专题01 解一元二次方程 期中复习讲义-2026—2027学年人教版九年级数学上册（12类题型＋分层演练）

九年级数学上册 · 解一元二次方程 · 讲义 专题01 解一元二次方程 2026—2027学年 · 人教版 · 九年级数学上册 · 一元二次方程专题 期中复习讲义 6个知识模块 · 12类题型 · 56道讲练题 内容导航 明 · 复习重点 识别题目结构，核对适用条件，解释并检验结论。 记 · 必备知识 定义与一般形式；整理系数与检验方程的根；直接开平方法；配方法的等价步骤；公式法及实数根条件；因式分解与等价转化。 破 · 重难题型 题型01 一元二次方程的判别与系数 题型02 利用已知根确定系数 题型03 直接开平方法 题型04 配方法解一元二次方程 题型05 公式法与无实数根的判断 题型06 因式分解法与提取公因式 题型07 根据结构选择解法 题型08 换元转化为一元二次方程（选做拓展） 题型09 含绝对值的转化（选做拓展） 题型10 错解订正与漏根检查 题型11 首项条件与降次讨论 题型12 保留整体结构与平方差转化 过 · 分层验收 20题 · 45分钟 · 100分，基础巩固与综合提升配套。 学习目标 1. 先整理一般形式，再判断是否为一元二次方程，准确读出含符号的各项系数。 2. 掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，能依据结构选择合适的方法。 3. 关注开平方的正负两支、零因子的可能性和首项系数条件，解释错解并完整求解。 4. 在掌握核心方法后，选做换元与绝对值转化题，学会记录中间变量的取值限制。 选做拓展按本校教学进度与学生情况选用。 知识点总结｜1—2 知识点1 定义与一般形式 1. 只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程。 2. 一般形式为，其中a、b、c为常数，且a≠0。 3. 判断前先去括号、移项、合并同类项；不能只看原式出现了。 规则示意 中的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c。 易错警示 首项系数为0时不再是一元二次方程；分母含未知数的方程不能直接按整式方程分类。 知识点2 整理系数与检验方程的根 1. 一般形式右边应为0，系数连同前面的符号一起读取。 2. 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的根。 3. 已知一个根求参数时，先将根代回原方程，再检查求得的参数是否满足首项系数非零。 规则示意 把移项后写成；常数项是−r。 易错警示 不能把等号右边的常数未经移项就当作常数项；验证根应代回原方程。 我的自查 □ 能复述关键规则 □ 能识别适用条件 □ 能写出规范过程 需要提醒自己的地方：________________________________________________ 知识点总结｜3—4 知识点3 直接开平方法 1. 由出发：k>0时；k=0时u=0；k<0时无实数解。 2. 当u是含x的一次式时，先整体开方，再分别解出x。 3. 平方根的正负两支必须同时保留；根号下的数在实数范围内应非负。 规则示意 且k>0时，；k=0时只有根x=h。 易错警示 不能仅写；负数没有实数平方根。 知识点4 配方法的等价步骤 1. 先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右边。 2. 在方程两边同加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式。 3. 最后根据平方等于的数，判断实数解并开平方。 规则示意 可化为。 易错警示 加的是一次项系数一半的平方，两边都要加；一次项系数是负数时也不能漏掉括号。 我的自查 □ 能复述关键规则 □ 能识别适用条件 □ 能写出规范过程 需要提醒自己的地方：________________________________________________ 知识点总结｜5—6 知识点5 公式法及实数根条件 1. 对，先确认a≠0，再计算。 2. 当Δ≥0时，根为。 3. Δ>0时有两个不相等的实数根；Δ=0时有两个相等的实数根；Δ<0时无实数根。 规则示意 公式的整个分子是，分母是2a；b本身包含符号。 易错警示 不能把分母只写成2，也不能漏写−b前的负号；Δ<0时停止实数范围内的开方。 知识点6 因式分解与等价转化 1. 先把方程右边化为0，再将左边写成两个因式的积。 2. 由AB=0可以推出A=0或B=0；两个因式分别求解。 3. 除以含未知数的式子前，必须讨论它等于0的情形，避免丢失根。 规则示意 x(ax+b)=0且a≠0时，x=0或；直接约去x会漏掉零根。 易错警示 AB=C且C≠0时，不能令A=0或B=0；平方和也不能误用平方差公式分解。 我的自查 □ 能复述关键规则 □ 能识别适用条件 □ 能写出规范过程 需要提醒自己的地方：________________________________________________ 题型01 一元二次方程的判别与系数 方法提炼 1. 先整理成整式方程的一般形式，再看未知数的最高次数。 2. 含参数时先写出二次项系数不为0的条件；系数必须连同符号读取。 典例精讲 判断下列方程中哪些是一元二次方程，并写出其中一元二次方程的a、b、c：①；②；③；④。 ①已是一般形式，最高次数为2，且二次项系数2不为0。 ②最高次数为3；③整理后为2x−4=0，都是不符合定义的情形。 ④的分母含有未知数，不是整式方程，因此不属一元二次方程。 结论：只有①；a=2，b=−3，c=1。 举一反三 · 独立练习 变式1 关于x的方程为一元二次方程，求m的取值条件。 变式2 把x(x−3)=2x+6整理为一般形式，并写出a、b、c。 易错提醒 原式出现平方不保证整理后仍是二次方程；读系数前一定要先整理。 题型02 利用已知根确定系数 方法提炼 1. 把题给根代回原方程，得到关于参数的等式。 2. 求出参数后检查首项系数，再将方程写回并求出全部根。 典例精讲 已知3是方程的一个根，求k及方程的全部实数根。 代入x=3，得9−3k−6=0。 解得k=1，原方程为。 因式分解得(x−3)(x+2)=0，所以x=3或x=−2。 结论：k=1；x=3或x=−2。 举一反三 · 独立练习 变式1 已知−2是的一个根，求m及另一个根。 变式2 已知1是的一个根，且该方程为一元二次方程，求a及全部根。 易错提醒 已知的根必须代入原方程；求得参数后不能忘记题设的一元二次方程条件。 题型03 直接开平方法 方法提炼 1. 把平方项作为整体单独留在一边，另一边化成常数。 2. 常数大于0时写出正负两支；等于0时只有一个根值，小于0时无实数解。 典例精讲 解方程：。 对两边开平方，得。 移项得。 两边除以2，得。 结论：或。 举一反三 · 独立练习 变式1 解方程：。 变式2 解方程：。 易错提醒 开平方不是把平方号简单删去；右边为正数时不要漏写负平方根。 题型04 配方法解一元二次方程 方法提炼 1. 先把二次项系数化为1，再将常数项移到右边。 2. 两边同加一次项系数一半的平方，写成完全平方式后开方。 典例精讲 用配方法解方程：。 移项，得。 两边同加9，得，即。 开平方，得。 所以。 结论：或。 举一反三 · 独立练习 变式1 用配方法解方程：。 变式2 用配方法解方程：。 易错提醒 系数不是1时先整体除以二次项系数；配进去的数不是一次项系数的一半，而是其平方。 题型05 公式法与无实数根的判断 方法提炼 1. 整理一般形式，准确确定a、b、c并计算Δ。 2. Δ≥0时完整代入求根公式；Δ<0时说明在实数范围内无解。 典例精讲 用公式法解方程：。 a=3，b=2，c=−2。 。 。 约分，得。 结论：或。 举一反三 · 独立练习 变式1 用公式法解方程：。 变式2 判断方程有无实数根，说明理由。 易错提醒 计算−4ac时应整体代入带符号的a、c；不要对负判别式继续在实数范围内开方。 题型06 因式分解法与提取公因式 方法提炼 1. 先将右边化为0，优先观察公因式、平方差或简单二次三项式分解。 2. 令每个因式分别为0，合并所有符合原方程的根。 典例精讲 用因式分解法解方程：。 把中间项拆成−6x+x，得。 分组提取公因式，得(2x+1)(x−3)=0。 所以2x+1=0或x−3=0。 得到或x=3。 结论：x=3或。 举一反三 · 独立练习 变式1 解方程：，并说明为什么不能直接两边除以x。 变式2 解方程：(x−4)(x+1)=2(x−4)。 易错提醒 应把含未知数的公因式保留下来分解；约掉它之前必须单独讨论它等于0的情况。 题型07 根据结构选择解法 方法提炼 1. 已有完全平方结构可直接开平；缺常数项可优先提取公因式。 2. 易分解时可因式分解；否则在配方法与公式法中选择较简便的一种。 典例精讲 为下列方程各选一种简便方法并求解：①；②；③。 ①已有平方形式，直接开平方得，所以。 ②提取公因式，得x(3x+5)=0，所以x=0或。 ③配方得，所以。 结论：①；②x=0或；③。 举一反三 · 独立练习 变式1 选择简便方法解方程：，并写出选择理由。 变式2 解方程。有人改写为后，认为可直接写，这种做法是否正确？ 易错提醒 解法可以多样，但每一步都必须等价；“开平方法”不能丢掉平方项之外的含x项。 题型08 换元转化为一元二次方程（选做拓展） 方法提炼 1. 当方程只含、和常数时，可设，并记录t≥0。 2. 先解关于t的一元二次方程，舍去不符合t≥0的值，再回到x求解。 典例精讲 选做拓展：解方程。 设，则t≥0，原方程变为。 分解为(t−1)(t−4)=0，得t=1或t=4，均满足t≥0。 由或，得x=±1或x=±2。 结论：x=1、−1、2、−2。 举一反三 · 独立练习 变式1 选做拓展：解方程。 变式2 选做拓展：解方程。 易错提醒 本类原方程是高次方程，不能称其本身为一元二次方程；换元后求出的t还要返回原未知数。 题型09 含绝对值的转化（选做拓展） 方法提炼 1. 有与|x|同时出现时，可利用设t=|x|≥0。 2. 求出合法的绝对值后，再写出相应正负两支；若绝对值为0，只有一个数值。 典例精讲 选做拓展：解方程。 设t=|x|，则t≥0且。 原方程变为(t−1)(t−2)=0，得t=1或t=2。 所以|x|=1或|x|=2，解为x=±1或x=±2。 结论：x=1、−1、2、−2。 举一反三 · 独立练习 变式1 选做拓展：解方程。 变式2 选做拓展：解方程。 易错提醒 含绝对值的原式是转化拓展题，不直接套用整式二次方程定义；t=|x|不能取负数。 题型10 错解订正与漏根检查 方法提炼 1. 找出第一处不等价的步骤，说明丢失或增加解的原因。 2. 将方程恢复到正确步骤，求出全部根，并代回原式确认。 典例精讲 解时，小明写：“两边除以x，得x=4，所以方程的根为4。”指出问题并订正。 第一处问题是直接除以x，因为x可能等于0。 正确移项得，即x(x−4)=0。 所以x=0或x=4，两者代回原方程都成立。 结论：除以x未讨论x=0；正确的根为x=0或x=4。 举一反三 · 独立练习 变式1 解x(x+2)=0时，有人约去x，得x=−2。指出漏掉的根并写出正确解。 变式2 解时，有人写x−3=4，得x=7。指出不完整之处并订正。 易错提醒 代回去成立只能说明某个数是根，不能保证所有根都已找全；还需检查求解过程是否漏了分支。 题型11 首项条件与降次讨论 方法提炼 1. 有参数的式子先判断二次项系数是否为0，再选用对应的方程解法。 2. 首项消失时，继续检查一次项系数和常数项，不能机械套用二次方程公式。 典例精讲 关于x的方程：①何时是一元二次方程？②m=1时求解；③m=2时求解。 ①二次项系数m−1≠0，故m≠1。 ②m=1时方程为2x−3=0，得。 ③m=2时方程为，即(x−1)(x+3)=0，得x=1或x=−3。 结论：①m≠1；②；③x=1或x=−3。 举一反三 · 独立练习 变式1 关于x的方程何时是一元二次方程？当它不是一元二次方程时求解。 变式2 关于x的方程：写出其为一元二次方程的条件；分别讨论k=2与k=−2时的解。 易错提醒 a=0时不能使用含2a作分母的求根公式；同时消去二次项和一次项时还要检查常数。 题型12 保留整体结构与平方差转化 方法提炼 1. 两边各有平方时，可以移到一边利用平方差，不必急于全部展开。 2. 提取整体公因式后仍按零乘积原则求解，并保留所有分支。 典例精讲 用保留整体结构的方法解方程：。 移项，得。 用平方差公式，得[(2x−1)−(x+2)][(2x−1)+(x+2)]=0。 化简为(x−3)(3x+1)=0，所以x=3或。 结论：x=3或。 举一反三 · 独立练习 变式1 解方程：，并说明平方差中的两个整体。 变式2 解方程：(x−1)(x+3)=5，说明为什么不能直接令x−1=0或x+3=0。 易错提醒 平方差的第二个整体也必须完整带入括号；零乘积原则要求等号另一边确实为0。 限时分层演练｜基础巩固 姓名：____________ 班级：____________ 得分：____________ 建议用时45分钟，满分100分。解答题写出关键过程，并核对题设条件。 一、选择题（共18分） 1.（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）。 A. B. C. D. 2.（3分）方程的一般形式中，一次项系数b、常数项c分别是（ ）。 A. 2，5 B. −2，5 C. 2，−5 D. −2，−5 3.（3分）方程的根是（ ）。 A. 1或7 B. 7 C. −1或−7 D. 1或−7 4.（3分）方程的根是（ ）。 A. 5 B. 0 C. 0或5 D. 0或−5 5.（3分）用公式法解时，判别式Δ的值为（ ）。 A. 1 B. 9 C. −7 D. 5 6.（3分）把配成完全平方式，正确的是（ ）。 A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 7.（3分）方程的实数根是________。 8.（3分）将配方，得________。 9.（3分）若−2是的一个根，则m=________。 10.（3分）方程在实数范围内有________个根值。 11.（3分）方程为一元二次方程时，m应满足________。 12.（3分）方程的根是________。 限时分层演练｜综合提升（1） 13.（8分）解方程：。 14.（8分）用配方法解方程：。 15.（8分）用公式法解方程：。 16.（8分）解方程：(x−2)(3x+1)=2(x−2)。 限时分层演练｜综合提升（2） 17.（8分）有人用配方法解，写为“，所以”。指出第一处错误，并给出正确解。 18.（8分）已知2是关于x的方程的一个根，且方程是一元二次方程。求m及方程的全部实数根。 19.（8分）保留整体结构解方程：。 20.（8分）解方程，并选择其中一个根代回原方程检验。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学上册 · 解一元二次方程 · 配套解析 专题01 解一元二次方程｜配套解析 2026—2027学年 · 人教版 · 九年级数学上册 · 一元二次方程专题 题型与变式编号对应讲义。先独立完成，再核对每一步的依据；其他合理解法同样成立。 题型01 一元二次方程的判别与系数 例题｜答案：只有①；a=2，b=−3，c=1。 ①已是一般形式，最高次数为2，且二次项系数2不为0。 ②最高次数为3；③整理后为2x−4=0，都是不符合定义的情形。 ④的分母含有未知数，不是整式方程，因此不属一元二次方程。 变式1｜答案：m≠2。 二次项系数为m−2。 由m−2≠0，得m≠2；此时最高次数为2。 变式2｜答案：；a=1，b=−5，c=−6。 去括号得。 移项、合并同类项，得。 因此三项系数依次为1、−5、−6。 题型02 利用已知根确定系数 例题｜答案：k=1；x=3或x=−2。 代入x=3，得9−3k−6=0。 解得k=1，原方程为。 因式分解得(x−3)(x+2)=0，所以x=3或x=−2。 变式1｜答案：m=2；另一个根是1。 代入x=−2，得8−2m−4=0，所以m=2。 方程为，即2(x+2)(x−1)=0。 两个根为−2、1，故另一个根为1。 变式2｜答案：a=1；x=1或x=−3。 代入x=1，得a+2−3=0，所以a=1，满足a≠0。 方程化为，即(x−1)(x+3)=0。 因此x=1或x=−3。 题型解析｜3—4 题型03 直接开平方法 例题｜答案：或。 对两边开平方，得。 移项得。 两边除以2，得。 变式1｜答案：或。 两边除以9，得。 开平方，得。 因此，即或。 变式2｜答案：x=−3（两个相等的实数根）。 一个数的平方为0时，这个数只能为0，故x+3=0。 所以x=−3，根值只有一个。 题型04 配方法解一元二次方程 例题｜答案：或。 移项，得。 两边同加9，得，即。 开平方，得。 所以。 变式1｜答案：或。 两边除以2并移项，得。 两边同加1，得。 所以。 变式2｜答案：或。 移项并同加，得。 于是，。 所以。 题型解析｜5—6 题型05 公式法与无实数根的判断 例题｜答案：或。 a=3，b=2，c=−2。 。 。 约分，得。 变式1｜答案：或。 a=4，b=−4，c=−3，Δ=16+48=64。 。 所以或。 变式2｜答案：没有实数根。 a=2，b=2，c=3，。 因为Δ<0，所以方程没有实数根。 题型06 因式分解法与提取公因式 例题｜答案：x=3或。 把中间项拆成−6x+x，得。 分组提取公因式，得(2x+1)(x−3)=0。 所以2x+1=0或x−3=0。 得到或x=3。 变式1｜答案：x=0或x=7；除以x会漏掉x=0。 提取公因式，得x(x−7)=0。 所以x=0或x=7。 x有可能等于0，未讨论就除以x不等价。 变式2｜答案：x=4或x=1。 移项，得(x−4)(x+1)−2(x−4)=0。 提取公因式x−4，得(x−4)(x−1)=0。 所以x=4或x=1。 题型解析｜7—8 题型07 根据结构选择解法 例题｜答案：①；②x=0或；③。 ①已有平方形式，直接开平方得，所以。 ②提取公因式，得x(3x+5)=0，所以x=0或。 ③配方得，所以。 变式1｜答案：直接开平；x=−2或x=−8。 左边已是完全平方式，直接开平方最简便。 x+5=±3，故x=−2或x=−8。 变式2｜答案：不正确；正确的根为x=4或x=−2。 右边2x+8仍含未知数，不能丢掉2x直接开平方。 原方程可因式分解为(x−4)(x+2)=0。 所以x=4或x=−2。 题型08 换元转化为一元二次方程（选做拓展） 例题｜答案：x=1、−1、2、−2。 设，则t≥0，原方程变为。 分解为(t−1)(t−4)=0，得t=1或t=4，均满足t≥0。 由或，得x=±1或x=±2。 变式1｜答案：x=1、−1、、。 设，则t≥1，方程为(t−2)(t−3)=0。 t=2或t=3，即或。 所以x=±1或。 变式2｜答案：x=1或x=−1。 设，得(t+2)(t−1)=0。 t=−2不满足t≥0，舍去；因此t=1。 由，得x=±1。 题型解析｜9—10 题型09 含绝对值的转化（选做拓展） 例题｜答案：x=1、−1、2、−2。 设t=|x|，则t≥0且。 原方程变为(t−1)(t−2)=0，得t=1或t=2。 所以|x|=1或|x|=2，解为x=±1或x=±2。 变式1｜答案：x=2或x=−2。 设t=|x|≥0，得(t+3)(t−2)=0。 舍去t=−3，保留t=2，所以|x|=2。 因此x=±2。 变式2｜答案：x=−1、0、2、3。 设t=|x−1|≥0，得(t−1)(t−2)=0。 |x−1|=1时，x=0或x=2；|x−1|=2时，x=−1或x=3。 代回原式均成立，故解为−1、0、2、3。 题型10 错解订正与漏根检查 例题｜答案：除以x未讨论x=0；正确的根为x=0或x=4。 第一处问题是直接除以x，因为x可能等于0。 正确移项得，即x(x−4)=0。 所以x=0或x=4，两者代回原方程都成立。 变式1｜答案：漏掉x=0；正确解为x=0或x=−2。 乘积为0，至少有一个因式为0。 因此x=0或x+2=0，得x=0或x=−2。 变式2｜答案：漏写负平方根；正确解为x=7或x=−1。 开平方应为x−3=±4。 分别求解得x=7或x=−1，原解只保留了正支。 题型解析｜11—12 题型11 首项条件与降次讨论 例题｜答案：①m≠1；②；③x=1或x=−3。 ①二次项系数m−1≠0，故m≠1。 ②m=1时方程为2x−3=0，得。 ③m=2时方程为，即(x−1)(x+3)=0，得x=1或x=−3。 变式1｜答案：m≠−2时是一元二次方程；m=−2时。 m+2≠0时，最高次数为2，即m≠−2。 m=−2时方程化为−3x+1=0，故。 变式2｜答案：k≠2且k≠−2；k=2时无解；k=−2时。 二次项系数，故k≠±2。 k=2时原式变为3=0，不成立，所以无解。 k=−2时化为−4x+3=0，得。 题型12 保留整体结构与平方差转化 例题｜答案：x=3或。 移项，得。 用平方差公式，得[(2x−1)−(x+2)][(2x−1)+(x+2)]=0。 化简为(x−3)(3x+1)=0，所以x=3或。 变式1｜答案：x=1或；两个整体是x+1与2x。 将写成并移项。 得[(x+1)−2x][(x+1)+2x]=0，即(1−x)(3x+1)=0。 因此x=1或。 变式2｜答案：x=2或x=−4；原式右边不是0，不能直接分别令因式为0。 原式右边为5，不满足零乘积条件。 展开、移项得，即(x−2)(x+4)=0。 所以x=2或x=−4。 限时分层演练｜选择、填空解析 第1题｜答案：B A整理为4x+1=0，是一元一次方程；B整理为，是一元二次方程。 C分母含x，不是整式方程；D的最高次数为3。 第2题｜答案：D 移项得。 因此b=−2，c=−5。 第3题｜答案：A 开平方得x−4=±3。 所以x=1或x=7。 第4题｜答案：C 分解得x(x−5)=0。 所以x=0或x=5。 第5题｜答案：B a=2，b=1，c=−1。 。 第6题｜答案：D 移项得。 两边同加9，得。 第7题｜答案：或。 由，得。 第8题｜答案：5。 ，两边同加4，得。 第9题｜答案：−1。 将x=−2代入，得4−2m−6=0，故m=−1。 第10题｜答案：0。 ，所以没有实数根。 第11题｜答案：m≠−1。 二次项系数m+1≠0，所以m≠−1。 第12题｜答案：x=3或x=−3。 由，得x=±3。 限时演练详解｜第13—14题 第13题（8分） 解方程：。 参考解答｜答案：x=4或x=−2。 两边除以2，得。 开平方得x−1=±3，所以x=4或x=−2。 代回原式，两根均使左边等于18。 第14题（8分） 用配方法解方程：。 参考解答｜答案：或。 两边除以3并移项，得。 两边同加1，得。 开平方，得。 所以。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 限时演练详解｜第15—16题 第15题（8分） 用公式法解方程：。 参考解答｜答案：或。 a=5，b=3，c=−1。 。 代入公式得。 第16题（8分） 解方程：(x−2)(3x+1)=2(x−2)。 参考解答｜答案：x=2或。 移项后提取公因式，得(x−2)[(3x+1)−2]=0。 即(x−2)(3x−1)=0。 所以x=2或，代回原方程均成立。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 限时演练详解｜第17—18题 第17题（8分） 有人用配方法解，写为“，所以”。指出第一处错误，并给出正确解。 参考解答｜答案：配方应两边加4；正确解为x=1或x=−5。 第一处错误是只在右边加2；左边补成实际需要加4。 正确配方为，即。 所以x+2=±3，得x=1或x=−5。 第18题（8分） 已知2是关于x的方程的一个根，且方程是一元二次方程。求m及方程的全部实数根。 参考解答｜答案：m=1；x=2或。 代入x=2，得4(m+1)−6−2=0，解得m=1。 m+1=2≠0，满足二次方程条件。 原方程为，即(2x+1)(x−2)=0。 所以或x=2。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 限时演练详解｜第19—20题 第19题（8分） 保留整体结构解方程：。 参考解答｜答案：x=1或。 将写成，移项后用平方差。 得[(2x+3)−5x][(2x+3)+5x]=0，即(3−3x)(7x+3)=0。 所以x=1或。 第20题（8分） 解方程，并选择其中一个根代回原方程检验。 参考解答｜答案：或。 配方得，所以。 取，左边为。 计算得，故该根满足原方程；另一根同理。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $