根之和、之积（选择） 不化一般式就读系数 对称式求值 ＋＝－2x₁x₂ 平方和、倒数和等求值 先解方程求根，绕远易错 非对称式求值 单根代入原方程降次 ＋7a＋b 型求值 降次后漏组合两根之和 由两根关系求参数 先拆两根之和定两根，再列方程 x₁＋3x₂＝5 型求参数 求出后不检验 Δ≥0 逆向构造与综合 －(两根之和)x＋两根之积＝0 构造新方程、几何背景综合 忘检验根是否存在 ◆ 整体代入规范：先化一般形式 → 带符号确认 a、b、c → 写出两根之和与两根之积 → 把所求式整理成只含和与积的式子整体代入——四步走完再算值，全程不解方程。 四、易错警示与综合提分——两根之和与之积题的高频陷阱 ◆ 三大高频陷阱：①不化一般形式就读系数——去括号移项合并后再定 a、b、c；②二次项系数不是 1 时忘记除以系数——两根之和、之积都要除以二次项系数；③非对称式硬凑对称——单根代入原方程降次，再拆成两根之和与两根之积的组合。 ◆ 求参数两类：①x₁＋kx₂ 型——用两根之和表示出 x₂，进而得两根，再由两根之积列参数方程；②含范围条件——先用两根之和与之积翻译不等式，再与 Δ≥0 取交集，整数解逐个检验。◆ 逆向构造：知两根之和与之积，可直接写出以两根为根的方程——用于验根与构造新方程。 ◆ 结果规范：两根之和是负数时平方先加括号；倒数和的分母是两根之积不是两根之和；求出参数后必须回代检验 Δ≥0 与题设条件；证明题把所证式整理成两根之和与之积的组合后，用平方非负性收尾。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 根与系数的关系是人教版九上第 25 章的选学内容，但全国多数地区期中卷仍在考查：直接求两根之和与之积、对称式求值几乎每卷必到，是选择填空的高效得分点。 本考点考的是『整体代换』：不解方程，直接用两根之和与之积表示目标式——平方和、倒数和、乘积展开式先整理再代入，一次到位。 非对称式与求参数是本考点的提分台阶：非对称式用『单根代入降次』转化；x₁＋kx₂ 型条件先拆两根之和，求出参数后回代检验判别式。 综合应用把本考点推向压轴：几何背景（平行四边形周长）翻译成两根之和；与判别式联立定参数范围；构造新方程与证明不等式——收尾都要回代检验。 答题方法（三步法） 第一步·化一般形式：去括号、移项、合并同类项，带符号确认 a、b、c——不化一般形式就代入，是第一失分点。 第二步·写和与积：两根之和＝－一次项系数÷二次项系数，两根之积＝常数项÷二次项系数——系数含负号要整体加括号。 第三步·整理代入：把目标式整理成只含两根之和与两根之积的式子后整体代入；非对称式先降次；求参数后回代检验。 注意事项（易错警示） 第一错点是『符号』：两根之和是相反数关系——b＝－20 时两根之和是 20；两根之积不带负号，c 除以 a 前先带符号。 第二错点是『漏除系数』：二次项系数是 2 时，两根之和、之积都要除以 2——只读分子系数是最常见的粗心。 第三错点是『漏检验』：由两根关系求出的参数，必须回代检验 Δ≥0 与原条件——舍去不合范围的根才是完整答案。 证明题收尾用『非负性』：把所证式整理成两根之和与之积的组合，化到只剩平方的相反数，由平方非负直接得结论。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 定理的直接应用 x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝ 直接求两根之和、之积（选择） ★☆ 对称式求值 ＋＝－2x₁x₂ 平方和、倒数和等（选择·填空） ★★☆ 非对称式求值 单根代入原方程降次 ＋7a＋b 型（选择·填空） ★★☆ 由两根关系求参数 先拆两根之和，再列参数方程 x₁＋3x₂＝5 求参数（填空） ★★☆ 与判别式联用 两根关系式＋Δ≥0 取交集 含参范围与整数解（填空·解答） ★★★ 综合与构造 周长背景、构造新方程、证明 几何综合、不等式证明（解答） ★★★ 命题边界：本考点只考第 25 章『根与系数的关系』——两根之和与两根之积的直接应用，对称式与非对称式的求值，由两根关系反求参数，以两根构造新方程，以及与判别式、几何背景的简单综合。本资料不涉及一元二次方程的概念与解法（由本系列考点 1、考点 2 复习资料承接）、不涉及根的判别式的系统训练（由考点 3 复习资料承接）、不涉及实际应用题——由本系列后续复习资料承接。根与系数的关系属人教版选学内容，正式使用请按本地考纲取舍。题目全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷，逐题标注出处与时间。 PART 03 考点 4 例题精讲（6 题）—— 定理直接应用 · 对称式求值 · 由一根求另一根 · 平方和与参数 例题覆盖：两根之和与之积与象限判断（选择·例 1）→ 提公因式对称式求值（选择·例 2）→ 两根之和直接求（选择·例 3）→ 由一根与两根之和求另一根（填空·例 4）→ 两根之积直接求（填空·例 5）→ 平方和与参数方程（解答·例 6）→ 结论逐项判断（选择·变 1）→ 降次非对称式（选择·变 2、变 3）→ 系数非 1 直接应用（选择·变 4）→ 倒数和（填空·变 5）→ 展开式求值（填空·变 6）→ 降次组合（填空·变 7）→ 由两根关系求参数（填空·变 8）→ 范围与整数解（解答·变 9）→ 平方和与舍根（解答·变 10）→ 大数降次（选择·拔 1）→ 降次拆和（填空·拔 2）→ 展开式构造（填空·拔 3）→ 提公因式（填空·拔 4）→ 与判别式联用（填空·拔 5）→ 平方和符号（填空·拔 6）→ 几何背景周长（填空·拔 7）→ 构造方程与证明（解答·拔 8）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教定理与象限（选择·先化一般式）：化一般式后取两根之和与之积定坐标，横纵坐标符号定象限收尾； ◆ 例 2 教提公因式（选择·对称式）：x₂＋x₁ 提 x₁x₂ 后恰剩两根之和，整体代入一步到位； ◆ 例 3 教两根之和直接求（选择·系数带负号）：b＝－20 时两根之和是 20——负负得正别绕晕； ◆ 例 4 教由一根求另一根（填空·嵌空·两根之和）：把 x₁＝1 代入两根之和回求 x₂，不解方程； ◆ 例 5 教两根之积直接求（填空·嵌空·系数之比）：常数项除以二次项系数，一眼出答案； ◆ 例 6 教平方和与参数（解答）：(1) 由两不等实根定 m 范围；(2) 平方和＝－2x₁x₂ 建立 m 的方程，解出后回代检验范围。 例 1　选择题 （2025·河北·中考）若一元二次方程 x(x＋2)－3＝0 的两根之和与两根之积分别为 m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限　　　B．第二象限 C．第三象限　　　D．第四象限 【答案】C 【解析】题干方程不是一般式，先化为 ＋2x－3＝0，再由根与系数的关系求出 m、n 的值，最后按横、纵坐标的符号判断点所在的象限． 【详解】把方程 x(x＋2)－3＝0 化为一般式，得 ＋2x－3＝0， 由根与系数的关系，得 m＝x₁＋x₂＝－2，n＝x₁x₂＝－3， ∴点(m，n)即为点(－2，－3)， ∵－2＜0，－3＜0，横、纵坐标均为负数， ∴点(m，n)在第三象限， 故选：C． 例 2　选择题 （2025·四川乐山·中考）若方程 －x－2＝0 的两个根是 x₁ 和 x₂，则 x₂＋x₁ 的值为（　　） A．－1　　　B．1 C．－2　　　D．2 【答案】C 【解析】所求式含公因式 x₁x₂，先提公因式化为 x₁x₂(x₁＋x₂)，再整体代入两根之和与两根之积． 【详解】由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝1，x₁x₂＝－2， x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)＝－2×1＝－2， 故选：C． 例 3　选择题 （2025·广西·中考）已知 x₁，x₂ 是方程 －20x－25＝0 的两个实数根，则 x₁＋x₂＝（　　） A．－25　　　B．－20 C．20　　　D．25 【答案】C 【解析】直接利用根与系数的关系求两根之和，等于一次项系数与二次项系数的比的相反数． 【详解】在方程 －20x－25＝0 中，a＝1，b＝－20， 由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝－＝－(－20)＝20， 故选：C． 例 4　填空题 （2025·江苏苏州·中考）已知 x₁，x₂ 是关于 x 的一元二次方程 ＋2x－m＝0 的两个实数根，其中 x₁＝1，则 x₂＝____－3____． 【答案】－3 【解析】由根与系数的关系先得 x₁＋x₂＝－2，再把 x₁＝1 代入即可求出另一根． 【详解】由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝－2， ∵x₁＝1， ∴x₂＝－2－1＝－3， 故答案为：－3． 例 5　填空题 （2026·四川乐山·中考）已知方程 －4x＋3＝0 的两个根是 x₁ 和 x₂，则 x₁x₂＝____3____． 【答案】3 【解析】由根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比． 【详解】在方程 －4x＋3＝0 中，a＝1，c＝3， 由根与系数的关系，得 x₁x₂＝＝3， 故答案为：3． 例 6　解答题 （2025—2026学年·广东汕头潮阳区海田学校·期中）已知关于 x 的一元二次方程 －4x＋m－2＝0． (1)若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (2)在(1)的条件下，设方程的两个实数根为 x₁，x₂，且 ＋＝10，求 m 的值． 【答案】(1)m＜6；(2)m＝5． 【解析】(1)“有两个不相等的实数根”即判别式大于 0；(2)先用 x₁＋x₂、x₁x₂ 表示 x₁ 的平方与 x₂ 的平方之和，再整体代入建立关于 m 的方程，最后检验(1)的范围． 【详解】(1)∵方程 －4x＋m－2＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝－4×1×(m－2)＞0， 即 16－4m＋8＞0， 解得 m＜6； (2)由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝4，x₁x₂＝m－2， ∴＋＝－2x₁x₂＝－2(m－2)＝20－2m， 由 20－2m＝10，解得 m＝5， ∵m＝5＜6，符合(1)的条件， ∴m 的值为 5． PART 04 考点 4 变式练习（10 题）—— 结论判断 · 降次求值 · 倒数和 · 由两根关系求参数 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 4 练定理的直接应用与降次（选择）：变 1 逐项对照、变 2 变 3 单根代入降次拆两根之和、变 4 二次项系数是 2 别忘除——直接应用也要步步规范； ◆ 变 5 ～ 变 8 练对称式与求参数（填空·嵌空）：变 5 倒数和通分、变 6 展开式、变 7 降次组合、变 8 由 x₁＋3x₂ 拆和求根再求积； ◆ 变 9 、变 10 练完整过程（解答）：变 9 两根关系不等式与 Δ≥0 取交集取整数；变 10 平方和建立方程解出双值后，由范围舍去一值； ◆ 易错聚焦：变 4 漏除二次项系数；变 7 降次后漏组合两根之和；变 8 忘记回代检验；变 10 舍根凭感觉不凭范围。 变式 1　选择题 （2025·湖北·中考）已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 －4x＋3＝0 的两个实数根，下列结论正确的是（　　） A．x₁＋x₂＝－4　　　B．x₁＋x₂＝3 C．x₁x₂＝4　　　D．x₁x₂＝3 【答案】D 【解析】逐项对照根与系数的关系：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比． 【详解】在方程 －4x＋3＝0 中，a＝1，b＝－4，c＝3， 由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝－＝4，x₁x₂＝＝3， ∴选项 A、B 中两根之和错误，选项 C 中两根之积错误，选项 D 正确， 故选：D． 变式 2　选择题 （2025—2026学年·江苏宿迁泗洪通州实验学校·阶段练习）已知 a，b 是方程 ＋6x－2＝0 的两个实数根，则 ＋7a＋b 的值为（　　） A．－4　　　B．－9 C．0　　　D．9 【答案】A 【解析】a 是方程的根，可把 a 代入方程降次，得 ＝－6a＋2，再把所求式化为用 a＋b 整体表示后代入． 【详解】由根与系数的关系，得 a＋b＝－6，ab＝－2， ∵a 是方程的根， ∴＋6a－2＝0，即 ＝－6a＋2， ∴＋7a＋b＝－6a＋2＋7a＋b＝(a＋b)＋2＝－6＋2＝－4， 故选：A． 变式 3　选择题 （2025·山东东营·中考）若， 是关于 x 的一元二次方程 －25－1＝0 的两个实数根，则代数式 的值为（　　） A．0　　　B．25 C．26　　　D．－1 【答案】C 【解析】把 拆成 ()＋(x₁＋x₂)，前一个括号用“x₁ 是方程的根”整体代换代入，后一个括号用两根之和． 【详解】由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝25，x₁x₂＝－1， ∵x₁ 是方程的根， ∴＝0，即 ＝1， ∴＝()＋(x₁＋x₂)＝1＋25＝26， 故选：C． 变式 4　选择题 （2025—2026学年·广东汕头潮阳区海田学校·期中）已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 2－6x＋1＝0 的两个实数根，则 x₁＋x₂ 与 x₁x₂ 的值分别为（　　） A．3 和 1　　　B．3 和 C．－3 和 1　　　D．－3 和 － 【答案】B 【解析】二次项系数不为 1 时，两根之和、两根之积都要除以二次项系数 2，不能直接取系数． 【详解】在方程 2－6x＋1＝0 中，a＝2，b＝－6，c＝1， 由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝－＝－(－3)＝3，x₁x₂＝＝， 故选：B． 变式 5　填空题 （2025·四川攀枝花·中考）已知 a，b 是一元二次方程 ＋2x－3＝0 的两个实数根，则 ＋＝________． 【答案】 【解析】异分母相加先通分：＋＝，分子用两根之和、分母用两根之积整体代入． 【详解】由根与系数的关系，得 a＋b＝－2，ab＝－3， ∴＋＝＝＝， 故答案为：． 变式 6　填空题 （2025·四川眉山·中考）已知方程 －2x－5＝0 的两根分别为 x₁，x₂，则 (x₁＋1)(x₂＋1) 的值为____－2____． 【答案】－2 【解析】先把式子展开为 x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1，再整体代入两根之和与两根之积． 【详解】由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝－5， ∴(x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1＝－5＋2＋1＝－2， 故答案为：－2． 变式 7　填空题 （2025·四川泸州·中考）已知 α，β 是关于 x 的一元二次方程 2－6x－1＝0 的两个实数根，则 2－3α＋3β 的值为____10____． 【答案】10 【解析】α 是方程的根，先用降次把 用 α 的一次式表示，整理后恰好只剩两根之和，整体代入即可． 【详解】由根与系数的关系，得 α＋β＝3，αβ＝－， ∵α 是方程的根， ∴2－6α－1＝0，即 2＝6α＋1， ∴2－3α＋3β＝6α＋1－3α＋3β＝3(α＋β)＋1＝3×3＋1＝10， 故答案为：10． 变式 8　填空题 （2026·江苏南京鼓楼·一模）已知 x₁，x₂ 是关于 x 的一元二次方程 －3x＋m＝0 的两个实数根，且 x₁＋3x₂＝5，则 m 的值为____2____． 【答案】2 【解析】把 x₁＋3x₂ 拆成 (x₁＋x₂)＋2x₂，先用两根之和求出 x₂，再求 x₁，最后由两根之积求 m． 【详解】由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝3， ∵x₁＋3x₂＝(x₁＋x₂)＋2x₂＝5， ∴2x₂＝2，解得 x₂＝1， ∴x₁＝3－1＝2， ∴m＝x₁x₂＝2×1＝2， 故答案为：2． 变式 9　解答题 （2025·山东潍坊·三模）已知关于 x 的一元二次方程 －2x＋k－1＝0 有两个实数根 x₁，x₂． (1)求 k 的取值范围； (2)若 x₁＋x₂－x₁x₂＜4，求 k 的整数值． 【答案】(1)k≤2；(2)k 的整数值为 0，1，2． 【解析】(1)有两个实数根即判别式大于或等于 0；(2)用两根之和、两根之积表示所给不等式，解不等式后与(1)的范围取交集，再取其中的整数． 【详解】(1)∵方程 －2x＋k－1＝0 有两个实数根， ∴Δ＝－4×1×(k－1)≥0， 即 4－4k＋4≥0， 解得 k≤2； (2)由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝k－1， ∴x₁＋x₂－x₁x₂＝2－(k－1)＝3－k， 由 3－k＜4，解得 k＞－1， 又 k≤2， ∴－1＜k≤2， ∴k 的整数值为 0，1，2． 变式 10　解答题 （2025·四川乐山·模拟预测）已知关于 x 的一元二次方程 ＋(2k＋1)x＋－1＝0 有两个实数根 x₁，x₂． (1)求 k 的取值范围； (2)若 ＋＝9，求 k 的值． 【答案】(1)k≥－；(2)k＝1． 【解析】(1)有两个实数根即判别式大于或等于 0，展开时注意完全平方公式的正确展开；(2)用两根之和、两根之积表示两根的平方和，解方程后必须检验(1)的范围，把不合范围的根舍去． 【详解】(1)∵方程 ＋(2k＋1)x＋－1＝0 有两个实数根， ∴Δ＝－4×1×(－1)≥0， 即 4＋4k＋1－4＋4≥0， 化简得 4k＋5≥0， 解得 k≥－； (2)由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝－(2k＋1)，x₁x₂＝－1， ∴＋＝－2x₁x₂ ＝－2(－1) ＝2＋4k＋3， 由 2＋4k＋3＝9，即 ＋2k－3＝0， 解得 k＝1 或 k＝－3， ∵k≥－，k＝－3 不符合，舍去， ∴k＝1． PART 05 考点 4 拔高巩固（8 题）—— 大数降次 · 构造与证明 · 判别式联用 · 几何背景 压轴视角——非对称式大数降次、展开式构造、两根关系不等式与判别式联立、几何背景翻译、构造方程与不等式证明，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1 练大数降次（选择）：系数是 2025 这类大数，硬算必错——降次后恰好只剩两根之和，整体代入秒出； ◆ 拔 2 ～ 拔 4 练降次与对称式（填空·嵌空）：拔 2 拆 －5a 与 a＋b 双括号、拔 3 (m＋1)(n＋1) 展开式、拔 4 提公因式——三招覆盖非对称与对称两路； ◆ 拔 5 练与判别式联用（填空·嵌空）：两根关系不等式先解出范围，再与 Δ≥0 取交集——双条件交并是压轴填空的标配； ◆ 拔 6 练平方和符号（填空·嵌空）：两根之和是负数，平方前先加括号——＝16 不是 －16； ◆ 拔 7 、拔 8 练几何背景与构造证明（填空·嵌空／解答）：拔 7 平行四边形周长＝两邻边之和×2，邻边之和即两根之和；拔 8 先化一般式，由两根之和求另一根、代回原方程求 m，再证 (x₁－1)(x₂－1)＝－≤0——构造与非负性收尾。 拔高 1　选择题 （2025·四川绵阳·三模）已知 a 和 b 是方程 ＋2025x－3＝0 的两个解，则 ＋2024a－b 的值为（　　） A．2020　　　B．2024 C．2026　　　D．2028 【答案】D 【解析】a 是方程的解，先降次得 ＝－2025a＋3，把所求式整理后恰好只剩两根之和，整体代入即可． 【详解】由根与系数的关系，得 a＋b＝－2025，ab＝－3， ∵a 是方程的解， ∴＋2025a－3＝0，即 ＝－2025a＋3， ∴＋2024a－b＝－2025a＋3＋2024a－b＝3－(a＋b)＝3－(－2025)＝2028， 故选：D． 拔高 2　填空题 （2025·四川广安·中考）已知方程 －5x－24＝0 的两根分别为 a 和 b，则 －4a＋b 的值为____29____． 【答案】29 【解析】把 －4a＋b 拆成 (－5a)＋(a＋b)，前一个括号用“a 是方程的根”降次，后一个括号用两根之和． 【详解】由根与系数的关系，得 a＋b＝5，ab＝－24， ∵a 是方程的根， ∴－5a－24＝0，即 －5a＝24， ∴－4a＋b＝(－5a)＋(a＋b)＝24＋5＝29， 故答案为：29． 拔高 3　填空题 （2025·黑龙江绥化·中考）已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 －2025x＋1＝0 的两个根，则 (m＋1)(n＋1)＝____2027____． 【答案】2027 【解析】先把 (m＋1)(n＋1) 展开为 mn＋(m＋n)＋1，再整体代入两根之和与两根之积． 【详解】由根与系数的关系，得 m＋n＝2025，mn＝1， ∴(m＋1)(n＋1)＝mn＋(m＋n)＋1＝1＋2025＋1＝2027， 故答案为：2027． 拔高 4　填空题 （2026·四川眉山·中考）已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 －4x－3＝0 的两个实数根，则 x₂＋x₁＝____－12____． 【答案】－12 【解析】所求式提公因式 x₁x₂ 后化为 x₁x₂(x₁＋x₂)，再整体代入两根之和与两根之积． 【详解】由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝4，x₁x₂＝－3， ∴x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)＝－3×4＝－12， 故答案为：－12． 拔高 5　填空题 （2026·四川广安·中考）已知 x₁，x₂ 是关于 x 的一元二次方程 －2x＋k＝0 的两个实数根，且 x₁＋x₂≤3－2x₁x₂，则 k 的取值范围是____k≤____． 【答案】k≤ 【解析】先用两根之和、两根之积表示所给不等式解出 k 的范围，再由“有两个实数根”需判别式不小于 0 得另一范围，最后取交集． 【详解】由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝k， 由 x₁＋x₂≤3－2x₁x₂，得 2≤3－2k， 解得 k≤， 又方程有两个实数根，需 Δ＝－4×1×k＝4－4k≥0，即 k≤1， ∴k≤ 满足 k≤1， ∴k 的取值范围是 k≤． 拔高 6　填空题 （2026·四川凉山州·中考）已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 ＋4x－3＝0 的两个实数根，则 ＋＝____22____． 【答案】22 【解析】两根的平方和用 －2x₁x₂ 表示，注意两根之和是负数，平方时不要丢符号． 【详解】由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝－4，x₁x₂＝－3， ∴＋＝－2x₁x₂＝－2×(－3)＝16＋6＝22， 故答案为：22． 拔高 7　填空题 （2025·青海·中考）平行四边形的两条邻边的长分别是方程 －7x＋1＝0 的两根，则该平行四边形的周长是____14____． 【答案】14 【解析】平行四边形的周长等于两邻边之和的 2 倍，而两邻边之和恰为方程两根之和，整体代入即可，不必求出每个根． 【详解】设该平行四边形的两条邻边长分别为 m，n，则 m，n 是方程 －7x＋1＝0 的两根， 由根与系数的关系，得 m＋n＝7， ∴该平行四边形的周长为 2(m＋n)＝2×7＝14， 故答案为：14． 拔高 8　解答题 （2025·四川南充·中考）设 x₁，x₂ 是关于 x 的方程 (x－1)(x－2)＝ 的两根． (1)当 x₁＝－1 时，求 x₂ 及 m 的值； (2)求证：(x₁－1)(x₂－1)≤0． 【答案】(1)x₂＝4，m＝±；(2)证明见详解． 【解析】(1)把方程化为一般式，由两根之和求 x₂，再把 x₁＝－1 代入原方程求 m；(2)先用判别式说明方程恒有两个不相等的实数根，再用两根之和、两根之积把 (x₁－1)(x₂－1) 化为 －，由非负性得结论． 【详解】(1)方程 (x－1)(x－2)＝ 可化为 －3x＋2－＝0， 由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝3， ∵x₁＝－1， ∴x₂＝3－(－1)＝4， 把 x₁＝－1 代入原方程，得 (－1－1)(－1－2)＝，即 ＝6， ∴m＝±； (2)方程 －3x＋2－＝0 中，a＝1，b＝－3，c＝2－， Δ＝－4×1×(2－)＝9－8＋4＝4＋1＞0， ∴方程恒有两个不相等的实数根，x₁，x₂ 均存在， 由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝2－， ∴(x₁－1)(x₂－1)＝x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝2－－3＋1＝－， ∵≥0， ∴－≤0，即 (x₁－1)(x₂－1)≤0． 附录 过关自查——按题号逐题打勾，把不会的题目标红回炉 题号 考点主线 若错，写出错因 订正完成 例 1 利用两根之和与之积判断点的坐标 例 2 利用两根之和与之积求值 例 3 已知方程求两根之和 例 4 利用根与系数关系求含参数方程的根 例 5 已知方程求两根之积 例 6 利用根与系数关系求参数 变式 1 已知方程判断两根之和与两根之积 变式 2 利用两根之和与积求代数式的值 变式 3 根与系数关系求代数式的值 变式 4 判断两根之和与两根之积 变式 5 求两根的倒数和 变式 6 求两根与常数和之积 变式 7 求根的代数式的值 变式 8 利用根与系数关系求参数 变式 9 根与系数关系与不等式结合求参数 变式 10 确定参数取值范围再求参数 拔高 1 降次求代数式的值 拔高 2 降次变形求值 拔高 3 求两根的代数式的值 拔高 4 求两根积的代数式的值 拔高 5 求参数的取值范围 拔高 6 求两根的平方和 拔高 7 联用几何构造与证明 拔高 8 根与系数关系的综合应用 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——考前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式，系数带符号；和是相反数，积是系数比；对称先整理，整体代入快；非对称降次，拆和再组合；求参要检验，Δ 不为负；周长看两倍，证明用非负。 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 4：根与系数的关系 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 4：定理内容 · 对称式求值 · 非对称式降次 · 由两根关系求参数 · 逆向构造与综合应用 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 4 专项（根与系数的关系），共 24 道，全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷（中考、模拟、期中、期末、月考等）的网络原题；每题题干均已逐题标注出处与时间，题面、答案与详解均已逐题独立核对。 全卷按题型分层编排：选择题 8 道、填空题 12 道、解答题 4 道；例题组（3 选＋2 填＋1 解）、变式组（4 选＋4 填＋2 解）、拔高组（1 选＋6 填＋1 解），每组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 4。 根与系数的关系属人教版九上第 25 章的选学内容（编排于 25.2 节之后），正式使用请按本地考纲取舍；在考纲范围内，它是期中卷选择填空的提分利器——两根之和、两根之积不解方程即可整体代入，对称式求值与非对称式降次是两条主干方法。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲两条主干各一遍；变式学生限时独立完成；拔高组大数降次、构造与证明、判别式联用与几何背景，供学有余力的学生冲击压轴；本系列后续按考点 5 逐个推出，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），四条主线：一定理内容——两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数、两根之积等于常数项与二次项系数之比；二对称式求值——平方和、倒数和、乘积展开式先整理再整体代入；三非对称式与求参数——单根代入降次、由两根关系反求参数并检验；四逆向构造与综合应用——以两根构造新方程、与判别式及几何背景联用。 PART 01 考点 4 知识主线：根与系数的关系 考点范围：一元二次方程根与系数的关系——两根之和与两根之积的求法，对称式与非对称式的求值，由两根关系反求参数，以两根构造新方程，以及根与系数的关系与判别式、几何背景的综合应用。本考点是选学内容中考查频率最高的一块，期中卷选择填空的提分利器。 主线一、定理的内容——两根之和与两根之积 ◆ 内容：设一元二次方程 ＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为 x₁，x₂，则 x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝——系数之比，两根之和带负号、两根之积不带负号。 ◆ 两个前提：①先化成一般形式再读系数——去括号、移项、合并后带符号确认 a、b、c；②两根存在才有关系——含参数时先由 Δ≥0 保证根存在，再谈两根之和与之积。 主线二、求对称式的值——先整理，再整体代入 ◆ 常见对称式：平方和 ＋＝－2x₁x₂；倒数和 ＋＝；两根之差的平方 ＝－4x₁x₂——整理成只含两根之和与两根之积的式子后整体代入。 ◆ 提公因式与展开：x₂＋x₁＝x₁x₂(x₁＋x₂)；(x₁＋1)(x₂＋1)＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1；(x₁＋k)(x₂＋k)＝x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋——先变形后代入，切勿先解方程求根。 主线三、求非对称式的值与由两根关系求参数 ◆ 两类技巧：①非对称式（如 ＋7a＋b）——把其中一根代入原方程降次，再把式子拆成两根之和、两根之积的组合；②由 x₁＋kx₂ 型条件求参数——先用两根之和表示出两根，再由两根之积建立参数方程，求出后必须检验 Δ≥0。 主线四、逆向构造新方程与综合应用——还原与检验 ◆ 逆向构造：以两根 x₁，x₂ 为根的一元二次方程可写为 －(x₁＋x₂)x＋x₁x₂＝0——知两根之和与之积即可不解方程直接还原；◆ 综合应用：几何背景（平行四边形周长等于两邻边之和的 2 倍）先翻译成两根之和；含参数时先由 Δ≥0 保证根存在，再建立两根关系式——解后回代检验是共同收尾。 根与系数的关系考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 定理内容 x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝ 直接求两根之和、之积（选择） 不化一般式就读系数 对称式求值 ＋＝－2x₁x₂ 平方和、倒数和等求值 先解方程求根，绕远易错 非对称式求值 单根代入原方程降次 ＋7a＋b 型求值 降次后漏组合两根之和 由两根关系求参数 先拆两根之和定两根，再列方程 x₁＋3x₂＝5 型求参数 求出后不检验 Δ≥0 逆向构造与综合 －(两根之和)x＋两根之积＝0 构造新方程、几何背景综合 忘检验根是否存在 ◆ 整体代入规范：先化一般形式 → 带符号确认 a、b、c → 写出两根之和与两根之积 → 把所求式整理成只含和与积的式子整体代入——四步走完再算值，全程不解方程。 四、易错警示与综合提分——两根之和与之积题的高频陷阱 ◆ 三大高频陷阱：①不化一般形式就读系数——去括号移项合并后再定 a、b、c；②二次项系数不是 1 时忘记除以系数——两根之和、之积都要除以二次项系数；③非对称式硬凑对称——单根代入原方程降次，再拆成两根之和与两根之积的组合。 ◆ 求参数两类：①x₁＋kx₂ 型——用两根之和表示出 x₂，进而得两根，再由两根之积列参数方程；②含范围条件——先用两根之和与之积翻译不等式，再与 Δ≥0 取交集，整数解逐个检验。◆ 逆向构造：知两根之和与之积，可直接写出以两根为根的方程——用于验根与构造新方程。 ◆ 结果规范：两根之和是负数时平方先加括号；倒数和的分母是两根之积不是两根之和；求出参数后必须回代检验 Δ≥0 与题设条件；证明题把所证式整理成两根之和与之积的组合后，用平方非负性收尾。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 根与系数的关系是人教版九上第 25 章的选学内容，但全国多数地区期中卷仍在考查：直接求两根之和与之积、对称式求值几乎每卷必到，是选择填空的高效得分点。 本考点考的是『整体代换』：不解方程，直接用两根之和与之积表示目标式——平方和、倒数和、乘积展开式先整理再代入，一次到位。 非对称式与求参数是本考点的提分台阶：非对称式用『单根代入降次』转化；x₁＋kx₂ 型条件先拆两根之和，求出参数后回代检验判别式。 综合应用把本考点推向压轴：几何背景（平行四边形周长）翻译成两根之和；与判别式联立定参数范围；构造新方程与证明不等式——收尾都要回代检验。 答题方法（三步法） 第一步·化一般形式：去括号、移项、合并同类项，带符号确认 a、b、c——不化一般形式就代入，是第一失分点。 第二步·写和与积：两根之和＝－一次项系数÷二次项系数，两根之积＝常数项÷二次项系数——系数含负号要整体加括号。 第三步·整理代入：把目标式整理成只含两根之和与两根之积的式子后整体代入；非对称式先降次；求参数后回代检验。 注意事项（易错警示） 第一错点是『符号』：两根之和是相反数关系——b＝－20 时两根之和是 20；两根之积不带负号，c 除以 a 前先带符号。 第二错点是『漏除系数』：二次项系数是 2 时，两根之和、之积都要除以 2——只读分子系数是最常见的粗心。 第三错点是『漏检验』：由两根关系求出的参数，必须回代检验 Δ≥0 与原条件——舍去不合范围的根才是完整答案。 证明题收尾用『非负性』：把所证式整理成两根之和与之积的组合，化到只剩平方的相反数，由平方非负直接得结论。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 定理的直接应用 x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝ 直接求两根之和、之积（选择） ★☆ 对称式求值 ＋＝－2x₁x₂ 平方和、倒数和等（选择·填空） ★★☆ 非对称式求值 单根代入原方程降次 ＋7a＋b 型（选择·填空） ★★☆ 由两根关系求参数 先拆两根之和，再列参数方程 x₁＋3x₂＝5 求参数（填空） ★★☆ 与判别式联用 两根关系式＋Δ≥0 取交集 含参范围与整数解（填空·解答） ★★★ 综合与构造 周长背景、构造新方程、证明 几何综合、不等式证明（解答） ★★★ 命题边界：本考点只考第 25 章『根与系数的关系』——两根之和与两根之积的直接应用，对称式与非对称式的求值，由两根关系反求参数，以两根构造新方程，以及与判别式、几何背景的简单综合。本资料不涉及一元二次方程的概念与解法（由本系列考点 1、考点 2 复习资料承接）、不涉及根的判别式的系统训练（由考点 3 复习资料承接）、不涉及实际应用题——由本系列后续复习资料承接。根与系数的关系属人教版选学内容，正式使用请按本地考纲取舍。题目全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷，逐题标注出处与时间。 PART 03 考点 4 例题精讲（6 题）—— 定理直接应用 · 对称式求值 · 由一根求另一根 · 平方和与参数 例题覆盖：两根之和与之积与象限判断（选择·例 1）→ 提公因式对称式求值（选择·例 2）→ 两根之和直接求（选择·例 3）→ 由一根与两根之和求另一根（填空·例 4）→ 两根之积直接求（填空·例 5）→ 平方和与参数方程（解答·例 6）→ 结论逐项判断（选择·变 1）→ 降次非对称式（选择·变 2、变 3）→ 系数非 1 直接应用（选择·变 4）→ 倒数和（填空·变 5）→ 展开式求值（填空·变 6）→ 降次组合（填空·变 7）→ 由两根关系求参数（填空·变 8）→ 范围与整数解（解答·变 9）→ 平方和与舍根（解答·变 10）→ 大数降次（选择·拔 1）→ 降次拆和（填空·拔 2）→ 展开式构造（填空·拔 3）→ 提公因式（填空·拔 4）→ 与判别式联用（填空·拔 5）→ 平方和符号（填空·拔 6）→ 几何背景周长（填空·拔 7）→ 构造方程与证明（解答·拔 8）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教定理与象限（选择·先化一般式）：化一般式后取两根之和与之积定坐标，横纵坐标符号定象限收尾； ◆ 例 2 教提公因式（选择·对称式）：x₂＋x₁ 提 x₁x₂ 后恰剩两根之和，整体代入一步到位； ◆ 例 3 教两根之和直接求（选择·系数带负号）：b＝－20 时两根之和是 20——负负得正别绕晕； ◆ 例 4 教由一根求另一根（填空·嵌空·两根之和）：把 x₁＝1 代入两根之和回求 x₂，不解方程； ◆ 例 5 教两根之积直接求（填空·嵌空·系数之比）：常数项除以二次项系数，一眼出答案； ◆ 例 6 教平方和与参数（解答）：(1) 由两不等实根定 m 范围；(2) 平方和＝－2x₁x₂ 建立 m 的方程，解出后回代检验范围。 例 1　选择题 （2025·河北·中考）若一元二次方程 x(x＋2)－3＝0 的两根之和与两根之积分别为 m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限　　　B．第二象限 C．第三象限　　　D．第四象限 例 2　选择题 （2025·四川乐山·中考）若方程 －x－2＝0 的两个根是 x₁ 和 x₂，则 x₂＋x₁ 的值为（　　） A．－1　　　B．1 C．－2　　　D．2 例 3　选择题 （2025·广西·中考）已知 x₁，x₂ 是方程 －20x－25＝0 的两个实数根，则 x₁＋x₂＝（　　） A．－25　　　B．－20 C．20　　　D．25 例 4　填空题 （2025·江苏苏州·中考）已知 x₁，x₂ 是关于 x 的一元二次方程 ＋2x－m＝0 的两个实数根，其中 x₁＝1，则 x₂＝________． 例 5　填空题 （2026·四川乐山·中考）已知方程 －4x＋3＝0 的两个根是 x₁ 和 x₂，则 x₁x₂＝________． 例 6　解答题 （2025—2026学年·广东汕头潮阳区海田学校·期中）已知关于 x 的一元二次方程 －4x＋m－2＝0． (1)若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (2)在(1)的条件下，设方程的两个实数根为 x₁，x₂，且 ＋＝10，求 m 的值． PART 04 考点 4 变式练习（10 题）—— 结论判断 · 降次求值 · 倒数和 · 由两根关系求参数 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 4 练定理的直接应用与降次（选择）：变 1 逐项对照、变 2 变 3 单根代入降次拆两根之和、变 4 二次项系数是 2 别忘除——直接应用也要步步规范； ◆ 变 5 ～ 变 8 练对称式与求参数（填空·嵌空）：变 5 倒数和通分、变 6 展开式、变 7 降次组合、变 8 由 x₁＋3x₂ 拆和求根再求积； ◆ 变 9 、变 10 练完整过程（解答）：变 9 两根关系不等式与 Δ≥0 取交集取整数；变 10 平方和建立方程解出双值后，由范围舍去一值； ◆ 易错聚焦：变 4 漏除二次项系数；变 7 降次后漏组合两根之和；变 8 忘记回代检验；变 10 舍根凭感觉不凭范围。 变式 1　选择题 （2025·湖北·中考）已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 －4x＋3＝0 的两个实数根，下列结论正确的是（　　） A．x₁＋x₂＝－4　　　B．x₁＋x₂＝3 C．x₁x₂＝4　　　D．x₁x₂＝3 变式 2　选择题 （2025—2026学年·江苏宿迁泗洪通州实验学校·阶段练习）已知 a，b 是方程 ＋6x－2＝0 的两个实数根，则 ＋7a＋b 的值为（　　） A．－4　　　B．－9 C．0　　　D．9 变式 3　选择题 （2025·山东东营·中考）若， 是关于 x 的一元二次方程 －25－1＝0 的两个实数根，则代数式 的值为（　　） A．0　　　B．25 C．26　　　D．－1 变式 4　选择题 （2025—2026学年·广东汕头潮阳区海田学校·期中）已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 2－6x＋1＝0 的两个实数根，则 x₁＋x₂ 与 x₁x₂ 的值分别为（　　） A．3 和 1　　　B．3 和 C．－3 和 1　　　D．－3 和 － 变式 5　填空题 （2025·四川攀枝花·中考）已知 a，b 是一元二次方程 ＋2x－3＝0 的两个实数根，则 ＋＝________． 变式 6　填空题 （2025·四川眉山·中考）已知方程 －2x－5＝0 的两根分别为 x₁，x₂，则 (x₁＋1)(x₂＋1) 的值为________． 变式 7　填空题 （2025·四川泸州·中考）已知 α，β 是关于 x 的一元二次方程 2－6x－1＝0 的两个实数根，则 2－3α＋3β 的值为________． 变式 8　填空题 （2026·江苏南京鼓楼·一模）已知 x₁，x₂ 是关于 x 的一元二次方程 －3x＋m＝0 的两个实数根，且 x₁＋3x₂＝5，则 m 的值为________． 变式 9　解答题 （2025·山东潍坊·三模）已知关于 x 的一元二次方程 －2x＋k－1＝0 有两个实数根 x₁，x₂． (1)求 k 的取值范围； (2)若 x₁＋x₂－x₁x₂＜4，求 k 的整数值． 变式 10　解答题 （2025·四川乐山·模拟预测）已知关于 x 的一元二次方程 ＋(2k＋1)x＋－1＝0 有两个实数根 x₁，x₂． (1)求 k 的取值范围； (2)若 ＋＝9，求 k 的值． PART 05 考点 4 拔高巩固（8 题）—— 大数降次 · 构造与证明 · 判别式联用 · 几何背景 压轴视角——非对称式大数降次、展开式构造、两根关系不等式与判别式联立、几何背景翻译、构造方程与不等式证明，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1 练大数降次（选择）：系数是 2025 这类大数，硬算必错——降次后恰好只剩两根之和，整体代入秒出； ◆ 拔 2 ～ 拔 4 练降次与对称式（填空·嵌空）：拔 2 拆 －5a 与 a＋b 双括号、拔 3 (m＋1)(n＋1) 展开式、拔 4 提公因式——三招覆盖非对称与对称两路； ◆ 拔 5 练与判别式联用（填空·嵌空）：两根关系不等式先解出范围，再与 Δ≥0 取交集——双条件交并是压轴填空的标配； ◆ 拔 6 练平方和符号（填空·嵌空）：两根之和是负数，平方前先加括号——＝16 不是 －16； ◆ 拔 7 、拔 8 练几何背景与构造证明（填空·嵌空／解答）：拔 7 平行四边形周长＝两邻边之和×2，邻边之和即两根之和；拔 8 先化一般式，由两根之和求另一根、代回原方程求 m，再证 (x₁－1)(x₂－1)＝－≤0——构造与非负性收尾。 拔高 1　选择题 （2025·四川绵阳·三模）已知 a 和 b 是方程 ＋2025x－3＝0 的两个解，则 ＋2024a－b 的值为（　　） A．2020　　　B．2024 C．2026　　　D．2028 拔高 2　填空题 （2025·四川广安·中考）已知方程 －5x－24＝0 的两根分别为 a 和 b，则 －4a＋b 的值为________． 拔高 3　填空题 （2025·黑龙江绥化·中考）已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 －2025x＋1＝0 的两个根，则 (m＋1)(n＋1)＝________． 拔高 4　填空题 （2026·四川眉山·中考）已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 －4x－3＝0 的两个实数根，则 x₂＋x₁＝________． 拔高 5　填空题 （2026·四川广安·中考）已知 x₁，x₂ 是关于 x 的一元二次方程 －2x＋k＝0 的两个实数根，且 x₁＋x₂≤3－2x₁x₂，则 k 的取值范围是________． 拔高 6　填空题 （2026·四川凉山州·中考）已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 ＋4x－3＝0 的两个实数根，则 ＋＝________． 拔高 7　填空题 （2025·青海·中考）平行四边形的两条邻边的长分别是方程 －7x＋1＝0 的两根，则该平行四边形的周长是________． 拔高 8　解答题 （2025·四川南充·中考）设 x₁，x₂ 是关于 x 的方程 (x－1)(x－2)＝ 的两根． (1)当 x₁＝－1 时，求 x₂ 及 m 的值； (2)求证：(x₁－1)(x₂－1)≤0． 附录 过关自查——按题号逐题打勾，把不会的题目标红回炉 题号 考点主线 若错，写出错因 订正完成 例 1 利用两根之和与之积判断点的坐标 例 2 利用两根之和与之积求值 例 3 已知方程求两根之和 例 4 利用根与系数关系求含参数方程的根 例 5 已知方程求两根之积 例 6 利用根与系数关系求参数 变式 1 已知方程判断两根之和与两根之积 变式 2 利用两根之和与积求代数式的值 变式 3 根与系数关系求代数式的值 变式 4 判断两根之和与两根之积 变式 5 求两根的倒数和 变式 6 求两根与常数和之积 变式 7 求根的代数式的值 变式 8 利用根与系数关系求参数 变式 9 根与系数关系与不等式结合求参数 变式 10 确定参数取值范围再求参数 拔高 1 降次求代数式的值 拔高 2 降次变形求值 拔高 3 求两根的代数式的值 拔高 4 求两根积的代数式的值 拔高 5 求参数的取值范围 拔高 6 求两根的平方和 拔高 7 联用几何构造与证明 拔高 8 根与系数关系的综合应用 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——考前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式，系数带符号；和是相反数，积是系数比；对称先整理，整体代入快；非对称降次，拆和再组合；求参要检验，Δ 不为负；周长看两倍，证明用非负。 1 学科网（北京）股份有限公司 $